Bộ đề cương ôn tập giữa Học kì 2 môn Toán lớp 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA KÌ II LỚP 9

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình 2x + 0y = 5 biểu diễn bởi đường
thẳng:

A. y 2x 5  B. y 5 2x  C. y 1
2

 D. x 5
2

Đáp án: D

Câu 2. Cặp số (1; 3) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 3x 2y 3  B. 3x y 0  C. 0x 3y 9  D. 0x 4y 4 
Đáp án: C

Câu 3. Phương trình 4x 3y  1 nhận cặp số nào sau đây là nghiệm:
A. (1; 1) B. ( 1; 1)  C. (1;1) D. ( 1;1)
Đáp án: B

Câu 4. Hai hệ phương trình kx 3y 3
x y 1

 


_{  }

 và

3x 3y 3

x y 1

 


 _{  }

 là tương đương khi
k bằng:

A. k = 3 B. k 3 C. k 1 D. k 1
Đáp án: A

Câu 5. Hệ phương trình: 2x y 1
4x y 5

 


 _{ }

 có nghiệm là:

A. (2; 3) B. (2;3) C. (0;1) D. ( 1;1)
Đáp án: B

Câu 6. Hệ phương trình 5x 2y 4
2x 3y 13

 


 _ _

 có nghiệm là:

A. (4;8) B. (3,5; 2) C. ( 2;3) D. (2; 3)
Đáp án: D

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
Đáp án: C

Câu 8. Cho hàm số _y 1_x2

4

 . Giá trị của hàm số đó tại x 2 2 là:
A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 2
Đáp án: A

Câu 9. Đồ thì hàm số y 2x2

3



 đi qua điểm nào trong các điểm:
A. 0; 2

3

 _ 
 

  B.

2
1;

3

_{ } 
 

  C.

 

3;6 D.

2
1;

3

 
 
 
Đáp án: B

Câu 10. Biết tứ giác MNOP nội tiếp trong một đường trịn và góc

 0

PMN 120 , khi đó:

A. O 60  0 B. N 60  0 C. P 60  0 D. P 90 0
Đáp án: A

Câu 11. Tứ giác ABCD nội tiếp một đường trịn và C 75 0. Khi đó:

A. A 105 0 B. B 75 0 C. D 90  0 D. D 75  0
Đáp án: A

Câu 12. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng A 40 0,

 0

B 60 . Khi đó C D  bằng:

A. 200 B. 300 C. 1200 D. 1400
Đáp án: A

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Biết AC là đường kính của (O). ACB 30 0. Số đo góc CDB bằng:
A. 400 B. 500 C. 600 D. 700
Đáp án: C

Câu 14. Cho hình vẽ dưới đây:

Biết NPQ 45 0 và MQP 30  0. Số đo góc MKP bằng:

A. 750 B. 700 C. 650 D. 600
Đáp án: A

Câu 15. Cho hình vẽ dưới đây.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

B. TỰ LUẬN
PHẦN I. ĐẠI SỐ

Bài 1. Cho hai biểu thức A x
1 3 x


 và

x 3 2 1

B

x 9 x 3 3 x



  

  
với x 0,x 9  .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4

9

 .
b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho P = B : A. Tìm x để P < 3.

Hướng dẫn:

a) Thay x 4

9

 (tmđk) vào A ta được:

4 2

2 2

9 3

A :3

2 3 9

4 _{1 3.}

1 3 ₃

9

   




b) B x
x 3


 với x 0,x 9 

c) P B: A x : x x .1 3 x 1 3 x

x 3 1 3 x x 3 x x 3

 

   

   

1 3 x 10

P 3 3 0 x 3 0 x 9

x 3 x 3



         

 

Kết hợp với điều kiện     P 3 0 x 9.
Bài 2. Cho biểu thức A 2 x 1 : 3

x 9 x 3 x 3

 

__  __

  

  với x 0;x 9  .
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để A 5

6

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Hướng dẫn:

a) Rút gọn được A x 1
x 3




 với x 0;x 9  .
b) x 1 5 6 x 1



 

5 x 3



6
x 3

 _{ } _ _ _



x 9 x 81

    (thỏa mãn)
c) A x 1 1 2 1

3

x 3 x 3



   

 

Vậy MinA = 1

3. Dấu “=” xảy ra  x 0 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 3. Cho hai biểu thức:

x x

A

2 x




 và

x 3 1

B

x x 1 1 x


 

  với x 0;x 1;x 4   .
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 36 .

b) Rút gọn biểu thức P = A.B
c) So sánh P với 1

3.

