Phương trình với toán tử loại đơn điệu

Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶

▼ơ❝ ❧ơ❝
..

▼ë ➤➬✉

✶

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

✶✳✶✳

✶✳✷✳

✶✳✸✳

❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

✷✳✷✳

✷✳✸✳

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✶✳

❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✷✳

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

❚♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✶✳✷✳✶✳

❚♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

✶✳✷✳✷✳

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
✶✳✸✳✶✳

❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

✶✳✸✳✷✳

❱Ý ❞ơ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✷✳✶✳

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

✷✸

❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✶✳✶✳

❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✷✳✶✳✷✳

❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✷✳✶✳

❙ù ❤é✐ tô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✷✳✷✳✷✳

❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

✷✳✷✳✸✳

❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✳ ✳ ✸✺

❱Ý ❞ơ

❑Õt ❧✉❐♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✹✷




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✷

❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥

▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐
◆❣✉②➟♥ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝đ❛ ❚✐Õ♥ sü ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ②✳ ❚➳❝
❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝ ✈Ị sù t❐♥ t➞♠ ✈➭ ♥❤✐Ưt t×♥❤
❝đ❛ ❝đ❛ ❝➠ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t➳❝ ❣✐➯ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❜➭✐ ❣✐➯♥❣✱ t➳❝
❣✐➯ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì ❝đ❛ ❝➳❝ ●✐➳♦ s➢ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ ❱✐Ư♥
❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ư♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥ t❤✉é❝ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ư
❱✐Ưt ◆❛♠✱ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ tr♦♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ừ ò ì
t tỏ ò ❝➯♠ ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❝➳❝ ❚❤➬② ❈➠✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ư✉✱ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ❑❤♦❛ ❤ä❝
✈➭ ◗✉❛♥ ❤Ö q✉è❝ tÕ✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐
tr➢ê♥❣✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➠✐ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ư♣ ➤➲ ộ t ợt q ữ ó tr ộ sè♥❣ ➤Ĩ t➠✐ ❝ã
➤➢ỵ❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tèt ♥❤✃t ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳

❚➳❝ ❣✐➯

◆❣✉②Ơ♥ ❳✉➞♥ ❇➳❝❤

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✸

▼ë ➤➬✉

❘✃t ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝đ❛ t❤ù❝ t✐Ơ♥✱ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ư ❞➱♥ tí✐ ❜➭✐ t♦➳♥
➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❬✽❪✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❦❤✐
❞÷ ❦✐Ư♥ t❤❛② ➤ỉ✐ ♥❤á✮ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ❞✉②
♥❤✃t✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ❉♦ tÝ♥❤
❦❤➠♥❣ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ♥➭② ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ sè ❝đ❛ ♥ã ❣➷♣
❦❤ã ❦❤➝♥✳ ▲ý ❞♦ ❧➭ ♠ét s❛✐ sè ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ó ❞➱♥ ➤Õ♥
♠ét s❛✐ sè ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ ❧ê✐ ❣✐➯✐✳
❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❞➢í✐
❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư
✭✶✮

A(x) = f,
tr♦♥❣ ➤ã
①➵

A : X −→ X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ trÞ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥

X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ X ∗ ❝đ❛ X ✳ ➜Ĩ ❣✐➯✐ ❧♦➵✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✱ ♥❣➢ê✐

t❛ sư ❞ơ♥❣ ♥❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ỉ♥ ➤Þ♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ❝đ❛ ❝➳❝ ữ ệ
ỏ tì ệ ỉ tì ợ ❣➬♥ ✈í✐ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥
①✉✃t ♣❤➳t✳ ◆➝♠ ✶✾✻✸✱ ❆✳ ◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❬✾❪ ➤➢❛ r❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤
♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ✈➭ ❦Ó tõ ➤ã ❧ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥
❤Õt sø❝ s➠✐ ➤é♥❣ ✈➭ ❝ã ♠➷t ë ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉
❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❧➭ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥
tư ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝

H ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ư❝ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉

xh,δ
α ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈
Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ
tr♦♥❣ ➤ã

2

+ α x − x∗

2

✭✷✮

α > 0 ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ h ✈➭ δ ✱ x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tư

❝❤♦ tr➢í❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß ❧➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤ä♥ ✈➭

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(Ah , fδ ) ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ (A, f )✳



Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✹

❍❛✐ ✈✃♥ ➤Ị ợ qết ở tì tử ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠
❚✐❦❤♦♥♦✈ ✈➭ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

t✐Ĩ✉

α = α(h, δ) t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ ➤Ĩ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝

xh,δ
α(h,δ) ❞➬♥ tí✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ h ✈➭ δ ❞➬♥ tí✐

❦❤➠♥❣✳
❱✐Ư❝ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ sÏ ❣➷♣ ♥❤✐Ị✉ ❦❤ã ❦❤➝♥
tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥✳ ➜è✐ ✈í✐ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✈í✐ t♦➳♥
tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ A

: X → X ∗ ✱ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ➤➢❛ r❛ ♠ét ❞➵♥❣ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣

❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳ ❚➢ t➢ë♥❣ ❝❤đ ②Õ✉ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞♦ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ➤Ị
①✉✃t ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ♠ét t♦➳♥ tö

M : X → X ∗ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t h✲❧✐➟♥ tơ❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉

♠➵♥❤ ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤✳

J s ✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ X ✱ ❧➭

♠ét t♦➳♥ tö ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❤➢ ✈❐②✳ ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭②✱ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❬✶❪
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = fδ
❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐

Ah : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳

❱✐Ư❝ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤
❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮



= () tí ợ trì ệ

Ah A ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❜ë✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝
˜ p , 0 < p < 1, K
˜ ≥ 1,
ρ(α) = Kδ

✈í✐

ρ(α) = α xδα ✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❝ï♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè

α = α(δ) ♥❤➢ tr➟♥ ❧➭ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
t♦➳♥ tư ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✶✮✳ ◆➝♠ ✷✵✵✺✱ ◆❣✉②Ô♥ ❇➢ê♥❣ ❬✺❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈✐Ư❝
❝❤ä♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ t❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ➤é ❧Ư❝❤ s✉② ré♥❣ tr➟♥ ❝➡
së ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

ρ(α) = δ p α−q , 0 < p ≤ q
❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ ①Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣

Ah ≡ A✳
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣

A : X → X ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ ♥❣➢ê✐ t❛ sư ❞ơ♥❣

♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❬✷❪

Ah (x) + αx = fδ ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✺

tr♦♥❣ ➤ã

Ah : X −→ X ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐ D(Ah ) = D(A)✳

▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ổ ị
trì t tử ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❧➭ trï♥❣ ♥❤❛✉
❬✸❪✳ ❈➳❝ ✈✃♥ ➤Ị ợ ề tr


ệ ỉ trì t♦➳♥ tư ✭✵✳✶✮ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư

❛❝❝r❡t✐✈❡❀
✷✳

❙ù ❤é✐ tơ ✈➭ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ệ ỉ

í ụ số

ộ ợ trì tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉
♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥
tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥
tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❬✶❪ ✈➭ ❬✷❪✱ tr×♥❤ ❜➭② tè❝ ➤é
❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ø♥❣ ✈í✐ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ư♠
❝đ❛ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣ ❬✺❪ ✈➭ ❬✻❪✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❧➭ ♠ét ✈Ý ❞ô sè ♠✐♥❤ ❤ä❛✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✻

▼ét sè ❦Ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t

H

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝

X

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ tự

X

ợ ủ

Rn





t rỗ

X

n ề

x := y

x ợ ị ĩ y

x

ớ ọ

x

tồ t

inf F (x)

xX

x

x

❝đ❛ t❐♣

{F (x) : x ∈ X}

I

➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ

AT

♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥

a∼b

a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b

A∗

t♦➳♥ tử ợ ủ t tử

D(A)

ề ị ủ t tư

R(A)

♠✐Ị♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t♦➳♥ tư

xk → x
xk

x

❞➲②

A

A

A

A

{xk } ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ tí✐ x

❞➲②

{xk } ❤é✐ tơ ②Õ✉ tí✐ x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✼

❈❤➢➡♥❣ ✶
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡
✶✳✶✳

❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

✶✳✶✳✶✳

❈❤♦

❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư

✈í✐ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭

D(A) = X ✈➭ ♠✐Ò♥ ➯♥❤ R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X ∗ ✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐

♥✐Ư♠ tr♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✸❪✱ ❬✹❪ ✈➭ ❬✼❪✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶

❚♦➳♥ tư

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

✭✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉

A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);

✭✶✳✶✮

✭✐✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝❤➷t ✭str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ (1.1)
❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝❤Ø ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❦❤✐

x = y❀

✭✐✐✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ị✉ ✭✉♥✐❢♦r♠❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣
➞♠

δ(t) ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐ t ≥ 0, δ(0) = 0 ✈➭
A(x) − A(y), x − y ≥ δ x − y , ∀x, y ∈ D(A);

◆Õ✉

δ(t) = cA t2 ✈í✐ cA ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ t❤× t♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥

tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮❀
✭✐✈✮ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ ♥Õ✉

A(x) − A(y) ≤ x − y .
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳

◆Õ✉

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣

✈í✐ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝đ❛ t♦➳♥ tư✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✽

❱Ý ❞ơ ✶✳✶

A : RM RM ợ ị ở

tử tế tÝ♥❤

A = B T B,
✈í✐

B ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ M ✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷

♥Õ✉

❚♦➳♥ tö

✭❞❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮

tr➟♥

X ♥Õ✉ tõ xn → x s✉② r❛ A(xn )

tr➟♥

X

A(x) ❦❤✐ n → ∞✳

❍➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥✿

ϕ(x, y) =





xy
♥Õ✉ (x, y) = (0, 0)
(x2 + y 2 )


0
❧➭

✭❤❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮

A(x) ❦❤✐ t → 0 ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ d✲❧✐➟♥ tơ❝

A(x + ty)

❱Ý ❞ơ ✶✳✷

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ h✲❧✐➟♥ tơ❝

♥Õ✉

(x, y) = (0, 0)

h✲❧✐➟♥ tơ❝✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸

❚♦➳♥ tử

A ợ ọ t tử ứ r ế

lim

||x||+
ị ĩ ✶✳✹

A(x), x
= +∞, ∀x ∈ X.
||x||

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊♣❤✐♠♦✈

❙t❡❝❤❦✐♥ ✭❤❛② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮ ♥Õ✉
❤é✐ tô ②Õ✉
tô ♠➵♥❤

