Tích vô hướng Toán 10

TÍCH VƠ HƯỚNG – LỚP 10
Bài 1 Cho A(1;1), B(2 ;4 ), C(10 ;- 2 )
a/ CMR : ABC vuông tại A

uuur
uuu
r
uuu
r uuur
AB (1 ; 3), AC (9 ; - 3 )  AB . AC = 0  ABC vuông tại A

b/ Tọa độ trực tâm ABC
ABC vuông tại A  A là trực tâm  A(1;1)

uuur uuu
r
uuu
r uuu
r
BC
.
BA
CACB
.
c/ Tính uuur và cos
B, tính uuur uuurvà cos C
uuu
r
* BC  8; 6 ; BA 1; 3 � BC.BA  8 18  10
uuur uuu
r

BC.BA
10
10
� cosB 


BC.BA 10. 10 10
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuu
r
* CA 9;3 ;CB  8;6 � CACB
.  72 18  90
uuu
r uuu
r
CACB
.
90
3 10
cosC 


CACB
.
10
90.10

d/ Tính độ dài trung tuyến BN :
AC 2  90 � AN 2 

90
130
130
; AB2  10 � BN 2  AN 2  AB2 
� BN 
4
4
2

Bài 2 Cho A(1;1), B(6 ;8 ). Tìm tọa độ điểm M sao cho MAB vng cân tại M
uuuu
r
uuur
AM
(
x

1
;
y

1);
BM (x  6; y  8)
Gọi M(x;y) 

MAB vuông cân tại M

uuuu
r uuur
�
�
(x  1)(x  6)  (y  1)(y  8)  0
�
(x  1)(x  6)  (y  1)(y  8)  0
�AM .BM  0
��
��
�
�
2
2
2
2
2
2
(x  1)  (y  1)  (x  6)  (y  8)
�
�2x  1 2y  1 12x  36  16y  64
�AM  BM
2
�2
�x2  7x  y2  9y  14  0 �x  7x  y  9y  14  0 (1)
��
� � 49  5x
10x  14y  98
(2)

�
�y 
7
�
Tha

y (2) vào (1)
2

�49  5x � �49  5x �
2
2
x  7x  �
� 9�
� 14  0 � 49x  343x  2401 490x  25x  3087 315x  686  0
� 7 � � 7 �
�
M  0;7
�
x 0
�
2
�
� 74x  1074x  0 �
537 � � �537 872 �
�
x=
M � ;
�
�

� 37
� �37 259 �
2





B  3; 1

Bài 3 Cho A(0;2),
. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác
OAB.
a/ Gọi
H(x;y) là trực
tâm tamuugiác
OBC
uuur
uuu
r
ur
uuu
r
AH  x; y  2 ,OB( 3; 1), BH (x  3; y  1),OA(0;2)

1


uuur uuu
r

�
�
�AH .OB  0 �
�x  3
 3x  y  2  0 �
� �uuur uuu
��
��
�H
r
�y  1
�BH .OA  0 �y  1 0





3; 1

b/ Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác OBC
�x 2  y  2 2  x 2  y 2
2
2
       
�
�
4y  4  0
�AI  OI
�
�

�� 2
�
�
�
�
2
2
2
2
2
�AI  BI
�
�x   y  2  x  3   y 1 �2 3x  2y  4  4y 4
�
�x   3
��
� I  3;1
�y  12 3x  2y  4  4y  4









uuuur uuur
Bài 4 Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính MH .MA

theo BC biết BC = a .

uuuur uuur uuuu
r uuuu
r 1 uuur uuur uuu
r uuur
MH .MA  HM.AM  HB  HC . AB  AC
4
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
uuur uuu
r uuur uuur
1
 HB.AB  HB.AC  HC.AB  HC.AC
4
r uuur uuu

r uuur
1 uuur uuur uuu
 �
HB
AC

CB

HC
AB
 BC �
�
4�
uuur uuu
r
uuu
r uruuruuuur
1
 �
HB.AC  HB.CB  HC.AB  HC.BC �
�
4�
2
u
u
u
r
u
u
u

r
u
ur
u
1
1
a
 BC HC  HB  BC 2 
4
4
4





















ruuu ruuu



�  300
AB  3 , AD = 1, BAD
Bài 5 Cho hìnhuuubình
hành
ABCD
có
r uuu
r
uuu
r uuur
AD.AB và BA.BC
a/ Tính
3 3
3.1.

