Chương II. §3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>C</b>
<b>H</b>

<b> </b><i><b>GV: Ninh Văn Hữu</b></i>
<b> HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC</b>

A

B _M_H₁ C

1
H2
H3
b
a
c

<b>1. Các kí hiệu trong tam giác </b>
BC = a; AC = b; AB = c
ha = AH1; hb = BH2; hc = CH3
ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3

R : bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác.
r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
p = 2

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i> 

nửa chu vi.

<b>*</b> Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C.
<b>*</b> ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A.

<b>2. Định lý cosin trong tam giác</b>
Với mọi tam giác ABC ta có:

a2_{= b}2_{+ c}2_{- 2bcCosA ; b}2_{= a}2 _{+ c}2_{- 2acCosB ; c}2_{= a}2_{+ b}2_{- 2abCosC}
<b>Ví dụ:</b> Cho tam giác ABC có b=2 3 , c = 5 và cosA= 5

3

. Tính cạnh cịn lại.
<b>3. Định lý sin trong tam giác</b>

Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC

hay <i>SinC</i> <i>R</i>

<i>c</i>
<i>SinB</i>
<i>b</i>
<i>SinA</i>
<i>a</i>
2





<b>Ví dụ:</b> Tìm R biết A = 600; b=8cm; c = 5 cm.
<b>4. Định lý trung tuyến</b>

2 4
2
2
2

2 <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>m_a</i>   

<b> </b> <b> </b> 2 4

2
2
2

2 <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>

<i>m_b</i>   

2 4
2
2
2

2 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>m_c</i>   

<b>5. Các cơng thức tính diện tích</b>

Cho tam giác ABC thì diện tích<i>S</i> được tính theo một trong các cơng thức sau:
<b>. </b> SABC = 2<i>aha</i>

1

= <i>bhb</i> 2<i>chc</i>
1
2

1


<b>. </b> SABC = <i>ab</i> <i>C</i> 2<i>ac</i>sin<i>B</i>
1

sin
2
1



= 2<i>bc</i>sin<i>A</i>
1

<b>.</b> SABC = <i>R</i>

<i>abc</i>

4
<b>.</b> SABC = pr

<b>.</b> SABC = <i>p</i>(<i>p</i> <i>a</i>)(<i>p</i> <i>b</i>)(<i>p</i> <i>c</i>)
<b>* Hệ thức lượng trong tam giác vuông</b>

Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 2 2 2 2

2

2 2 2

; . ; .

AH . ; . .

1 1 1

AH

sin ;cos

<i>BC</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB</i> <i>BH BC AC</i> <i>CH CB</i>

<i>HB HC</i> <i>AH BC</i> <i>AB AC</i>

<i>AB</i> <i>AC</i>

<i>doi</i> <i>ke</i>

<i>huyen</i> <i>huyen</i>

   

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>BÀI TẬP </b>
Bài 1 : Cho tam giác ABC vng ở A, có đường cao AH.
Tính AH; CH; BH; BC nếu biết AB = 3; AC = 4.

Bài 2 : Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a; BC = 4a;
góc BDC = 900_{. Tính AB; CD; AC.}

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16.
Tính CD ; AC ; BC.

Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, AH là đường cao (H_BC).
Gọi I là điểm thuộc AB sao cho AI = 2BI, CI cắt AH tại E. Tính CE .

Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A , 3

2


<i>AC</i>
<i>AB</i>

. Đường cao AH = 6.
Tính HB ; HC ; AB ; AC.

Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao , BH = 1, AC = 2 5.
Tính AB ; BC ; AH.

Bài 7 : Cho tam giác ABC. Tính ha , R , r nếu biết :
a) AC = 8 ; AB = 5 ; góc A = 600_.

b) BC = 21 ; CA = 17 ; AB = 8 .
c) BC = 2 ; AC = 3 ; AB = 4 .
d) a = 6 ; b = 2 ; c = 3+ 1.
e) a = 7 ; b = 5 ; c = 8 .

f) a = 2 3 ; b = 2 2 ; c = 6 2 .
g) a = 4 17 ; b= 6 ; c = 8 .

Bài 8 : Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 3. Trên đoạn AB,BC lần lượt lấy các
điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK.

Bài 9 : Cho tam giác ABC có cosA =9

5

,D thuộc cạnh BC sao cho ABC = DAC,
DA = 6 , BD = 3

16

. Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 10 : Cho tam giác ABC biết a = 4, b = 3, c = 2 , M là trung điểm AB. Tính bán
kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM.

Bài 11 : Tính góc A của tam giác ABC , biết rằng: b(b2_-a2_{) = c(a}2_-c2_).
Bài 12 : Cho tam giác ABC có b = 4, c = 3 , S=3 3. Tính cạnh a.
Bài 13 : Cho tam giác ABC có b = 6, c = 7 , C = 600_{. Tính cạnh a.}

Bài 14 : Cho tam giác ABC vng ở B, kéo dài AC về phía C một đoạn CD=AB=1
góc CBD = 300_{. Tính AC.}

Bài 15 : Cho tứ giác ABCD có ABC = ADC = 900_{, AB = a, AD = 3a, BAD = 60}0
Tính AC.

