Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn Đại số 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (534.35 KB, 21 trang )
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
MỤC LỤC
MỤC LỤC
.............................................................................................................
1
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
....................................................................................
2
I. Đặt vấn đề
........................................................................................................
2
II. Mục đích nghiên cứu
......................................................................................
2
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
....................................................................
3
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
..................................................................................
3
II. Thực trạng vấn đề
...........................................................................................
3
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
.....................................
4
IV. Tính mới của giải pháp
................................................................................
17
V. Hiệu quả SKKN: ..........................................................................................
17
Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
........................................................
18
I. Kết luận: ........................................................................................................
18
II. Kiến nghị:
......................................................................................................
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
...................................................................................
20
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám1
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
Tốn học là bộ mơn rất quan trọng đóng vai trị chủ lực. Nó được vận
dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống con người chúng ta. Tốn học hình
thành cho các em tính chính xác, hệ thống khoa học, logic và tư duy cao.
Trong chương trình đại số lớp 8, dạng bài về phân tích đa thức thành
nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng. Việc áp dụng dạng tốn phân tích
đa thức thành nhân tử vào giải tốn rất phong phú và đa dạng. Vì vậy, để giúp
học sinh giải quyết tốt dạng Tốn này là u cầu hết sức cần thiết đối với
người giáo viên.
Trong những năm thực tế giảng dạy mơn đại số 8 tơi nhận thấy đa số
học sinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải
tốn cịn gặp nhiều sai sót, ngun nhân là do học sinh chưa nắm vững các
phương pháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi một cách thành thạo,
linh hoạt, sáng tạo vào từng bài tốn cụ thể.
Chính vì vậy tơi đã chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
với mong muốn chia sẻ một số kinh nghiệm của mình để các giáo viên dạy
Tốn cùng trao đổi.
II. Mục đích nghiên cứu
Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của
mình khi phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Tốn. Bên cạnh đó, chỉ
ra một số dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh tổng quát
được cách làm của mình cho phù hợp.
Đặc biệt, đề tài này còn giúp các em rèn kĩ năng giải các bài Tốn
phương trình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng
Tốn liên quan.
Hơn nữa, tơi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chun mơn của
bản thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích
đa thức thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và
làm Tốn. Giúp các em nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương
pháp sử dụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để các em
ngày càng u thích và có hứng thú hơn đối với bộ mơn Tốn. Góp phần cải
thiện chất lượng trong học tập của các em, giúp các em phát triển tư duy giải
Tốn một cách tồn diện.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám2
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là một bộ phận vơ cùng quan trọng của
phân mơn Đại số 8 nhưng nó áp dụng xun suốt trong q trình học cấp
Trung học cơ sở. Vì vậy nếu các em khơng nắm được phương pháp nhớ và
vận dụng thì việc giải Tốn liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử sẽ
gặp rất nhiều khó khăn.
Ví dụ một số bài Tốn rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của
biểu thức… mà muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành
nhân tử.
Bài 55: (Trang 25/SGK Tốn 8 tập 1) Tìm x, biết
1
a) x3 − x = 0
4
2
2
b) ( 2 x − 1) − ( x + 3) = 0
c) x 2 ( x − 3) + 12 − 4 x = 0
Bài 56: (Trang 25/SGK Tốn 8 tập 1) Tính nhanh giá trị của đa thức:
1
1
a ) x 2 + x + tại x = 49,75
2
16
b) x 2 − y 2 − 2 y − 1 tại x = 93, y = 6
Bài 56: (Trang 14/SBT Tốn 8 tập 1) Rút gọn biểu thức:
a) (6x + 1)2 + (6x – 1)2 – 2(1 + 6x)(6x – 1)
b) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Những bài Tốn được liệt kê phía trên là những ứng dụng điển hình quan
trọng từ những hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần này để làm tiền đề giải
những dạng Tốn liên quan sau này.
