BAI TAP NGUYEN HAM - TICH PHAN (NHIEU)

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A/ NGUYÊN HÀM
1. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số xác đònh trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K.
Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C
2. TÍNH CHẤT:
+ Tính chất 1:
'
( ) ( )f x dx f x C= +
∫
+ Tính chất 2:
( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠
∫ ∫
+ Tính chất 3:
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
3. Bảng các nguyên hàm cơ bản:
Họ nguyên hàm F(x)+C Họ nguyên hàm F(x)+C
∫adx = ax + C
∫
x
α
dx =
1
1
x
C
α
α
+
+

+
∫cotgxdx =
ln sin x C+
∫
1
x
dx =
ln x C+
∫
( )ax b
α
+
dx =
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+
+
+
∫
x
a
dx =

ln
x
a
C
a
+
∫
1
ax b+
dx =
1
ln ax b C
a
+ +
∫
x
e
dx = e
x
+ C
∫sinxdx = -cosx + C ∫
ax b
e
+
dx =
1
ax b
e C
a
+

+
∫cosxdx = sinx + C ∫sin(ax+b)dx =
1
cos( )ax b C
a
− + +

∫
2
1
cos x
dx = tanx + C
∫cos(ax+b)dx =
1
sin( )ax b C
a
+ +
∫
2
1
sin x
dx = -cotx + C ∫
2
1
cos ( )ax b
+
dx =
+ +
1
tan( )ax b C

a
∫
'
( )
( )
u x
u x
dx =
ln ( )u x C+
∫
2
1
sin ( )ax b
+
dx =
− + +
1
cot( )ax b C
a

∫tgxdx =
ln cos x C− +
∫
2 2
1
x a−
dx =
1
ln
2

x a
C
a x a
−
+
+

4. Các phương pháp tính nguyên hàm: Tính I = ∫f(x)dx
Phương pháp 1: Đổi biến số
Phương pháp 2: Nguyên hàm từng phần
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
(Một biểu thúc chứa biến x)
Bước 2: Chuyển nguyên hàm đã cho sang nguyên hàm theo biến t ta được
∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C (*)
Bước 3: Thay t = u(x) vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm.
Nếu u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
∫ u.v'dx = u.v - ∫ u'vdx
Hoặc ∫ udv = uv - ∫ vdu
Bài 1: Tính các nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
1.
∫
+−
.
154
3
34
dx

x
xx
2.
∫
ax
dx
+
3.
∫
(3- x
2
)
3
dx
4.
∫
xx
ee
dx
−
+
5.
∫
dx
x
x
2
)
1
(

−
6.
∫
sin
2
xdx.
7.
∫
x
dx
.
8.
∫
(a + bx)
2
dx -
∫
(a - bx)
2
dx.
9.
∫
(1 - sinx)
2
dx +
∫
(1 + cosx)
2
dx
10.

∫
.
52 x
dx
−
11.
∫
dxx.31
3
−
.
12.
∫
2
2
−+
xx
dx
13.
∫
2
5
)25(
−
x
dx
14.
∫
(sin5x - sin5
α

)dx.
15.
∫
9
2
−
x
dx
16.
∫
dx
x
x
1
3
+
17.
∫
xx
dx
5
ln
18.
∫
dx
e
e
x
x
1

2
2
+
19.
∫
(e
2x
+5)
2
e
2x
dx
20.
∫
cos(3e
x
+1)e
x
dx
21.
∫
.
cos
2
dx
x
e
tgx
Bài 2 : Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số):
1. ∫ (2x - 5)

5
dx
2. ∫ x(1 + x
2
)
4/3
dx
3. ∫ x
2
(8 - x
3
)
4
dx
4. ∫ sin
3
xdx
5. ∫ cos
3
xdx
6. ∫ sinxcos
4
xdx
7. ∫ cosxsin
5
xdx
8. ∫ sin
3
x.cos
2

xdx
9. ∫ (e
sinx
- cosx)cosxdx
10.
dxxe
x
∫
2
11. ∫ cos
3
xsin
2
xdx
12.
dx
x
x
∫
ln
13.
( )
∫
dx
x
x
2
ln
14.
dx

x
x
∫
+
ln1
15.
dx
x
x
∫
+
2
ln1
16.
dx
x
x
∫
+
sin21
cos
17. ∫ x(4-x)
3
dx
18. ∫ x
x52
−
dx
19.
∫

