Nguyên hàm và tích phân - Lê Hồ Quý

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NGUYÊN HàM Và TíCH PHÂN Lê Hồ Qúy (Nguyên GV. Trường THPT Lê Lợi - Kon Tum) Trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng thường có câu về tích phân. Phương đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần thường được sử dụng để tính các tích phân đó. Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu một số dạng tích phân thường gặp trong các kỳ thi nói trên cùng với các phương pháp giải chúng. Đ1. Nguyên hàm A. Kiến thức : I. Định nghĩa : Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x  (a; b) ta có F’(x) = f(x). Định lí : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì : *)Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó. *)Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có dạng F(x) + C. Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là  f(x)dx , vì vậy :  f(x)dx = F(x) + C II. Một số tích chất : 1).   f(x)dx   f(x) '. 2) af(x)dx=a  f(x)dx (a  0). 3)  f(x)+g(x)dx=  f(x)dx+  g(x)dx 4) f(t)dt=F(t)+C   f(u)du=F(u)+C (u=u(x)). 5)Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn a; b  đều có nguyên hàm trên đoạn đó. III. Bảng các nguyên hàm :. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp  dx  x  C   x dx . . x  1 C  1.   u du . dx  ln x  C x.  e dx  e x. x  a dx . x.  cosxdx=sinx+C  sin xdx   cos x  C dx.  cos. 2. x. .  tgx  C. u 1 C  1. u. (0<a  1). (  -1). du  ln u  C u.  e du  e. C. ax C ln a. Nguyên hàm của các hàm số hợp  du  u  C. u  a du . u. C. au C ln a. (0<a  1).  cosudu=sinu+C  sin udu   cos u  C du.  cos. 2. u.  tgu  C. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> dx.  sin. 2. x. du.  sin.   cot gx  C. 2. u.   cot gu  C. Yêu cầu phần này, học sinh hiểu được khái niệm nguyên hàm, vận dụng các tính chất và bảng các nguyên hàm để tính được nguyên hàm một số hàm đơn giản. Chú ý đến công thức: df(x) = f’(x)dx. Và một số công thức vi phân thường sử dụng, học sinh nên học thuộc :. dx=. d(ax+b) (a  0) a. sinxdx=-d(cosx) dx  d(cotgx) sin 2 x dx  d(lnx) x. dx  d(tgx) cos2 x dx 1  d   2 x x. cosxdx=d(sinx) ex dx=d(ex ) dx  2d( x ) x. B. Các dạng toán: Dạng 1. Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) Phương pháp : Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, các tính chất và bảng các nguyên hàm. Ví dụ 1: 1) Tính đạo hàm của hàm số F(x)=ln x+ x 2  1  C 2) Từ đó suy ra. . dx x2  1. . Lời giải. 1) (§¹o hµm cã d¹ng lnu). Ta cã : (x+ x 2  1)'. (x)' . (x 2  1)'. x2  1  x. x. 1. 1 2 x2  1  x2  1  x2  1  . x+ x 2  1 x+ x 2  1 x+ x 2  1 x+ x 2  1 x2  1 1 2) Từ kết quả câu 1) ta suy ra F(x) là nguyên hàm của f(x)= . x2  1 dx Vậy  = ln x+ x 2  1  C . 2 x 1 F' ( x ) . . Ví dụ 2 : Tính : a)  (2x+1)2006 dx ;. b) sin 5 xcosxdx ;. c)  e3sinx cosxdx ;. e). . g). . k). . dx x+1. ; dx. dx.  3x+5 ; f)  ( x +sin2x)dx. d). (ĐHBK Hà Nội - 2000). 2  sin x  cos x dx (ĐH Y Thái Bình - 2001) x 2 -x-1.     