�
2
2
BAD
AD.AB.cos
=
=
uuu
r uuur

� 3 � 3
BA.BC  BA.BC.cos1500  3.1.�

�
� 2 � 2
�  1500
�
�
ABD


uuur uuu
r
AD.AB

b/ Tính độ dài đường chéo AC và BD

uuur uuu
r 2
uuur uuu
r
3
AC 2  BC  BA  BC 2  2BC.BA  BA2  1 2.  3  7 � AC  7
2
uuur uuu
r 2
uuur uuu
r
3
BD2  AD  AB  AD2  2AD.AB  BA2  1 2.  3  1� BD  1

2
uuur uuur
cos AC.BD
c/ Tính
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur uuu
r
AC.BD  AB  AD BA  AD  AD  AB AD  AB  AD2  AB2  1 3  2
uuur uuur
uuur uuur
AC.BD
2
cos AC.BD 

AC.BD
7

















 





Bài 6. Cho ABC có AB = 2, BC = 4, AC = 3
2




uuur uuu
r
AC
.
AB
/ Tính

a

uuur uuu
r AC 2  AB2  BC 2 4 9  16 3
AC.AB 



2
2
2

uur 3 uuur
AJ  AC
2
b/ Gọi I là trung điểm AB, J là điểm thỏa
. Tính độ dài IJ.
uur uur 1 uuu
r 3 uuur 3 uuu
r uuur 9
AI .AJ  AB. AC  AB.AC 
2
2
4
8
2
uur 2 uur 2
uur uur
9 �9 � 47
�
�
2
2
2
IJ  �AI  AJ � AI  2AI .AJ  AJ  1 2.  � �
8 �2 � 2

�
�
� IJ 

94
2

Bài 7 Cho hình thang vng ABCD có đường caouuAB
= 3a, AD = 2a, BC = 4.5a
ur uuur



uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
AC; BD
AC
.
AB
;
AC
.
AD
;
AC

.
BD
a/ Tính
. Suy ra góc



81 2
3 13a
a 
4
2
2
2
117a
81a
 9a2 
uuur uuu
r AC 2  AB2  BC 2
4  9a2
AC.AB 
 4
2
2
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu

r uuu
r uuu
r uuu
r uur
u
9a
AC.AD  AB  BC AD  AB.AD  BC.AD  BC.AD 
.2a  9a2
2
uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuur AC. BA  AD  AC.BA  AC.AD  AC.AB  AC.AD  9a2  9a2  0 � AC  BD
AC.BD =
uuur uuu
r
�
BM .BD suy ra cos MBD
/
Gọi
M
là
trung
điểm
AC.
Tính
b
AC 

AB2  BC 2 







9a2 



BD  AB2  AD2  9a2  4a2  13a
uuur uuu
r
uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
�
BM .BD  BA  AM .BD  BA.BD  M .BD  BA
A.BD.cos ABD



 BA.BD.



AB
 BA.AB  3a.3a  9a2
BD

ABC vuông tại A có BM là trung tuyến
uuur uuu
r
BM
.
BD
�
cos MBD


BM .BD

� BM 

9a2
a 13.

3a 13
4



1

3 13a
AC 
2
4
12
13

Bài 8 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD = a, BC = 2a, I là trung
điểm cạnh AB. Hãy tính AB trong các trường hợp sau :

3


uuur uuu
r
AC
.
AB
 a2
a/
AB
AC
uuu
r uuu
r
AB
AC.AB  a2 � AC.AB.cos A  a2 � AC.AB.
 a2 � AB  a
AC
uuur uuur

uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuuruuu
r uuur uur
u
b / AC.BD  a2 � AB  BC BA  AD  a2 �  AB2  AB.AD  BC.BA  BC.AD  a2
AC 

AB2  BC 2 



AB2  4a2 ; cos A 





�  AB2  2aa
.  a2 � AB  a
uur uur
2
c/ IC.ID  a
uur uur
uur uuur uur uuur
uur uur uur uuur uuur uur uuur uuur
IC.ID  a2 � IA  AD IB  BC  a2 � IA.IB  IA.BC  AD.IB  AD.BC  a2







r 1 uuu
r
r uuur 1 uuu
r uuur uuur uur
u
1 uuu
1 uuu
�  AB. AB   AB.BC  AB.AD  AD.BC  a2
2
2
2
2
1
�  AB2  a.2a  a2 � AB2  4a2 � AB  2a
4

Bài 9 Cho  ABCcó AB = c, BC = a, AC = b.

uuu
r uuur 1
AB.AC  b2  c2  a2
2
a/ CMR :
uuur uuu

r 2
uuu
r uuur
uuu
r uuur 1
BC 2  AC  AB  AC 2  2AB.AC  AB2 � AB.AC  b2  c2  a2
2
uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r 1
AB.AC  BA.BC  CACB
.  b2  c2  a2
2
b/ CMR :
uuu
r uuur 1
uuu
r uuur 1
uuu
r uuu
r 1
AB.AC  b2  c2  a2 BA.BC  a2  c2  b2 CACB
.  a2  b2  c2
2
2
2
Tương tự câu a:
;

