Chuyên đề Tỷ số thể tích và ứng dụng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Luyện thi Đại học 2013. Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN. TỶ SỐ THỂ TÍCH VÀ ỨNG DỤNG. Chủ đề 2:. I- CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG: Kết quả 1: Cho tam gi¸c OAB, trªn c¹nh OA chän A ' ¹ O, trªn c¹nh OB chän B ' ¹ O.. SOA ' B ' OA ' OB ' . = SOAB OA OB. Lúc đó:. Chøng minh: Gọi H, H' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' lên OB. 1 1 Lúc đó: SOA ' B ' = A ' H '.OB ' và SOAB = AH.OB 2 2 O Suy ra: SOA ' B ' A ' H ' OB ' OA ' OB ' = = . . ( §Þnh lý thales ) SOAB AH OB OA OB. A. A'. H'. B'. B. H. Kết quả 2:. Cho h×nh chãp S. ABC, trªn c¹nh SA chän A ' ¹ O, trªn c¹nh SB chän B ' ¹ O trªn c¹nh SC chän C ' ¹ O.. VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = . . VS . ABC SA SB SC. Lúc đó:. A. Chøng minh: Gọi H, H' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' lên mp( SBC).. A'. Lúc đó: VS . A ' B ' C ' =. 1 1 A ' H '.SSB ' C ' vµ VS . ABC = AH.SSBC 3 3. Suy ra: VS . A ' B ' C ' A ' H ' SSB ' C ' SA ' SB ' SC ' . . . = = VS . ABC AH SSBC SA SB SC II- CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN:. Kỹ thuật 1:. B'. S. ( §Þnh lý thales ). C'. B H. H' C. KẺ ĐƯỜNG PHỤ. Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a , cạnh bên SA hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 600. a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E. Tính thể tích của khối chóp S.AMEN. Gợi ý: S SM SN SI 1 = = = SB SD SO 2 E ¾¾ ® Qua O dựng OK // AE. N I. M. K. D A. 600. C. ìïOK // AE Xét tam giác AEC: í 1 ïîOK = 2 AE Suy ra: K là trung điểm EC.. O B. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN. Luyện thi Đại học 2013 ìï IE // OK Xét tam giác SOK: í 1 ïî IE = 2 OK. SE 1 = SC 3 2V V SA SM SE 1 1 1 1 Ta có: S . AMEN = S . AME = = . = Þ VS . AMEN = VS . ABCD . . VS . ABCD 2 VS . ABC SA SB SC 2 3 6 6 Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên SA = a , cạnh bên SA hợp với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600. a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a . S Gợi ý: ¾¾ ® Qua M d ựng MK // BE. Suy ra: E là trung điểm SK. Vậy. E. N. K. C A. 600 M. ìï MK // BE Xét tam giác BEC: í MK = 1 BE 2 îï Suy ra: K là trung điểm EC. ìïNE // MK Xét tam giác SMK: í NE = 1 MK 2 îï Suy ra: E là trung điểm SK.. B SE 1 = SC 3 V SA SB SE 1 1 Ta có: S . ABE = . . = Þ VS . ABE = VS . ABC VS . ABC SA SB SC 3 3. Vậy. Kết quả: VS . ABE =. 3a3 (đ.v.t.t) 32. Cách khác: Chọn B là đỉnh thì mặt đáy của chóp S.ABC và S.ABE tương ứng là (ABC), (ABE). 1 1 Để ý: VS . ABC = d ( B,( ABC ) .S DABC và VS . ABE = d ( B,( ABE ) .S DABE 3 3 d B ,( ABE . S ) DABE = SDABE = AB . AE = 1 Þ V = 1 V ( V Suy ra: S . ABE = S . ABE S . ABC VS . ABC d ( B,( ABC ) .SDABC SDABC AB AC 3 3 và đưa ra được kết quả như trên. Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SB, SM 2 SN 1 = và = . SC ta lấy lần lượt các điểm M, N sao cho SB 3 SC 2 a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SD tại điểm P. Tính tỷ số. SP . SD. b) Mặt phẳng (AMN) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Luyện thi Đại học 2013. Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Gợi ý:. a) Gọi O = AC Ç BD . Trong tam giác SAC, các trung tuyến SO và AN cắt nhau ở I là trọng tâm của tam giác nên có. SI 2 SM SI 2 = . Suy ra = = Þ IM // BD . SO 3 SB SO 3. Trong tam giác SBD, IM cắt SD tại P chính là giao điểm của (AMN) với SD. Suy ra. SP SM 2 SP 2 = = Þ = . SD SB 3 SD 3. S. b) O là trung điểm của BD và IM // BD nên I là trung điểm của PM, suy ra:. N P. S ABC = sACD ; S AMN = S APN. I M. Do đó:. VS . AMPN 2 VS . AMN SA SM SN 2 1 1 A = = . . = 1´ ´ = VS . ABCD 2 VS . ABC SA SB SC 3 2 3 V 1 2 1 Þ VS . AMNP = VS . ABCD Þ VABCDMNP = VS . ABCD Þ S . AMNP = 3 3 VABCDMNP 2. D. C. O B. TÍNH TRỰC TIẾP CÁC TỈ SỐ. Kỹ thuật 2:. Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại B có AB = 3 cm, BC = 4 cm , cạnh bên SA ^ ( ABC ) và SA = 4 cm . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC; mặt phẳng (P) cắt SC và SB lần lượt tại D và E. a. Chứng minh: AE ^ ( SBC ) . b. Tính thể tích khối chóp S.ADE. Gợi ý: S a) Chứng minh: AE ^ ( SBC ) .. ì BC ^ AB Ta có í Þ BC ^ ( SAB ) î BC ^ SA. D. Suy ra: BC ^ AE (1). E. SC ^ ( ADE ) Þ SC ^ AE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AE ^ ( SBC ) (đ.p.c.m). C A. b) Tính thể tích khối chóp S.ADE. B. Xét DSAB vuông tại A. Ta có: SE.SB = SA2 2. Þ. SE SE.SB æ SA ö 16 = =ç ÷ = SB 25 SB 2 è SB ø. A. Tương tự, trong DSAC vuông tại A. 2. Þ. SD SD.SC æ SA ö 16 = =ç ÷ = SC 41 SC 2 è SC ø. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. S. Lop12.net. E. B. Tổ Toán THPT Phong Điền. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Luyện thi Đại học 2013. Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN V SA SD SE 256 Suy ra: S . ADE = . . = VS . ABC SA SB SC 1025 Nên: VS . ADE =. 256 256 .VS . ABC = .8 » 2 cm 3 1025 1025. Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), SA = 2 a . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Gợi ý: S C' D' B'. I D. C O. * Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’: A B Nhận xét rằng: ìVS . ABCD = 2VS . ABD V 2V V SA SB ' SD ' SB ' SD ' Þ S . AB 'C ' D ' = S . AB ' D ' = S . AB ' D ' = = . . . (*) í VS . ABCD 2VS . ABD VS . ABD SA SB SD SB SD îVS . AB 'C ' D ' = 2VS . AB ' D ' Tính. SB ' : Xét DSAB vuông tại A. SB. A. Ta có: SB '.SB = SA2 2 SB ' SB '.SB æ SA ö æ SA Þ = =ç ÷ = çç 2 SB SB è SB ø è SA2 + AB 2. 2. ö 4 ÷÷ = 5 ø. S. B'. B. Tương tự, trong DSAD vuông tại A. 2. 4 SD ' SD '.SD æ SA ö Þ = =ç ÷ = 2 SD 5 SD è SD ø Suy ra, (*) trở thành: VS . AB 'C ' D ' 16 16 16 1 32a 3 (đ.v.t.t) = Û VS . AB 'C ' D ' = VS . ABCD = . .SA.S ABCD = VS . ABCD 25 25 25 3 75. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Luyện thi Đại học 2013 Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN III- ĐỊNH HƯỚNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH:. DẠNG TOÁN 1:. TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN. Bài tập 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD. S Bài giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD. Do đó: 1 1 1 1 1 1 A VISCM = VB. SCM = . VDSBC = . . VS . ABCD 3 3 2 3 2 2 O M VISCM 1 I Vậy = . B C VS . ABCD 12 Bài tập 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’). Bài giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD và gọi I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’. Ta có: VS . AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC ' V SC ' SD ' 1 SC ' và S . AC ' D ' = = = . = . . . VS . ABC SB SC 2 SC VS . ACD SC SD 2 SC S Suy ra: 1 SC ' 1 SC ' C' VS . AB ' C ' + VS . AC ' D ' = . ( VS. ABC + VS. ACD ) = . VS. ABCD . D' 2 SC 2 SC B' I Kẻ OO’ // AC’ ( O ' Î SC ) . Do tính chất các đường thẳng O' song song cách đều nên ta có SC ' = C ' O ' = O ' C . A 1 1 V 1 O Do đó VS . AB ' C ' D ' = . VS . ABCD hay S . AB ' C ' D ' = . B C 2 3 VS . ABCD 6 Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, H là trực tâm của đáy. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP. V 1 Đáp số: H . MNP = VS . ABC 32. D. D. Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (a ) qua. AB, cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính. SM để mặt phẳng (a ) chia hình chóp thành hai SC. phần có thể tích bằng nhau. SM 3 -1 = Đáp số: SC 2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN. Luyện thi Đại học 2013. DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Bài tập 1: (ĐH B- 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA ^ ( ABCD ) và SA = 2 a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a. Bài giải: S V V SM 1 SM SN 1 Ta có: S . BCM = = và S .CMN = . = VS . BCA SA 2 VS .CAD SA SD 4 N M 1 1 Suy ra: VS . BCNM = VS . BCM + VS .CNM = VS . BCA + VS .CAD 2 4 3 3 3 D A a a a (đ.v.t.t) = + = 6 6 3 B. C. Bài tập 2: (ĐH A- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a . Bài giải: S VCMNP CN CP 1 Ta có: = = (1) . VCMBD CB CD 4 M VCMBD VM . BCD MB 1 = = = (2) VCSBD VS . BCD SB 2 A Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta có: H VCMNP 1 1 N = Þ VCMNP = VS . BCD . D C P VS . BCD 8 8 Gọi H là trung điểm của AD, ta có SH ^ AD , mà ( SAD ) ^ ( ABCD ) nên SH ^ ( ABCD ) .. B. 1 1 a 3 1 2 3a3 . . a = Do đó: VS . BCD = SH.SDBCD = . 3 3 2 2 12 3a3 Vậy VCMNP = . 96 Bài tập 3: (ĐH D- 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2 a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC. Tính thể tích khối tứ diện A.BCMN theo a . Bài giải: V SM SN Ta có: S . AMN = . VS . ABC SB SC AM và AN lần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAC. Do DSAB = DSAC , nên ta có: SM SA2 4 a 2 SM 4 S = = 2 =4Þ = . 2 MB AB a SB 5 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 6 N. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Luyện thi Đại học 2013 Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN SN 4 = Tương tự: SC 5 4 4 16 9 Þ VA. BCNM = VS . ABC Do đó: VS . AMN = . .VS . ABC = 5 5 25 25 3 1 3a 3 3a3 suy ra: VA. BCNM = Mà VS . ABC = SA.SDABC = (đ.v.t.t) 3 6 50 Bài tập 4: (ĐH B- 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA = a, AD = a 2 và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a . Bài giải: AI 2 AI 1 S = Þ = Gọi O là giao điểm của tam giác ABC, do đó: AO 3 AC 3 V AI AM 1 1 1 nên AIMN = . = . = (1) VACDN AC AD 3 2 6 N VACDN NC 1 (2) Mặt khác = = A M VACDS SC 2 I V 1 Từ (1) và (2) suy ra: AIMN = . O VACDS 12 B C. 1 2 a3 1 2 a3 Mà VSACD = SA.SDACD = . Vậy VAIMN = .VACDS = (đ.v.t.t) 3 6 12 72 Bài tập 5: (ĐH D- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H AC thuộc đoạn AC sao cho AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh 4 rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . Bài giải: Từ giả thiết, ta tính được S 3a 2 a 2 a 14 AH = , SH = , CH = , SC = a 2 Þ SC = AC . 4 4 4 M Do đó, tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA. V 1 SM 1 Ta có: S . MBC = = Û VS . MBC = .VS . ABC . A VS . ABC SA 2 2 H. D. O. 1 14 a3 Ta có: VS . ABC = SH.SDABC = B C 3 24 1 14 a3 Do đó: VS . MBC = .VS . ABC = (đ.v.t.t). 2 48 Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho khối tứ diện ABCD có ABC = BAD = 900 , CAD = 1200 , AB = a, AC = 2 a, AD = 3a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a . 2 a3 Đáp số: VABCD = 2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. D. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Luyện thi Đại học 2013 Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 a . Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a . 16 a3 V = Đáp số: S . A ' B ' C ' D ' 45 Bài tập 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC. Mặt phẳng (DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP. 2 a3 Đáp số: VS . DMNP = 36 Bài tập 4: (ĐH B- 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . 7a 3 3a3 và R = . Đáp số: VABC. A ' B ' C ' = 12 8. DẠNG TOÁN 1:. TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH. Bài tập 1: (ĐH D- 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Bài giải: D 2 2 2 Ta có: AB + AC = BC Û DABC vuông tại A. 1 I Do đó: VABCD = AB. AC. AD = 8 cm 3 . 6 Mặt khác CD = 4 2 cm, BD = BC = 5 cm. B Nên DBCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD. A 1 Þ SDBCD = DC. BI = 2 34 cm 2 2 C 3VABCD 6 34 1 Ta có: VABCD = d ( A, ( BCD ) ) .SDBCD Û d ( A, ( BCD ) ) = = cm 3 SDBCD 17 Bài tập 2: (ĐH D- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC = BAD = 900 , AD = 2 a, BA = BC = a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. CMR: Tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Bài giải: S V SH Ta có: S . HCD = . VS . BCD SB Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao SH SA2 2 a2 SH 2 nên = = 2 =2Þ = . 2 HB AB a SB 3 H 2 3 A 2 2 1 a 2a Vậy VS . HCD = VS . BCD = . .a 2. = 3 3 3 2 9 B. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. C. Tổ Toán THPT Phong Điền. 8. D.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Luyện thi Đại học 2013. Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1 Mặt khác VS . HCD = d ( H, ( SCD ) ) .SDSCD 3 V Û d ( H, ( SCD ) ) = S . HCD (*) SDSCD. Ta có DSCD vuông tại C do AC 2 + CD2 = AD2 1 1 Þ SDSCD = CD.SC = .a 2.2 a = 2 a2 . 2 2 V 3 2 a3 a Thay vào (*) ta được: d ( H, ( SCD ) ) = S . HCD = = . SDSCD 9 2 a2 3 Bài tập 3: (ĐH D- 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. Bài giải: Gọi M là trung điểm của BB’, ta có EM // CB’. Suy ra: B’C // (AME) nên d ( B ' C, AM ) = d ( B ' C, ( AME ) ) = d ( C, ( AME ) ) .. VC. AEM MC 1 1 1 1 a2 a 2 2 a3 . = = Þ VC. AEM = VC. AEB = . . . = VC. AEB CB 2 2 2 3 2 2 24 3V 1 suy ra VC. EAM = d ( C, ( EAM ) ) .SDEAM Û d ( C, ( EAM ) ) = C. EAM (*) 3 SDEAM Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AE, ta có AE ^ HM. Hơn nữa BM ^ ( ABE ) Þ BM ^ AE , nên ta được AE ^ HM.. Ta có. Tam giác BHM vuông tại B nên MH =. C'. A'. a 6 , DABE vuông tại B 2 1 1 1 3 a 3 nên . = + = 2 Û BH = 2 2 2 3 BH AB EB a Mặt khác AE =. B'. a 2 a 2 a 21 + = . 4 3 6. 1 1 a 6 a 21 14 a 2 . = . Do đó SDAEM = AE. HM = . 2 2 2 6 8 V a 7 . Thay vào (*) ta được: d ( C, ( EAM ) ) = C. EAM = SDEAM 7. E H A. C M B. a 7 . 7 Bài tập 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’) theo a. Bài giải: Theo giả thiết ta có A ' H ^ ( ABC ) . Vậy d ( B ' C, AM ) =. Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. 1 BC = a . 2. Tổ Toán THPT Phong Điền. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Luyện thi Đại học 2013. Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN. Tam giác A’AH vuông tại H nên ta có A ' H = A ' A - AH = a 3 . 2. B' 1 a.a 3 a3 Do đó VA '. ABC = .a 3. = . 3 2 2 Mặt khác VA '. ABC 1 2 2 a3 = Þ VA '. BCC ' B ' = VABC. A ' B ' C ' = .3. = a3 . VABC. A ' B ' C ' 3 3 3 2 1 Ta có VA '. BCC ' B ' = d ( A ', ( BCC ' B ' ) ) .SBCC ' B ' 3 3V Û d ( A ', ( BCC ' B ' ) ) = A '. BCC ' B ' (*) SBCC ' B ' Vì AB ^ A ' H Þ A ' B ' ^ A ' H Þ DA ' B ' H vuông tại A’.. 2. A'. C'. B. A K. H C. Suy ra B ' H = a2 + 3a2 = 2a = BB ' Þ DBB ' H cân tại B’. Gọi K là trung điểm của BH, ta có B ' K ^ BH suy ra B ' K = BB '2 - BK 2 =. a 14 . 2. a 14 = 14 a 2 . 2 3V 3a3 3 14 a . = Thay vào (*) ta được: d ( A ', ( BCC ' B ' ) ) = A '. BCC ' B ' = 2 SBCC ' B ' 14 14 a Bài tập tự luyện: Bài tập 1: (ĐH D- 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2 a, A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC). 2 5a 4 a3 và d ( A, ( IBC ) ) = Đáp số: VIABC = 5 9 Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA ' = AB = a, BC = 2 a , điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3 MD . Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C). a Đáp số: d ( M, ( AB ' C ) ) = 2 Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), góc ABC = 900. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) nếu AD = a, AB = BC = b. ab Đáp số: d ( A, ( BCD ) ) = 2 a + b2 Bài tập 4: Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a , M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện. 3V a 6 Đáp số: h1 + h2 + h3 + h4 = ABCD = SDACD 3 Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD và điểm M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện. Gọi r1 , r2 , r3 , r4 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Gọi h1 , h2 , h3 , h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện. r r r r Chứng minh: 1 + 2 + 3 + 4 = 1 . h1 h2 h3 h4. Ta có: SBCC ' B ' = B ' C '. BK = 2 a.. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Luyện thi Đại học 2013. Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN IV- BÀI TẬP ÔN TẬP:. 1 1. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích 3 của hai tứ diện ABMD và ABMC . 2. Cho khối lăn g trụ đứn g tam giác ABC.A ¢B¢ C¢ . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB¢ C¢C vaø khoái laên g truï ABC.A ¢B¢ C¢. 3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC=4BM, AC=3AP, BD=2BN. Mặt phẳng (MNP) caét AD taïi Q. Tính tyû soá. AQ vaø tyû soá theå tích 2 AD. phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp(MNP). 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), SA = 2 a . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP). 6) Cho h×nh chãp S.ABC. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh SA sao cho MS=2MA. TÝnh tû sè. thÓ tÝch cña M.SBC vµ M.ABC. 7) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Gọi I là trung điểm BC. a. Chøng minh r»ng: SA ^ BC. b. TÝnh VS.ABI 8) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SB' 2 SC, SD lần lượt tại B', C', D'. Biết rằng AB=a, = . SB 3 a. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai khèi chãp S.AB'C'D' vµ S.ABCD. b. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AB'C'D'. 9) Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C'. MÆt ph¼ng qua A'B' vµ trung ®iÓm I cña AC chia. lăng trụ thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích giữa 2 phần đó. SM 1 SN = , =2. MA 2 NB MÆt ph¼ng ®i qua MN vµ song song víi SC chia tø diÖn thµnh 2 phÇn. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn nµy. V- MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA MẪU: Đề 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a , cạnh bên SA hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính góc hợp bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD. c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E. Tính thể tích của khối chóp S.AMEN. Đề 2:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên SA = a , cạnh bên SA hợp với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . b) Tính góc hợp bởi mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC. 10) Trªn c¸c c¹nh SA, SB cña tø diÖn SABC lÊy c¸c ®iÓm M,N sao cho. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Luyện thi Đại học 2013 Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a . Đề 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a , mặt bên (SAD) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD. c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại E. Tính thể tích của khối chóp S.BMEN. Đề 4:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a , mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC. c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a .. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>