Hướng dẫn:

a) Khi x 36 thì A 36 36 36 6 30 15

2 6 4 2

2 36

  

   

 



b) P x( x 1). x 3 x x 1 x

2 x ( x 1)(x x 1) x x 1

    

 

     

c)





2

x 1

1 1

P 0 P

3 3(x x 1) 3

 

    

 

Bài 4. Cho biểu thức A 2 x 1
x



 và B x 3 x 4 1

x 2 x x 2

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a) Tính giá trị của A khi x 9 .
b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho P B
A

 . Tìm x để P P .

Hướng dẫn:

a) Thay x = 9 vào A ta có A 2 9 1 7
3
9



  .

b) B x 3 x 4 1 x 2

x( x 2) x 2 x

  

  

  .
c) P B x 2

A 2 x 1


 

 . Ta có P P

x 2

P 0 0

2 x 1


   


Ta có x 0 nên 2 x 1 0  . Để x 2 0

2 x 1
 _

 thì x 2 0    0 x 4.
Bài 5. Cho biểu thức A 2 x 2

x 9 x 3

 

  và

3

B

x 3 x



 với x 0;x 9  .
a) Tính giá trị B khi x 25 .

b) Rút gọn biểu thức A.

c) Tính giá trị của x để B 2 x 1

A 2


 .

Hướng dẫn:

a) Thay x 25 vào B ta có B 3

10

 .

b) A 6

( x 3)( x 3)



  .

c) B 2 x 1 x 3 2 x 1 x 3

A 2 2 x 2 2

  

     .

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Hướng dẫn:

a) Ta có 3x 2y 5 y 3x 5 x x 5

2 2

 

     
Đặt x 5 t x 5 2t

2 y 5 3t

 




   _{ }

 (t)
b) x 4 5t (t )

y 23 7t
 

 _

 _ _

 

Bài 7. Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2; 0) và ( 1; 2) 

Hướng dẫn:

Gọi phương trình cần tìm có dạng ax by c  , ta được:

c
a

2a 0b c ₂

a 2b c 3

b c
4
 


 
 _
_{ } _  _
 _{ }


. Chọn c = 4 a 2 2x 3y 4

b 3


_   
 

Bài 8.

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình bậc nhất hai ẩn:
a) m 1x 2y m 1    có một cặp nghiệm (x; y) là (1; 1) .
b) mx 5y 3m 1   có một cặp nghiệm (x; y) là (2; 1) .

Hướng dẫn:

a) Vì (1; 1) là nghiệm của phương trình nên m 1 m 1  

2

m 1 0

m 3

m 1 (m 1)

 


_  

  


b) Để cặp số (2; 1) là nghiệm của phương trình mx 5y 3m 1   ta phải
có:

2m 5.( 1) 3m 1     m 6

Bài 9. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a) 3x y 5

5x 2y 23
 


 _ _

 b)

3x 5y 1
2x y 8

 



 _{  }

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

c) 2x y 3
x 3y 1

  


 _ _

 d)

x y 3
3x 4y 2

 


 _ _



Hướng dẫn:

a) (x; y) = (3; 4) b) (x; y) = ( 3;2)
c) (x; y) = ( 2;1) d) (x; y) = (10;7)
Bài 10. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a) 4x 7y 16

4x 3y 24
 


 _ _{ }

 b)

2x 11y 7
10x 11y 31

  


 _ _



c) 2x 3y 5
3x 4y 2

  


_ _ _

 d)

5x 2y 1

3x 7y 2

 


 _ _



Hướng dẫn:

a) (x;y) ( 3;4)  b) (x;y) (2;1)

c) (x;y) (14;11) d)

 

x;y 11 7;

