Một lớp bài toán liên quan đến cấu hình hình vuông

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Một lớp bài toán liên quan đến cấu

hình hình vng

Nguyễn Đăng Khoa

Ngày 29 tháng 2 năm 2020

Giới thiệu.

Trong qua trình học, tác giả có bắt gặp một số bài tốn liên quan đến
hình vng ABCD và cho một điểm nằm trên cung nhỏ CD, . . . Bài viết ngắn này sẽ trình
bày một số bài tốn liên quan đến cấu hình như vậy.

Bài tốn 1. Cho hình vng ABCD nội tiếp (O). Lấy điểm P bất kì trên cung nhỏ CD.

P B cắt AC tại E,P A cắt BD tại F. Đường thẳngEF lần lượt cắt BC, AD tại K và L.
a) Chứng minh rằng P K ⊥AC, P L⊥BD.

b) Chứng minh ba đường tròn (P EF),(P KL) và (O) đồng trục.

G

S

Q
X
K
L

E
F

D

B
A

O

C
P

Chứng minh. a) Ta thấy F, E, K thẳng hàng nên theo định lý Pascal đảo thì ta cóDE và
P K cắt nhau tại X trên (O).

Mà B, D đối xứng với nhau qua AC nên từ đó P, X đối xứng với nhau qua AC. Suy ra
P X ⊥AC hay P K ⊥AC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) Kẻ dây cung P S của đường tròn(O) sao cho P SkCD.
Lấy Glà giao điểm thứ hai của (P EF) với AC.

Ta có _∠EGF =_∠EP F =_∠BP A= 45◦ =_∠OCD nên F GkCD.
Từ đó dễ thấy F GSP là hình thang cân nên (P EF) đi qua S.
Ta lại lấy Q là giao điểm thứ hai của (P KL) với BC.

Theo phần a) thì ta rút ra được _∠KP L = 90◦. Từ đó ta có _∠KQL = _∠KP L = 90◦ nên
LQkCD.

Từ đây suy ra (P LK)cũng đi qua S. Vậy ta có đpcm.

Nhận xét. Tính chất chúng ta đi chứng minh ở phần a) rất quan trọng và đẹp, có ích trong
một số bài tốn khác.

Bài tốn 2. (Trần Quang Hùng) Cho hình vngABCD nội tiếp(O). Lấy điểmP bất

kì trên cung nhỏ CD. P B cắt AC tại E, P A cắt BD tại F. Đường thẳng EF lần lượt cắt
BC, AD tại K và L. P A, P B lần lượt cắtCD tại hai điểm H và G. Lấy I là giao điểm của
LG và HK. Chứng minh P I vng góc với CD.

M
N

I

H G

K

L

E
F

D

B
A

O

C
P

Chứng minh. Qua P ta kẻ đường thẳng song song vớiCD lần lượt cắtBC, ADtại M và N.

Ta đi chứng minh K, H, N thẳng hàng, L, G, M thẳng hàng.

Thật vậy, chú ý rằng P K ⊥AC, P L⊥BD nên

HC
HD =

P C
P D·

AC
AD =

P C ·√2
P D =

P C

sin_∠P KC·P D =

KC

sin_∠KP C·P D =

KC

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Suy ra N, H, K thẳng hàng. Tương tự thì ta có L, G, M thẳng hàng.

Ta có tam giác LP N và tam giácKM P vuông cân tạiN vàM nên rút ra _IMLI = _KMLN = _{P M}P N
nên P I kLN hay ta có đpcm.

Bài tốn 3. (Tạp chí Pi, P205) Cho hình vngABCD nội tiếp đường trịn(O). LấyP

trên cung nhỏ CD. P A cắt BD tại M, P B cắt AC tại N và P A, P B lần lượt cắt CD tại
S, T. Đường tròn ngoại tiếp tam giácDM S cắt lại (O)tại điểm thứ hai làQkhác D, đường
tròn ngoại tiếp tam giác CN T cắt lại (O) tại điểm thứ hai là R khácC. DQ cắt CR tại J
và P O cắt CD tại I. Chứng minh rằng IJ ⊥CD.