(xn

X ♣❤➯♥ ①➵ ✈➭ tr♦♥❣ X tõ sù

x) ✈➭ sù ❤é✐ tô ❝❤✉➮♥ ( xn → x ) ❧✉➠♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ sù ❤é✐

( xn − x → 0)✳

❱Ý ❞ô ✶✳✸

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺

❱í✐

∗

s ≥ 2✱ ➳♥❤ ①➵ J s : X 2X ó trị

ợ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐✿

J s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗

x ; x∗ = x

➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ❦❤➠♥❣
ợ ết

s1

},



X s = 2 tì J s

J ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ✳

❚Ý♥❤ ➤➡♥ trÞ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✾

▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ➤ã✱

✶✮

J(x) ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ J(λx) = λJ(x), ✈í✐ ♠ä✐ λ > 0❀

✷✮

J

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trị ỉ

trờ ợ



sử

X

❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤×

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳ ❚r♦♥❣

J = I ✲t♦➳♥

tư ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣

X✳

♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ơ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ♥ã tå♥ t➵✐

tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶

✭①❡♠ ❬✹❪✮ ◆Õ✉

♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝
♥÷❛✱ ♥Õ✉

X

X∗

J : X → X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ➳♥❤ ①➵ ➤è✐
❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❜ø❝ ✈➭

J

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤×

d✲❧✐➟♥

❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ệ t

ệ t tử ệ ò ợ t➯ ❞ù❛ tr➟♥ ➤å t❤Þ

t♦➳♥ tư

tơ❝✳ ❍➡♥

Gr(A) ❝đ❛

A tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ tÝ❝❤ X × X ∗ ✱ tr♦♥❣ ➤ã
Gr(A) = {(x, A(x)) : x X}.

ị ĩ

tử

A ợ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉

x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y).
❚❐♣

Gr(A) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥Õ✉ ♥ã t❤á❛ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✳ ◆Õ✉

Gr(A) ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø❛ t❤ù❝ sù tr♦♥❣ ♠ét t❐♣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➭♦ tr
X ì X tì t tử A ợ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳
❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥➭② t❛ s✉② r❛ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✳
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷

❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

A : X → X∗

❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø

❦❤✐ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

g − f, y − x0 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A),
s✉② r❛

x0 ∈ D(A) ✈➭ f ∈ A(x0 )✳

▼ét ✈Ý ❞ô ➤✐Ĩ♥ ❤×♥❤ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♠ét
❤➭♠ ❧å✐✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼

❍➭♠

F : X → R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✵

✭✐✮ ❧å✐ tr➟♥

X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X t❛ ❝ã
✭✶✳✸✮

F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1];
✭✐✐✮ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥

X ♥Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ①➯② r❛ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ✈í✐

x = y❀
✭✐✐✐✮ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ tr➟♥

X ♥Õ✉

lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X;
y→x

✭✐✈✮ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ tr➟♥

X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {xn } : xn

x t❤×

lim inf F (xn ) ≥ F (x), ∀x ∈ X.
n→∞

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽

❈❤♦

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ F : X → R ❧➭

♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ tr➟♥

X ✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ∂F (x) ❜ë✐

∂F (x) = x∗ ∈ X ∗ : F (x) − F (y) ≤ x − y, x∗ , ∀y ∈ X , ∀x ∈ X,
✭✶✳✹✮
P❤➬♥ tư

x∗ ∈ X ∗ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ●r❛❞✐❡♥t ❝đ❛ ❤➭♠ F t➵✐ x ✈➭ ∂F (x) ➤➢ỵ❝

❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛

F t➵✐ x✳

✭①❡♠

ị í

X

ợ ủ
ử tơ❝ ❞➢í✐ tr➟♥
❝ù❝ ➤➵✐ tõ

X

❚♦➳♥ tư

✈➭♦

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱

X✳

◆Õ✉

F :X →R

X∗

❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✱

X ✱ t❤× ➳♥❤ ①➵ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ∂F

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ö✉

X ∗✳

A ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♠✐Ị♥ ➯♥❤ ❝đ❛ A + λJ ❧➭ t♦➭♥

❜é ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

X ∗ ✱ ➤ã ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸

✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦

✈➭ ❧å✐ ❝❤➷t✱

J : X → X∗

X

✈➭

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ñ❛

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❑❤✐ ➤ã
♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

X ∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵
A

X✱ A : X → X∗

❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø

λ > 0✱ R(A + λJ) ❧➭ t♦➭♥ ❜é X ∗ ✳

➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❜✃t ❝ø ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱
❝❤➷♥ ♥➭♦ tõ

h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ❜Þ

X ✈➭♦ X ∗ ❝ị♥❣ ➤Ị✉ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✶

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✹

X → X∗

✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱

h✲❧✐➟♥

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱

t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❑❤✐ ➤ã

A+B

tơ❝ ✈➭ ❜Þ ❝❤➷♥✱

B:

A : X → X∗

❧➭

❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝

➤➵✐✳

❚Ý♥❤ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝đ❛ t♦➳♥ tư
♥ã ❧➭ t♦➭♥ ❜é ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✺

A sÏ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ t❤✐Õt ♥Õ✉ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛

X ✳ ❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉✳

✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦

X

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ ✈➭

A :

X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ D(A) ≡ X ✳ ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ t♦➳♥
tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳ ◆❣♦➭✐ r❛✱ ♥Õ✉

✶✳✶✳✷✳

A ❧➭ t♦➳♥ tư ❜ø❝ t❤× t❛ ❝ã R(A) = X ∗ ✳

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư

✭✶✳✺✮

A(x) = f,
✈í✐

A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❝❤♦ tr➢í❝✱ f ∈ X ∗ ✳
❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tử ợ tr ị ý

s
ị í

❈❤♦

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵

A(x) = f

A
X

❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ✈í✐ ♠ä✐

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư
✈➭♦

h✲❧✐➟♥

tơ❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❜ø❝ tõ

X ∗ ✱ ✈í✐ D(A) = X ✳ ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

f ∈ X ∗✳

❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✺✱

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ✈➭ ❞♦

➤ã tõ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸ s✉② r❛ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö

xα ∈ D(A) s❛♦ ❝❤♦
✭✶✳✻✮

yα + αJxα = f, yα ∈ A(xα ).
❙✉② r❛

f

xα ≥ f, xα = yα , xα + α xα

2

≥ yα , xα .

❉♦ ➤ã

yα , xα
≤ f , yα ∈ A(xα ).
xα

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✷

❱×

A ❧➭ t♦➳♥ tö ❜ø❝ ♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛ ❞➲② {xα } ❜Þ ❝❤➷♥✳ ❉♦

➤ã

xα

x¯ ∈ X ❦❤✐ α → 0✳ ❚õ ✭✶✳✻✮ t❛ s✉② r❛ yα = f − αJ(xα ) ➤å♥❣ t❤ê✐

sư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ t♦➳♥ tö

A t❛ s✉② r❛

f − αJ(xα ) − y, xα − x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A)
❈❤♦

α → 0 t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝
f − y, x¯ − x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A).

❱×

A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✱ ♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ✈➭ ▼Ö♥❤ ề

t s r

f A(
x) ị ý ợ ứ ♠✐♥❤✳
✷

❑ý ❤✐Ư✉

S0 ❧➭ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✺✮✱ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥❣❤✐Ư♠ tå♥ t➵✐✳

❚❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ✭①❡♠ ❬✼❪✮✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✼

◆Õ✉

✈➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣

A : X −→ X ∗

❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ t❤×

S0

❧➭ t❐♣ ❧å✐

X.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿▲✃②

f1 , f2 ∈ A(x)✳ ❱× A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
f1 − g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A),

✭✶✳✼✮

f2 − g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A).

✭✶✳✽✮

✈➭

➜➷t

f = tf1 + (1 − t)f2 ✈í✐ t ∈ [0, 1]✳ ◆❤➞♥ ✭✶✳✼✮ ✈í✐ t✱ ✭✶✳✽✮ ✈í✐ (1 − t) rå✐

❝é♥❣ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t➢➡♥❣ ø♥❣ t❛ ➤➢ỵ❝✿

t f1 − g, x − y + (1 − t) f2 − g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA
⇔ f − g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA.
❱❐②

f ∈ A(x) ❤❛② S0 ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✸

▲✃② fn

∈ Ax, fn → f ∗ ✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f ∗ ∈ A(x)✳ ❚❤❐t ✈❐②✱
fn − g, x − y ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA.

❈❤♦

n → ∞ t❛ ➤➢ỵ❝ f ∗ − g, x − y ≥ 0✳ ❙✉② r❛ f ∗ ∈ A(x)✳ ❱❐② S0 ❧➭ t❐♣

➤ã♥❣✳

✷
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tå♥ t ệ ủ trì t tử ò ợ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ tr♦♥❣ ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳
❇ỉ ➤Ị ✶✳✶

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦

❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝ñ❛
♥Õ✉ tå♥ t➵✐

X, f ∈ X ∗

x0 ∈ X

X

✈➭

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✳

A : X −→ X ∗

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

h✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ❑❤✐ ➤ã

t❤á❛ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿

✭✶✳✾✮

A(x) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X
t❤×

x0

❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

➜➷❝ ❜✐Ưt ♥Õ✉

A

A(x) = f ✳

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ tr➟♥

X

t❤× ✭✶✳✾✮ tr➟♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣

✈í✐✿

✭✶✳✶✵✮

A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿●✐➯

❧➭

sư x0 ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) = f tø❝

A(x0 ) = f ✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈Ò ❝❤✉➮♥✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ✈❡❝t➡ z = 0 s❛♦

❝❤♦✿

A(x0 ) − f, z >
▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦

1
z

2

A(x0 ) − f > 0.