II. Thực trạng vấn đề
Sau khi các em học xong dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử, mỗi
em cần hiểu rõ dạng Tốn này đóng vai trị hết sức quan trọng trong việc giải
quyết các bài Tốn liên quan như: rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị
của biểu thức, giải phương trình, chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn nhất
(hoặc nhỏ nhất) … Vì vậy việc nắm vững các dạng phân tích đa thức thành
nhân tử là rất cần thiết.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám3
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
Tuy nhiên trong q trình giải tốn dạng phân tích đa thức thành nhân tử
thì đa số các em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý
thuyết, hoặc chỉ nhận dạng được các cơng thức này ở những dạng đơn giản,
cịn khi các cơng thức ở dạng phức tạp hơn thì các em trở nên bị động và
khơng biết giải quyết như thế nào.
Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Tốn khá nhanh, tuy nhiên chưa
biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Tốn, hoặc trường hợp
các em đã biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính cịn xảy ra sai
sót về dấu hoặc nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ…
Cụ thể, năm học 2016 – 2017, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích
đa thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có
110 em, cho kết quả:
Phân tích đúng
Phân tích sai
Khơng biết phân tích
Số HS
40
40
30
Tỉ lệ %
36,4%
36,4%
27,2%
Từ những thực trạng nêu trên, tơi đã nghiên cứu tìm ra một số phương
pháp sao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng
phân tích đa thức thành nhân tử vào giải Tốn.
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
Để áp dụng tốt giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử vào những bài
tốn liên quan thì trước hết học sinh cần phải:
+ Học thuộc lịng các hằng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa
bằng cơng thức.
+ Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Sử dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dung
từng bài Tốn u cầu.
+ Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức.
1. Kiến thức cơ bản:
* Học sinh cần học thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ:
( A + B)
2
= A2 + 2 AB + B 2
( A − B)
2
= A2 − 2 AB + B 2
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám4
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )
( A + B)
3
= A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3
( A − B)
3
= A3 − 3 A2 B + 3 AB 2 − B 3
A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )
A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )
* Học sinh cần học thuộc các cách phân tích đa thức thành nhân tử:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng
thức.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương
pháp.
2. Các bài tập
Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức
thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
2.1. Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết.
2.1.1. Phương pháp:
Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
Xác định biểu thức A, B
Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định.
2.1.2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x 2 + 2 xy + y 2
b) x 2 − 2 x + 1
c) x 2 − 4
d) x3 + 3x 2 + 3 x + 1
e) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
g) x 3 + 27
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám5
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
h) x 3 − 1000
Giải:
Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, u cầu học sinh nhận
dạng được hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu
thức B trong từng câu rồi áp dụng cơng thức để phân tích:
a) x 2 + 2 xy + y 2 = ( x + y )
2
b) x 2 − 2 x + 1 = x 2 − 2.x.1 + 12 = ( x − 1)
2
2
2
2
c) x − 4 = x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 )
d) x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = x 3 + 3 x 2 .1 + 3x.12 + 13 = ( x + 1)
3
e) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = x 3 − 3 x 2 .2 + 3x.22 − 13 = ( x − 2 )
(
3
3
3
2
g) x + 27 = x + 3 = ( x + 3) x − 3x + 9
3
)
(
3
3
3
2
h) x − 1000 = x − 10 = ( x − 10 ) x + 10 x + 100
)
Với những học sinh yếu kém, việc giải Tốn dù là những bài đơn giản
cũng trở nên rất khó khăn. Giáo viên cần phải cho học sinh tự nhận biết đó là
dạng hằng đẳng thức nào rồi giúp các em phân tích kĩ càng hơn để đưa ra kết
quả. Đặc biệt khi bắt đầu đưa ra một bài Tốn cần u cầu học sinh xác định
hạng tử A, hạng tử B trước khi làm bài để tránh được sự nhầm lẫn từ ban
đầu. Đối với ví dụ g và ví dụ h, định hướng để học sinh tự phát hiện và làm
xuất hiện hằng đẳng thức.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x 6 − y 6
b) 4 x 2 + 4 x + 1
c) 4 x 2 − 12 x + 9
x2
d) + 2 xy + 4 y 2
4
Giải:
a) Đối với bài tốn này giáo viên hỏi học sinh, ta có thể đưa về dạng
hằng đẳng thức nào. Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số 3. Để đưa
về dạng
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám6
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
A2 B2 = (AB)(A+B) thì ta cần gì, sử dụng cơng cụ gì? Học sinh tự phát hiện
( )
đưa về dạng lũy thừa a m
n
= a m.n . Vậy trong bài tốn này ta đưa ra được
như thế nào, học sinh đưa ra x6 = (x3)2, y6 = (y3)2, đến đây học sinh tự giải
quyết các bài tốn.