h)  tg  x   .cot g  x  dx (ĐHQG Hà Nội-2001) 3 6  . Lời giải. 1 1 1 (2x+1)2007 (2x+1)2007 a)  (2x+1)2006 dx=  (2x+1)2006 d(2x+1)=  (2x+1)2006 d(2x+1)= +C= +C 2 2 2 2007 4014. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> sin 6 x +C 6 1 1 1 c)  e3sinx cosxdx=  e3sinx d(3sinx)=  e3sinx d(3sinx)= e3sinx +C 3 3 3 dx 1 d(3x+5) 1 d(3x+5) 1 d)  = =  = ln 3x+5 +C 3x+5 3 3x+5 3 3x+5 3 dx d(x+1) e)  = =2 x+1+C x+1 x+1 1 2 1 2 1 f)  ( x +sin2x)dx=  xdx+  sin2xdx=  x1/2 dx+  sin2xd(2x)= x 3/2 - cos2x= x x- cos2x. 2 3 2 3 2 dx dx dx g) + C¸ch 1:     x   2  sin x  cos x 2  2 cos(x  ) 2 2 sin 2    4 2 8 b)  sin 5xcosxdx=  sin 5xd(sinx)=. x   d   1  2 8    1 cot g  x     C.  2 8  2 sin 2  x    2   2 8  . x 2t 1-t 2 2dt + C¸ch 2: §Æt tg  t th× sinx= , cosx= 2 , dx= 2 2 1+t +t 1+t 2 dx dt dt  2  2  sin x  cos x  2  2  2 2 2t 1  t  ( 2  1)t  2t  2  1 (1  t )  2  2 2  2  t 1 t   2 dt 2 1 2 =  .   C. 2  x 2 1  2 1 t  1 1  tg  2  1 t   2 2  1 2 1          sin  x   cos  x   sin  2x    sin   3 6 2 6      h)  tg  x   .cot g  x  dx   dx   dx      3 6     cos  x   sin  x   sin  2x    sin 3  6 2 6   1   cos 2x    1 dx / cos2 x d(tgx) 2 dx  1    x  x     1 1 3 3 cos 2x  2 2  (1  tg2 x)  cos 2x   2 2 2 2 cos x 2 . x. 2d(tgx) 2 d( 3tgx) 2 1 1  3tgx 1 1  3tgx x  x  . ln  C  x  ln  C. 2  1  3tg x 3 1  ( 3tgx)2 3 2 1  3tgx 3 1  3tgx. k) §Æt t= u2  k  u th× :   u dt=   1  du  2  u k  áp dụng:. du u k 2. . dt t. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . 2  1 5 1   1 d   x-  - +x-  d  x-  2   2 4  2 =   =ln x 2 -x-1+x- 1 +C.  2 2 2 1  1 5  1 5 xx+x 2 4  2 4 2    . Dạng 2. Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp : + Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y=f(x):  f(x)dx  F(x)+C (*) + Từ điều kiện cho trước ta tìm được C ; + Thay giá trị của C vào (*) ta tìm được nguyên hàm cần tìm Ví dụ 3 : Tìm một nguyên hàm G(x) của hàm số f(x), biết :  f(x)=cos3xcosxdx vµ G    1 . 4 Lời giải 1 áp dụng công thức: cosa.cosb=  cos(a+b)+cos(a-b) , ta có: 2 1 11 1   cos3xcosxdx=  2 (cos4x+cos2x)dx= 2  4  cos4xd(4x)+ 2  cos2xd(2x) . 1  sin4x sin2x  sin4x sin2x =  + +C= + +C.  2 4 2  8 4 sin4x sin2x  G(x)=F(x)+C= + +C 8 4   sin 2 4 4  C 1 1  C 1 C  3. 8 4 4 4 sin4x sin2x 3 VËy mét nguyªn hµm cÇn t×m lµ: G(x)= + + 8 4 4  Tõ G( )=1 ta suy ra 4. sin4. C. Bài tập tự luyện: Bài 1. Tính : a) (3x+4)29 dx ; c). e). ex dx  ex +1 ; x2. . dx ; x3  4 g)  sin 4 2xdx (ĐHKT Quốc dân -2000). b)  sin5xdx ;. 3lnx+1 dx ; x cos2 dx. d). . f).  sinx+. h).  1+sin xdx (ĐH Ngoại Thương-2001). 3cosx. (Học viện Ngân Hàng-1999). cotgx 9. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) : 3 a) f(x)=2x 2 - biÕt r»ng F(1)=4. x 3 x +3x 2 +3x-1 1 b) f(x)= biÕt r»ng F(1)= 2 x +2x+1 3  c) f(x)=sin5xsin3x biÕt r»ng F   =-1. 4. Đ2. Tích phân A. Kiến thức cần nhớ :. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> I. Định nghĩa: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì của K. F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b b. của f(x), kí hiệu là  f(x)dx . a. b. Vậy.  f(x)dx  f(x). b a.  