41 41

 
 _ _
Bài 11. Giải các hệ phương trình:

a) 3(y 5) 2(x 3) 0

7(x 4) 3(x y 1) 14 0
   



 _ _ _{  } _

 b)

(x 1)(y 1) xy 1
(x 3)(y 3) xy 3

   


 _ _{ } _



c) 5(x 2y) 3(x y) 99
x 3y 7x 4y 17

   


 _ _ _ _

 d)

(x 1)(y 1) (x 2)(y 1) 1
2(x 2)y x 2xy 3

     



 _ _{ } _



Hướng dẫn:

a) HPT đã cho 2x 3y 21
10x 3y 45

 


  _ _



Từ đó tìm được nghiệm của HPT là: (3; 5)
b) (x; y) = (2; 2)

c) (x;y) (4;7)

d) HPT đã cho 2x 3y 2
x 4y 3

 


  _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Từ đó tìm được nghiệm của HPT là: 17 4;
11 11

 
 
 
Bài 12.
a)

15 7 ₉

x y
4 9
35
x y
 _{ }


  

b)

4 5 ₂

2x 3y 3x y

3 5

21
3x y 2x 3y

 _ _{ }
 _ _



 _ _
  

c)

4 1 ₃

x 2 2y 1

1 3 ₄

x 2 2y 1

 _ _
  


 _ _
  

d)

7 5 9

x y 2 x y 1 2

3 2 ₄

x y 2 x y 1

 _ _
    


 _ _
    


Hướng dẫn:

a) ĐK: x 0;y 0 
Đặt 1 u

x  và

1
v

y  , ta được HPT:

15u 7v 9
4u 9v 35

 


 _ _



Giải ra ta được u 2
v 3



 _


Từ đó nghiệm của HPT ban đầu là: 1 1;

2 3

 
 
 
b)

 

x;y 7 2;

66 11

 
 _ _
c) ĐK: x 2;y 1

2

  . Đặt 1 a
x 2  và

1

b
2y 1 
Hệ phương trình 4a b 3 a 1 x 3

a 3b 4 b 1 y 1

   

  

_  _ _

   

  

d) Đặt 1 a; 1 b

x y 2   x y 1   .

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài 13. Cho hệ phương trình (3a b)x (4a b 1)y 35
bx 4ay 29

    


 _ _



Tìm các giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm là (1; 3)

Hướng dẫn:

Thay x 1;y  3 vào HPT đã cho ta được: 9a 4b 35
12a b 29
  


_ _{ }



Giả ra ta được a 2;b 5

Bài 14. Cho đường thẳng d: y (2m 3)x 3m 4    . Tìm các giá trị của tham
số m để d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d :2x 3y 12₁   và

2

d :3x 4y 1 

Hướng dẫn:

Gọi M d ₁ d₂. Ta tìm được: M(3; 2)
Để d ,d₁ ₂ và d đồng quy thì M(3; 2) d 
(2m 3).3 3m 4    2

m 5

Bài 15. Cho hệ phương trình x my 2m
mx y 1 m

 


 _{  }

 (m là tham số)
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
b) Vơ nghiệm.

c) Vơ số nghiệm.

Hướng dẫn:

Từ PT thứ nhất ta có x 2m my  . Thay vào PT còn lại, ta được:

2 2

(m 1)y 2m   m 1 (*)

Số nghiệm của hệ phương trình ban đầu bằng số nghiệm của (*).
Khi đó hệ phương trình:

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

 

x;y m 2m 1;

m 1 m 1

 

 

 _ _ _ _
b) Vô nghiệm

2

2

m 1 0

m 1
2m m 1 0

 


_  

  



c) Vô số nghiệm

2

2

m 1 0

m 1

2m m 1 0
 



_   

  



Bài 16. Cho hệ phương trình 2mx 5y 2
5x 2my 3 2m

  


 _ _{ }

 (m là tham số)
a) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất.

b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x và y cùng nguyên.