+−
−
dx
xx
x
53
32
2
20. ∫ x
2
(x
3
- 8)
3
dx
Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp tứng phần:
1. ∫ (1 - 3x)e
x
dx
2. ∫ xe
2x
dx
3. ∫ x.e
-x
dx
4. ∫ lnxdx
5. ∫ x
2
lnxdx
6. ∫ x

2
e
x
7. ∫ xsinxdx
8. ∫ xcosxdx
9. ∫ (2x-1)sinxdx
10. ∫ (1- 4x)cosxdx
11.
dx
x
x
∫
2
cos
12.
dx
x
x
∫
2
sin
13. ∫ (x
2
- 4x + 3)e
x
dx
14. ∫ e
x
sinxdx
15. ∫ e

x
cosxdx
16. ∫ xlnxdx
17. ∫ xln(x+1)dx
18. ∫ xsinx5xdx
19. ∫ xcos3xdx
20. ∫ ln(5x+1)dx
Bài 4: Tính các tích phân sau (dùng đònh nghóa, Tính chất và bảng nguyên hàm):
1.
( )
1
3
0
1I x x dx= +
∫
2.
∫
−
2
1
2
)1( dxxx
3.
∫
3
0
3cos
π
xdx
8.

∫
2
0
3coscos
π
xdxx
9.
∫
−
2
2
3cos5sin
π
π
xdxx
15.
∫
+
4
2
2
3
1
dx
x
x
16.
∫
+
5

1
3
1
dx
x
x
17.
∫
5
1
3
2
1
dx
x
23.
dx
xx
∫
+
1
2
1
)2(
1
24.
∫
−+
5
3

2
2
1
dx
xx
25.
dxx
∫
−
3
0
2
4.
∫
−
0
2
4sin
π
xdx
5.
∫
+
2
0
)
3
sin(
π
π

dxx
6.
∫
−
2
0
)
4
cos(
π
π
dxx
7.
∫
2
0
4sin2sin
π
xdxx
10.
∫
2
0
2
sin
π
xdx
11.
∫
2

0
2
cos
π
xdx
12.
∫
+
1
0
2
1
dx
x
x
13.
∫
+
2
1
2
2
2
2
dx
x
x
14.
∫
+

3
1
3
3
4
dx
x
xx
18.
∫
+
2
1
2
)
1
1( dx
x
x
19.
∫
3
2
1
1
dx
x
20.
∫
+−

2
1
3
34
154
dx
x
xx
21.
∫
−
2
0
2
9x
dx
22.
∫
+−
1
0
2
65
2
xx
dx
26.
dxx
∫
−

+
1
1
12
27.
dxx
∫
−
5
0
24
28.
∫
−
−
2
2
1 dxx
29.
dxx
∫
−
2
1
32
Bài5: Tính các tích phân sau (Bằng phương pháp đổi biến số ):
1.
∫
2
0

3
sincos
π
xdxx

2.
∫
2
0
3
cossin
π
xdxx
3.
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
4.
2
5
0
cos xdx
π

∫
5.
dxx
∫
−
0
2
3
sin
π
6.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
7.
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
π
+

∫
8.
∫
+
1
0
2
)3(
dx
x
x
9.
∫
−
2
1
3
)2( dxx
10.
1
3 4 3
0
(1 )I x x dx= +
∫
11.
1
2 2
0
5
( 4)

x
I dx
x
=
+
∫
12.
∫
+
1
0
3
)1( dxxx
13.
dxx
∫
+
3
22
1
3
53

14.
∫
+
4
0
12
1

x
15.
( )
dxx
3
4
1
0
41
∫
+
16.
∫
+
1
0
6
)2( dxxx
17.
1
0
x 1 xdx−
∫
18.
1
0
x
dx
2x 1+
∫

21.
∫
+
8
3
1
dx
x
x
23.
∫
e
dx
x
x
1
ln
24.
∫
−
2
1
1
dx
e
e
x
x
26.
∫

+
e
dx
x
x
1
ln1
29.
∫
+
2
0
2
1
dx
e
e
x
x