Vận dụng cao Hàm số Mũ - Lũy thừa có lời giải chi tiết ôn thi THPTQG năm 2021

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.4 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG BIẾN ĐỔI HÀM SỐ MŨ VÀ LŨY THỪA:

Câu 1: Cho a b, 0. Giá trị rút gọn của biểu thức P 1 2 a a :

(

a b

)

2
b b

 

= − +  −

  là:

A. a

b B.

b C.

b

a D. b

Lời giải: Ta có:

(

)

2 2

(

)

2 2

(

)

2 1

1 2 a a : 1 a : a b :

P a b a b a b

b b b b b

     − 

= − +  − = −  − =  − =

      . Chọn B.

Câu 2: Tập xác định của hàm số

2 9

3 4

x x
y

−

 

=   −

  là:

A.

 

0; 3 B.

(

−;1

 

 2;+

)

C.

 

1; 2 D.



−1; 2



Lời giải: Ta có điều kiện xác định của hàm số đã cho là:

2 2

3 3 2

2 9 2 2

0 3 2 1 2

3 4 3 3

x x x x

x x x

− − −

  −        −  −   

     

      . Chọn C.

Câu 3: Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

( )

2 3x
f x =e − trên

đoạn

 

0; 2 . Mối liên hệ giữa m và M là:

A. m+M =1 B. M − =m e. C. M m. 12

e

= D. M 2

e
m =

Lời giải: Ta có:

 





2 3 2

4 2

1 1

0; 2 2 3 4; 2 x ; .

x x e e M m

e e

−  

  −  −    =

  .

Câu 4: Cho hàm số

( )

4 2
x
x
f x =

+ và góc  tùy ý. Tính

(

) (

)

2 2

sin cos .

S = f  + f 

A. S=1. B. S =2. C. S =3. D. sin 2

4 a.
S =

Lời giải: Ta có

(

) (

)

( )

(

)

sin cos 1 1

S = f  + f  = f t + f − =t .
Câu 5: Cho hàm số

( )

9 ,

3 9
x

x
f x =

+ x . Nếu a+ =b 3 thì f a

( )

+ f b

(

−2

)

có giá trị bằng:

A. 1 B. 2 C. 1

4 D.

3
4

Lời giải: Ta có

( )

(

)

( )

(

)

1
1

9 9 9 9

2 1 1

3 9 3 9 3 9 3.9 9

a a a

a a a a

f a f b f a f a

−
−

+ − = + − = + = + =

+ + + + .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 6: (Chuyên Sơn La) Cho 4x +4−x =7. Biểu thức 5 2 2

8 4.2 4.2

x x

P

−
−

+ +

− − có giá trị bằng:

A. 3

P= B. 5

P = − C. P=2 D. P = −2

Lời giải: Ta có 4x +4−x = =7

(

2x+2−x

)

2− 2 2x +2−x =3 do đó 5 3 2
8 4.3
P = + = −

− .

KỸ THUẬT ĐẶT ẨN PHỤ ĐẶC BIỆT:

Ví dụ: Cho x y z, , là ba số thực khác 0 thỏa mãn 3 6 182 1

z

x = y = z− . Giá trị của biểu thức

1 1 1
?
x+ + =y z

Lời giải tham khảo:

Ta đặt

1 2 1

2 1

3 6 18 3 , 6 ,18

z z

x y z t tx ty t z

−
−

= = =  = = = .

Mà 3.6=18 suy ra:

1 2 1

1 1 2 1 1 1 1 1

2 2

z
y

x z z

t t t

x y z z x y z

− −

=  + = = −  + + = .

Câu 7: Cho x y z, , là ba số thực khác 0 thỏa mãn 2x =5y =10−z. Tính A= xy+ yz+zx:

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2

Lời giải: Ta đặt

1 1

2x =5y =10−z =  =t 2 tx;5=ty;10=t−z. 
Vì

1 1

1 1 1

10 2.5 t tx y t z A xy yz zx 0

x y z

−

=  =  + = −  = + + = .