Hướng dẫn:

a) Từ PT thứ nhất ta có y 2mx 2

5



 . Thay vào PT còn lại ta được



_{25 4m x 15 6m}_ 2



_ _

(*)
Với m 5 0.x 0 (*)

2

     vô nghiệm  HPT vô nghiệm.
Với m 5

2

 HPT x y 2
5

      HPT vơ nghiệm.
Với m 5

2

  : HPT có nghiệm duy nhất (x;y) 3 ;1 3

2m 5 2m 5

 

_  _
 
 
b) Khi đó x,y 



2m 5



nhận giá trị là ước của 3.





m 4; 3; 2; 1

     

Các cặp nghiệm nguyên là:



1;2 , 3;4 , 3; 2 , 1;0

 



 



  

Bài 17. Cho hệ phương trình mx y 3

4x my 6
 


 _ _

 (m là tham số). Tìm điều kiện của
tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x 2 và

y 0 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Với m  2 HPT vơ số nghiệm.

Với m 2 : HPT có dạng 2x y 3  , mà x 2,y 0    2x y 4HPT vô
nghiệm.

Với m 2: HPT có nghiệm duy nhất 3 ; 6

m 2 m 2

 
 _ _ 
 .
Khi đó x 2 2 m 1

2
y 0




    
 _

 .

Bài 18. Cho hệ phương trình (m 1)x my 3m 1
2x y m 5

   



 _{  }

 (m là tham số)

Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)
sao cho biểu thức S x 2 y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Với m 1: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (m 1;m 3) 
Khi đó S x 2 y2 2(m 1) 8 8 2 

min

S 8

  tại m 1 .

Bài 19. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe
chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu
xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của
xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.

Hướng dẫn:

Gọi thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB, BC lần lượt là x, y (giờ)

(ĐK: y > x > 0)

Ta có HPT: 50x 45y 165
y x 0,5

 


 _{ }

 . Giải HPT tìm được

x 1,5
y 2



 _


Bài 20. Tổng số học sinh khối 8 và khối 9 của một trường là 400 em, trong
đó có 252 em là học sinh giỏi. Tính số học sinh của mỗi khối, biết rằng số
học sinh giỏi khối 8 chiếm tỉ lệ 60% số học sinh khối 8; số học sinh giỏi khối
9 chiếm tỉ lệ 65% số học sinh khối 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Gọi số học sinh khối 8, khối 9 của trường đó lần lượt là x; y (x; y nguyên
dương)

Theo bài ra ta có HPT x y 400

0,6x 0,65y 252
 



 _ _



Giải HPT ta được x 160;y 240  (thỏa mãn điều kiện)

Bài 21. Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 90km. Khi đi từ B về A người
đó tăng tốc độ 5km/h so với tốc độ lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời
gian đi là 15 phút. Tính tốc độ của ơ tơ lúc đi từ A đến B.

Hướng dẫn: Đáp án: 40km/h

Bài 22. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài
120km. Mỗi giờ xe máy thứ nhất chạy nhanh hơn xe máy thứ hai là 10km
nên xe máy thứ nhất đến B trước xe máy thứ hai là 1 giờ. Tính vận tốc của
mỗi xe máy.

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc của hai xe máy lần lượt là v ,v₁ ₂ (km/h) (v₁v₂0,v₁ 10)

Ta có hệ phương trình

1 2

2 1

v v 10

120 120 ₁

v v

 




 _ _




Giải hệ phương trình, tìm được 1

2

v 40
v 30



 _

 (thỏa mãn)

Bài 23. Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó bằng
5; bình phương chữ số hàng chục hơn số hàng đơn vị là 1 đơn vị. Tìm số đó.

Hướng dẫn:

Gọi chữ số hàng chục và hàng đơn vị lần lượt là: x,y(x;y;x,y 9;x 0) 
Ta có hệ phương trình x y 5₂ x 2

y 3
x y 1

  

 _

 _{ }  _




Vậy số cần tìm là 23.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức
120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Hướng dẫn:

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm được giao của tổ I, II theo kế hoạch.
(Điều kiện x, y *)

Theo bài ra ta có phương trình x y 600 
Số sản phẩm vượt mức của tổ I là: 18 x

100 (sản phẩm)

Số sản phẩm vượt mức của tổ II là: 21 y

100 (sản phẩm)

Cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có:

18 21

x y 120

100 100 

Ta có hệ phương trình:

x y 600

18 21

x y 120

100 100
 






 



Giải hệ phương trình được x 200;y 400  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sản phẩm được giao của tổ I, tổ II theo kế hoạch lần lượt là 200 sản
phẩm và 400 sản phẩm.