F(b)-F(a). (Công thức Niutơn-Laipnit). a. II. Phương pháp đổi biến số: b. Giả sử ta phải tính  f(x)dx với f(x) là hàm liên tục trên [a; b]. a. Dạng 1: Đặt x=u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  ;  , f[u(t)] được xác định trên đoạn  ;  và u() =a, u() =b. * Biến đổi f(x)dx=f[u(t)]u’(t)dt=g(t) * Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t) . . * Tính  g(t)dt= G(t)  . b. * Kết luận:.  f(x)dx= G(t).  . a. Dạng 2: Đặt t=v(x), v(x) có đạo hàm liên tục * Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx=g(t)dt * Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t) v(b).  g(t)dt= G(t). * Tính. v(b) v(a). v(a). b. * Kết luận:  f(x)dx= G(t) v(a). v(b). a. III. Phương pháp tích phân từng phần: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì: b b. b.  u(x)v (x)dx= u(x)v(x) - v(x)u (x)dx /. /. a. Hay. a a. b. b b. a. a a.  udv= uv - vdu. B. Các dạng toán cơ bản: Dạng toán 1. Tích phân các hàm hữu tỉ 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b. Tích phân các hàm hữu tỉ. P(x).  Q(x)dx. (P(x), Q(x) lµ c¸c ®a thøc). a. Phương pháp: Giả sử bậc của P(x) nhỏ hơn bậc Q(x) (nếu ngược lại ta lấy tử chia cho mẫu). Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích những nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2. Trong nội dung chương trình phổ thông ta chỉ tiếp xúc với các dạng sau của Q(x): 1) Q(x)=(x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n ). Ta ph©n tÝch: P(x) A A A = 1 + 2 +...+ n (x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n ) x+a1 x+a 2 x+a n Ta tính A1 , A 2 ,..., A n bằng phương pháp hệ số bất định. 2) Q(x)=(x+a1 )...(x+a n )(x+b)m P(x) A A B Bm = 1 +...+ n + 1 +...+ m (x+a1 )...(x+a n )(x+b) x+a1 x+a n x+b (x+b)m Ta tính A1 , A 2 ,..., A n , B1 , B 2 ,..., B n bằng phương pháp hệ số bất định. 3) Q(x)=(x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n )(x 2 +px+q) (p 2 -4q<0) P(x) A A Cx+D = 1 +...+ n + 2 2 (x+a1 )(x+a 2 )...(x+a n )(x +px+q) x+a1 x+a n x +px+q 4) Q(x)=(x 2 +p1x+q1 )(x 2 +p 2 x+q 2 )(p i -4q i <0) P(x) C x+D1 C x+D 2  2 1  2 2 2 (x +p1x+q1 )(x +p 2 x+q 2 ) x +p1x+q1 x +p 2 x+q 2 2. Ta tìm C1 , D1 , C 2 , D 2 bằng phương pháp hệ số bất định. Trong tích phân dạng trên khi tính toán ta thường gặp 2 bài tích phân sau: a dx Bài toán 1: TÝnh I=  2 2 (a>0) (SGK) . x a 0 Lời giải   §Æt x=atgt, t    ;  2 Đổi cận: x t.  4.  I=  0.   dx=a(1+tg2 t)dt  2. 0 0.  4. a  4  4. a(1+tg t)dt a(1+tg t)dt 1   2 2   dt  2 2 2 a tg t+a a (tg t+1) a 0 4a 0 2. 2. b. Bài toán 2: TÝnh tÝch ph©n d¹ng. b. dx (mx+n)dx a x2 +px+q , a x2 +px+q Lời giải. (p 2 -4q<0). 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. p2  p Biến đổi x 2 +px+q=  x+  +q4  2 p Bằng cách đặt t=x+ ta biến đổi về bài toán 1. 2 1 dx . VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n I=  2 x -2x+2 0 Lời giải. 1 1 dx dx I=  2  x -2x+2 0 (x-1)2  1 0.    §Æt x-1=tgt, t   - ;   dx=(1+tg2 t)dt  2 2 Đổi cận: x 0 1  t 0 4 0. (1+tg2 t)dt  I=   tg2 t+1  -. 4. 0.  dt= t .  4. 0 .  4. .  . 4. 