De thi vao mot so truong chuyen Toan

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trờng quốc học huế
Khoá thi ngày 27/6/2008
Bài1: (3.0đ)
a/ Chứng minh đẳng thức:
1341333
=
b/ Giải hệ phơng trình:





=++
=++
36)12(
61
2
yxx
yx
Bài2: (1.5đ)
Cho phơng trình:
0122
24
=+
mmxx
.Tìm m để phơng trình có 4 nghiệm x
1
; x
2
; x
3

; x
4
sao cho:
)(3&
23144321
xxxxxxxx =<<<
Bài3 (3.0 đ)
Cho đờng tròn đờng kính AB; C là trung điểm của OB và (S) là đờng tròn đờng kính AC. Trên (O) lấy M,N
khác Avà B . Gọi P,Q lần lợt là giao điểm thứ hai của AM và AN với (S)
a/ Chứng minh: MN//PQ
b/ Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm, chứng minh:
MPMAME .
2
=
c/ Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm, chứng minh :
AN
AM
NF
ME
=
Bài4: (1.5 đ)
Tìm số tự nhiêncó 4 chữ số ( viét trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trớc.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất. Trong đó p là tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị; q là
tỉ số giữa chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1.đ)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên.Chứng minh rằng có thể cát tấm bìa thành
6 phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.
----------------------------- hết-----------------------------
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1999 Đại học khoa học tự nhiên.

Bài 1. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện:
{
2 2 2
0
14
a b c
a b c
+ + =
+ + =
.Hãy tính giá trị biểu thức
4 4 4
1P a b c= + + +
.
Bài 2. a) Giải phơng trình
3 7 2 8x x x+ =
b) Giải hệ phơng trình :
1 1 9
2
1 5
2
x y
x y
xy
xy

+ + + =

+ =


Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho n
2
+ 9n 2 chia hết cho n + 11.
Bài 4. Cho vòng tròn (C) và điểm I nằm trong vòng tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN,
EIF. Gọi M, N, E, F là các trung điểm của IM, IN, IE, IF.
a) Chứng minh rằng : tứ giác MENF là tứ giác nội tiếp.
b) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp
tứ giác MENF có bán kính không đổi.
c) Giả sử I cố định, các day cung MIN, EIF thay đổi nhng luôn vuông góc với nhau. Tìm vị
trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác MENF có diện tích lớn nhất.
Bài 5. Các số dơng x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
2 2
2 2
1 1
P x y
y x


= + +
ữ
ữ


Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp
Bài 1. a) Giải phơng trình (1 + x)
4

= 2(1 + x
4
).
b) Giải hệ phơng trình
2 2
2 2
2 2
7
28
7
x xy y
y yz z
z xz x

+ + =

+ + =

+ + =

Bài 2. a) Phân tích đa thức x
5
5x 4 thành tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba
với hệ số nguyên.
b) áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức
4 4
2
4 3 5 2 5 125
P =
+

.
Bài 3. Cho ABC đều. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có MA MB + MC.
Bài 4. Cho xOy cố định. Hai điểm A, B khác O lần lợt chạy trên Ox và Oy tơng ứng sao cho
OA.OB = 3.OA 2.OB. Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đI qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho hai số nguyên dơng m, n thỏa mãn m > n và m không chia hết cho n. Biết rằng số d khi
chia m cho n bằng số d khi chia m + n cho m n. Hãy tính tỷ số
m
n
.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên.
Bài 1. Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
6 6
6
3 3
3
1 1
2
1 1
( ) ( )
( )
x x
x x
P
x x
x x
+ +
=
+ + +
.
Bài 2. Giải hệ phơng trình

1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x
y

+ =




+ =


Bài 3. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng ta có : n
3
+ 5n
M
6.
Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +
.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q là các điểm bất kỳ lần lợt nằm trên các

cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh rằng 2a
2
MN
2
+ NP
2
+PQ
2
+ QM
2
4a
2
.
b) Giả sử M là một điểm cố định trên cạnh AB. Hãy xác định vị trí các điểm N, P, Q lần lợt
trên các cạnh BC, CD, DA sao cho MNPQ là một hình vuông.
D
C
B
A
E
F
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên
Bài 1. a) Tính
1 1 1
1 2 2 3 1999 2000
....
. . .
S = + + +
.

b) GiảI hệ phơng trình :
2
2
1
3
1
3
x
x
y y
x
x
y y

+ + =




+ + =


Bài 2. a) Giải phơng trình
3 2 4
4 1 1 1x x x x x + + + + = +
b) Tìm tất cả các giá trị của a để phơng trình
2 2
11
2 4 4 7 0
2

( )x a x a + + + =
có ít nhất một nghiệm nguyên.
Bài 3. Cho đờng tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB tại
E và với cạnh CD tại F nh hình
a) Chứng minh rằng
BE DF
AE CF
=
.
b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. Tính diện tích hình thang
ABCD.
Bài 4. Cho x, y là hai số thực bất kì khác không.
Chứng minh rằng
2 2 2 2
2 2 8 2 2
4
3( )
( )
x y x y
x y y x
+ +
+
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1998 Đại học khoa học tự nhiên
Bài 1. a) GiảI phơng trình
2 2
8 2 4x x+ + =
.
b) GiảI hệ phơng trình :
2 2

4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y

+ + =

+ + =

Bài 2. Các số a, b thỏa mãn điều kiện :
3 2
3 2
3 19
3 98
a ab
b ba

=

=


Hãy tính giá trị biểu thức P = a
2
+ b
2
.
Bài 3. Cho các số a, b, c [0,1]. Chứng minh rằng {Mờ}
Bài 4. Cho đờng tròn (O) bán kính R và hai điểm A, B cố định trên (O) sao cho AB < 2R. Giả sử

M là điểm thay đổi trên cung lớn
ằ
AB
của đờng tròn .
a) Kẻ từ B đờng tròn vuông góc với AM, đờng thẳng này cắt AM tại I và (O) tại N. Gọi J là
trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đờng tròn thì mỗi điểm I, J đều
nằm trên một đờng tròn cố định.
b) Xác định vị trí của M để chu vi AMB là lớn nhất.
Bài 5. a) Tìm các số nguyên dơng n sao cho mỗi số n + 26 và n 11 đều là lập phơng của một số
nguyên dơng.
b) Cho các số x, y, z thay đổi thảo mãn điều kiện x
2
+ y
2
+z
2
= 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
( )
2 2 2 2 2 2
1
2
( ) ( ) ( )P xy yz zx x y z y z x z x y= + + + + +
.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp
Bài 1. a) GiảI phơng trình
1 1
2
2 4
x x x+ + + + =

.
b) GiảI hệ phơng trình :
3 2
3 2
2 12 0
8 12
x xy y
y x

+ + =

+ =

Bài 2. Tìm max và min của biểu thức : A = x
2
y(4 x y) khi x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện :
x 0, y 0, x + y 6.
Bài 3. Cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác
ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 4
R r a
+ =
.
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dơng a, b, c đôI một khác nhau sao cho biểu thức
1 1 1 1 1 1
A
a b c ab ac bc
= + + + + +
nhận giá trị nguyên dơng.