Chuyên đề về Nhị thức Newton

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (128.21 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Nhị thức Newton

I. Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton

1. Tổ hợp là gì?

 Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của 
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

 Kí hiệu:

k
n

C

là số tổ hợp chập k của n phần tử



0 k n



. Ta có định lí,
số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.







 

! 3 ...

 



! !

k
n

n n n n k

n
C

k

k n k

    

 



- Tính chất chập k của n phần tử:

k
n

C

 Tính chất 1: , 0





k n k

n n

C C   k n

 Tính chất 2: Cơng thức pascal 11 1

k k k

n n n

C  C  C

2. Nhị thức Newton

Định lí: Với    và với mọi cặp số n *

 

a b, ta có:





0 1 1 2 2 2 1 1 1

...

n

n k n k k n n n n n n n

n n n n n n

k

a b C a  b C a C a b C a  b C  a b  C b



 



     

3. Hệ quả

Hệ quả:





0 1 2 2

1x n Cn xCnx Cn  ... x Cn nn

- Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:

0 1 2

2n ... n

n n n n

C C C C

    

 

0 1 2 3

... 1 n n 0

n n n n n

C C C C    C 

4. Nhận xét

Trong khai triển Newton





n

a b

có tính chất sau:

- Gồm n + 1 phần tử.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Các hệ số có tính đối xứng , 0





k n k

n n

C C   k n

- Số hạng tổng quát: 1

k b k k

k n

T C a b

Chú ý:

 Số hạng thứ nhất 1 0 1 0

n

T T C a

 Số hạng thứ k: 1 1 1 1 1

k n k k

k k n

T T  C  a   b 

II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:





a b





a 

x
x

  

 

 

Hướng dẫn giải

a. Khai triển Newton của





 

5 5

5 5 5

5 5

0 0

2 k k 2 k k k.2 .k k

k k

a b C a  b C a  b

 

 











5 0 5 1 4 5 5

5 5 5

2 2 ... 32

a b C a C a b C b

b. Khai triển Newton của





 

6
6

6
6
0

2 k k 2 k

k

a C a 



 







 

0 6 1 5 2 4 6

6 6 6 6

2 . 2 .2 ... . 2

a C a C a C a  C

c. Khai triển Newton của

 

 

10 10 10 10

10 10 10 2

10 10 10

0 0 0

1 1

. . . 1

k
k

k

k k k k k k

k

k k k

x C x C x C x

x x x

  

  



        

   

 



 



Ví dụ 2: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức 7





1 2x
Hướng dẫn giải

Ta có:

  



10 10





 

10
10

0 0

1 2 k .1 k 2 k nk. 2 .k k

k k

f x x C  x C x

 

  



 





Số hạng chứa x trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa7

x :

 

7
7

10. 2 15360

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau:

3 2
n

x
x

 



 

  biết rằng:

1 2

78, 0

n n

C  C   x

Hướng dẫn giải
Ta có:

1 2

78, 2

n n

C  C   n



1 !(



! 1)!



2 !

 

! 2 2 !



n n

n n n n n

  

     



1 !(1)!





2 ! 2 !

  

! 78

n n

  

 









 

1 12

78 156 0

2 13

n n n TM

n n n

n L



 

        

 

Do đó biểu thức khai triển là

 

12 12 12
12

3 3 36 3

12 12

0 0

2 2 1

. . . 2

k k

k k k

k k

x C x C x

x x x

 

 

         

     

 



 



 

 

36 4
12
0

. . 2 k

k k

k

C x 







Số hạng không chứa x ứng với k: 36 4 k  0 k 9

Số hạng không chưa x là:

 

9
9

12. 2 112640

C   

Ví dụ 4: Xét khai triển:

1
2x

x

 



 

 

a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.
c.Xác định hệ số của x trong khai triển.4

Hướng dẫn giải

 

20 20 20

20 20 20 2

20 20

0 0

1 1

2 2 2

k
k

k k k k

k k

x C x C x

x x

  

 

      

   

 



 



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Số hạng không chứa x trong khai triển là:

10 10
20.2

C

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với k là: 20 24  k  4 k 8
Vậy số hạng chứa x trong khai triển có hệ số là: 4

8 12
20.2

C

Ví dụ 5: Tính tổng:

 





0 1 3 4 1

1 1 1 1

...

2 4 6 8 2 1

n

n n n n n

S C c C C C

n



     


Hướng dẫn giải

Ta có:

 

0 1 3 4 1

1 1 1 1

...

2 2 3 4 1

n

n n n n n

S C c C C C

n

  

       



 

Vì

 

1 1

k k

n n

C C

k k




 



 



  

2 1

n

k k
n
k

S C

n





  









 





0
1 1
0

1 1

2 1 2 1

n

k k

n n

k

C C

n n



 


 



    

 



 

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:





1 2x

1
3

x
x

  

 

 





4 6

x x





n m

Bài 2: Xét khai triển

30
2 1

3x

x

  

 

 

a. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển.
b. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển.6
c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.

Bài 3: Tính tổng:

0 2 4 6 2
2 2 2 2 ... 2
n

n n n n n

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển





1x n

là 64. Số hạng

không chứa x trong khai triển

1
2

n

nx
nx

 



 

  .

Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển





n

x



</div>

Chuyên đề về Nhị thức Newton

<b>Nhị thức Newton</b>

<b>I. Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton</b>











 

 

 







 











 









<b>II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton</b>













 













 







 

 

<sub> </sub>











  







 





 







 









  









 

 

 





 



 