Câu 8: Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện 6 9 543

xy
x = y = −z

. Tính giá trị của biểu thức

?
P= + +x y z

A. P=3 B. P =1 C. P=6 D. P =4

Lời giải: Ta có

1 3

3 1 1 3

6 9 54 6 , 9 , 54 3 .

z

xy

x y z t tx ty t xy z x y z

x y xy

−

− −

= = =  = = =  + =  + + =

Câu 9: Cho các số thực a b c, , 1 và các số thực dương thay đổi x y z, , thỏa mãn x y z

a =b =c = abc

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 16 16 2

P z

x y

= + − .

A. 20 B.

3
20

− C. 24 D.

3
24

−

Lời giải: Ta có:

(

)

1
1

1 1 1
2
x

y

x y z

z
a t
b t

a b c abc t

x y z
c t

abc t


=


 =

= = = =    + + =


=


 =



1 1 1

x y z

 + = −

Do đó

( )

16 2

( )

32 2 20

P f z z f

z

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 10: Cho các số thực a b c, , khác 0 thỏa mãn 3a =5b =15−c. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

)

2 2 2

P =a +b +c − a+ +b c là:

A. − −3 log 35 B. −4 C. − −2 3 D. − −2 log 53

Lời giải: 3a =5b =15−c = t ab+bc+ca =0. Suy ra: P=

(

a+ +b c

)

2−2

(

ab+bc+ca

)

−4

(

a+ +b c

)

(

a+ +b c

)

2−4

(

a+ +b c

) (

= a+ + −b c 2

)

2−  −4 4. Chọn B.

TƯ DUY VỀ HÀM ĐẶC TRƯNG:Nếu f x

( )

là một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

D thì:

• a b, D ta có f a

( )

= f b

( )

 a=b .

• a b, D ta có f a

( )

 f b

( )

 ab nếu hàm số f x

( )

đồng biến.

• a b, D ta có f a

( )

 f b

( )

 ab nếu hàm số f x

( )

nghịch biến.

Ví dụ: Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 2 2 2 2 1
1

3 1 2 3

x y x y y

y x y

+ − − +

+ + + − = + . Tìm GTLN

2 ?

P= x+ y

Lời giải tham khảo:

Ta có: 2

(

)

2 2 2

(

)

2 2 2 1 2 2 1

1 2 1

1 1 1

3 1 2 3 3 1 3

2 2 2

x y x y y x y y

y x y x y x y y

+ − − + + +

+ + +

   

+ + + − = +  − + + − = − 

 

2 2 1

1
2

1 1

3 2 3 1

2
2

x y y

y

x y x y y

+ +

+
+

   

 − + + = − + +

 

  . Ta có

( )

1
3

2
t

t

f t = − +t là hàm đồng biến

(TABLE).

Do vậy: 2 2

2 1 1

x + y= + y y = −x . Thay vào ta được

(

)

(

)

2 2 1 2 1 2

P = x+ =y x+ −x = − x−  .
Câu 11: Cho hai số thực dương x y, thay đổi thỏa mãn

1 1

3 2 2 2 4

3
x y
xy

xy x y

− −  = − − −

 

  . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P =2x+3y.

A. 6 2−7 B. 10 2 1

C. 15 2−20 D. 3 2 4

−

Lời giải: Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2

1 1

2 1 2 2 1 2 1 2

3 3

xy x y

xy x y f xy f x y xy x y

− +

  − − =  − +  − = +  − = +

   

   

Với

( )

1 2

3
t
f t =   − t

  nghịch biến trên . Khi đó

(

)

2 1 0 0 1;

2
x

y x x x y

x

−

+ = −     =

+ .

Và

( )

2 3 1 min( )0;1

( )

3 2 6 2 7

2 2

x

P f x x f x f

x

−  

 

= = +   =  − = −

    . Chọn A.

Câu 12: Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2 3 5 2

(

)

5 1 3 2

3 5

xy

x y x y

xy x y x

+ + + + = + − − + −

. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S = +x 2y.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lời giải: Ta có: 2 3 5 2

(

)

5 1 3 2

3 5

xy

x y x y

xy x y x

+ + + + = + − − + − 2 2 1 1

5x+ y 3− −x y x y 5xy− 3−xy xy 1

 − + + = − + −

(

)

1 2 0 2 1 0 2;

2
x

xy x y y x x x y

x

 − + + =  − = +    =

−

( )

(

)

( )

( )

(

)

2 1

min 2 6 4 2 6

2
x

S f x x f x f

x +

= = +  = + = +

− . Chọn B.