Bài 25. Để hồn thành một cơng việc theo dự định, cần một số công nhân
làm trong một số ngày nhất định. Nếu bớt đi 2 cơng nhân thì phải mất thêm
3 ngày mới có thể hồn thành cơng việc. Nếu tăng thêm 5 cơng nhân thì
cơng việc hoàn thành sớm được 4 ngày. Hỏi theo dự định, cần bao nhiêu
công nhân và làm trong bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn:

Gọi số cơng nhân cần để hồn thành công việc là x (công nhân) và số ngày
để hồn thành cơng việc theo dự định là y (ngày) (ÐK:x N,x 2,y 4   )
Ta có hệ phương trình (x 2)(y 3) xy

(x 5)(y 4) xy
  


 _ _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Giải hệ phương trình, tìm được x 10
y 12



 _


Bài 26. Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xi dịng 108km và ngược
dịng 63km. Một lần khác cũng trong 7 giờ canơ xi dịng 81km và ngược
dịng 84km. Tính vận tốc nước chảy và vận tốc canô lúc nước yên lặng.

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc riêng của canơ và vận tốc dịng nước lần lượt là x, y (km/h)
(ĐK x > y > 0)

Ta có HPT

108 63 ₇

x y x y

81 84 ₇

x y x y

 _ _

  




 _ _
  


. Giải HPT thu được x 24
y 3



 _


Vậy vận tốc dòng nước và vận tốc canô lần lượt là 3km/h và 24km/h.
Bài 27. Cho hàm số y ax (a 0) 2  có đồ thị là parabol (P).

a) Xác định a để (P) đi qua điểm A( 2;4)
b) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hãy:
i) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ.
ii) Tìm các điểm (P) có tung độ bằng 2.

Hướng dẫn:

Từ A( 2;4) (P) , ta tìm được a = 2.
b)

i) Đồ thị hàm số y 2x 2. Học sinh tự vẽ hình
ii) y 2x 2. Cho y = 2 ta tìm được x 1.
Vậy các điểm cần tìm là: (1;2) và ( 1;2) .

Bài 28. Cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng d: y 1x
2

a) Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Hướng dẫn:

a) Học sinh tự vẽ hình

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và d: x2 1x
2

Tìm được x 0 hoặc x 1

2

 . Vậy giao điểm là (0;0) và 1 1;

2 4

 
 
 
Bài 29. Cho hàm số y 1x2

4

 . Xác định giá trị ủa tham số m để các điểm sau
thuộc đồ thị hàm số:

a) A(2;m) b) B( 2;m) c) C m;3

4

 
 
 

Hướng dẫn:

a) m 1 b) m 1
2

 c) m  3
Bài 30. Cho hàm số y 2x 2 có đồ thị (P).

a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ.

b) Tìm các điểm thuộc (P) thỏa mãn:
i) Có tung độ bằng 4.

ii) Cách đều hai trục tọa độ.

Hướng dẫn:

a) Học sinh tự vẽ hình.

b)

i) Ta tìm được các điểm

  

2;4 ,  2;4



ii) Có M(x ;y ) (P)₀ ₀   y₀ 2x2₀

M cách đều Ox, Oy nên ta có:

2

0 0 0 0

x  y   x 2x . Ta tìm được 0

1 1

x 0; ;

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Vậy các điểm cần tìm là: M (0;0)₁ , M₂ 1 1;

2 2

 
 

  và 3

1 1

M ;

2 2

_ 
 
 
PHẦN II. HÌNH HỌC

Bài 31. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE
cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng
hàng.

c) Chứng minh OM 1AH
2
 .

Hướng dẫn:

a) Chứng minh được BFCH là hình bình hành.

b) Sử dụng kết quả câu a) suy ra HF đi qua M (tính chất hai đường chéo của
hình bình hành đi qua trung điểm của mỗi đường).

c) OM là đường trung bình của AHF OM 1AH
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Bài 32. Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB
và AC với (O) (B, C là tiếp tuyến). Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A
và N)

a) Chứng minh _AB2 __AM.AN

b) Gọi H AO BC  . Chứng minh AH.AO AM.AN .

c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn:

a) ABM ANB  1
2

  sđBM. Chứng minh được: ABM∽ANB(g.g)

2

AB AM

AB AM.AN
AN AB

   

b) Chứng minh AO BC, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO
và sử dụng kết quả câu a) AB AH.AO2

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Bài 33. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Vẽ đường tròn tâm O đi
qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần
lượt tại E, F. Chứng minh rằng:

a) EF BC .

b) AED∽ADC và AFD∽ADB.
c) AE.AC AF.AB AD  2.

Hướng dẫn:

a) EAD EDB  (cùng chắn DE),EAD FED  (DAF)

 

EDB FED

  suy ra EF BC .

b) Ta có AED ADC  (cùng chắn DFA) mà EAD DAC  nên AED∽ADC.
Tương tự FAD DAB;AFD ADB     nên AFD∽ADB.

c) AED ADC AE AD AE.AC AD2

AD AC

 ∽    

2

AF AD

AFD ADB AF.AB AD

AD AB

 ∽    

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Bài 34. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi
BD và CE là hai đường cao của ABC. Gọi (d) là tiếp tuyến tại A của đường
tròn (O; R) và M, N lần lượt là hình chiếu của B và C trên (d). Chứng minh
rằng:

a) AMB∽CDB.

b) AB MA.BE

AC NA.CD .

Hướng dẫn:

a) Xét AMB và CDB có MAB BCD  (cùng chắn AB),  AMB CDB (90 )  0
Suy ra AMB∽CDB(g.g)

b) AMB CDB AB MA

BC CD

 ∽   .

Tương tự, ta có: ANC∽BEC BC BE

AC AN

  .
Suy ra: AB BC MA BE. .

BC AC CD AN hay

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bài 35. Cho đường tròn (O; R). Hai đường kính AB và CD vng góc với
nhau. Gọi M là điểm chính giữa của cung BC. Dây AM cắt OC tại E. Tia CM cắt
đường thẳng AB tại N.

a) Chứng minh rằng MCE cân.
b) Chứng minh rằng BN = BC.
c) Tính diện tích CBN theo R.

Hướng dẫn:

Ta có AB CD (tại O), M là điểm giữa BC nên

sđAD = sđAC= sđCB= sđBD = 900, sđMB= sđMC= 450.
a) Góc CEM là góc có đỉnh ở bên trong đường trịn nên:

 1
CEM .

2

 (sđCM + sđAD ) =

0 0
0

45 90 _{67 30'}

2

 _

Mặt khác ta tính được ECMsđMBD : 2 =

0 0
0

45 90 _{67 30'}

2




Vậy CEM ECM  , do đó MCE cân tại M.

b) Góc N là góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn nên:


N(sđAC - sđMB) : 2 = (90045 ):2 22 30'0  0

Mà BCN sđMB : 2 = 45 :2 22 30'0  0 .

Vậy N BCN  , do đó BCN cân, suy ra BN = BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Diện tích tam giác CBN là: S 1BN.CO 1R 2.R 1R 22

2 2 2

   .

Bài 36. Cho tam giác ABC và điểm E trên cạnh BC (E B,E C)  . Đường tròn
đi qua B, E và đường tròn đi qua C, E lần lượt cắt AB, AC tại điểm thứ hai M,
N và cắt nhau tại điểm thứ hai P. Chứng minh tứ giác AMPN là tứ giác nội
tiếp.

Hướng dẫn:

Do BEPM, CEPN là các tứ giác nội tiếp nên:

 

 

0

0

MPE 180 B

EPN 180 C

 _ _




 


  0

 

 

MPE EPN 360 B C

    

 0



 



 

MPN 360 MPE EPN B C

     

     0

MPN A A B C 180
     

Tứ giác AMPN là tứ giác nội tiếp.

Bài 37. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). Từ điểm M bất kì trên
cung nhỏ AC, ta kẻ MK, MI, MH lần lượt vuông góc với BC, CA, AB tại K, I, H.

Chứng minh rằng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Hướng dẫn:

a) Ta có MIC MKC 90 90 180   0 0  0
Tứ giác MKCI nội tiếp.