b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu u cầu học sinh nâng cao tư duy,
học sinh khá giỏi sẽ giải bài này khơng khó khăn nhưng những học sinh yếu
kém sẽ thường nhầm lẫn như sau:
b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 4 x ) + 2. ( 4 x ) .1 + 12 = ( 4 x + 1)
2
2
c)4 x − 12 x + 9 = ( 4 x ) − 2. ( 4 x ) .3 + 3 = ( 4 x − 3 )
2
2
2
2
(Cách làm sai của HS)
Học sinh cần phải nắm rõ với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức
là một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu
ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó.
Ví dụ:
9 x 2 + 36 xy + 36 y 2 = ( 3 x ) + 2.3 x.6 y + ( 6 y ) = ( 3 x + 6 y )
2
2
2
Trong đó A = 3 x; B = 6 y
Hoặc x 2 − 20 xy + 100 y 2 = x 2 − 2.x.10 y + ( 10 y ) = ( x − 10 y )
2
2
Trong đó A = x; B = 10 y
Vì vậy bài Tốn được giải đúng như sau:
b)4 x 2 + 4 x + 1 = ( 2 x ) + 2.( 2 x ) .1 + 12 = ( 2 x + 1)
2
2
c)4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x ) − 2. ( 2 x ) .3 + 32 = ( 2 x − 3)
2
2
Giáo viên ln ln nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác
biểu thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau.
d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và u cầu
1
2
học sinh xác định đúng A = x và B = 2y, sau đó giáo viên cho học sinh phân
tích cụ thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải.
2
2
x2
2
�1 �
�1 �
�1
�
+ 2 xy + 4 y 2 = � x �+ 2. � x �
.2 y + ( 2 y ) = � x + 2 y �
4
�2 �
�2 �
�2
�
2.2. Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm
xuất hiện hằng đẳng thức.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám7
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
2.2.1. Phương pháp:
Phát hiện nhân tử chung hoặc nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng
đẳng thức.
Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.
2.2.2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x 3 + 2 x 2 y + xy 2
b) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3
Giải:
a) x 3 + 2 x 2 y + xy 2
Câu a giáo viên u cầu học sinh xác định số hạng tử trong bài, vì chỉ có
3 hạng tử là x 3 , 2x 2 y , xy 2 nên hướng học sinh hoặc là dùng hằng đẳng thức
hoặc đặt nhân tử chung, giáo viên đặt câu hỏi nếu sử dụng hằng đẳng thức
ln có được khơng, hoặc nếu đặt nhân tử chung ra ngồi thì ta nhận được
biểu thức nào, học sinh sẽ nhận thấy rằng sau khi đặt x là nhân tử chung ra
ngồi thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải
như sau:
x 3 + 2 x 2 y + xy 2 = x ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = x ( x + y )
2
b) x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3
Với bài Tốn này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo
viên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
Lúc này học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức:
lập phương của một hiệu và hiệu hai lập phương. Tuy nhiên giáo viên cần
phải chỉ rõ cách nhóm hạng tử để học sinh khơng bị nhầm lẫn, cách nhóm
hạng tử dễ bị nhầm lẫn trong bài này mà thường gặp trong học sinh là
x3 − 3x 2 + 3x − 1 − y 3 = ( x 3 − 3x 2 + 3x − y 3 ) − 1 = ( x − y ) − 13 (Cách làm sai
3
của HS). Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai.
Vì vậy cần u cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể,
nếu sai giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến
thức.