A ❧➭ t♦➳♥ tư h✲❧✐➟♥ tơ❝ ♥➟♥ ✈í✐ t > 0 ❦❤➳ ❜Ð t❛ ❝ã✿
A(x0 − tz) − A(x0 ), z

❚õ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜ỉ ➤Ị✱ t❤❛②

≤

1
z . A(x0 ) − f .
3

✭✶✳✶✶✮

x ❜ë✐ x0 − tz t❛ ❝ã✿

A(x0 − tz) − f, (x0 − tz) − x0 ≥ 0.
❤❛②

A(x0 − tz) − Ax0 , −tz + A(x0 ) − f, −tz ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✹

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

A(x0 − tz) − A(x0 ), −z ≥ A(x0 ) − f, z .
❉♦ ➤ã

1
> . z . A(x0 ) − f > 0.
2
➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ✭✶✳✶✶✮✳ ❱❐② x0 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
A(x0 − tz) − A(x0 ), z

A(x) = f ✳
❇➞② ❣✐ê✱ ❣✐➯ sư

A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❦❤✐ ➤ã

A(x) − A(x0 ), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X.
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

0 ≤ A(x) − A(x0 ), x − x0 = (A(x) − f ) − (A(x0 ) − f ), x − x0
❤❛②

A(x) − f, x − x0 ≥ A(x0 ) − f, x − x0 .
❚õ ✭✶✳✶✵✮ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛ ✭✶✳✾✮✳
◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❣✐➯ sư t❛ ❝ã ✭✶✳✾✮✱ ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐

t ∈ (0, 1) s✉② r❛

A[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X,
s✉② r❛

t A[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X.
❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❝❤♦
❝❤✃t

t s❛✉ ➤ã ❝❤♦ t → 0 ✈➭ sư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤

h✲❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ t♦➳♥ tư A t❛ ➤➢ỵ❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✵✮✳
✷

❇ỉ ➤Ị ✶✳✶ ❝ã t➟♥ ❧➭ ❜ỉ ➤Ị ▼✐♥t②✱ t➟♥ ♠ét ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ▼ü✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ s❛✉ ♥➭② ❝❤Ý♥❤ ➠♥❣
✈➭ ❇r♦✇❞❡r ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ❝➳❝❤ ➤é❝ ❧❐♣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✺

✶✳✷✳

❚♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

✶✳✷✳✶✳

❚♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡

❈❤♦

X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥

❤ỵ♣ ❝đ❛

X ✱ X ✈➭ X ∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✱ A : D(A) = X → X ❧➭

♠ét t♦➳♥ tư✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✾

❚♦➳♥ tư

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

✭✐✮ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥Õ✉

J(x − y), A(x) − A(y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
✭✐✐✮ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥❣➷t ♥Õ✉ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ë ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤Ø ➤➵t ➤➢ỵ❝
❦❤✐

x = y;

✭✐✐✐✮ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ➤Ị✉ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ t➝♥❣

γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0,

s❛♦ ❝❤♦

J(x − y), A(x) − A(y ≥ γ(||x − y||), ∀x, y ∈ D(A);
✭✐✈✮ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♠➵♥❤ ♥Õ✉
✭✈✮ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

γ(t) = ct2 , c > 0;

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜ø❝ ✭❝♦❡r❝✐✈❡✮ ♥Õ✉

J(x), A(x) ≥ c(||x||).||x||, ∀x ∈ D(A),
tr♦♥❣ ➤ã

c(t) → +∞ ❦❤✐ t → +∞.

✭✈✐✮ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡
♠ä✐

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ m✲❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥Õ✉ R(A + αI) = X, ✈í✐

α > 0, I ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ X

ệ t tử rt ò ợ t ự tr ồ tị
tí

Gr(A) tr

X ì X

ị ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵

❚♦➳♥ tư

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

✭✐✮ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥Õ✉

J(x1 − x2 ), y1 − y2 ≥ 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✻

✈í✐ ♠ä✐

x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ A(x1 ), y2 ∈ A(x2 ).

✭✐✐✮ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ù❝ ➤➵✐ ♥Õ✉ ➤å t❤Þ ❝đ❛ ♥ã ❦❤➠♥❣ tự sự ứ tr ồ tị
ủ t ì ột t tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥➭♦ ❦❤➳❝✳
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦

A : X −→ X

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣

➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿

A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳

✐✮

✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐

λ > 0 ✈➭ ∀x1 , x2 ∈ D(A)
||x1 − x2 || ≤ ||x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||.

✭✶✳✶✷✮

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

i) ⇒ ii) ●✐➯ sö A ❧➭ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A)
t❛ ❝ã

J(x1 − x2 ), x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))
= J(x1 − x2 ), x1 − x2 + λ J(x1 − x2 ), A(x1 ) − A(x2 )
≥ ||x1 − x2 ||2 .
❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛

J t❛ s✉② r❛ ✭✶✳✶✷✮✳

ii) ⇒ i) ❱× tÝ♥❤ ❧å✐ ❝đ❛ ❤➭♠ ||x||2 ✱ t❛ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt
||x1 − x2 ||2 ≥ ||x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||2
− 2λ J(x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))), A(x1 ) − A(x2 ) .
❚õ ✭✶✳✶✷✮ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ s✉② r❛

J(x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))), A(x1 ) − A(x2 ) ≥ 0.
❈❤♦

λ → 0 ✈➭ sö ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ J t❛ s✉② r❛ A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳
✷

▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✹

X

✈➭♦

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦

A:X →X

❧➭ t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

X ✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✼

A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳

✐✮
✐✐✮

A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

✐✮⇒ ✐✐✮

❱í✐ ♠ä✐

λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A)✳ ❚❛ ❝ã

||(x1 − x2 ) + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||2 = ||x1 − x2 ||2
+ 2λ A(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2

✭✶✳✶✸✮

+ λ2 ||A(x1 ) − A(x2 )||2 .
❱×

A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➟♥
A(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2 ≥ 0.

