Ôn tập Chương III. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>
<b>Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>

<b>I. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn</b>
<b>1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<b>Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax + by = c. Trong đó a,b,c là</b>
<i><b>những số cho trước a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.</b></i>

- Nếu các số thực x0,y0 thỏa mãn ax + by = c thì cặp số (x0,y0) được gọi là nghiệm của phương
trình ax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm (x0,y0) của phương trình ax + by = c được biểu diễn
bới điểm có tọa độ (x0,y0).

<b>2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vơ số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c.

+ Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình có nghiệm

<i>c</i>
<i>x</i>

<i>a</i>

<i>y</i> <i>R</i>






 

 _{và đường thẳng d song song hoặc}
trùng với trục tung.

+ Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm

<i>x R</i>
<i>c</i>
<i>y</i>

<i>b</i>








 _{và đường thẳng d song song hoặc}
trùng với trục hoành.

+ Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm

<i>x R</i>

<i>ax c</i>
<i>y</i>

<i>b</i> <i>b</i>








 



 _{và đường thẳng d là đồ thị hàm}

số

<i>ax</i> <i>c</i>
<i>y</i>

<i>b</i> <i>b</i>



 

<b>II. Các dạng toán thường gặp về phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<b>Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc</b>
nhất hai ẩn.

<i>Phương pháp:</i>

Nếu cặp số thực (x0,y0) thỏa mãn ax + by = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình
ax + by = c.

<b>Dạng 2: Viết cơng thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập</b>
nghiệm trên hệ trục tọa độ.

<i>Phương pháp:</i>

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c.

1. Để viết cơng thức nghiệm tổng qt của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y
(hoặc y theo x) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.

2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d
có phương trình ax + by = c.

<b>Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước</b>
<i>Phương pháp:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1. Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng
<i>c</i>
<i>x</i>

<i>a</i>



. Khi đó
d song song hoặc trùng với Oy .

2. Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng
<i>c</i>
<i>y</i>

<i>b</i>


. Khi đó
d song song hoặc trùng với Ox .

3. Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm M(x0,y0) khi và chỉ khi ax0 + by0 = c.
<b>Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<i>Phương pháp:</i>

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:
<b>Cách 1:</b>

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn

Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x ) theo ẩn kia.
Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được
một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t

- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với
các hệ số nguyên.

<b>Cách 2:</b>

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên(x0,y0) của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng a(x − x0) + b(y − y0) = 0 từ đó dễ dàng tìm được các
nghiệm ngun của phương trình đã cho.

<b>III. Một số ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<b>Ví dụ 1. Chứng tỏ cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.</b>
<i><b>Giải:</b></i>

Ta có: VT = 2.1 - 1 = 1 = VP.

Vậy cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.
<b>Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: </b>

a) 3x - y = 2 b) 4x - 3y = -1
<i><b>Giải:</b></i>

a) Ta có: 3x - y = 2 <=> y = 3x - 2.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là 3 2
<i>x R</i>
<i>y</i> <i>x</i>





 


b) Ta có: 4x - 3y = -1 <=> 4x = 3y - 1 <=>

3 1

4 4

<i>x</i> <i>y</i>

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

3 1

4 4

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y R</i>


 




 


<b>Ví dụ 3. Tìm điều kiện của m để đường thẳng </b>

5 2

1

2 5

<i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 

<b> song song với trục tung.</b>
<i><b>Giải: Đường thẳng d: </b></i>

5 2

1

2 5

<i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 

<b> có a = </b>
5
2
<i>m</i>

; b =
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Để đường thẳng d song song với trục tung thì
0
0
<i>a</i>
<i>b</i>








=>

5

0
2
2

0
5
<i>m</i>

<i>m</i>









 _



 _<=>

5 0

2 0

<i>m</i>
<i>m</i>

 





 _<=>

5
0
<i>m</i>
<i>m</i>







 _{<=> m = 0}
Vậy với m = 0 thì d song song với trục tung.