Bài giải trên được giải đúng như sau:
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám8
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − y 3 = ( x 3 − 3x 2 + 3x − 1) − y 3
= ( x − 1) − y 3 = ( x − 1 − y ) �
( x − 1) + y ( x − 1) + y 2 �
�
�
3
2
= ( x − 1 − y ) ( x 2 + y 2 + xy − 2 x − y + 1)
Lưu ý: Đối với học sinh yếu hơn có thể cho các em làm bài Tốn tương
tự với bậc hai trước khi làm bậc ba, ví dụ bài x 2 − 2 x + 1 − y 2
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz
b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2
2
2
Giải:
a) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz
Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại
nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz
thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau:
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz
= x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz
= (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz)
= x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)
= (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]
= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)
Tương tự câu b
b) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2
2
2
Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ
2
2
thể: khai triển hai biểu thức đầu tiên là x ( y + z ) + y ( x + z ) ta được
x ( y 2 + 2 yz + z 2 ) + y ( x 2 + 2 xz + z 2 ) , nhân đơn thức cho đơn thức ta được
xy 2 + x 2 y + xz 2 + yz 2 + 4 xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức
thứ hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
Như vậy, bài giải được trình bày như sau:
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám9
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2
2
2
= x ( y 2 + 2 yz + z 2 ) + y ( x 2 + 2 xz + z 2 ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2
= xy 2 + x 2 y + xz 2 + yz 2 + z ( x + y ) = xy ( x + y ) + z 2 ( x + y ) + z ( x + y )
2
2
= ( x + y ) . ( xy + z 2 + z ( x + y ) ) = ( x + y ) ( xy + z 2 + xz + yz )
= ( x + y ) ( xy + xz + yz + z 2 ) = ( x + y ) ( x ( y + z ) + z ( y + z ) )
= ( x + y) ( y + z) ( x + z)
Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số bước làm để bài
Tốn được ngắn gọn hơn.
Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài
Tốn mở rộng, Cho hai biểu thức
A = xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + 2 xyz
B = x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) − 4 xyz
2
2
2
Chứng minh A = B. Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp
để được kết quả hồn chỉnh.
2.3. Dạng 3: Dạng bài sử dụng nhiều hằng đẳng thức để phân tích đa
thức thành nhân tử.
2.3.1. Phương pháp:
Đặt nhân tử chung (nếu có).
Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.
2.3.2. Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)
Giải:
a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng
đẳng thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngồi lại tiếp tục xuất hiện hằng
đẳng thức, phải lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để.
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám10
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y)
= (x + y)[(x + y)2 – 1] = (x + y)(x + y + 1)(x + y 1)
b) Giải câu b tương tự câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt
nhân tử chung ra ngồi trước khi nhóm hạng tử thì bài Tốn sẽ dễ nhìn hơn.
5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2)
= 5[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 5[(x – y)2 – (2z)2]
= 5(x – y + 2z)(x – y – 2z)
Tóm lại, qua mỗi dạng giáo viên cần nhắc nhở học sinh học cơng thức
càng trơi chảy lưu lốt bao nhiêu thì khả năng phân tích đề và độ nhạy bén khi
giải đề càng nhanh nhẹn bấy nhiêu.
2.4. Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa thức
thành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0.
2.4.1. Phương pháp:
Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất.
Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn.
2.4.2. Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức:
a) x2 + xy + x tại x = 0 và y = 1234
b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0
Giải:
a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị
vào biểu thức:
x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ).
Thay x = 0 và y = 1234, ta được 0.1235 = 0
Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân
tích thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì khơng cần
tính giá trị của thừa số thứ hai nữa.
Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x).
Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y)2, thay
giá trị y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0.
2.5. Dạng 5: Giải phương trình tích thơng qua phân tích đa thức thành
nhân tử.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám11
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
2.5.1. Phương pháp:
Chuyển tồn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có
giá trị là 0
Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để
giải phương trình tích.
2.5.2. Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 5x(x – 1) = x – 1
b) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
Giải:
a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân
tử.
5x(x – 1) = x – 1
⇔ 5x(x – 1) – (x – 1) = 0
⇔ (5x – 1)(x – 1) = 0
⇔ 5x – 1 = 0 hoặc x – 1 = 0
• x – 1 = 0 ⇔ x = 1
• 5x – 1 = 0 ⇔ x =
Vậy x = 1 hoặc x =
1
5
1
.