0. (2x+2)dx . x 2 +4x+8 -2. VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©n: I=  Lời giải. 0 0 (2x+2)dx (2x+2)dx I=  2  x +4x+8 -2 (x+2)2  4 -2.    §Æt x+2=2tgt, t    ;  , ta cã  x=2tgt-2  2 2 2  dx=2(1+tg t)dt Đổi cận: x -2 0  t 0 4  4.  4.  4.  4.  4.  4. (4tgt-2)2(1+tg t)dt sintdt  d(cost)    (2tgt-1)dt=2  tgtdt- dt=2    2    2 4tg t+4 cost 4 cost 4 0 0 0 0 0 0 2. I= .  2 ln cos t.  4 0. .  1    2 ln   ln 2  4 4 2 4 b. Bµi to¸n 3. TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ. P(x).  Q(x) dx. (P(x), Q(x) lµ c¸c ®a thøc). a. Ví dụ 1. Tính các tích phân sau : 1. a) I=. 1. dx.  (x +3x+2) 2. 2. (ĐH Ngoại thương-Khối A, năm 1999). c) K=. 0. 2x 2 +x+3.  (x+1)(x +1) dx 2. 0. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3. b) J=. 1. xdx.  (x-1)(x+1). d) L=. 2. 2. dx.  (x-1) (x+3) 2. 3. 0. Lời giải. a) Ta có: 1 2. x +3x+2. . 1 A B (A+B)x+2A+B    (x+1)(x+2) x+1 x+2 (x+1)(x+2). (theo 1)). Nhân hai vế cho (x+1)(x+2), ta được: 1 = (A+B)x + 2A + B Hai đa thức này đồng nhất với nhau khi và chỉ khi : A+B=0 A=1   2A+B=1 B=-1. Từ đó ta thu được cách phân tích sau: 1 x 2 +3x+2. . 1 1 1   (x+1)(x+2) x+1 x+2 2. 1. 1. 1. 1. 1  dx dx dx  1  I=     2  2 2 x+1 x+2  (x+1)(x+2) (x+1) (x+2)  0 0 0 0. . . 1. =-. 1. . 1. . 1. 1 1 dx dx 2  2 2   4ln2+2ln3. x+1 0 x+2 0 x+1 x+2 3. . . 0. 0. b) Ta cã: x A B C = + + 2 (x-1)(x+1) x-1 x+1 (x+1)2. (theo 2)). Nh©n hai vÕ cho (x-1)(x+1)2 , ta cã : x=A(x+1)2 +B(x-1)(x+1)+C(x-1) Hai đa thức này đồng nhất với nhau khi và chỉ khi : A+B=0 1 1 1  2A+C=1  A= , B=- , C= 4 4 2 A-B-C=0  Từ đó thu được cách phân tích sau: x 1 1 1    2 (x-1)(x+1) 4( x  1) 4( x  1) 2( x  1)2 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. xdx 1 dx 1 dx 1 dx 1 d(x-1) 1 d(x+1) 1 d(x+1)  =  -  +  =  +  2 2 (x-1)(x+1) 4 2 x-1 4 2 x+1 2 2 (x+1) 4 2 x-1 4 2 x+1 2 2 (x+1)2 2 3. 3. 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ln x  1  ln x  1   ln 2  ln 4  ln 3     ln 2  ln 3  . 4 4 2( x  1) 2 4 4 3 8 4 4 4 8 2 2 2x 2 +x+3. A Bx+C + (x+1)(x +1) x+1 x 2 +1 2. =. c) Ta có:. (theo 3)). Nhân 2 vế cho (x+1)(x2+1), ta được: 2x2+x+3=A(x2+1) + (Bx+C)(x+1)=(A+B)x2 + (B+C)x + A + C A+B=2 A=2   §ång nhÊt c¸c hÖ sè, ta cã: B+C=1  B=0 A+C=3 C=1  . 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2x 2 +x+3. . (x+1)(x 2 +1) 1. =2. 1 1 + (*) x+1 x 2 +1. 1. dx dx  K=2  2 x+1 x 1 0 0. . 1.  0 1. dx  x+1. x 0. dx 2. 1. 1. . . 1 d(x+1)  ln x+1  ln 2 0 x+1. .  (xem bµi to¸n 1) 4. 0.   K=2ln2+ . 4. Ta có thể giải (*) ngắn gọn hơn như sau: 2x 2 +x+3 (x+1)(x 2 +1). =. 2(x 2 +1)+(x+1) (x+1)(x 2 +1). =2. 1 1 + x+1 x 2 +1. d) Cách 1: Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích: 1 (x-2)2 (x+3)3. =. A B C D E + + + + (x-2) (x-2)2 x+3 (x+3)2 (x+3)3. Cách 2: §Æt t=. x-2 5 1 1-t =1 = x+3 x+3 x+3 5 2. 5dt  1-t  dt= dx=5  dx  dx=  2 (x+3) (1-t)2  5  5. dx (x-2)2 (x+3)3. =. 2. 5. 1 (1-t)3 1 1 1  x+3   1-t  1 5dt  dx= = dt= 4  2 -3 +3-t  dt  5  2 5  x-2  2 4 2 t (x+3)  5 t    t (1-t) 5 t  1. Đổi cận: x. 0. t. -. 1 1 4. 