<b>IV. Bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<b>Bài 1. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau và vẽ đường thẳng biễu diễn tập nghiệm</b>
đó:

a) 2x + y = 3 b) x - 2y = 4 c) 4x + 0y = -2
<b>Bài 2. Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng y = ax + b?</b>

a) 5x – y = 7 b) 3x + 5y = 10 c) 0x + 3y = −1 d) 6x – 0y = 18
<b>Bài 2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>
<b>I. Lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<b>1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<i>Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: </i>

(1)

' ' ' (2)

<i>ax by c</i>
<i>a x b y c</i>

 




 


<i>Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước, x và y là ẩn số.</i>

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0,y0) thì (x0,y0) được gọi là nghiệm của hệ
phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) khơng có nghiệm chung thì hệ phương trình vơ
nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
<b>2. Hệ phương trình tương đương</b>

<i><b>Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm</b></i>
<b>3. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung
của hai đường thẳng d: ax + by = c và d′: a′x + b′y = c′.

<i><b>Trường hợp 1: d ∩ d′ = A(x</b></i>0; y0) ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0);
<i><b>Trường hợp 2: d // d′ </b></i>⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm;

<i><b>Trường hợp 3: d ≡ d′</b></i>⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm.
<b>+ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ </b> ' '

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> _;
<b>+ Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔</b> ' ' '

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <b>_;</b>
<b>+ Hệ phương trình có vơ số nghiệm ⇔</b> ' ' '

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <b>_.</b>

<i><b>* Chú ý: (khơng nên sử dụng trong trường hợp hệ pt có chứa tham số)</b></i>

<b>II. Các dạng toán thường gặp về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn</b>
<b>Dạng 1: Dự đốn số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

(1)

' ' ' (2)

<i>ax by c</i>
<i>a x b y c</i>

 




 



- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ ' '

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i>
- Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ ' ' '

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

- Hệ phương trình có vơ số nghiệm ⇔ ' ' '

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<b>Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay</b>
không?

<i>Phương pháp: Cặp số (x</i>0;y0) là nghiệm của hệ phương trình ' ' '
<i>ax by c</i>
<i>a x b y c</i>

 




 

 _{khi và chỉ khi nó}

thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

<b>Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị</b>

<i>Phương pháp: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn </i> ' ' '
<i>ax by c</i>

<i>a x b y c</i>

 




 

 _{bằng phương pháp đồ}

thị ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c và d': a'x + b'y = c' trên cùng một hệ trục tọa độ.
Hoặc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của
hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng).

<b>III. Một số ví dụ về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<b>Ví dụ 1. Khơng cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải</b>
<b>thích: </b>

a)

3 2

3 1

<i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 




 

 _b)

3

2 2 3

<i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 




 


<i><b>Giải</b></i>:

a) (Do các phương trình có dạng đường thẳng y = ax + b nên chỉ cần xét các hệ số a, b)
Từ:

3 2

3 1

<i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 



 

 _<=>

2 3

3 1

<i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 




 


Ta có: a = -2; b = 3 và a’ = 3; b’ = -1

Vì a _a’(-2_{3) nên hai đường thẳng cắt nhau.}
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) <i><b>Cách 1</b></i>: Đưa các phương trình về dạng y = ax + b để so sánh các hệ số a, b.

Từ

3

2 2 3

<i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 




 

 _<=>

3

2 2 3

<i>y x</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 




 

 _<=>

3
3
2
<i>y x</i>
<i>y x</i>
 





 




Ta có: a = 1; b = -3 và a’ = 1; b’ =
3
2


</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

<i><b>Cách 2</b></i>: Dựa vào các hệ số a, b, c của hai phương trình để xét.
Từ

3

2 2 3

<i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 




 

 _{ta có: a = 1; b = -1; c = 3 và a’ = 2; b’ = -2; c’ = 3.}
Do ' ' '

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> ₍

1 1 3

2 2 3



 

 _{) nên hệ phương trình vơ nghiệm.}

<b>Ví dụ 2. Cho hệ phương trình: </b>

x y 3
mx y 2m

 




  

 <b>_{. Xác định m để hệ phương trình:}</b>

<b>a) Có một nghiệm </b> <b>b) Vơ nghiệm </b> <b>c) Có vơ số nghiệm </b>
<i><b>Giải:</b></i>

Ta có hệ (I)

x y 3 (1)
mx y 2m (2)

 




  



(1) <=> x = 3 - y. Thay x vào phương trình (2), ta được:

(2) => -m(3 - y) - y = 2m <=> -3m +my - y = 2m <=> (m - 1)y = 5m (*)

a) Để hệ (I) có một nghiệm thì phương trình (*) có một nghiệm <=> m - 1_{0 <=> m}₁
Vậy với m_{1 thì hệ (I) có một nghiệm.}

b) Để hệ (I) vơ nghiệm thì phương trình (*) vơ nghiệm <=>

1 0

5 0

<i>m</i>
<i>m</i>

 





