Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - Lê Văn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016

Chương 2

ĐỊNH THỨC

/>

FB:fb.com/daisob1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nội dung

Chương 2.

ĐỊNH THỨC

1. Định nghĩa và các tính chất

2. Định thức và ma trận khả nghịch

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2.1. Định nghĩa và các tính chất

1 Định nghĩa

2 Quy tắc Sarrus

3 Khai triển định thức theo dòng và cột

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa.ChoA là ma trận vuông cấpn. Ta gọi ma trậnA(i|j)là
ma trận có được từA bằng cách xóa đi dịng i và cột j củaA. Rõ
ràng ma trậnA(i|j) có cấp làn−1.

Ví dụ. ChoA=







1 2 3 2
3 4 2 5
6 7 1 3
9 2 10 4







.Tìm ma trậnA(1|2)vàA(2|3)?

Giải.

A(1|2) =





3 2 5
6 1 3
9 10 4



; A(2|3) =





1 2 2
6 7 3
9 2 4



</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Định nghĩa. ChoA= (aij)n×n∈Mn(R).Định thức của ma trận A,

được ký hiệu là detA hay |A| là một số thực được xác định bằng quy
nạp theo nnhư sau:

• Nếun= 1, nghĩa là A= (a), thì |A|=a.

• Nếun= 2, nghĩa là A=

a b

c d

, thì |A|=ad−bc.

• Nếun >2, nghĩa là A=







a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . .
an1 an2 . . . ann







,thì

|A|dịng 1====

n
X

j=1

a1j(−1)1+j|A(1|j)|

====a11A(1|1)

−a12

A(1|2)

+· · ·+a1_n(−1)1+n

A(1|n)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ. ChoA=

4 −2
3 5

.Khi đó|A|= 4.5−(−2).3 = 26.

Ví dụ. Tính định thức của ma trận

A=





1 2 −3
2 3 0
3 2 4



.

Giải.

|A|dòng 1==== 1(−1)1+1

3 0
2 4

+ 2(−1)1+2

2 0
3 4

+ (−3)(−1)1+3

2 3
3 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

2.1.2. Quy tắc Sarrus (

n

= 3

)

Cho A=





a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33



.Theo định nghĩa của định thức, ta có

|A|=a11

a22 a23
a32 a33

−a12

a21 a23
a31 a33

+a13

a21 a22
a31 a32

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

|A|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

−(a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33).

(Tổng ba đường chéo đỏ- tổng ba đường chéo xanh)

Ví dụ.

1 2 3
4 2 1
3 1 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2.1.3. Khai triển định thức theo dịng và cột

Định nghĩa. ChoA= (aij)n×n∈Mn(R).Với mỗi i, j∈1, n, ta gọi

cij =(−1)i+jdetA(i|j)

là phần bù đại số của hệ sốaij.

Ví dụ. ChoA=





1 1 1
2 3 1
3 4 0



.Tìm phần bù đại số củaa12 vàa31?

Giải.

c12= (−1)1+2

2 1
3 0

= 3; c31= (−1)3+1

1 1
3 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Định lý. Cho A= (aij)n×n∈Mn(R).Với mỗi i, j∈1, n, gọi cij là

phần bù đại số của hệ số aij.Ta có cơng thức khai triển |A|

• theo dịng i:|A|=

n

P

k=1
aikcik.

• theo cột j: |A|=

n
P

k=1
akjckj.

Nhận xét.

|A|====dịngi

n
X

k=1

aik(−1)i+k|A(i|k)|

cộtj

====

n
X

k=1

akj(−1)k+j|A(k|j)|

Ví dụ. Tính định thức củaA=





3 −1 3
5 2 2
4 1 0



</div>

<!--links-->