Tương tự ta cũng có MIHA, MKBH là các tứ giác nội tiếp.
b) Do a, ta có: HIA HMA  (chắn cung AH) (1)

 

CIK CMK (chắn cung CK) (2)
Do các tứ giác ABCM, BHMK là nội tiếp nên:

    0

AMC ABC HMK ABC 180   

     

AMC HMK AMC HMC HMK HMC

     

 

AMH CMK

 

Từ (1), (2) và (3) suy ra HIA CIK  H, I, K thẳng hàng.
Bài 38. Cho ABC vng tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Kẻ

HM AB,HN AC . Gọi I là trung điểm BC; MN cắt AH, AI lần lượt tại O, K.
Chứng minh rằng:

a) BCNM là tứ giác nội tiếp.
b) HOKI là tứ giác nội tiếp.
c) 1 1 1

AK HB HC  .

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

a) Ta có MAN 90 ,ANH 90 ,AMH 90 0  0  0 nên AMHN là hình chữ nhật

OA OM

   OAM cân tại O

    0   

OAM OMA;OAM ACB (90 ABC) OMA ACB

      
suy ra BCNM là tứ giác nội tiếp.

b) ABC vng tại A có AI là đường trung tuyến nên IA = IB

IAB

  cân tại IIAB IBA  , mà AMK ACB  nên

    0

IAB AMK IBA ACB 90     KAM vng tại K.

Tứ giác HOKI có OHI 90 ,OKI 90  0   0 nên HOKI nội tiếp đường trịn đường
kính OI.

c) AKO AHI(g.g) AK AO
AH AI

 ∽  

2

BC AH

AK.AI AH.AO AK. AH. AK.BC AH

2 2

     

Mặt khác theo hệ thức lượng trong tam giác vng ABC, ta có

2

BH.CH AH AK.BC BH.CH

1 BC HB HC 1 1

AK BC.CH BH.CH HB HC



     .

Bài 39. Cho đường trịn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B.
Kẻ dây CD vng góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK AE
tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b) _{AH.AB AD}_ 2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Hướng dẫn:

a) Học sinh tự chứng minh.

b) ADB vng tại D, có đường cao DHAD AH.AB2  .
c) EAC EDC  1

2

  sđEC, EAC KHC  (do tứ giác AKCH nội tiếp).
 

EDC KHC DF HK

   _ (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC)

ACF

  là tam giác cân.

Bài 40. Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây
CD vng góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.
a) Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm K.
c) Kẻ DN CB,DM AC  . Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng
quy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

a) HIB HKB 180   0Tứ giác BIHK nội tiếp.
b) Chứng minh được AHI∽ABK(g.g)

2

AH.AK AI.AB R

   (không đổi)

c) Chứng minh được MCND là hình chữ nhật Từ đó suy ra điều phải
chứng minh.

C. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 41. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a 2b 8  .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2a 3b 4 9

a b

   

Hướng dẫn:

Ta có P a 4 b 9



a 2b



a b

   

_  _{ }  _ 
   
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được:

4 9

P 2. a. 2. b. 8 18

a b

    .
Vậy P_min18 a 2,b 3 .

Bài 42. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 2a b 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 16a2 2b2 3 2

a b

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Ta có P 4 4a



2 1

 

2 b 12



3 2 6

a b

      
Áp dụng BĐT Cơ- si, ta có:

3 2

P 16a 4b 6

a b

    





1 1

P 3 4a 2 b 2 2a b 6

a b

   

  _  _ _  _  
   

P 14

  .

Từ đó tìm được P_min 14 a 1;b 1
2

    .

Bài 43. Cho hai số x, y dương thỏa mãn điều kiện 2xy 4 x y   . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P xy 1₂ 1₂

x y

  

Hướng dẫn:

Ta có 2xy 4 x y 2 xy    xy 4 .
Áp dụng BĐT Cô- si cho cặp số 1 1₂ ; ₂
x y

 

 

  ta được:

2 2

1 1 2 2 7xy 7 9

P xy xy xy 1

x y xy xy 8 2 2

          
Vậy P_min 9

2

   x y 2.