❉♦ ➤ã tõ ✭✶✳✶✸✮ s✉② r❛✱

||(x1 − x2 ) + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||2 ≥ ||x1 − x2 ||2 , ∀x1 , x2 ∈ D(A).
❚❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸ s✉② r❛
✐✐✮⇒ ✐✮

❱×

A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳

A ❧➭ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈➭ ✭✶✳✶✸✮ s✉② r❛

2λ A(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2 + λ2 ||A(x1 ) − A(x2 )||2 ≥ 0.
❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ✭✶✳✶✹✮ ❝❤♦

✭✶✳✶✹✮

λ rå✐ ❝❤♦ λ → 0+ t❛ ➤➢ỵ❝

A(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2 ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A).
❱❐②

A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳
✷

❇ỉ ➤Ị ✶✳✷

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ◆Õ✉

T :X→X

❧➭ t♦➳♥ tư ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ t❤×

A=I −T

❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❱í✐ ♠ä✐

x, y ∈ D(A) t❛ ❝ã

J(x − y), A(x) − A(y) = − J(x − y), T (x) − T (y) + J(x − y), x − y
≥ x−y

2

− T (x) − T (y) x − y

≥ x−y

2

− x−y

2

= 0.
✷

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✽

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦

A : X −→ X

❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✱

h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐

D(A) = X ✳ ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ù❝ ➤➵✐✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✽

✶✳✷✳✷✳

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✶

➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ J : X −→ X ∗ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

✭✇✲t♦✲✇✮ ♥Õ✉ ✈í✐ ❜✃t ì

ts

t

xn D(J) s xn

x0 tì

J(x0 )

J(xn )

ị ĩ

tử ị tr



X ợ ọ ❝ã tÝ♥❤ ①✃♣ ①Ø ♥Õ✉ t♦➳♥

X ❝ã t❤Ó ①✃♣ ①Ø ➤Ị✉ tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ❝đ❛ X ❜ë✐ ♠ét

t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ❤➵♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥✳
❇ỉ ➤Ị ✶✳✸

Xn

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ●✐➯ sö

❧➭ t♦➳♥ tö ❝❤✐Õ✉

Pn∗ : X ∗ −→ Xn∗

X

Xn

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❧➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

❧➭ t♦➳♥ tư ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛

Xn

❝đ❛

n
X

❝❤✐Ị✉✱
✈í✐

Pn : X −→

Pn

= 1

✈➭

Pn ✳ ❑❤✐ ➤ã Pn∗ J(x) = J(x) ✈í✐ ♠ä✐

x ∈ Xn ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❉Ơ t❤✃②✱ ✈í✐

∀x ∈ Xn t❛ ❝ã

Pn∗ J(x), x = J(x), Pn (x) = J(x), x

✭✶✳✶✺✮

= Jx x = x 2 .
❱×

Pn∗ = Pn = 1 ♥➟♥
Pn∗ J(x) ≤ Pn∗ . J(x) = J(x) = x .

▼➷t ❦❤➳❝ tõ
❤ỵ♣ ✈í✐

2

(1.15) s✉② r❛ x

✭✶✳✶✻✮

≤ Pn∗ J(x) x ❤❛② x ≤ Pn∗ J(x) ✳ ❑Õt

(1.16) t❛ ❝ã x = Pn∗ J(x) ✳ ❱× J ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ trÞ ♥➟♥ Pn∗ J ❧➭

➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tr♦♥❣

X ✈➭ Pn∗ J(x) = J(x), ∀x ∈ Xn ✳

✷

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✾

✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦

❝ã tÝ♥❤ ①✃♣ ①Ø✱
♥❣➱✉

J

X

A : X −→ X

✈➭

X∗

❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐

❧➭ ✇✲t♦✲✇✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ sè

♠ét ♣❤➬♥ tö

❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t✱

r>0

D(A) = X, ➳♥❤ ①➵ ➤è✐

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

x

♠➭

||x|| = r

y = A(x) s❛♦ ❝❤♦
J(x), A(x) − f ≥ 0,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

X



❝ã


Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✶✾

t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✺✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ư♠
❈❤ó ý ✶✳✶✳

❚✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➟✉ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✾ ➤Ị✉ t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❈❤ó ý ✶✳✷✳

x t❤á❛ ♠➲♥ ||x|| ≤ r.