Câu 13: Cho hai số thực x y, thay đổi thỏa mãn 2 2 2

4 1 1

x y x y x y x

e − + − −e + − − =y − . Biết giá trị lớn nhất

của biểu thức 3 2 2

2 2 8 2

P=x + y − x + y− +x là a

b với a b, là các số nguyên dương và
a
b là

phân số tối giản. Tính S = +a b.

A. S =85 B. S =31 C. S =75 D. S =41

Lời giải: Ta có: −  1 x 1 và có biến đổi: 4 1 2 2 1 2 2

(

)

4ex− y+ +x −4ey + −x = y − x−4y

2 2 2

2 4 1 2 2 1

4 1 4 x y x 1 4 y x

x y x e − + − y x e + −

 − + − + = + − +

(

) (

2 2

)

4 1 1

f x y x f y x

 − + − = + − 2 2 2 2

4 1 1 4

x y x y x x y y

 − + − = + −  = +

Trong đó f t

( )

= +t 4et đồng biến trên

Do đó

(

)

( )

 

( )

3 2 2 3 2

1;1

1 58

2 2 2 4 2 2 max

3 27

P x x x y y f x x x x f x f

−

 

= − − + + + = = − + +  =  =

 

Câu 14: Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện 4x+9y +16z =2x+3y+4z. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 1 1 1

2x 3y 4z
P = + + + + + .

A. 9 87

B. 5 87

C. 7 87

D. 3 87

Lời giải: Đặt a=2 ,x b=3 ,y c=4z ta có: a b c2, , 2 0 2

a b c a b c






+ + = + +

 .

Ta cần tìm minP=2a+3b+4c 9 2 1 3 1 4 1

2 2 2 2

P a  b  c 

 − =  − +  − +  − 

     .

(

)

2 2 2 2

2 2 2

9 1 1 1

2 3 4

2 2 2 2

P  a b c 

       

 −   + +  −  + −  + −  

        

max

9 3 9 87

29.

2 4 2

P P +

 

 −    =

  .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B B C C B B A A A A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A C D D B

ĐÁP ÁN CHI TIẾT BÀI TẬP VỀ NHÀ

Câu 1: Cho a b, là các số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức

4 4

3 3

a b ab
P

a b

−
=

− là:

A. a+b B. ab C. ab D. 2 2

a b

Lời giải: Ta có:

1 1

3 3

4 4

3 3

1 1

3 3

.
ab a b

a b ab

P ab

a b

 

−

 

−  

= = =

− − Chọn đáp án B.

Câu 2: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An Lần 4)Hàm số

(

)

y= −x có tập xác định là

A.

(

0;+

)

. B.

(

−3; 3 .

)

C.



−3; 3 .



D.

(

−; 3 .

)

Lời giải: Điều kiện xác định: 2

9−x   −  0 3 x 3. Chọn đáp án B.

Câu 3: (THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên Lần 1) Tìm tập nghiệm S của

1 1

16
x
x−    

 

A. S =

(

2;+

)

B. S = −

(

; 0

)

C. S =

(

0;+

)

D. S = − +

(

;

)

Lời giải: Điều kiện xác định: x0.Ta có:

1 1 1 4

2 2 2 1 0.

16
x

x x x x x

x

−

−    −   −  −  

 

  Chọn

đáp án C.

Câu 4: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ?

A.

(

)

1
2

y= x+ B.

2
x
y

x

 

=   C.

(

)

0,1

y= x + D.

(

)

2 3
y= x + x− −

Lời giải: Ta có:

Hàm số

(

)

1
2

y= x+ có điều kiện xác định là x+    −4 0 x 4

Hàm số

 

= x 

y

x có điều kiện xác định là x0

Hàm số

(

)

0,1

= +

y x có điều kiện xác định là 2

4 0

+ 

x (luôn đúng  x )

Hàm số

(

)

2 3

y= x + x− − có điều kiện xác định là 2

2 3 0

+ − 

x x 1




   −



x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 5: (Chuyên Thái Bình Lần 3)Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

1 3

3 3

x x

  +

   

   

   

A. ; 2

5
S = − − 

  B.

(

)

; 0;

S = − −  +

 

C. S =

(

0;+

)

D. 2;

5
S =− +

 

Lời giải: Điều kiện xác định: x0.Bất phương trình tương đương với: 1 3 5 2 5x 0

x x x

 +  

2
.
5
0

x
x

−
 







Chọn đáp án B.