Bài 44. Với hai số thực a, b dương thỏa mãn a b c 1   , tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: T a ₂ b ₂ c ₂

1 9b 1 9c 1 9a

  

  

Hướng dẫn:

2

2 2

a _a 9ab _a 3_ab

1 9b  1 9b  2
Từ đó tìm được T_min 1

2

 khi và chỉ khi a b c 1

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Bài 45. Cho x là số thực thỏa mãn 1 x 1
2
   .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M x 1 x 2x2
2

   

Hướng dẫn:

Theo bất đẳng thức Cơ- si ta có:

2

2 2 1 1 x 2x

1 x 2x 1.(1 x 2x )

2

  
     



2



2

1 1 x 2x
x

M M 1 x 1

2 2

  

     
Vậy GTLN của M 1 khi x 0 .

Bài 46. Cho hai số dương a, b thỏa mãn 1 1 2

a b  .

Tìm giá trị lớn nhất của Q ₄ ₂1 ₂ ₄ ₂1 ₂

a b 2ab b a 2ba

 

   

Hướng dẫn:

Ta có 1 1 2 a b 2ab

a b     . Áp dụng Cô- si ta có:

4 2 2 4 2 2 2 2 2

a  b 2a b  a b 2ab 2a b 2ab  2ab(a b) (a b)  

4 2 2 2

1 1

a b 2ab (a b)

 

   . Tương tự 4 2 2 2

1 1

b  a 2ba (a b)

2

2
Q

(a b)

 

 . Có 2

1 1 4 1 1

2

a b a b (a b) 4

    
 
1

Q
2

  . Vậy Q_max 1
2

 . Dấu “=” xảy ra khi a b 1  .
Bài 47. Cho a, b, c > 0, chứng minh:

a b c a b c

a b b c c a      b c  a c  a b

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Ta có: a a 2a

b c  a(b c)  a b c 

Chứng minh tương tự b 2b ; c 2c

a c a b c    a b a b c   

VP 2

  .

Mặt khác, sử dụng biến đổi tương đương ta chứng minh:

a a c b b a c b c

; ;

a b a b c b c a b c c a a b c

  

  

        

VT 2

  .

Suy ra a b c a b c

a b b c c a      b c  a c  a b .
Bài 48. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn:

a b c ab bc ca 6abc      . Chứng minh 1₂ 1₂ 1₂ 3

a b c  .

Hướng dẫn:

Ta có 1 1₂ 1₂ 1

2 a b ab

 _ _
 

  ; 2 2

1 1 1 1

2 b c bc

 _ _
 

  ; 2 2

1 1 1 1

2 c a ca

 _ _
 

 

2

1 1 ₁ 1

2 a a

 _ _
 

  ; 2

1 1 ₁ 1

2 b b

 _ _
 

  ; 2

1 1 ₁ 1

2 c c

 _ _
 
  .
Cộng vế với vế, ta được:

2 2 2 2 2 2

3 1 1 1 3 ₆ 1 1 1 ₃

2 a b c 2 a b c

 _ _ _{  } _ _ _
 

  .

Bài 49. Cho a, b > 0 thỏa mãn 2b ab 4 0   .
Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2
a 2b
T
ab

 .
Hướng dẫn:

Ta có 2b ab 4 0 2b ab 4 4 ab b 4

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

2 2

a 2b a b 31 b 33

T .

ab b 16a 16 a 4

  

 _  _ 
 
33

MinT
4

  a 1;b 4 .

Bài 50. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a b c 2   . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:

Q 2a bc  2b ca  2c ab

Hướng dẫn:

Thay 2 a b c   , ta có:

Q (a b c)a bc    (a b c)b ac    (a b c)c ab  

= (a b)(a c)   (b c)(b a)   (c a)(c b) 

Sử dụng bất đẳng thức Cô- si, ta có:
(a b) (a c)
(a b)(a c)

2
  

   (1)
(b c) (b a)

(b c)(b a)

2
  

   (2)
(c a) (c b)

(c a)(c b)

2
  

   (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: Q 4(a b c) 4

2
 

 

Vậy maxQ 4 , đạt được khi a b c 2

3

</div>

<!--links-->