2 3. -1/4 1/ 4 1/ 4 1/ 4  1  dt dt  3  3 dt  tdt  4  2  t 5 -2/3 t 2 / 3 2 / 3 2 / 3   1 1    1 1    1  1 4 t2 4  4 4 = 4   3ln t 2  3t 2   2 2   5  t 2  3 3 3 3   1  3 2  2 1  1 2 = 4  4   3ln4+3ln  3       2 3 5   3 4  32 9 .  L=. =. . . . . 1  1135   9ln2-3ln3  . 625  288 . Chú ý: Để tính tích phân dạng. dx.  (x+a) (x+b) n. m. trong đó m, n là các số nguyên dương, ngoài. phương pháp hệ số bất định, ta còn có thể sử dụng phép đặt t=. x+a x+b. để giải.. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Luyện tập: Tính các tích phân sau: 1. 1).  x +1 x +2x+6.  (x+1)(x +4) dx. 5). 2.  x -6x +11x-6  0. 3). 2. 3.  x +2x+1 0 1. 2. x +2x +10x+1 dx x 2 +2x+9. 6). x 2 dx. 2. dx.  x(x+2). 2. 0. (ĐH Ngoại thương-Năm 2001). dx.  (x+1)(x+2). 2. (x+1)dx. 3. 4 1. 2. 0 1. 7). 2). 2. 0 4. 4). 5. xdx. 2. 0. Dạng toán 2: Tích phân các hàm vô tỉ A. Phương pháp hữu tỉ hóa: . ax+b . Dạng 1: Đối với tích phân dạng  f  x; n  là hàm hữu tỉ, ta hữu tỉ hóa bằng cách đặt cx+d   t= n. ax+b cx+d 2. Ví dụ 1: Tính tích phân I=  3 0. x+1 3x+2. dx (ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999). Lời giải. * Đặt t= 3 3x+2  t 3  3x+2 . Ta có: 3dx=3t2dt  dx=t2dt * Đổi cận: x 0 2 3 t 2 2 2. * Do đó : I=  3. 2. 2. t4  t 1  t5 t2  1 dt=     (28  3 3 4 ) 3 3  5 2  3 10 2 3. Ví dụ 2. Tính tích phân I=  x x+1dx 0. Lời giải. + §Æt t= x+1  t 2  x+1  2tdt=dx và ta cũng có x=t2-1 + Đổi cận: x 0 3 t 1 2 2. +. 2. 2.  t5 t3  116 Do đó: I= (t -1).t.2tdt=2 (t -t )dt= 2     5 3 15  1 1 1. . . 2. 4. 2. Chú ý: Ta có thể giải trực tiếp như sau: 3. . 3. 3. . . 3. 3. . 1. I= x x+1dx= (x+1)-1 x+1dx= (x+1) 2 dx- (x+1) 2 dx= 0. 3. =.  0. 0. 0. 3 3 1 (x+1) 2 d(x+1)- (x+1) 2 d(x+1)=.  0. 0. 5. 2 (x+1) 2 5. 3. 0. 3. 2  (x+1) 2 3. 3.  0. 116 15. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 5 4. x+1 dx . x-1. Ví dụ 3. Tính tích phân I=  5 3. Lời giải. x+1 x+1 2  t2 = =1+ x-1 x-1 x-1. §Æt t=. 2.  t2  1  4t  2tdt=dx=-2   dx  dx=- 2 2 dt 2 (x-1) (t -1)  2  2. Đổi cận : x. 5 3. 5 4. t. 2. 3. Do đó: 3. I=-4. 3. t 2 dt.  (t -1) 2. 2.  4. 2.  2. 3.  1 (t 2 -1)+1 1  dt=-4  2  2 2 dt 2 2 (t -1) t  1 (t -1)  2. . 1 1 (t+1)-(t-1) 1  1 1       (t-1)(t+1) 2 (t-1)(t+1) 2 t-1 t+1 t 1   1 1 1 1 1  1 1 1 1 1   2 2   2 2    - + +  2 2 2 t-1 t+1 4 4 (t -1) t  1 (t+1)  (t+1)2   (t-1)  (t-1) Ta cã :. 1. 2. .  1 1  1 1 1 1  4 2 + 2 2 = + + 2 2  t -1 (t -1)  t-1 t+1 (t-1) (t+1) 3. 1 1  1 1 1 7   I=  -ln t-1 +ln t+1 + +   ln 2  ln 4  ln 3   1    ln 2  ln 3   t-1 t+1  2 2 4 3 12   2. Ví dụ 4. Tính tích phân I= . sin2x+sinx. 0. 1+3cosx. dx. (ĐH Khối A-Năm 2005). Lời giải.  2. Ta cã: I=. . 2sinxcosx+sinx. 0. 1+3cosx.  2. dx=. . (2cosx+1)sinxdx 1+3cosx. 0. 2 * §Æt t= 1+3cosx  t 2 =1+3cosx  2tdt=-3sinxdx  sinxdx=- tdt 3 2 t 1 vµ cosx= . 3. * Đổi cận: x. 0.  2. t. 2. 1. * Do đó:  t2  1   2  2  1     tdt 2 1  2   3  3  2 2  2t 3 2  16   2   34   2 . I=  (2t +1)dt=   t     2     1      t 9 9 3   3   27  1 9  3 2 1. . . Chú ý : Để tính tích phân dạng. . asin2x+bsinx c.cosx+d. dx ,. ta đổi biến số t= c.cox+d. Ví dụ 5. Tính các tích phân sau : 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ln2. a) I=. e. e2x. . x. e 1. 