CHUỖI số (GIẢI TÍCH)

CHƯƠNG IV: CHUỖI
§1. CHUỖI SỐ
1. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2. CHUỖI ĐAN DẤU
3. CHUỖI CĨ DẤU BẤT KỲ
§2. CHUỖI LŨY THỪA
1. CHUỖI LŨY THỪA
2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các
¥

số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) nå=1un

là chuỗi số

Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi
2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số
hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un
3. Tổng của chuỗi là giới hạn hu hn (nu cú)
S = lim Sn < Ơ
n đƠ

Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc
không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta
nói chuỗi phân kỳ
¥
Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng å un = lim Sn = S
n =1

n đƠ


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:
n
1 3 7 15
2
+ + + + ... Þ un = -n 1
2 4 8 16
2
2 22
23
24
2n
+
+
+
+ ... Þ un =
1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
n!
Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi
¥ n +2
Tính u5? Þ u5 = 5 + 2 = 7
å
n =1 4n - 1
4.5 - 1 19
(2n - 1)!!
Tính u6

å
n =1 ( n + 1)!
(2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99
Þ u6 =
=
=
=
(6 +1)!
7! 1.2.3.4.5.6.7 48
¥


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân

¥

n
å q

n =0

Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
ìï n, q = 1
ïï
2
n
Sn = 1+ q + q + ... + q = ớ 1- q n
ùù
,q ạ 1

ùợ 1- q
Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ
1
n
Khi |q|<1: q →0 khi n→∞ nên S = lim Sn =
n đƠ
1- q
Tc l chui hi t v cú tổng là S
Khi |q|>1: Dãy {Sn} khơng có giới hạn → chuỗi phân kỳ
¥

Vậy chuỗi cấp số nhân å q n hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
n=0


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
¥ ỉ1
1ư
- nữ
Vớ d: Tớnh tng ca chui
ồ ỗ
ữ
ỗ
n
ữ
5 ứ
n =0 ố3
p dụng kết quả ví dụ trên, ta có
¥
¥

1
1n
1
3
=
å n=å ( ) =
2
n =0 3
n =0 3
1- 1
3
¥
¥
1
1n
- 1
5
=å - n=å -( ) =
5
4
n=0 5
n =0
1- 1
5
Ơ ổ1
1ử
3
5
1
- nữ

= - =
Vy: ồ ỗ
ữ
ỗ
n
ữ
5 ứ 2 4 4
n =0 ố3


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số

1
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của å
2
n =1 4n - 1
Tổng riêng: Sn = u1 + u2 + ... + un
1
1 1
1
un = 2
= (
)
Ta có:
4n - 1 2 2n - 1 2n +1
ổ
ổ
ử ổ
ử
ổ 1

ử
1 1ử
1
1
1
1
1
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
2Sn = ç
- ÷
+
+
+
...
+
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷
÷

÷
÷
è1 3 ø è3 5 ø è5 7 ø
è2n - 1 2n +1ø
1
2Sn = 12n +1
Tổng của chuỗi:

¥

1
1
S=å
= lim Sn =
2
n đƠ
2
n =1 4n - 1
Ơ


§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
1
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å ln(1+ )
n
n =1
¥

Tổng riêng:
n

1
Sn = å ln(1+ ) = å ( ln(1 + k ) - ln k )
k
k =1
k =1
Sn = (ln2 - ln1) + (ln3 - ln 2) + ... + (ln( n +1) - ln n )
n

Sn = ln( n +1)
Sn = lim ln(n +1) = ¥
Ta có: S = nlim
đƠ
n đƠ
Vy chui ó cho phõn k


§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
¥

Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi å un hội tụ thì un→0
n =1

Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi
số phân kỳ bng cỏch chng minh ộ1. lim un ạ 0
ờ nđƠ
ờ
2.$ lim un
ờ
ở nđƠ
Vớ d: Cỏc chui sau phõn k theo kccsht

Ơ
n
n
, vỡ lim un = lim
=1ạ 0
ồ
n đƠ
n đƠ n + 1
n=1 n + 1
(- 1)n + n
(- 1)n + n
, vỡ lim
=1ạ 0
ồ
n đƠ
n
n
n=1
Ơ
n
n
, vỡ lim un = lim
= - 1ạ 0
ồ
n
n
n đƠ
n đƠ (- 1) - n
n=1 (- 1) - n
¥