F
E

I

J

R
Q

O2

O1 S

T
N
M

D

B
A

O

C
P

Gọi (O1),(O2) lần lượt là tâm (M DS) và (N T C).

(O1)cắt AD tại điểm thứ hai là E. (O2) cắt BC tại điểm thứ hai là F.

Ta có _∠IP T =_∠OBP =_∠ICP nên 4IT P ∼ 4IP C(g.g) suy ra IP2 =IT ·IC.
Tương tự ta có IS·ID=IP2 _nên _I _{thuộc trục đẳng phương của} _(O

1)và (O2).

Mặt khác ta dễ có:J Q·J D=J R·J C nênJ cũng thuộc trục đẳng phương của(O1)và(O2).
Từ đó ta có IJ ⊥O1O2 nên ta cần chứng minh O1O2 kDC.

Hay ta cần chứng minh

ED=F C ⇔AD.AE =BF.BC ⇔AM.AS =BN.BT ⇔ AM
BN =

BT
AS
Ta có AM

BN =
AM

AB ·
AB
BN =

M S
DS ·

T C
T N =

sin 45◦
sin_∠DM S ·

sin_∠T N C
sin 45◦ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Để ý ta có _∠AP B =_∠M DT =_∠N CS = 45◦ suy ra tứ giác M T P D và N SP C nội tiếp.
Suy ra _∠DM S =_∠ST P; _∠T N C =_∠T SP, từ đó ta có

sin_∠T N C
sin_∠DM S =

sin_∠T SP
sin_∠ST P =

P T
P S =

P B
P A =

BT
AS
Vậy suy ra IJ ⊥CD (đpcm).

Bài toán 4. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O).

LấyP trên cung nhỏ CD.P Acắt BD tại M,P B cắt AC tại N. Đường thẳng M N lần lượt
cắt BC, AD tại K, L.

a) Chứng minh rằng P O là trục đẳng phương của hai đường tròn (P M L) và (P N K).
b) Chứng minh trục đẳng phương của (P LN)và (P M K)luôn đi qua một điểm cố định
khi P di chuyển trên cung nhỏ CD.

S
H

Q

L

K
N

M
D

B
A

O

C
P

Chứng minh. a) Gọi S là giao điểm khácO của P O với đường trịn (M ON).

Ta có _∠OSM =_∠ON M =_∠P LM nên tứ giác P LM S nội tiếp hay (P LM) đi qua S.
Tương tự thì đường trịn(P N K)cũng đi quaS nênP O là trục đẳng phương của đường tròn
(P LM)và (P N K).

b) Trước hết ta phát biểu và chứng minh một bổ đề

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Chứng minh. Theo tích chất quen thuộc thì ta có _∠BHC = 2_∠BAC = 90◦ = _∠BOC nên
tứ giác BHOC nội tiếp, suy ra_∠HBD=_∠HCE.

<i>H</i>

<i>P</i>

<i>D</i>

<i>E</i>

<i>B</i>

<i>O</i>

<i>C</i>

<i>A</i>

Mặt khác ta có BH_HC = AB_AC22 =

BD

CE nên suy ra 4HDB ∼ 4HEC và từ đó rút ra được tứ giác

EHOD nội tiếp.

Ngồi ra với cấu hình này ta có tính chất quen thuộc là _∠HAB = _∠HCA; _∠HAC =
∠HBA.

Ta quay lại bài tốn ban đầu.

Dựng hình vng AOBQ và lấy H là hình chiếu của O lên P Q.
Theo bổ đề thì ta có H nằm trên đường trịn (M ON).

Ta có_∠HM N =_∠HOA=_∠HALnên tứ giácHALM nội tiếp, suy ra_∠HLM =_∠HAM =
∠HP N.

Từ đó ta có đường trịn(P LN)đi qua H, tương tự thì đường trịn(P M K)đi qua H nên ta
có trục đẳng phương của hai đường tròn này đi qua điểm Q cố định (đpcm).