0. (ĐH BK Hà Nội -2000). dx. b) J=. 1+3lnx lnx dx (ĐH Khối B-Năm 2004) x.  1. Lời giải. ln2. a) I=. ln2. e2x. . ex  1. 0. dx=. ex .ex. . ex  1. 0. dx. * §Æt t= ex  1  t 2  ex  1  tdt=ex dx vµ ex =t 2  1. * Đổi cận: x t. 0. ln2. 2. 3. * Do đó: 3. I=. . 2. (t 2 -1)2tdt 2 t. 3.  t3  (t  1)dt= 2   t  3    2. . 3. 2. 2.  3 3  2 2  2 2  2   3  2       3  3   3 . ae x  b , ta có thể tìm cách giải theo hướng: Đặt t=. Chú ý: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng. ae x  b .. b) * §Æt t= 1+3lnx  t 2  1+3lnx  2tdt=3. dx x. * §æi cËn: x=1  t=1, x=e  t=2 2. 2. 2. 2 t2  1 2 2 2  t5 t3  116 * Do đó: J= t dt= (t 4  t 2 )dt=       3 3 9 9 5 3  135 1 1 1. . . Luyện tập : 1.Tính các tích phân sau :  2. a) I=. . 2sin2x+3sinx 6cosx-2. 0.  2. dx. b) J=. sin2x. . cos2 x+4sin 2 x. 0. dx (ĐH. Khối A-Năm. 2006) 2.Tính các tích phân sau : 1. . a) x. 5. 23. 0 2. c).  1+. x+1dx. 3. e). x 1. x-1. dx (§H Khèi A-N¨m 2004). d). . xdx 1+3x ex  1 dx. 0. dx 2. . 0 ln2. x. 1. b). 1+x. 2. e. 1 (§Æt x=tgt hoÆc x= ) t. f). x+1.  x(1+xe )dx (§Æt t=xe ) x. x. 1. Dạng 2. Tích phân của hàm f(x) chứa các căn dạng n1. ax+b , cx+d. n2. ax+b ,..., cx+d. nm. ax+b ax+b , ta đặt t= k , trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của n1 , n 2 ,..., n m . cx+d cx+d 0. Ví dụ : Tính tích phân I= . 1- x+1. 1+ 3 x+1 -1. dx. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Lời giải 6. 6. 5. 3. * §Æt t= x+1  t  x+1  6t dt=dx vµ x+1  t ;. 3. x+1  t 2. * §æi cËn: x=-1  t=0; x=0  t=1 1 5. * Do đó: I=6. . 1. t  t8. 1. 1. t-1  t-1  6 4 3 2 dt=6  -t 6 +t 4 +t 3 -t 2 +1+ 2 dt= dt=6 (-t +t +t -t +1)dt+6 2 2 1+t t  1 t  1   0 0 0. 0. . . 1. 1. . 1.  t7 t5 t 4 t3 t2  d(t 2 +1) dt  6-      t   3 6 2  2  7 5 4 3 2  t  1 t  1  0 0 0. . . 1. 1. 1 199 dt 199 dt   3ln(t 2 +1)  6 2   3ln 2  6 2 0 70 t  1 70 t 1 0 0. . 1. t. TÝnh I1 . dt 2. 0. VËy I=. . 1. .  (xem bµi to¸n 1) 4. 199 3 +3ln270 2. Luyện tập : Tính các tích phân sau: 2. a). xdx. . b). . c). . 1+ 3 x 2. 1. c). (§Æt t= 1+ 3 x 2 ). x+1+2.  (x+1) 2. x+1. dx. 3. x+1 x+1 dx (§Æt t= ) x-1 x-1 dx (§Æt t= 4 2x-1) 2x-1  4 2x-1. Dạng 3. Tính tích phân  f(x)dx trong đó 1) f(x) cã d¹ng 2) f(x) cã d¹ng. 1 x ax 2 +b. ax 2 +b đặt ax 2 +b =t x. , x ax 2 +b hoÆc 1 2. (mx+n) ax  bx+c. 3. đặt mx+n=. 1 t. 4-x 2 dx x. Ví dụ 1. Tính tích phân I=  1. Lời giải. t * §Æt t= 4-x 2  x 2 =4-t 2  dx=- dt x * §æi cËn: x=1  t= 3, x= 3  t=1 Ta cã: 1. * I=. 4-x 2 t(-t)dt t2 dx= 2 =- 2 x x 4-t -t 2.  4-t. 2. 3. 1. dt=. . 3. -t 2 +4-4 4-t 2. =1- 3-(ln 2+t -ln 2-t ). 1. dt=. . 1. dt-4. 3. 1 3. dt.  4-t. =t 2. 1. 1. 3. 3. 1. (2-t)+(2+t) 1   1 dt=1- 3-  + dt= (2-t)(2+t) 2+t 2-t   3 3. . . =1- 3-  ln3-ln(2+ 3)+ln(2- 3)  =1- 3-ln3+2ln(2+ 3).   1. Ví dụ 2. Tính tích phân I=  0. dx (x+1) x 2  1. Lời giải.. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>   2. Cách 1. * §Æt x=tgt, t    ; Ta cã: dx=. dt cos2 t.  2 . .. * §æi cËn: x=0  t=0, x=1  t=  4. * Do đó: I=. 