Câu 6: Giả sử a và b là các số thực thỏa mãn 3.2a +2b =7 2 và 5.2a−2b =9 2. Tính a+b.

A. 3 B. 2 C. 4 D. 1

Lời giải: Ta có:

3.2 2 7 2 2 2 2 2

2.
1

5.2 2 9 2 2 2

a b a

a b b

a

a b
b

 =

 + =  = 

      + =

  

− = =

  

  =



Chọn đáp án B.

Câu 7: (Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2) Biết 3x −3−x =4. Tính giá trị của

27 3 4

9 9

x x

T

−
−

− −

+ .

A. T =4 B. T =9 C. 15

T = D. T =6

Lời giải: Ta có:

(

3x −3−x

)

2 =169x +9−x − =2 169x +9−x =18.

(

)(

)

27x −3− x = 3x −3−x 9x +9−x +1 =4.19=76 76 4 4.
18

T −

 = = Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho hàm số

( )

4 2

x
x

f x =

+ . Tính tổng:

1 2 2016

...

2017 2017 2017

S= f  + f  + + f  

     ?

A. 1008 B. 2016 C. 2017 D. 2017

Lời giải: Ta có:

( )

(

)

1
1

4 4 4 2

1 1.

4 2 4 2 4 2 4 2

x x x

x x x x

f x f x

−
−

+ − = + = + =

+ + + +

Khi đó: 1 2016 2 2015 ... 1008 1009 1008.

2017 2017 2017 2017 2017 2017

S =f  + f    + f  + f  + +f  + f  =

           

     

Chọn đáp án A.

Câu 9: (Chuyên Hưng Yên – Lần 3) Cho các số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn 3x =4y =12−z. Tính

giá trị biểu thức P= xy+ yz+zx.

A. P=0 B. P =12 C. P=1 D. P =144

Lời giải: Đặt

1 1

1 1 1

3x 4y 12 z t 0 3 tx, 4 ty,12 t z xy yz zx 0

x y z

−
−

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 10: Cho các số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn điều kiện x

2xy =3yz =6−z . Tính giá trị của biểu thức:

(

)

5 5 5

2 2 2

x y z

P

xyz x y z

+ +

+ + .

A. 5

2 B.

5 C.

5 D.

5
3

Lời giải: Đặt

2
x

3
6

log

2 3 6 0 log

log
xy yz z

xy t

t yz t x y z

zx t

−




= = =   =  + = −

 = −



5 5 5 5 5 5 3 3 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) 5 ( ) 10 ( ) 5( ) 10 5

( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 2( )

x y z x y x y xy x y x y x y x y xy xy

P

xyz x y z xy x y x y x y  xy x y x y xy x y xy

+ + + − + + + + + − +

 = = = = =

+ + + + + + + + + + +

Chọn đáp án A.

Câu 11: Cho x y z, , là ba số thực khác 0 thỏa mãn 2

3 7 21

xyz
x = y = −xy

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2 2 2

(

)

P = x + y + z − x+ +y z .

A. −13 B. −11 C. −9 D. −7

Lời giải: Ta đặt

1 2 1

1
2

3 7 21 1 3 ; 7 ; 21

xyz

x y xy t tx ty txyz z

−
−

= = =   = = = .

Vì

1 2 1

1 1 2 1 1 1 1 2

21 3.7 t tx y txyz z xy yz zx 2

x y xyz z x y z xyz

−

=  =  + = −  + + =  + + = .

Khi đó: 2 2 2

(

) (

)

(

)

(

)

6 6 4 3 13 13

P=x +y +z − x+ +y z = x+ +y z − x+ +y z − = x+ + −y z −  − .

Dấu “=” xảy ra 2

xy yz zx

x y z

+ + =



  + + =

 .

Câu 12: Cho các số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn điều kiện 3 5 154 1

z
x = y = z−

. Tính giá trị của biểu thức

1 1 1
?
P

x y z

= + +

A. 1 1 1 2

x+ + =y z B.

1 1 1
3

x+ + =y z C.

1 1 1
4

x+ + =y z D.