5
b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung rồi phân tích đa thức thành
nhân tử.
2(x + 5) – x2 – 5x = 0
⇔ 2(x + 5) – (x2 + 5x) = 0
⇔ 2(x + 5) – (x + 5) = 0
⇔ (2 – x)(x + 5) = 0
⇔ 2 – x = 0 hoặc x + 5 = 0
• 2 – x = 0 ⇔ x = 2
• x + 5 = 0 ⇔ x = 5
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám12
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
Vậy x = 2 hoặc x = 5.
Với dạng Tốn tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa
thức thành nhân tử vào thì việc giải Tốn sẽ trở nên dễ dàng hơn.
2.6. Dạng 6: Một số bài Tốn chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên
quan đến các hằng đẳng thức.
2.6.1. Phương pháp:
Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào.
Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử.
2.6.2. Bài tập: Chứng minh:
a )29 − 1 chia hết cho 7
b)56 − 104 chia hết cho 9
c) ( n + 3) − ( n − 1) chia hết cho 8
2
2
d ) ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24
2
2
e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120
Phương pháp chung:
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân
tử có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành
nhân tử có các đơi một ngun tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho
các số đó.
Giải:
Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 29 thành một số mũ 3 để biểu
thức cần chứng minh trở thành A3 – B3. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng
nhớ học sinh dễ dàng chứng minh được như sau
a )29 − 1 = ( 23 ) − 1 = 83 − 1 = 83 − 13 = ( 8 − 1) ( 82 + 8.1 + 12 ) = 7.73
3
Vậy 7.73 chia hết cho 7.
Do đó 29 − 1 chia hết cho 7
Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt
nhân tử chung. Tách 56 và 104 làm sao để xuất hiện nhân tử chung, cách làm
như sau:
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám13
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
b)56 − 104 = 54.52 − 54.24 = 54 ( 52 − 24 ) = 54.9
Vậy 54.9 chia hết cho 9.
Do đó 56 − 10 4 chia hết cho 9.
Câu c đề bài ( n + 3) − ( n − 1) giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tới
hằng đẳng thức, rõ ràng học sinh sẽ nghĩ đến 2 hằng đẳng thức là bình
phương của một tổng, bình phương của một hiệu. Tuy nhiên giáo viên yêu
cầu học sinh nhìn một cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng
thức hiệu hai bình phương.
2
2
Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho
học sinh làm bài:
c) ( n + 3) − ( n − 1) = ( n + 3 + n − 1) ( n + 3 − n + 1)
2
2
= ( 2n + 2 ) 4 = 8n + 8 = 8 ( n + 1)
Bài Tốn trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức
thứ hai nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau:
( n + 3)
2
− ( n − 1) = ( n + 3 + n + 1) ( n + 3 − n − 1) (Cách làm sai của HS)
2
do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu
thức có nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ.
Với câu d cách làm hồn tồn tương tự, ta có
d ) ( n + 6) − ( n − 6) = ( n + 6 + n − 6) ( n + 6 − n + 6)
2
2
= 2n.12 = 24n
Như vậy 24n chia hết cho 24 hay ( n + 6 ) − ( n − 6 ) chia hết cho 24.
2
2
e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.
Giáo viên định hướng học sinh phân tích số 120 thành tích các thừa số
ngun tố, ta được 120 = 23.3.5. Từ bài tốn chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 +
50x2 +24x chia hết cho 120 ta đưa về chứng minh x 5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x
chia hết cho tích của các thừa số 2, 3, 5. Sau đó giáo viên tiếp tục hướng dẫn
các em phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung nhiều
lần. Bài giải cụ thể như sau:
Dễ thấy 120 = 23.3.5. Ta có
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám14
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
x 5 + 10 x 4 + 35 x 3 + 50 x 2 + 24 x
= x ( x 4 + 10 x3 + 35 x 2 + 50 x + 24 )
3
2
= x�
x
x
+
1
+
9
x
(
)
( x + 1) + 26 x ( x + 1) + 24 ( x + 1) �
�
�
= x ( x + 1) ( x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24 )
= x ( x + 1) �
x 2 ( x + 2 ) + 7 x ( x + 2 ) + 12 ( x + 2 ) �
�
�
= x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x 2 + 7 x + 12 )
= x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
Mà ta có x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2, 3, 4, 5
Mặt khác 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên
x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) chia hết cho 2.3.4.5 = 120
Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.