§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay
đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi.
Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
¥

¥

n =1

n =p

å un và å un

Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ

¥

¥

n=1

n =1

å un = Q và å v n = P

Các chuỗi sau hội tụ với tổng
¥

¥

n =1

n=1

å ( un + v n ) = Q + P, å ( l un ) =l Q

Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK


§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
Chuỗi số

¥

å un , un ³ 0 với tất cả các số hạng

n=1

không âm thì gọi là chuỗi khơng âm
Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên
chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng
ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :
1. Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy
2. Tiêu chuẩn so sánh
3. Tiêu chuẩn Cauchy
4. Tiêu chuẩn d’Alembert

§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy:
Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞).
¥

¥

n =1

1

Khi ấy, chuỗi å f (n ) HT khi và chỉ khi tp ò f ( x )dx HT
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å 1a
n=1 n
1
* Khi α<0: un = a Þ lim un = +Ơ
n đƠ
n
Chui PK theo kccsht
Ơ

* Khi =0: un = 1" n ị lim un = 1 ạ 0
n ®¥
Chuỗi PK theo đkccsht
1 thỏa các điều kiện của
* Khi α>0: Xét hàm f ( x ) = a
x tiêu chuẩn tích phân

§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
+¥
1
Vì tích phân ị a dx hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên
1 x
¥ 1
Chuỗi å a Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1
n =1 n
1
Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi å
b
n =2 n(ln n )
1
Xét hàm f ( x ) =
a trên [2,+∞), ta có
x (ln x )
¥

f(x) khơng âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng
nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu
chuẩn tích phân


§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
Mặt khác
ìï +¥ khi b £ 1
+¥
+¥
dx

d (ln x ) = ïï
1
í
= ị
ị
b
b
ïï
khi b>1
b- 1
2 x (ln x )
2 (ln x )
ïỵ (b - 1)(ln2)
¥
1
Vậy chuỗi å
b HT khi β>1 và PK khi β≤1
n =2 n(ln n )


§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1:
¥

¥

n =1

n =1

Cho 2 chuỗi số khơng âm å un và å v n

thỏa

$p : un ³ v n " n p
Ơ

Khi y: 1. ồ un HT ị

Ơ

ồ v n HT

n =1
¥

n =1
¥

n =1

n =1

2. å v n PK Þ

å un PK

Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và
ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK

§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm

2n
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å n
n=1 3 + 1
¥

Ta so sánh
2n
2n
un = n
£ n = vn, " n
3 +1 3
n
Ơ 2n
Ơ ổử
Ơ
2
2
n
Vỡ ồ
ữ
=ồ ỗ
=ồ q , q=
ữ
n
ỗ
ữ
3

n=1 3
n =1ố3 ø
n=1
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ

là chuỗi hội tụ


§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2:

¥

¥

Cho 2 chuỗi số khơng âm å un và å v n
n =1
n =1
un
lim
=K
n đƠ v
n
Khi y:
Ơ
Ơ
1. Nu K= thỡ å un HT Þ å v n HT
n =1

thỏa

n =1

2. Nếu 0¥

3. Nu K=0 thỡ ồ v n HT ị
n =1

Ơ

ồ un HT

n=1


§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so
sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau
Chuỗi cấp số nhân:
¥
Hội tụ khi |q|<1
n
å q
n =1
Phân kỳ khi |q|≥1
Chuỗi điều hòa :
1
å a
n =1 n

¥

Hội tụ khi α>1
Phân kỳ khi α≤1

1
, q <1
å q =
1- q
n=0
¥

n


§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
n 2 - 2n + 2
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å 3
n=1 n + n + 1
¥

Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞
n 2 - 2n + 2 1
Khi n→∞ thì un = 3
:
= vn
n + n +1 n
Tức là lim un = 1 (hai chuỗi cựng HT hoc cựng PK)
n đƠ v
n

Ơ
Ơ 1
M ồ v n = å
là chuỗi phân kỳ
n=1
n=1 n
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ


§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
n

1ỉ
1+ n ư
÷
Ví dụ: Kho sỏt s hi t ca chui ồ 2 ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
n ÷
n =1 n
¥

n
1ỉ
1+ n ư
1
÷
: 2 .e = v n

Khi n thỡ un = 2 ỗ
ữ
ỗ
ữ
n ố n ứ n
Ơ
Ơ 1
Mà chuỗi å v n = å 2 .e hội tụ
n=1
n=1 n

Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi
đã cho HT


Đ1. Chui s - Chui khụng õm
ổ
1
2n +1ử
ữ
ln ỗ
Vớ d: Kho sỏt s hi t ca chui ồ
ữ
ỗ
ố
ứ
n- 1ữ
n=1 n - 1
ổ
ử

2n +1ử
1
3
Ta cú : u = 1 ln ổ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
=
ln
2(1
+
ữ
ữ
n
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
n - 1 èn - 1 ø n - 1 è
2(n - 1)ứ
Ơ

ử ln2
1 ổ
3
1
3
ữ

ỗ
un =
ln2 + ln(1+
)ữ=
+
ln(1+
)
ỗ
ữ
ỗ
n - 1ố
2(n - 1) ứ n - 1 n - 1
2(n - 1)
Do
1
3
1
3
3
nđƠ :
ln(1+
):
.
=
n- 1
2(n - 1)
n - 1 2(n - 1) 2(n - 1)2
Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng
¥ ln 2
¥

1
3
của 2 chuỗi
PK và å
ln(1 +
) HT
å
2(n - 1)
n =2 n - 1
n =2 n - 2


§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
a

ỉ
1ư
÷
1
n
sin
Ví dụ: Khảo sát s hi t ca chui ồ ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
nữ
n=1
1
đ0

Khi n thỡ
n
1
Nờn ta có thể khai triển Maclaurint hàm sin
n
Vậy khi n→∞ thì
¥

a
a
ỉ
1ư
ỉ ổ
ửử
1
1
1
1
1
ữ
un = ỗ
1
n
sin
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
+ O( 3 )ữ

ỗ
:
ữ
ữ= ỗ1- n ỗ
3
ố
ữ
ữ
nứ
ố
ứ
ố
n 3! n
n ø 6n 2
¥
1
Mà chuỗi å
HT Nên chuỗi đã cho HT
2
n =1 6n


§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
∞

−n2

n −e
n + 1


ln 
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ 3
÷
n −1  n 
n =2
2
1
n
Khi n →∞ : e
= 2 ® 0 Suy ra
en
- n2

- n2

n- e
n +1 n - e
1
un = 3
ln(
)= 3
ln(1 + )
n
n
n- 1
n- 1
- n2

n- e
1

n 1
1
un = 3
ln(1+ ) : 3
=3
n
n- 1
nn
n
¥
1
Mà chuỗi å 3
phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
n =1 n


§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
Tiêu chuẩn d’Alembert :
¥

Xét chuỗi số dương: å un
n =1

Đặt :

un +1 • ∃ q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ
Dn =
un

• Dn ≥ 1 : chuỗi phân kỳ

un +1
D = lim Dn = lim
n →∞
n →∞ un

• D < 1 : hội tụ
• D > 1 : phân kỳ
• D = 1 : khơng có kết luận


§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
Tiêu chuẩn Cauchy :
¥

Xét chuỗi số dương: å un
n =1

Đặt :

Cn = n un

• ∃ q < 1: Cn < q : chuỗi hội
tụ
• C•n ≥ 1 : chuỗi phân kỳ
C < 1 : hội tụ

C = lim Cn = lim n un •
C > 1 : phân kỳ
n →∞

n →∞

• C = 1 : khơng có kết luận


§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Rapb :
(sử dụng khi D = 1 và Dn < 1 hoặc C=1 và Cn<1)
 un +1 
Đặt
Rn = n 1 −
nu
÷
R
=
n
1
−
n
n
un 

Hoặc
R = lim Rn
R = lim Rn

(

n →∞

n →∞

• R > 1 : hội tụ
• R < 1 : phân kỳ
• R = 1 : khơng có kết luận

)