Bài tốn 5. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O).

LấyP trên cung nhỏ CD.P Acắt BD tại M,P B cắt AC tại N. Đường thẳng M N lần lượt
cắt BC, AD tại K, L. Tiếp tuyến tại P của (O) lần lượt cắtBC, AD tại R, Q. P L, P K lần
lượt cắt CD tại E, F.

a) Chứng minh rằng N, Q, E thẳng hàng;M, F, R thẳng hàng.
b) Gọi I là giao điểm của M F và N E. Chứng minh IE =IF.

Chứng minh. a) Giả sử P L vng góc vớiBD tại H và lấy X là giao điểm củaP C và BD.
Ta áp dụng định lý Pascal cho bộ điểm

P C D

A B P

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta lại có HE
HP =

HL
HP =

ON
OA =

ON

OC, kết hợp OC kP H thì suy raX, E, N thẳng hàng.
Vậy ta có Q, E, N thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta có M, R, F thẳng hàng.

Y

I
H

X

E F

R
Q

L

K
N

M

D

B
A

O

C
P

b) Tiếp tục áp dụng định lý Pascal cho bộ

P B C

D A P

thì ta cóQR, KL, CD đồng quy tại
Y.

Từ đây ta có DQ_DE = DQ_DL = _CKCR = CR_CF nên 4DEQ ∼ 4CF R, suy ra _∠IEF = _∠DEQ =
∠CF R=_∠IF E hay IE =IF.

Vậy ta kết thúc phép chứng minh.

Bài toán 6. (Trần Quang Hùng, Sharygin 2017) Cho hình vng ABCD nội tiếp

đường trịn (O). Đường thẳng P A, P B lần lượt cắt BD, AC tại K, L. LấyM, N lần lượt là
hình chiếu củaK, L lênCD. Qlà giao điểm củaKN vàM L. Chứng minh rằngP Qchia đôi
đoạn AB.

Chứng minh. Lấy E, F lần lượt là giao điểm của P A, P B với CD.

Ta có _∠KP F =_∠KDF = 45◦ nên tứ giác DKF P nội tiếp nhận M làm tâm.
Tương tự N là tâm của tứ giác nội tiếp P ELC.

Đến đây chúng ta có hai hướng xử lý.

Cách 1. (Nguyễn Đăng Khoa) Chúng ta sẽ chứng minh A, Q, F và B, Q, E thẳng hàng để
kết hợp EF kAB thì ta có đpcm.

Ta xét tam giác KEN thì để A, Q, N thẳng hàng thì ta cần có AK_AE · F E
F N ·

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

E F
T

Q

N
M

L
K

D

B
A

O

C
P

Thật vậy ta có
AK
AE ·

F E
F N ·

QN
QK =

BK
BD ·

EF
F N ·

LN
KM =

BK
BD ·

EF
F N ·

LC
KD =

LC
BD ·

KB
KD ·

EF
F N
= LC

BD ·

AB
DE ·

EF
F N
= EF

DE ·
N L
F N.
Ta có KD=KF nên _DEEF = _{P D}P F = F N_LN.

Vậy suy ra ba điểm A, Q, F thẳng hàng hay ta có đpcm.
Cách 2. (Trần Quang Hùng)

<i>Z</i>

<i>Y</i>
<i>X</i> <i>Q</i>

<i>N</i>
<i>L</i>

<i>M</i>
<i>K</i>

<i>E</i> <i>F</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Qua Q kẻ đường thẳng song song với M N cắt P K, P Ltại X, Y. Gọi Z là hình chiếu của Q
lên EF.

Ta có QX_{N E} = _KNKQ = M Q_{M L} = QZ_LN, mà N E=N L nên QX =QZ.

Tương tự ta có QY =QZ nên suy raQX =QY và từ đó ta cóP Q chia đơi đoạn AB.
Nhận xét.Cách kẻ thêm của thầy Hùng hơi mất tự nhiên ở điểm Z tuy nhiên cách này rất
đẹp mà lại gọn gàng, cho ta thêm một tính chất đẹp.