1 1 1
5
x+ + =y z

Lời giải: Ta có

1 1

1 1 1 1

4 4

4 1 1 1 1

3 5 15 1 3 , 5 , 15 . 4 .

z

x y z t tx ty t z t tx y t z

x y z

− −

−

= = =   = = =  =  + + =

Câu 13: Cho hai số thực không âm x y, thay đổi thỏa mãn 3 3

(

)

3x+ y− x + x −3x+ +1 y 3x =3x+1. Gọi

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 2

3 2 3 4

P=x +y + y− x + x+ . Tính M+ =m ?

A. M+m=18. B. M +m=30. C. M + =m 27. D. M + =m 24.

Lời giải: Ta có: 3 3

(

)

3 3 3

3x+ y− x + x −3x+ +1 y 3x =3x + 1 3 y− x +x −3x+ + = +1 y 1 3−x

( )

3 3 3

3 y− x y 3x 3−x x

 + − = + −  f

(

3 y−3x

)

= f

( )

−x

Với

( )

3t

f t = +t đồng biến trên ta có: 3 3 3

3 3 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Mặt khác:

(

3 2

) (

)

2x 3 4 3

P= x − + x+ + y + y .
Xét

( )

3 2

2 3 4

g x = x − x + x+ trên

 

0;1  4 g x

( )

 .

Xét

( )

h y = y + y trên

 

0; 2  0 h y

( )

14.
Suy ra: 4 P 16.

Vậy min 4 0

x
P

y

=


=   =

 và

max 20

x

P

y

=


=  

 hay M + =m 24.

Câu 14: Cho hai số thực a b, thay đổi thỏa mãn

3 2

1 1

4 5 3 4 0

2
a b
a b

a b

+ −

+ − −  + + − =

 

  . Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức 2 2

2 3

P=a + ab+ b .

A. 4

27 B.

9 C.

9 D.

16
27
Lời giải: Từ điều kiện bài toán ta có: 2 2 2 3 2

2 a+ b− −2− a b− + +5a+3b− =4 0

(

)

2 2 2 3 2

2 a+ b− 2a b 2 2− a b− + 3a b 2

 + + − = + − − +  f

(

2a+2b−2

)

= f

(

−3a− +b 2

)

Với f t

( )

=2t +t đồng biến trên , ta có: 2a+2b−2b= −2 3a− b 5a+3b=4.

Đặt 3 1

3 5

a t

b t

= −



 = −

 , khi đó ta có:

2 2 2 17 16 16

2 3 54 68 22 54

27 27 27
P=a + ab+ b = t − t+ = t−  + 

  .

Dấu “=” xảy ra

17 9

4
27

27
a
t

b

 =


 =  

 = −


. Vậy

16 9

min

4
27

27
a
P

b

 =


=  

 = −


Câu 15: Cho hai số thực dương a b, thay đổi thỏa mãn 4 .2ab a b 8 1

(

ab

)

a b

+ = −

+ . Biết giá trị nhỏ của biểu

thức 2 2

P = +a b +ab có dạng m+n 2

(

m n, 

)

. Tính m+ =n ?

A. 2 B. −1 C. 0 D. 1

Lời giải: Từ điều kiện bài tốn ta có: 1−ab0 và 4 .2ab a b 8 1

(

ab

)

(

a b

)

.2a b 8 1

(

ab

)

.4 ab
a b

+ = −  + + = − −

(

)

(

)

2 2

.2a b 2 2 .2 ab

a b + ab −

 + = −  f a

(

+b

)

= f

(

2−2ab

)

Với f t

( )

=t.2t đồng biến trên

(

0;+

)

, ta có: 2 2 2
1
a

a b ab b

a

−

+ = −  =

+ .

Khi đó ta có:

2 2 2 3 4

a a

P a b ab

a

− +

= + + =

+ .

Mặt khác do b   0 0 a 2.

Xét hàm số

( )

2 3 4

a a

P a

a

− +

+ trên

( )

0; 2 ta có

2 3 2

min 7 6 2

P = − +  =a − + .

Vậy

2 3 2

min 7 6 2 2

1 2

a
P

b

 − +

=


= − +  

 = − +


</div>

Vận dụng cao Hàm số Mũ - Lũy thừa có lời giải chi tiết ôn thi THPTQG năm 2021

<i><b> </b></i>

(

)

(

)

(

)

(

)

 

(

 

)

 





( )

 

 





( )

(

) (

)

(

) (

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(