2.7. Dạng 7: Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thơng qua
hằng đẳng thức.
2.7.1. Phương pháp:
Quy các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình
phương của một hiệu.
Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số.
Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để tìm ra giá trị lớn
nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức.
2.7.2. Bài tập
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a) A = x2 – 6x + 11
b) B = 5x – x2
Giải:
a. Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức về dạng bình phương
của một hiệu, để ý hiệu x2 – 6x phân tích được x2 – 2.3.x, lúc này học sinh sẽ
tìm được hạng tử thứ hai là 3, vậy ta giải như sau
Ta có: A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2.3x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám15
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
Vì (x – 3)2 ≤ 0 nên (x – 3)2 + 2 ≤ 2
Suy ra: A ≤ 2.
Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3.
b. Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử đầu tiên bằng cách
đưa dấu ““ ra ngồi ngoặc, tương tự bài trên ta phân tích x2 – 5x ra dạng A2
2.A.B để tìm ra hạng tử B
5
2
5
2
5
2
5
2
25 25
≥
4
4
B = 5x – x2 = (x2 – 5x) = [x2 2. x + ( )2 – ( )2]
5
2
= [(x )2
25
5
25
] = (x )2 +
4
2
4
5
2
5
2
Vì (x )2 ≤ 0 nên (x )2 ≥ 0 ⇒ (x )2 +
Suy ra: B ≥
25
25
5
. Vậy B = là giá trị lớn nhất tại x = .
4
4
2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a) M = 2x2 6x
b) N = x2 + y2 – x +6y + 10
Giải:
a) Giáo viên gợi ý tương tự bài 1, sau khi đưa nhân tử chung ra ngồi thì
trong ngoặc các em biến đổi về dạng bình phương của một hiệu để tìm ra
hạng tử thứ hai.
3
2
9
4
9
2
3
2
9
2
M = 2x2 6x = 2.(x2 2. .x + ) = 2.( x ) 2
9
2
Vậy MinM = khi x =
9
2
3
2
b) Tương tự như trên, tuy nhiên giáo viên cần gợi ý câu hỏi cho học sinh
rằng đối với bài này có thể phân tích được thành bao nhiêu hằng đẳng thức
trong bài. Để định hướng cho các em nhìn thấy được hai hằng đẳng thức.
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám16
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
N = x 2 + y 2 − x + 6 y + 10
1 1�
3
�
= �x 2 − 2.x. + �+ ( y 2 + 2. y.3 + 9 ) +
2 4�
4
�
2
3
2
� 1�
= �x − �+ ( y + 3) +
4
� 2�
2
� 1�
2
1�
3 3
2
�x − � 0
�
Do � 2 � � N = �x − �+ ( y + 3) + �
4 4
� 2�
2
( y + 3) 0
Dấu “=” xảy ra khi:
� 1
�x − = 0
� 2
�
�y + 3 = 0
� 1
�x =
� 2
�
�y = −3
1
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của N = khi x = và y = 3
4
2
Tóm lại: một số bài Tốn phân tích đa thức thành nhân tử tưởng rằng
phức tạp, khó khăn, thì lại hồn tồn đơn giản. Mấu chốt của vấn đề là các
em phải hiểu cách biến đổi của từng dạng . Sau này khơng những áp dụng
vào dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà cịn có trong dạng Tốn tìm
x, tính nhanh, chứng minh, lượng giác… mà khi thuộc 7 hằng đẳng thức rồi
thì việc học Tốn sẽ dễ tiếp thu hơn cả.
IV. Tính mới của giải pháp
Sau khi áp dụng đề tài tơi nhận thấy học sinh linh động hơn trong việc
tìm ra cơng thức để giải tốn, các em biết cách xử lý nhanh hơn khi giải tốn
phân tích đa thức thành nhân tử và những dạng tốn liên quan.