Bài tốn 7. (Tuyển sinh lớp 10 THPT chun Sư Phạm) Cho hình vng ABCD

nội tiếp đường tròn (O). ĐiểmM thuộc cung nhỏCD, khácC, D. M AcắtDB, DC lần lượt
tại X, Z. M B cắt AC, CD lần lượt tại Y, T. CX cắt DY tại K.

a) Chứng minh rằng _∠M XT =_∠T XC, _∠M Y Z =_∠ZY D và _∠CKD= 135◦.
b) Chứng minh rằng _{M X}KX +_{M Y}KY +_CDZT = 1.

c) Gọi I là giao điểm của M K với CD. Chứng minh rằng XT, Y Z và OI cùng đi qua
tâm ngoại tiếp tam giác KZT.

H
I

K

Z T

Y
X

D

B
A

O

C
M

Chứng minh. a) Bạn đọc tự chứng minh.
b) Ta có biến đổi

XK
XM =

XZ
XC =

XZ
XA =

DZ
BA =

DZ

DC; tương tự thì
Y K
Y M =

CT

CD.

Nên từ đó suy ra _{M X}KX + _{M Y}KY + _CDZT = 1.
c) Ta gọi H là giao điểmXT và Y Z.

Ta đã có hai tam giác XT D vuông cân tại X và Y ZC vông cân tại Y nên suy ra tam giác
HZT vuông cân tại H.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Ta đi chứng minh OI đi qua H.
Do tam giác OCD cân tại O nên

sin_∠DOI
sin_∠COI =

DI
IC =

DM
M C ·

sin_∠IM D
sin_∠IM C =

sin_∠DBM
sin_∠M AC ·

cos_∠IDM
cos_∠ICM =

tan_∠DBM

tan_∠M AC =

OY
OX.
Kết hợp với tứ giác OXHY là hình chữ nhật nên suy ra OI đi qua H (đpcm).

Bài tốn 8. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O).

ĐiểmP thuộc cung nhỏCD, khácC, D.P A cắtDB, DC lần lượt tại X, Z.P B cắt AC, CD
lần lượt tại Y, T. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của X, Y lên CD.

a) Gọi Q là giao điểm của KM, N L. Chứng minh P QkCD.
b) Gọi I là giao điểm của KN và M L. Chứng minh P I ⊥CD.

S
R

Q
H

I

L

K

M Z T N

Y
X

D

B
A

O

C

P

Chứng minh. a) Ta định nghĩa lại điểm Q là hình chiếu của P lên trung trực CD. Ta đi
chứng minh KM, N L cùng đi qua Q.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Ta có hai tam giác CP H và BOY đồng dạng nên OY_OB = P H_HC hay OY_{Y C} = HS_SC từ đó ta có

OR
LC =

P H

LC nên P H =OR.

Gọi Q0 là hình chiếu củaQ lênCD thì rõ ràngQQ0 =P H =OR, suy ra _QQKD0 =

KD
OR =

DX

XO =
DM

M Q0, từ đây suy ra K, M, Q thẳng hàng.

Hoàn toàn tương tự thì Q, N, Lthẳng hàng.

b) Chú ý rằng _∠KP L = 90◦ nên để P I ⊥ CD thì tương đương với P I là phân giác của
∠KP L. Từ đây ta có ý tưởng dùng định lý Ceva sin trong tam giác P KL.

Ta đi chứng minh _sinsin_∠∠N KL_{N KP} · sin∠M LP

sin∠M LK = 1.

Ta thấy N P =N Y nên _sinsin∠N KL

∠N KP =

sin∠KY N

sin∠KP N, M X =M P nên

sin∠M LP

sin∠M LK =

sin∠M P L

sin∠M XY.