1.  2. 2. du 1  I=  2  sinu 2.  4.  4  4. dt.  cos t(tgt+1) 0. (xem phần phương pháp lượng giác hóa).. 2. tg t+1. . dt.  4.  sint+cost   0. 0.  2. du 1  u u 2  2sin cos 2 2 4. . dt   2 sin  t+   4.  2. du 1  u u 2 2  2cos tg 2 2 4. .  u d  tg   2   1 ln tg u u 2 2  tg 2 4  2. .  2  4. .   lg  tg  2  8. 1.  Ta tính tg : 8.  1  cos  4  2  2  I=- 1 ln 2  2   1 ln(3-2 2) tg2  8 1  cos  2  2 2 2 2 2 2 2 4. Cách 2 :. 1 dt §Æt x+1=  dx=- 2 t t §æi c©n: x=0  t=1; x=1  t=. 1 2. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 1 2.  I=- 1. 1 2. dt 2. 1 1  t 1 1 t  t  2. dt.  . 2t 2  2t+1. 1. 1. 1 2.  2. . 1. dt 2.  1 1 t  2   4  . 2. 1  1 1 §Æt t-   t     u (Xem d¹ng to¸n 4 trong phÇn nµy) 2  2 4 2   1  1 1 1    t  2   4  t- 2 t    2   1+ dt=du  dt=du  2 2  1 1   1 1  t  2   4  t  2   4        dt du   2 u  1 1 t    2 4  . 1 2 1 1 §æi cËn: t=1  u=  ; t=  u= 2 2 2 2  I=-. 1 2. 1 2. . 1 2 2. 1 2. du 1  ln u u 2. 1 2 2. 1. -. Dạng 4 . Để tính tích phân dạng: . 2. ln. 1 1+ 2. dx (x+b)2  a. . 1 2. ln(1+ 2). ta có thể giải như sau:.   x+b dx dt §Æt x+b+ (x+b)2  a  t   1+   dx=dt   t (x+b)2  a  (x+b)2  a  dx dt 2  (x+b)2  a   t  ln x  C=ln x+b+ (x+b)  a +C 1. Ví dụ 1: Tính tích phân: I=  0. dx (x+2)2  6. Lời giải.. §Æt x+2+ (x+2)2  6=t  2(x+2)  dx dt   1+   dx=dt   2 (x+2)2  6  t (x+2)2  6   x=0  t=2+ 10; 3+ 15. I=. dt  ln t t 10. . 2+. x=1  t=3+ 15. 3+ 15 2+ 10.  ln(3+ 15)-ln(2+ 10)  ln. 3+ 15 2+ 10. .. 3. Ví dụ 2: Tính tích phân: J=  x 2  4dx 1. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Lời giải. Sử dụng công thức tích phân từng phần: 3 3 3 x2 (x 2  4)  4 2 J= x x  4   dx=3 13  5   dx 1 x2  4 x2  4 1 1 3 3 3 2 dx  dx =3 13  5    x  4dx-4    3 13  5  J+4  2 2 x 4  x 4 1 1 1 3. 3 13  5 dx  J=  2 2 x2  4 1 3. TÝnh K=  1. dx. :. x2  4. §Æt x+ x 2  4  t. Vi ph©n 2 vÕ, ta cã:   x dx dx dt 2  dt    1+ 2  dx=dt  (x+ x  4) 2 2 t x 4  x 4 x 4  x=1  t=1+ 5; 3+ 13. K=. dt 3+  lnt 1+ t. . x=3  t=3+ 13 13 5.  ln. 3+ 13.  J=. 1+ 5 Luyện tập: Tính các tích phân sau: 1+ 5. 3. 3 13  5 3+ 13  2 ln . 2 1+ 5. 3. 3. a) I=  (x+1) x +4dx, HD: I=  x x +4dx+  x 2 +4dx 2. 2. 1. 1. 2 3. b) J=. . 3. 1. c) K=  0. 16. d) L=  0. dx x x2  4. 1. (§H Khèi A, n¨m 2003). dx (x+1) x 2 +x+1. dx x+9  x. (Nhân cho lượng liên hợp). B. Phương pháp lượng giác hóa: Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có chứa:. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>    * a 2 -x 2 (a>0) ta đặt x=asint, t  - ;   2 2 a    * a 2 -b2 x 2 ta đặt x= sint, t  - ;  (hoặc đặt t= a 2 -b2 x 2 ) b  2 2 * x 2 -a 2 (a>0) ta đặt x=. a      , t  0;    ;   cost  2 2 . a      , t  0;    ;   bcost  2 2     * a 2 +x 2 (a>0) ta đặt x=atgt, t   - ;   2 2 1 a    * a 2 +b2 x 2 hoặc 2 2 2 n (n  N* ) ta đặt x= tgt, t   - ;  (a +b x ) b  2 2 b2 x 2 -a 2 ta đặt x=. *. Ví dụ: Tính các tích phân sau: a. a 2. dx. a) I= . (a>0). a 2  x2. 0. b) J=  x 2 a 2 -x 2 dx (a>0) 0. 2 3. 1. c) K=  x. 2. 4-3x dx. 2 3 3. 0. 2. e) M=  2. . d) L=. 2. dx x x2  4. 