Bài 16 : Cho tam giác ABC có A = 600_{, hc=} 3_{, R = 5. Tính a, b, c.}

Bài 17 : Cho tam giác ABC có B < 900_{, AQ và CP là hai đường cao và PQ=}2 2

9

1
)
(

)
(





<i>ABC</i>
<i>dt</i>

<i>BPQ</i>
<i>dt</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 19 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 . Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 1
a) Tính độ dài đoạn thẳng AM và Cosin của góc AMB.

b) Tính bk đường trịn ngoại ,nội tiếp tam giác ABM.
c) Tính độ dài trung tuyến vẽ từ C của tam giác ACM.

Bài 20 : Cho tam giác ABC với A=600_{bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng}7/ 3_{và bán kính}
đường trịn nội tiếp bằng 3 . Tính diện tích và chu vi tam giác.

Bài 21 : Cho tam giác ABC, biết sinA =3

2

( 00_{< A < 90}0_{), b = 3 , c =}4 5_.
Tính bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác.

Bài 22 : Cho tam giác ABC cân có AB =AC =5a;BC = 5a. Gọi M là trung điểm BC,

Gọi N_{AB và AN = a.}

a) Tính MN.

b) Tính bán kính đường trịn nội ,ngoại tiếp tam giác AMN.

Bài 23 : Cho tam giác ABC đều có cạnh 4a ,lấy D_{BC ; E}_{AC ; F}_{AB sao cho}
BD = x ( 0 < x <4a ) , AE = a ; AF = 3a

a) Tính EF.

b) Xác định x để tam giác DEF vuông tại F.

Bài 24* : Cho tam giác ABC vuông tại C, AD là đường phân giác trong, BD = 4 ,
CD = 3 . Tính AB ; BC ; AC.

Bài 25 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Vẽ đường cao AH, BK.
Tính BK biết BC = 4 ; AH = 2.

Bài 26 : Cho hình thang vuông ABCD ( đường cao AB ) ngoại tiếp đường trịn
đường kính r , cho góc C = 600_{. Tính các cạnh của hình thang.}

Bài 27:Cho tam giác ABC vng tại A, đường phân giác trong AD chia cạnh huyền
thành những đoạn thẳng có độ dài bằng 7

15

và 7

20

. Tính các cạnh góc vng
và đường cao xuất phát từ đỉnh góc vng.

Bài 28 : Cho hình vng ABCD. Đường thẳng qua A cắt BC tại M và đường thẳng
cắt CD tại I. Tính AB biết AM = 3, AI = 2.

Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh BC. Tính
MA biết MB = 1, MC = 4.

Bài 30 :Cho tam giác ABC có góc A = 600_{,đường cao AH (H nằm khoảng giữa BC)}
Tính AH biết BH = 2a, CH = a.

Bài 31 : Cho tam giác vng có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2 Tính cạnh
nhỏ nhất của tam giác vuông này.

Bài 32 :ABC vuông tại A . Biết

5
6

<i>AB</i>

<i>AC</i>  _{, đường cao AH = 30cm. Tính HB,HC}

Bài 33 : Cho _{ABC vuông tại A ,vẽ đường cao AH , biết chu vi}_{ABH là 30cm, chu vi}
ACH là 40cm. Tính chu vi _ABC.

Bài 34 :Cho  ABC. Biết

a. AB = 5 ; AC = 8 ; Aˆ_{= 60}o_{. Tính BC}

b. BC = 6 ; AC = 2 6 ; AB = 3 2  6. Tính Aˆ; Bˆ; Cˆ

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

a. Góc BAC
b. <i>S</i><i>ABC</i>,R,r

c. Trung tuyến AM? Đường cao AH ?

Bài 36: Cho <i>ABC</i>_có<i>a</i>13 ,<i>cm b</i>14 ,<i>cm c</i>15<i>cm</i>
Tính :<i>S A B C R r m</i>, , , , , ,   <i>b</i>

Bài 37: Cho <i>ABC</i>_có <i>A</i> 30 ,0 <i>CA</i>5 ,<i>cm AB</i>9<i>cm</i>
Tính: <i>a S</i>, <i>ABC</i>, , , ,<i>B C h R</i>  <i>a</i> ?

Bài 38: Cho  ABC có AB = 5, AC = 8, BC = 7.

Tính Aˆ_{, S, AH, R, r, trung tuyến CK}

Bài 39: Cho  ABC có AB = 10, AC = 16, Aˆ = 60o.

Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến AM

Bài 40 Cho  ABC có AB = 13, AC = 8, BC = 7

</div>

<!--links-->