 _<=>
1

0
<i>m</i>
<i>m</i>







 _{<=> m = 1}
Vậy với m = 1 thì hệ (I) vơ nghiệm.

c) Để hệ (I) vơ nghiệm thì phương trình (*) có vơ số nghiệm <=>

1 0

5 0

<i>m</i>
<i>m</i>

 





 _<=>
1

0
<i>m</i>
<i>m</i>







 _{(Vơ lí)}
Vậy khơng có giá trị nào của m để hệ (I) có vơ số nghiệm.

<b>IV. Bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<b>Bài 1. Khơng cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích: </b>

a)

2 3

2 1

<i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i>

 




 

 _b)

3 5

2 6 9

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 





 

 _c)

4 4 2

2 2 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 




  



<b>Bài 2. </b>Cho hệ phương trình

{

mx<i>_{x −}</i>+3₂<i>y=−_y=</i>₅4 . Xác định m để hệ phương trình:
a) Có nghiệm duy nhất b) Vơ nghiệm

<b>Bài 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ </b>
<b>VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ</b>

<b>I. Lý thuyết giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số</b>

<i><b>1. Quy tắc thế</b></i>

Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta
sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:

<b>Bước 1. </b>Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu
diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ cịn
một ẩn).

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>2. Quy tắc cộng đại số</b></i>

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng
phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :

<b>Bước 1.</b> Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đả cho để dược một
phương trình mới.

<b>Bước 2.</b> Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương
trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.

<b>II. Các dạng toán thường gặp về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế</b>
<b>Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.</b>
* Phương pháp thế:

Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta
làm như sau:

<i>Bước 1. Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình cịn lại, ta</i>
được phương trình mới chỉ cịn một ẩn.

<i>Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.</i>
Để lời giải được đơn giản, ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không
quá lớn (thường là 1 hoặc - 1 ) và rút x hoặc y có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn qua ẩn cịn
lại.

* Phương pháp cộng đại số:

Từ quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng
đại số ta làm như sau:

<i>Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của</i>
một ẩn nào đó trog hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

<i>Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được một</i>
phương trình mới (chỉ cịn một ẩn ).

<i>Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa thu được từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho</i>
<b>Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn</b>

<i>Phương pháp : </i>

<i>Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.</i>
<i>Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như ở Dạng 1.</i>

<b>Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ</b>
<i>Phương pháp : </i>

<i>Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho</i>
để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.

<i>Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1, ta tìm được</i>
nghiệm của hệ phương trình đã cho.

<b>Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.</b>
<i>Phương pháp : </i>

Một số kiến thức thường sử dụng:

+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ' ' '
<i>ax by c</i>
<i>a x b y c</i>

 




 

 _{có nghiệm(x}₀_;y₀₎_⇔

0 0
0 0

' ' '

<i>ax</i> <i>by</i> <i>c</i>

<i>a x</i> <i>b y</i> <i>c</i>

 




 


+ Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ ax0 + by0 = c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a)
3 4
4
<i>x y</i>
<i>x y</i>
 


 
 _b)
¿

3<i>x −</i>2<i>y=</i>4
2<i>x</i>+<i>y=</i>5

¿{
¿
<i><b>Giải:</b></i>

* Cách 1: (bằng phương pháp thế)

a)
3 4
4
<i>x y</i>
<i>x y</i>
 


 
 <i>⇔</i>

3 (4 ) 4

4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i>
  


 
 <i>⇔</i>

3 4 4

4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i>
  



 
 <i>⇔</i>
4 8
4
<i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i>



 
 <i>⇔</i>
2
4 2
<i>x</i>
<i>y</i>



 
 <i>⇔</i>
2
2
<i>x</i>
<i>y</i>





Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 2)

b)