1. dx. dx (1+3x 2 )2 0. f) N= . x x 1 2. Lời giải.    a) §Æt x=asint, t  - ;  , ta cã: dx=acostdt  2 2 a  §æi cËn: x=0  t=0; x=  t= 2 6 . . 6. acost. Do đó: I= . 6. dt=  dt . . 6 a 2  a 2 sin 2 t 0    b) §Æt x=asint, t  - ;  , ta cã: dx=acostdt  2 2 0. §æi cËn: x=0  t=0; x=a  t=. . 2. . . . . 2. 2. 4 2. 4 2. J=  a 2sin 2 t a 2  a 2 sin 2 t.acostdt=a 4  sin 2 tcos2 tdt= 0. 0.   4  2 a4  2  a   sin4t =   dt   cos4tdt    8 0 8  2 4 0    . .  2 0. a 4.  sin 0. 2. 2tdt=. a (1  cos4t)dt= 8 0.  4 a  .  16 . 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> c) §Æt x=. 2    sint; t= - ;  , ta cã: dx= costdt 3 3  2 2. 2. 4-3x 2  4  4 sin 2 t  2cost x=0  t=0; x=1  t=.  3. . Lúc đó:. . . 3. 3. . . 2  1 2  3 3 K= 4sin t.cos tdt= sin 2tdt= (1  cos4t)dt  tsin4t          3 30 3 30 3 30 3 3 4  0 3 3  3 8  d) Cách 1 : Phương pháp hữu tỉ hóa: 4. 2. 4. 2. 3. 2. 2. HD: §Æt x 2  4  t  x 2  t 2 -4 tdt dx tdt dt 2xdx=2tdt  dx=  = 2 = 2 2 x x x +4 x t t -4 Cách 2 : Phương pháp lượng giác hóa dt    §Æt x=2tgt, t   - ;  , ta cã: dx=2 cos2 t  2 2 §æi cËn: x= 2 3. I=. . 2 3 3. 2 3    t= ; x=2 3  t= 3 6 3. dx x x2  4. . . . 3. 3. 3.  . 2dt cos2 t.2tgt. 4tg2 t+4. 6. . 1 dt 1 dt 13 dt      2  cost.sint. 1 2  sint 4  sin t .cos t 6 6 6 cost 2 2.  t d  tg  1 dt 1 t 2 1       ln tg t t t 4  tg .cos2 2  tg 2 2 6 6 2 2 2 1 1       ln 3  ln  tg   2 2  12   . . 3. 3. . 1  cos. .  3.  6. . 1       ln  tg   ln  tg     2  6  12  . . 6  2 3 12 1+cos  2 3 6 1 1 2 3 VËy I=- ln 3  ln . 4 4 2 3 1 sint.dt      e) §Æt t= , t   0;    ;   ta cã: dx= cost cos2 t  2 2  TÝnh tg2. . §æi cËn: x=2  t=  4. M=  . 3. . 3. ; x= 2  t=. . 4.  4 sintdt       dt       . 1 12 4 3 cos2 t tgt  3 cost. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 1    tgt, t   - ;  th× dx= (1+tg2 t)dt; 1+3x 2  1  tg2 t 3 3  2 2. 1. f) §Æt x=. §æi cËn: x=0  t=0; x=1  t= . . 3. 3.  3 . . dt 1 1 3 1  1 1  3 3 2 Ta cã: N= cos tdt  (1+cos2t)dt= t+ sin2t    .   2    3 0 1+tg t 3 0 2 30 2 3 2  0 2 3  3 4  Luyện tập: Tính các tích phân sau: 1 1 4 a)  x 3 1  x 2 dx (§HSP Hµ Néi, n¨m 2001) b)  dx 3 (4-x 2 )2 0 0 1. 1. c). 1-x 2 dx x2.  1 2. Dạng toán 3: tích phân các hàm lượng giác Phương pháp: 1) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx, đặt t = sinx 2) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx, đặt t = cosx 3) Hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx, cosx, ta đặt t = tgx Ví dụ: Tính các tích phân sau: .  3. dx (Học viện Kỹ thuật Mật mã-1999) 1) I=  4  sin x.cosx. sin 3x 2) J=  dx 1+cos2 x 0 2. 6. . sin 2 x 3) K=  dx (ĐH Giao thông Vận tải-2000 ) 6  cos x 3. 4. Lời giải 1) Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx. Đặt t=sinx, ta có: dt=cosxdx §æi cËn: x=. . 1  3  t= ; x=  t= 6 2 3 2. . . 3. 3. Ta cã: I=  . cosxdx cosxdx  4  4 2 sin x.cos x  sin x.(1-sin 2 x). 6. 6. 3. 3 2. t 1 2. 4. dt  (1  t 2 ). 3 2. 1.   t. 4. +. 1 2. 1 1  + 2 dt= 2 t 1-t . 3. 2 14 26  1 1 2 1 =  - 3 -  +  ln(1+t)-ln 1-t  = +ln(2+ 3)-ln 3. 1 3 9 3  3t t  1 2 2. 2. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>