;



























Bài 10 Cho  ABC có A(3; -1), B( - 3 ; 2 ), C( 3 ; 5)
a/ Tính chu vi và diện tích ABC

uuu
r
uuur
uuur
AB  6;3 ; AC  0;6 ; BC  6;3 � AB  BC  3 5; AC  6

� C  AB  AC  BC  6 5  6

  ABCcân tại B

1
uur
SABC  BI .AC  18
2
Gọi I là trung điểm AC  I(3 ; 2)  BI (6 ; 0)  BI = 6 
�
1
xG  (3 3 3)  1
�
�
3
�
�y  1 (1 2  5)  2
G
b/ * Trọng tâm G : � 3
 G(1 ; 2)
uuur
uuur
uuur
uuur

BC
AH
BH
* Trực tâm H :
(x - 3 ; y + 1); ( 6 ; 3 );
( x + 3 ; y – 2 ); AC (0 ; 6 )
uuur uuur
� 3
�
6(x  3)  3(y  1)  0 �x 
�3 �
�AH .BC  0 �
��
� � 2 � H � ;2�
�uuur uuur
�2 �
�BH .AC  0 �y  2  0
�y  2
�

* Tâm đường tròn ngọai tiếp I :
4




�
�AI  BI
�
(x  3)2  (y  1)2  (x  3)2  (y  2)2

6x  2y  10  6x  4y  13
�
�
�
�
�
�
6x  2y  10  6x  10y  34
(x  3)2  (y  1)2  (x  3)2  (y 5)2
�
�AI  CI
�
� 3
�
12x  6y  3 �x 
�3 �
��
� � 4 � I � ;2�
12y  24
�4 �
�
�y  2
�
uuur �
uur
1 �uur �
1 � uuur
GH � ;0�
; IG � ;0�
� GH & IG

2 � �
4 �
�
*
cùng phương

 H, G, I thẳng hàng ( Đường thẳng Euler )

Bài 11 Cho  ABC có A(1 ; 2), B(- 1 ; 1), C( 5 ; - 1 )

uuu
r
uuur
uuu
r uuur
a / AB  2; 1 ; AC  4; 3 � AB.AC  8 3  5
uuu
r uuur
AB.AC
5
 5
1 2 5
b / cos A 


;
sin A  1 cos2 A  1 
AB.AC
5
5

5
5.5

c/ Tọa
độ chân đườnguuucao
r K (x ; yuu)ur
uuur
AK (x - 1 ; y - 2); BC ( 6 ; -2 ); BK ( x + 1 ; y – 1 )

uuur uuur
�
6(x  1)  2(y  2)  0 �
6x  2y  2
�1 1 �
1
�AK .BC  0 �
��
� x y � K � ; �
uuur � �
�uuur
2
2(x  1)  6(y  1)
2x  6y  4
�2 2 �
�
�
�BK  k.BC

d/ Trực u
tâm

H:
uuur
uuur
uur
uuur
AH (x - 1 ; y - 2); BC ( 6 ; -2 ); BH ( x + 1 ; y – 1 ) ; AC ( 4; - 3 )
uuur uuur
�
�x  2
6(x  1)  2(y  2)  0 �
6x  2y  2
�AH .BC  0 �
��
��
��
� H  2;5
�uuur uuur
4(x  1)  3(y  1)  0
4x  3y  7 �y  5
�
�BH .AC  0 �

�
1
5
xG  (1 1 5) 
�
�
3
3 � G �5; 2 �

�
� �
�3 3 �
�y  1(2 1 1)  2
G
3
e/ Trọng tâm G : � 3

f/ Tâm đường tròn ngọai tiếp I:
�
�AI  BI
�
(x  1)2  (y  2)2  (x  1)2  (y  1)2
2x  4y  5  2x  2y  2
�
��
�
�
�
2
2
2
2
(x  1)  (y  2)  (x  5)  (y  1)
�
�AI  CI
�2x  4y  5  10x  2y  26
� 3
x
�

�
4x  2y  3
�3 3�
� 2
��
��
�I�; �
8x  6y  21 � 3
�2 2 �
�
y
� 2
uuur �
uuur
uur
1 13�uur �
1 13 � 1 6 13 6
GH � ; �
; IG � ; �
� . 
. � GH & IG
3 3� �
6 6 � 3 1 3 13
�
*
cùng phương

 H, G, I thẳng hàng ( Đường thẳng Euler )
5

6