¿

3<i>x −</i>2<i>y=</i>4
2<i>x</i>+<i>y=</i>5

¿{
¿

<i>⇔</i>

¿

3<i>x −</i>2(5<i>−</i>2<i>x</i>)=4
<i>y=</i>5<i>−</i>2<i>x</i>

¿{
¿

<i>⇔</i>

¿

3<i>x −</i>10+4<i>x=</i>4
<i>y</i>=5<i>−</i>2<i>x</i>

¿{
¿

<i>⇔</i>

¿

7<i>x</i>=14
<i>y=</i>5<i>−</i>2<i>x</i>

¿{
¿

<i>⇔</i>

¿
<i>x=</i>2

<i>y=</i>5<i>−</i>2 . 2

¿{
¿
<i>⇔</i>
¿
<i>x=</i>2
<i>y=</i>1
¿{
¿

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 1)
* Cách 2: (bằng phương pháp cộng đại số)

a) Ta có:

3 4
4
<i>x y</i>
<i>x y</i>
 


 
 <i>⇔</i>
4 8
4
<i>x</i>
<i>x y</i>



 
 <i>⇔</i>
2
4 2
<i>x</i>
<i>y</i>



 
 <i>⇔</i>
2

2
<i>x</i>
<i>y</i>






Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 2)

<i>Lưu ý: ở bước 1, 2 pt có hệ số của ẩn y là hai số đối nhau. Khi đó, ta cộng từng vế của 2</i>
<i>pt: (3x - y) + (x + y) = (4 + 4) để được pt mới: 4x = 8. Đồng thời giữ lại một trong hai pt ban</i>
<i>đầu để có hpt mới </i>

4 8
4
<i>x</i>
<i>x y</i>



 
 <i>_.</i>
b)
¿

3<i>x −</i>2<i>y=</i>4
2<i>x</i>+<i>y=</i>5

¿{
¿

<i>⇔</i>





3 2 4

2 2 2.5

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>
 



 

 <i>⇔</i>
¿

3<i>x −</i>2<i>y=</i>4
4<i>x</i>+2<i>y=</i>10

¿{
¿

<i>⇔</i>

¿

7<i>x=</i>14
2<i>x</i>+<i>y</i>=5

¿{
¿

<i>⇔</i>

¿
<i>x=</i>2
2. 2+<i>y=</i>5

¿{
¿
<i>⇔</i>
¿
<i>x=</i>2
<i>y=</i>1
¿{
¿

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).

<i>Lưu ý: ở bước 1, nhân cả 2 vế của pt (2) với 2 để hệ số của ẩn y ở 2 pt là hai số đối nhau.</i>
<i>Khi đó, ta cộng từng vế của 2 pt để được pt mới: 7x = 14. Đồng thời giữ lại một trong hai pt</i>
<i>ban đầu để có hpt mới </i>

¿

7<i>x=</i>14

2<i>x</i>+<i>y</i>=5

¿{
¿

<i>.</i>

<i>- Trong q trình làm bài có thể bỏ qua bước giải: </i>





3 2 4

2 2 2.5

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: </b>

1 1 1

16

3 6 1

4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 



  




<i><b>Giải:</b></i> Ta có:

1 1 1

16

3 6 1

4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 



  


 _<=>

1 1 1

16

1 1 1

3. 6.
4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 



 _ _


 _{(I). Đặt u =}

1

x_{và v =}
1
y_.
(I) <=>
1
16
1
3 6
4
<i>u v</i>
<i>u</i> <i>v</i>

 




 _ _


 _<=>

3
3 3
16
1
3 6
4
<i>u</i> <i>v</i>
<i>u</i> <i>v</i>

 



 _ _


 _<=>

1
16
1
3
16

<i>u v</i>
<i>v</i>

 



 _


 _<=>

1 1
48 16
1
48
<i>u</i>
<i>v</i>

 



 


 _<=>

1
24

1
48
<i>u</i>
<i>v</i>





 


Khi đó:
1 1

x 24_{=> x = 24 ;}

1 1

y48_{=> y = 48}
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (24; 48)

<b>Ví dụ 3. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m - 5)x - 5m đi qua giao điểm của hai</b>
<b>đường thẳng (d1): 2x + 3y =7 và (d2): 3x + 2y = 13.</b>

<i><b>Giải: </b></i>

Tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng (d1và (d2) là nghiệm của hệ pt:

2 3 7

3 2 13

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 

 _(I)

Ta có: (I) <=>

6 9 21

6 4 26

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
 


 

 _<=>

5 5

2 3 7

<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>



 

 _<=>

1

2 3.( 1) 7
<i>y</i>
<i>x</i>



  

 _<=>

1
5
<i>y</i>
<i>x</i>






=> Giao điểm của hai đường thẳng (d1và (d2) là M(5; -1).