Đề tài có hướng đến những lỗi sai trong cách giải của học sinh để giúp
các em định hướng cách làm đúng và nhanh nhất.
V. Hiệu quả SKKN:
Năm học 2017 – 2018, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức
thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,
cho kết quả:
Số HS
Phân tích đúng
Phân tích sai
Khơng biết phân tích
55
33
22
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám17
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
Tỉ lệ %
50%
30%
20%
Năm học 2018 – 2019, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức
thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em,
cho kết quả:
Phân tích đúng
Phân tích sai
Khơng biết phân tích
Số HS
75
25
10
Tỉ lệ %
68,2%
22,7%
9,1%
Như vậy, sau hai năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, tơi nhận thấy
đa số học sinh tham gia đều rất hứng thú học Tốn, tự giác và chủ động trong
những kiến thức Tốn giáo viên đưa ra, đặc biệt là những kiến thức liên quan
đến phân tích đa thức thành nhân tử.
Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận:
Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cực kỳ
quan trọng, góp phần định hướng tư duy cho học sinh trong các kĩ năng giải
tốn, dễ dàng nhận dạng và giải quyết các bài tốn từ đơn giản đến phức tạp.
Đối với người giáo viên khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử thì định nghĩa cần hướng dẫn học sinh biết cách kết hợp với các kĩ
năng biến đổi, thu gọn biểu thức để giải các dạng tốn liên quan.
Đối với học sinh ngồi việc nắm vững lý thuyết thì cần phải nhận ra
dạng tốn và vận dụng linh hoạt các kĩ năng để giải bài tốn đó.
Những cách tơi thực hiện trong đề tài này là những kinh nghiệm mang
tính cá nhân trong q trình tổ chức các tiết học. Chính vì vậy khơng thể tránh
khỏi những hạn chế thiếu sót, tơi rất mong nhận được những đóng góp q
báu của các đồng chí để đề tài này được hồn chỉnh hơn.
II. Kiến nghị:
Đối với các giáo viên dạy Tốn: Thường xun bám sát lớp để hướng
dẫn và giúp đỡ các em hiểu và nắm rõ kiến thức. Bồi đắp các kiến thức bị
hổng và ln ln lắng nghe những điều thắc mắc của các em. Cần tạo một
phong cách nhẹ nhàng, thân thiện và gần gũi để học sinh dễ dàng trị chuyện,
trao đổi thơng tin với giáo viên. Ngồi ra, mỗi giáo viên phải ln theo sát hoạt
động nhận thức của học sinh “suy ngẫm về các phương pháp dạy học hay
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám18
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
nhất của bản thân và hiểu thấu đáo vì sao các phương pháp đó là hiệu quả
hoặc chỉ hiệu quả với trị này mà khơng hiệu quả với trị kia” để khi người
học gặp khó khăn, kịp thời hỗ trợ, giúp đỡ bằng những định hướng phù hợp,
gợi ý cụ thể; Phải nỗ lực để xác định “tầm nhìn” và phải cố gắng tạo cho
nhóm người học có tinh thần đồng đội; tìm cách cổ vũ người học, đưa ra
những lời khun kịp thời có tính xây dựng để người học hành động hướng
tới tầm nhìn đó; đưa lời nhận xét phản hồi ý nghĩa để nâng cao thành tích học
tập của học sinh.
Bình Hịa, ngày 1 tháng 3 năm 2019
Người thực hiện
H’An Niê Kdăm
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám19
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Tốn 8 tập 1 – NXB GD&ĐT
2. Sách bài tập Tốn 8 tập 1 – NXB GD&ĐT
3. />dangthuca11258.html
4. />5. />3974
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám20
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8”
Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp trường
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Bình Hịa, ngày …. tháng…… năm 2019
CT HỘI ĐỒNG
Nhận xét, đánh giá của hội đồng khoa học cấp Huyện
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………….............
..
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………, ngày …. tháng…… năm 2019
CT HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
Trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám21
Giáo viên: H’An Niê
Kdăm