Ta có _∠M XY +_∠N Y X = 180◦ và _∠M P L+_∠KP N =_∠KP L+_∠M P N = 180◦.
Từ đó dễ dàng suy ra ngay sin∠N KL

sin∠N KP ·

sin∠M LP

sin∠M LK = 1.

Vậy ta hồn tất phép chứng minh.

Bài tốn 9. (Trần Quang Hùng)Cho hình vngABCDnội tiếp đường trịn(O). Điểm

P thuộc cung nhỏ CD, khác C, D. P A cắt DB, DC lần lượt tại X, Z. P B cắt AC, CD lần
lượt tại Y, T. GọiM, N lần lượt là hình chiếu củaX, Y lênCD. M Y cắt XP tại E,XN cắt
P Y tại F. Giả sử EF cắt XY tại Q. Chứng minh P QkCD.

<i>T</i>

<i>I</i>

<i>Q</i>

<i>E</i> <i>_F</i>

<i>L</i>
<i>K</i>

<i>M</i> <i>N</i>

<i>Y</i>
<i>X</i>

<i>D</i>

<i>B</i>
<i>A</i>

<i>O</i>

<i>C</i>

<i>P</i>

Chứng minh. Ta lấy I là giao điểm của XF và EY. Theo tính chất quen thuộc thì ta có
P(QI, XY) =−1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Một số bài tốn khác

Bài 1. Cho hình vngABCD nội tiếp đường trịn (O). Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D. P A cắt DB, DC lần lượt tại X, Z. P B cắt AC, CD lần lượt tại Y, T. Gọi M, N lần
lượt là hình chiếu của X, Y lênCD. M Y cắt XP tại E,XN cắt P Y tại F.XY lần lượt cắt
AD, BC tại K, L. Chứng minh rằng KE, F L và P O đồng quy trên CD.

Bài 2. Cho hình vngABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D.P Acắt DB lần lượt tại X,P B cắt AC lần lượt tại Y. GọiM, N lần lượt là hình chiếu
của X, Y lên CD. M Y cắt BC tại R, N X cắt AD tại S. Chứng minh O, R, S thẳng hàng
và RS kXY.

Bài 3. Cho hình vngABCD nội tiếp đường trịn (O). Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác

C, D. P A cắt DB lần lượt tại X, P B cắt AC lần lượt tại Y. XY lần lượt cắt AD, BC tại
K, L. P K, P L lần lượt cắtCD tại E, F.

a) Chứng minh rằng P O là trục đẳng phương của (P DE)và (P F C).

b) GọiO1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácDP F vàCP E. Chứng minh
O1 nằm trên P A,O2 nằm trên P B và P O chia đơi đoạn O1O2.

c) Hai đường trịn (O1),(O2)cắt nhau tại Q khácP. Chứng minh rằng ∠OQP = 90◦.
Bài 4. Cho hình vngABCD nội tiếp đường trịn (O). Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D. P A cắt DB lần lượt tại X, P B cắt AC lần lượt tại Y. XY lần lượt cắt AD, BC tại
K, L. P K, P L lần lượt cắt CD tại E, F. Chứng minh rằng (P EX),(P F Y) và đường trịn
(OXY) có một điểm chung.

Bài 5. Cho hình vngABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm P thuộc cung nhỏ CD, khác
C, D. P A cắt DB lần lượt tại X, P B cắt AC lần lượt tại Y. XY lần lượt cắt AD, BC tại
K, L. P K, P Llần lượt cắt CD tại E, F. XF cắt Y E tại Q. Chứng minh rằng XE kY F và
P Q⊥CD.

Lời kết.

Qua bài viết này, tác giả đã giới thiệu một số bài tốn hay tính chất xoay
quanh mơ hình hình vng. Cịn rất nhiều tính chất, kết quả khác mà còn chưa được khai
thác. Chúc bạn đọc sẽ tìm tịi thêm và phát triển được nhiều tính chất hơn nữa.

Email.

</div>

<!--links-->
Ôn TN12-Một số bài toán liên quan đến hoạt động XNK

• 4
• 418
• 0