Vì đường thẳng (d): y = (2m - 5)x - 5m đi qua giao điểm M(5; -1) nên x = 5; y = -1.
Thay x = 5; y = -1 vào y = (2m - 5)x - 5m, ta được:

(2m - 5) . 5 - 5m = -1 <=> 10m - 25 - 5m = -1 <=> 5m = 24 <=> m =
24

5
Vậy m =

24
5

<b>Ví dụ 4. Cho hệ phương trình: </b>

x y 3
mx y 2m

 




  

 <b>_{. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm}</b>
<b>duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện: x - y = 1 </b>

<i><b>Giải:</b></i>
Ta có hệ (I)

x y 3 (1)
mx y 2m (2)

 




  



(1) <=> x = 3 - y. Thay x vào phương trình (2), ta được:

(2) => -m(3 - y) - y = 2m <=> -3m +my - y = 2m <=> (m - 1)y = 5m (*)

Để hệ (I) có một nghiệm thì phương trình (*) có một nghiệm <=> m - 1_{0 <=> m}₁
Với m_{1 thì từ (*) => y =}

5
1
<i>m</i>
<i>m</i> _.

Thay y vào phương trình x = 3 - y, ta được: x = 3 -
5

1
<i>m</i>
<i>m</i> ₌

3 3 5 2 3

1 1

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

   



</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

=> Hệ pt (I) có nghiệm duy nhất (x; y) = (

2 3

1
<i>m</i>
<i>m</i>
 

 _;
5

1
<i>m</i>

<i>m</i> _{) (với m}_1).
Theo đề bài, ta có: x - y = 1 <=>

2 3 5

1

1 1

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

 

 

  _=>( 2m 3) 5m m 1    
<=> -2m - 5m -m = -1 + 3
<=> -8m = 2

<=> m =
1
4


Vậy với m =
1
4



thì Hệ pt (I) có nghiệm duy nhất.

<b>IV. Bài tập về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.</b>
<b>Bài 1: </b>Giải các hệ phương trình sau:

a<b>) </b>

3

2 3 16

<i>x y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 




 

 _b)

x y 3

3x 4y 2

 





 

 _c)

3x y 3
2x y 7
 




 

 _d)

3 2 3

2 2 7

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 





 



e)

x 2y 5
3x 4y 5

 




 

  _f)

5 7 6

4 3 2

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 





 

 _g)

x 4y 2
4x 3y 11

 

 







_h)

2 1

4

1 1

1 1

1

1 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 

  




 _ _

  



<b>Bài 2. Xác định các hệ số a, b, biết rằng hệ pt: </b>

2x by 4

bx ay 5

 




 

 _{có nghiệm là (x; y) = (1; -2).}

<b>Bài 3.</b> Cho hệ phương trình

3 4

1
<i>x my</i>
<i>x y</i>

 




 


a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất? Vơ số nghiệm?
b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm x < 0, y > 0

<b>Bài 4.</b> Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng sau: 3x + 2y = 5; 2x - y = 4 và mx + 7y = 11
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng tọa độ.

<b>Bài 5. </b>Xác định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

¿

mx+2<i>y=m+</i>1

2<i>x</i>+my=2<i>m−</i>1
¿{

¿

.

<b>Bài 6. </b>Cho hệ phương trình

¿

3<i>x −</i>my=−9
mx+2<i>y=</i>16

¿{
¿

.
a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình ln ln có nghiệm duy nhất với mọi m

c) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong
góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

d) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
<b>Bài 4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>
<b>I. Lý thuyết giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

<b>Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.</b>
<b>Bước 3. Kết luận</b>

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.
- Kết luận bài toán.

<b>II. Các dạng toán thường gặp về giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình</b>
<b>Dạng 1: Tốn liên quan đến mối quan hệ giữa các số</b>

<i>Phương pháp:</i>

Ta thường sử dụng các kiến thức sau:

+) Biểu diễn số có hai chữ số : <i>ab</i>10<i>a b</i> _{, trong đó a là chữ số hàng chục và 0< a ≤ 9, a}_∈_{N, b}
là chữ số hàng đơn vị và 0≤ b ≤9, b∈N.

+) Biểu diễn số có ba chữ số: <i>abc</i>100<i>a</i>10<i>b c</i> _{, trong đó:}
a là chữ số hàng trăm và 0 < a ≤ 9, a∈N,

b là chữ số hàng chục và 0 ≤ b ≤ 9, b∈N,
c là chữ số hàng đơn vị và 0 ≤ c ≤ 9, c∈N.
<b>Dạng 2: Toán chuyển động</b>

<i>Phương pháp:</i>

Ta thường sử dụng các công thức s = v.t, v = s.t, t = s.v (s: quãng đường, v: vận tốc, t: thời gian)
<b>Dạng 3: Tốn làm chung cơng việc</b>

<i>Phương pháp:</i>

Một số lưu ý khi giải bài tốn làm chung cơng việc:

- Có ba đại lượng tham gia là: Tồn bộ công việc, phần công việc làm được trong một đơn vị
thời gian (năng suất) và thời gian.

- Nếu một đội làm xong cơng việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được
1

x_{cơng việc.}
- Xem tồn bộ cơng việc là 1 (cơng việc).

<b>Dạng 4: Tốn phần trăm</b>
<i>Phương pháp:</i>

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a% là (100 + a)%.x (sản phẩm)
- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi giảm a% là (100 − a)%.x (sản phẩm).
<b>Dạng 5: Tốn có nội dung hình học</b>

<i>Phương pháp:</i>

Một số cơng thức cần nhớ
+ Với tam giác:

- Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) :2 - Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh

+ Với tam giác vng: Diện tích = Nữa tích hai cạnh góc vng.

+ Với hình chữ nhật:

- Diện tích = (Chiều dài). (Chiều rộng) - Chu vi = (Chiều dài + chiều rộng).2
+ Với hình vng cạnh a

- Diện tích = a2 _{- Chu vi = 4.a}

<b>Dạng 6: Một số dạng tốn khác</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Ví dụ 1. (Tốn tìm số) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn</b>
hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số
mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.

<i><b>Giải:</b></i>

Gọi chữ số hàng chục là x (0 < x ≤ 9, x ∈ N) và chữ số hàng đơn vị là y (0 < y ≤ 9, x ∈ N).
Theo điều kiện đầu, ta có: 2y - x = 1 <=> -x + 2y = 1

Theo điều kiện sau, ta có: (10x + y) - (10y + x) = 27 <=> 9x - 9y = 27 <=> x - y = 3
Ta có hệ phương trình:

2 1

3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x y</i>

  




 

 _<=>
4
4 3
<i>y</i>
<i>x</i>





 

 _<=>
4
7
<i>y</i>
<i>x</i>








Vậy số tự nhiên có hai chữ số là 74.

<b>Ví dụ 2. (Tốn chuyển động) Một chiếc xe tải đi từ Tp. HCM đến Tp. Cần Thơ có quãng</b>
đường dài là 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ Tp. Cần
Thơ về Tp. HCM và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết
rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

<i><b>Phân tích bài tốn:</b></i>

Từ lúc xuất phát đến khi hai xe gặp nhau thì:
- Thời gian xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút =

9
5_giờ.
- Thời gian xe tải đã đi là 1 giờ +

9
5_{giờ =}

14

5 _{giờ. (vì xe tải khởi hành trước xe khách 1 giờ)}
Nếu gọi vận tốc của xe tải là x (km/h) và vận tốc của xe khách là y (km/h) (x > 0, y > 0) thì:
- Quãng đường xe tải đã đi được là

14

5 _{x (km)}
- Quãng đường xe khách đã đi được là

9

5_{y (km)}

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

13

14 9

189

5 5

<i>y x</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 





 



 _<=>

13

14 9 945

<i>x y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
  




 


Có thể dùng bảng như sau:

Thời gian (h) Vận tốc (km/h) Quãng đường (km)

Xe tải 14

5 x

14
5 _x

Xe khách 9

5 y

9

5_y
<i><b>Giải:</b></i>

Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h) và vận tốc của xe khách là y (km/h) (0< x < y).
Thời gian xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút =

9
5_giờ.
Thời gian xe tải đã đi là 1 giờ +

9
5_{giờ =}

14
5 _giờ.
Quãng đường xe tải đã đi được là

14

5 _{x (km)}
Quãng đường xe khách đã đi được là

9

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

13

14 9

189

5 5

<i>y x</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 





 



 _<=>

13

14 9 945

<i>x y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
  




 

 _<=>

9 9 117

14 9 945

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

  




 



<=>

13
23 828

<i>x y</i>
<i>x</i>
  





 _<=>

36 13

36
<i>y</i>
<i>x</i>

  






 _<=>

49
36
<i>y</i>
<i>x</i>







Vậy vận tốc của xe tải và xe khách lần lượt là 36 km/h và 49 km/h.

<b>Ví dụ 3. (Tốn năng suất) </b>Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu
người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hồn thành được 25% cơng
việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hồn thành cơng việc đó trong bao lâu?

<b>Cách 1:</b>

<i><b>Phân tích bài tốn: 25% = </b></i>
1
4

- Nếu gọi thời gian hồn thành công việc của người thứ nhất là x (giờ) và thời gian hồn
thành cơng việc của người thứ hai là y (giờ) (x > 0, y > 0).

- Trong mỗi giờ, người thứ nhất làm được
1

x_{(công việc) và}_{người thứ hai làm được}
1
y
(công việc).

- Nếu hai người cùng làm thì được
1

16_{(cơng việc). Ta có pt:}
1

x₊

1
y₌

1
16

- Người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì hồn thành được 25% cơng
việc. Từ đó, ta có pt: 3.

1
x_{+ 6.}

1
y₌

1
4
Ta có thể tóm tắt bằng bảng như sau:

Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) Năng suất/1 giờ

Người thứ 1 x 1

x

Người thứ 2 y 1_y

Hai người 16 1

16

Ta có hệ pt:

1 1 1

16

1 1 1

3. 6.
4
<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 





 _ _



<i><b>Giải:</b></i>

Gọi thời gian hồn thành cơng việc của người thứ nhất là x (giờ) và thời gian hồn thành cơng
việc của người thứ hai là y (giờ) (x > 0, y > 0).

Trong mỗi giờ, người thứ nhất làm được
1

x_{(công việc) và}_{người thứ hai làm được}
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

1 1 1

16

1 1 1

3. 6.
4
<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 






 _ _



 _{(I). Đặt u =}

1

x_{và v =}
1
y_.

(I) <=>

1
16

1

3 6

4
<i>u v</i>

<i>u</i> <i>v</i>


 






 _ _



 _<=>

3

3 3

16
1

3 6

4
<i>u</i> <i>v</i>
<i>u</i> <i>v</i>


 





 _ _



 _<=>

1
16
1
3

16
<i>u v</i>

<i>v</i>


 





 _



 _<=>

1 1

48 16
1
48
<i>u</i>
<i>v</i>


 




 


 _<=>

1
24

1
48
<i>u</i>
<i>v</i>







 



Khi đó:

1 1

x 24_{=> x = 24 ;}

1 1

y48_{=> y = 48}

Vậy người thứ nhất làm một mình xong cơng việc trong 24 giờ và người thứ hai làm một mình
xong cơng việc trong 48 giờ.

<b>Cách 2: </b>

<i><b>Phân tích bài tốn: 25% = </b></i>
1
4

- Nếu gọi số phần cơng việc của người thứ nhất làm trong một giờ là x (công việc) và số
phần công việc của người thứ nhất làm trong một giờ là y (công việc) (x > 0, y > 0).

- Thời gian hồn thành cơng việc của người thứ nhất làm được
1

x_{(giờ) và}_{thời gian hồn}

thành cơng việc của người thứ hai làm được
1

y_(giờ).
- Nếu hai người cùng làm thì được

1

16_{(cơng việc). Ta có pt: x + y =}
1
16

- Người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì hồn thành được 25% cơng
việc. Từ đó, ta có pt: 3.x + 6.y =

1
4
Ta có thể tóm tắt bằng bảng như sau:

Thời gian hồn thành công việc (giờ) Năng suất/1 giờ

Người thứ 1 1

x x

Người thứ 2 1_y y

Hai người 16 1

16

Ta có hệ pt:

1
16

1
3. 6.

4
<i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 





 _ _



<i><b>Giải:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Thời gian hồn thành cơng việc của người thứ nhất làm được
1

x_{(giờ) và}_{thời gian hồn thành}
cơng việc của người thứ hai làm được

1

y_(giờ).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

1
16

1
3. 6.

4
<i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>



 






 _ _



 _(I)

(I) <=>

3

3 3

16
1

3 6

4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>


 





 _ _



 _<=>

1
16
1
3

16
<i>x y</i>

<i>y</i>


 





 _



 _<=>

1 1

48 16
1
48
<i>x</i>
<i>y</i>


 




 


 _<=>

1
24

1
48
<i>x</i>
<i>y</i>







 



Khi đó:

1 1

1:

x  24_=>
1

x_{= 24 ;}

1 1

1:

y 48_=>
1
y_{= 48}

Vậy người thứ nhất làm một mình xong cơng việc trong 24 giờ và người thứ hai làm một mình
xong cơng việc trong 48 giờ.

<b>Ví dụ 4. (Tốn có nội dung hình học) Một sân trường hình chữ nhật có chu vi bằng 340m. Ba</b>
lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

<i><b>Giải:</b></i>

Gọi chiều dài của sân trường hình chữ nhật là x (m)

Chiều rộng của sân trường hình chữ nhật là y (m) (x > y > 0)

Vì chu vi của sân trường là 340m nên 2(x + y) = 340 hay x + y = 170.

Do ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x - 4y = 20.
Ta có hệ pt:

170

3 4 20

<i>x y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 




 

 _<=>

4 4 680

3 4 20

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 




 

 _<=>

7 700

170
<i>x</i>

<i>x y</i>




 

 _<=>

100

100 170

<i>x</i>
<i>y</i>




 

 _<=>

100
70
<i>x</i>
<i>y</i>







Vậy chiều dài là 100m và chiều rộng là 70m.

<b>IV. Bài tập về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình</b>
<b>* Dạng tốn tìm số</b>

<b>Bài 1</b>. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 28 và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì
được thương là 3 và số dư là 4. (<i>dùng công thức: a = b.q + r</i>)

<b>Bài 2</b>. Tìm hai số tự nhiên biết rằng: Tổng của chúng bằng 1012. Hai lần số lớn cộng số nhỏ
bằng 2014.

<b>Bài 3</b>.Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn
vị là 3. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số mới có hai chữ số lớn hơn số ban đầu là 9.
<b>* Dạng toán chuyển động</b>

<b>Bài 4</b>. Có hai ơtơ khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 35 km. Hai xe đi ngược
chiều nhau và gặp nhau sau 5 giờ. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng xe đi từ A đi nhanh hơn xe đi
từ B mỗi giờ là 10 km.

<b>Bài 5</b>. Một ô tô và một mô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 200 km
đi ngược chiều và gặp nhau sau 2,5 giờ. Tính vận tốc của ơtơ và mô tô, biết rằng vận tốc mô tô
nhỏ hơn vận tốc ơtơ là 20 km/h.

<b>* Dạng tốn năng suất</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời phải làm trong bao nhiêu ngày để
hồn thành cơng việc.

<b>Bài 7</b>. Hai người cùng làm một cơng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong cơng việc. Nếu người thứ
nhất làm trong 4 giờ và người thứ hai làm trong 3 giờ thì đựơc 50% cơng việc. Hỏi mỗi người
làm một mình trong mấy giờ thì xong cơng việc ?

<b>Bài 8</b>. Hai vịi nớc cùng chảy vào bể khơng có nớc thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất
chảy trong 6 giờ và vịi thứ hai chảy trong 2 giờ thì đợc

14

15_{bể nước. Hỏi nếu mỗi vịi chảy một}

mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
<b>* Dạng tốn hình học</b>

<b>Bài 9</b>. Hai cạnh góc vng của một tam giác vng hơn kém nhau 2 cm. Nếu giảm cạnh lớn đi 4
cm và tăng cạnh nhỏ lên 6 cm thì diện tích khơng đổi. Tính diện tích của tam giác vng.

<b>Bài 10</b>. Một hình chữ nhật có chu vi 110m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 10m. Tính
diện tích hình chữ nhật.

<b>Bài 11</b>. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, nếu tăng chiều dài 5 mét và giảm chiều
rộng 3 mét thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng . Hỏi kích thước khu vườn đó là bao nhiêu ?

<b>Bài 12</b>. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90m. Nếu giảm chiều dài 5m và chiều rộng

2m thì diện tích giảm 140m2_{. Tính diện tích mảnh đất đó.}

</div>

<!--links-->