X = lp ✱ p > 1✳

◆Õ✉ t♦➳♥ tư

A tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✾ ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥❣➷t t❤×

♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✶✳✺✮ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t✳

✶✳✸✳

✶✳✸✳✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

❈❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➡ së ①Ðt
♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ë ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✶✳✺✮ ✈í✐
tư tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

A : X → Y ❧➭ ♠ét t♦➳♥

X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ Y ✱ f ❧➭ ♣❤➬♥ tư t❤✉é❝ Y ✳

❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✭①❡♠ ❬✽❪✮✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✸

❈❤♦

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Y ✳

❇➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✺✮ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✭✇❡❧❧✲♣♦s❡❞✮ ♥Õ✉
✶✮ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) = f ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ✈í✐ ♠ä✐ f ∈ Y ❀

✷✮ ♥❣❤✐Ư♠ ♥➭② ❞✉② ♥❤✃t❀
✸✮ ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳
◆Õ✉ Ýt ♥❤✃t ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✺✮
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮✳ ➜è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐
t✉②Õ♥ t❤× ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤ø ❤❛✐ ❤➬✉ ♥❤➢ ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥✳ ❉♦ ✈❐② ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ➤Ò✉ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝✉è✐ ❝ï♥❣
❝ị♥❣ ❦❤ã t❤ù❝ ệ ợ ì t ó ị ĩ s
ị ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✹

❇➭✐ t♦➳♥

❈❤♦

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Y ✳

(1.5) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥Õ✉ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

♥➭② ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳
❇➭✐ t♦➳♥ tì ệ

x ụ tộ ữ ệ f ĩ x = R(f ) ợ

ọ ổ ị tr

(X, Y ) ế ớ ỗ > 0 tå♥ t➵✐ ♠ét sè

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✷✵

δ(ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) ❝❤♦ t❛ ρX (x1 , x2 ) ≤ ε✱ ë ➤➞②
xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2.
❈❤ó ý ✶✳✶

▼ét ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ĩ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➷♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♥➭② ♥❤➢♥❣ ❧➵✐

➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➷♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤➳❝✳
❚r♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤× ✈Õ ♣❤➯✐ ❝đ❛ ✭✶✳✺✮ t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ➤♦ ➤➵❝✱
♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❤❛② ❝❤♦ ❣✐➳ trÞ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝

f ✱ t❛ ❝❤Ø ❜✐Õt ①✃♣ ①Ø fδ ❝ñ❛ ♥ã t❤á❛ ♠➲♥

fδ − f ≤ δ ✳ ●✐➯ sư xδ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✶✳✺✮ ✈í✐ f t❤❛② ❜ë✐ fδ ✭❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣
♥❣❤✐Ư♠ tå♥ t➵✐✮✳ ❑❤✐

t❤×

δ → 0 t❤× fδ → f ♥❤➢♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

xδ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tô ➤Õ♥ x✳

✶✳✸✳✷✳

❱Ý ❞ơ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✶✳✺✮ ✈í✐

A ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ M = 8

ợ ị ở


1
1
1
1
1
1
1

1 1.0001
1
1
1
1

1


1
1
1.0001
1
1
1
1


1
1
1
1.0001
1
1
1
A=

1
1
1
1.0001
1
1
1

1

1
1
1
1
1.0001
1


1
1
1
1
1
1
1.0001

1

1

1

1

1

1

1

1





1


1


1

1 


1 

1.0001
1

✈➭ ✈Õ ♣❤➯✐
T

f = 8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001

∈ R8 .

❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠
T

x= 1 1 1 1 1 1 1 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

∈ R8 .




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✷✶

◆Õ✉


1
1
1
1
1
1
1
1



1 1.0001
1
1
1
1
1
1





1
1
1.0001
1
1
1
1
1





1
1
1
1.0001
1

1
1
1

=


1
1
1
1.0001
1
1
1
1


1
1
1
1
1
1.0001
1
1






1
1
1
1
1
1
1.0001
1


1
1
1
1
1
1
1
1


A = Ah1

✈➭
T

f = fδ1 = 8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8

∈ R8 ,

t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ✈➠ sè ♥❣❤✐Ư♠✳

◆Õ✉



A = Ah1


1
1
1
1
1
1
1
1


1 1.0001

1
1
1
1
1
1




1


1
1.0001
1
1
1
1
1




1

1
1
1.0001
1
1
1
1

=


1
1
1
1.0001
1

1
1
1


1
1
1
1
1
1.0001
1
1




1

1
1
1
1
1
1.0001
1


1
1

1
1
1
1
1
1

✈➭
T

f = fδ2 = 8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001
t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➠ ♥❣❤✐Ư♠✳
◆❤➢ ✈❐② t❛ t❤✃② ♠ét t❤❛② ➤ỉ✐ ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➲ ❞➱♥ ➤Õ♥ t❤❛② ➤ỉ✐
❧í♥ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠✳ ❱❐② ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➲ ❝❤♦ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



,


Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✷✷

❱× tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✺✮ ♥➟♥ ♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣
❝ã ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤♦ sù ❧ù❛ ❝❤ä♥ ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ư♠✳ ❚❛ sÏ sư ❞ơ♥❣ ♥❣❤✐Ư♠

x∗ ✲❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❛ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ t❤á❛ ♠➲♥

A(x0 ) = f,
✈➭

x0 − x∗ = min{ x − x∗ : A(x) = f }.
❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥

x∗ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝ã ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐Ư♠ ♠➭ t❛ ♠✉è♥ ①✃♣ ①Ø✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



x0 ❝ã


Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✷✸

❈❤➢➡♥❣ ✷
❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡
✷✳✶✳

❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

✷✳✶✳✶✳

❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

❈❤♦

X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ợ ủ

X ét trì t tư ➤➲ ➤➢ỵ❝ ➤Ị ❝❐♣ ë ❈❤➢➡♥❣ ✶✿
✭✷✳✶✮

A(x) = f,
ë ➤➞②

f ∈ X ∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝❤♦ tr➢í❝✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱

➤➡♥ trÞ✱ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ D(A)

= X ✳ ❚r♦♥❣ t♦➭♥ ❜é ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵✱ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✱ X ✈➭ X ∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳
◆Õ✉ t♦➳♥ tö A ❦❤➠♥❣ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ị✉ ❤♦➷❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ t❤× ❜➭✐
t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠

S0 ❝đ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ rỗ ó S0 ột t ó ồ tr X
ị ý
ét trì ệ ỉ ✭①❡♠ ❬✶❪✮

Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = fδ ,
ë ➤➞②

✭✷✳✷✮

(Ah , fδ ) ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ (A, f ) t❤á❛ ♠➲♥

tr♦♥❣ ➤ã

f − fδ ≤ δ, δ → 0,

✭✷✳✸✮

Ah (x) − A(x) ≤ hg( x ), h → 0,

✭✷✳✹✮

g(t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❣✐í✐ ♥é✐ ✈➭ Ah ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ h✲❧✐➟♥ tơ❝ tõ

X ✈➭♦ X ∗ ✱ x∗ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ X ✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✷✹

tỉ♥❣ q✉➳t

J s t❤á❛ ♠➲♥✿
J s (x) − J s (y), x − y ≥ mJ x − y s , mJ > 0,

✭✷✳✺✮

t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶

♠ä✐

❈❤♦

Ah : X → X ∗

h > 0✱ J s : X → X ∗

(2.5)✱ fδ ∈ X ∗

✈í✐ ♠ä✐

❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❜Þ ❝❤➷♥✱

h✲❧✐➟♥

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

δ > 0✳

●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥

X

tơ❝ ✈í✐

t❤á❛ ♠➲♥

(2.3)

✈➭

(2.4)

t❤á❛ ó
ớ ỗ

> 0 trì (2.2) ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ xτα ✱ τ = (h, δ)✳

✷✮ ♥❣♦➭✐ r❛ ♥Õ✉

h+δ
→ 0 ❦❤✐ α → 0,
α
t❤× ❞➲② ♥❣❤✐Ư♠

✭✷✳✻✮

{xτα } ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư x0 ∈ S0

t❤á❛ ♠➲♥

✭✷✳✼✮

x0 − x∗ = min x − x∗ .
x∈S0

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

✶✮ ❉♦

X ∗ ❧å✐ ❝❤➷t ♥➟♥ J s ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ h✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ❱× ✈❐②✱

A + αJ s ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ h✲❧✐➟♥ tơ❝ tõ X ✈➭♦ X ∗ ✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ J s
❧➭ t♦➳♥ tö ❜ø❝ ớ ỗ

> 0 t tử A + J s ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❜ø❝✳

❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ①Ðt

(A + αJ s )(x), x = A(x) + αJ s (x), x
= A(x) − A(θ) + A(θ) + αJ s (x), x − θ
= A(x) − A(θ), x − θ + A(θ), x − θ
+ α J s (x), x − θ .
❱×

A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➟♥
A(x) − A(θ), x − θ ≥ 0, ∀x ∈ X.

▼➷t ❦❤➳❝✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

X t❛ ❝ã

α J s (x), x − θ = α J s (x), x = α x s .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu

✷✺

❉♦ ➤ã

(A + αJ s )(x), x ≥ α x

s

− A(θ) x .

❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛

(A + αJ s )(x), x
α x
≥
x
=α x
❱×

s ≥ 2 ♥➟♥
lim

x →+∞

❇➞② ❣✐ê t❛ sÏ ❝❤Ø r❛

s

− A(θ) x
x

s−1

− A(θ) .

(A + αJ s )(x), x
= +∞.
x

A + αJ s ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ tõ tÝ♥❤ ❝❤✃t

➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ t♦➳♥ tư

A ✈➭ J s ✈➭ ✭✷✳✺✮ t❛ ❝ã

(A + αJ s )(x) − (A + αJ s )(y), x − y
= A(x) − A(y), x − y + α J s (x) − J s (y), x − y
≥ αmJ x − y s , s ≥ 2.
❱❐② ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✷✮✱ ớ ỗ

> 0 ó t ệ x t❛ ❝ã

Ah (xτα ) + αJ s (xτα − x∗ ) = fδ ,
✷✮ ❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞➲② ♥❣❤✐Ư♠

✭✷✳✽✮

{xτα } ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ∈ S0 t❤á❛

♠➲♥ ✭✷✳✼✮✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ tõ ✭✷✳✶✮ ✈➭ ✭✷✳✽✮ t❛ ❝ã

Ah (xτα ) − A(x) + f − fδ , xτα − x
+ α J s (xτα − x∗ ) − J s (x − x∗ ), xτα − x

✭✷✳✾✮

= α J s (x − x∗ ), x − xτα , ∀x ∈ S0 .
❉♦

A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ J s t❤á❛ ♠➲♥ ✭✷✳✺✮ ♥➟♥ tõ ✭✷✳✾✮ s✉② r❛
αmJ xτα − x

s

≤ α J s (x − x∗ ), x − xτα
+ Ah (xτα ) − Ah (x) + Ah (x)

✭✷✳✶✵✮

− A(x) + f0 − fδ , x − xτα .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên