Nguyên hàm và tích phân

chuyên đề 5
nguyên hàm và tích phân
I. Các phơng pháp tính tích phân
1. Phơng pháp đổi biến số
a. Đổi biến số dạng 1. Tính tích phân
( )

b
a
dxxf
Đặt x = u(t) dx = u(t)dt
Đổi cận:
Với x = a t = với u() = a
Với x = b t = với u() = b
Biến đổi f(x)dx = f(u(t))u(t)dt = g(t)dt
Tính
( )

b
a
dxxf
=
( )



dttg
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a.
dxx1
1

0
2


b.

+
1
0
2
x1
dx
* ứng dụng: Đổi biến số dạng 1 thờng đợc dùng để khử các dạng đặt biệt của hàm số trong dấu tích
phân nh
22
xa

;
22
ax

; 1 + x
2
b. Đổi biến số dạng 2. Tính tích phân
( )

b
a
dxxf
Đặt t = u(x) dt = u(x)dx

Đổi cận:
Với x = a t = u(a)
Với x = b t = u(b)
Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
Tính
( )

b
a
dxxf
=
( )
( )
( )

bu
au
dttg
Ví dụ 3: Tích các tích phân sau
a.
( )

+
1
0
3
12 dxx
b.

3
2
3
3
2
3cos


dx

x
c.

2
ln
e
e
xx
dx
d.


2
1

12x
dx
e.
( )


2
1
2
12x
dx
f.

+
2

0
dx
3cosx1
sinx
g.

+
e
1
dx
x
lnx1
* ứng dụng: dùng để chuyển tích phân về dạng công thức tích phân, các tích phân mà biểu thức trong
dấu tích phân có dạng f(u(x)).u(x)dx

2. Phơng pháp tính tích phân từng phần.
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=
b
a
b
a
b
a
dxx.u'xvx.vxudxxv'xu
Hay

=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
a.

2
1
5
dx
x

lnx
b.

2

0
x.cosxdx
c.

1
0
x
dxxe
3. Bài tập tổng hợp
1.







+
4
2
2
1
dx
x
x

2.
( )


5
2
4
43 dxx
3.







+
+
1
0
2
1
3
dx
x
e
x
4.

+

3
2
1 xx
dx
5.
dx
e
ee
x
xx

+

5ln
0
3
1
6.

4
0
3
4sin

x
xdxe
7.
( )

+

2
1
1ln dxx
8.
( )

+
e
e
dx
x
x
1
2
1
ln
9.
( )

++
1
0
2
1ln dxxxx
10.


1
0
2

dxxe
x
11.

2
0
cos

x
xdxe
12.

1
0
x2
dxex
II. Tích phân của các hàm số phân thức
1. Phơng pháp chung:
Phân thức hữu tỷ có dạng:
( )
( )
xQ
xP
, trong đó P(x), Q(x) là những đa thức của biến số x.
1. Cho hàm số f(x) =
( )
( )
xQ
xP
, bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

a. Trờng hợp 1: Q(x) = (x - a)
m
(x - b)
n
(hay Q(x) = 0 có nghiệm)
Biến đổi f(x) thành tổng của các phân thức đơn giản và xác định các hệ số A
1
; A
2
; ; A
m
, B
1
; B
2
; ;
B
n
sao cho:
f(x) =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
n
n
2
21
m
m

2
21
bx
B

bx
B
bx
B
ax
A

ax
A
ax
A

++

+

+

++

+

Việc tính các hệ số A
1
; A

2
; ; A
m
, B
1
; B
2
; ; B
n
thờng đợc thực hiện bằng cách đồng nhất thức các
hệ số.
b. Trờng hợp 2; Q(x) có các nghiệm , , ta phân tích Q(x) = (x - )
n
(x - )
m
và chuyển về trờng hợp
1
c. Trờng hợp 3: Q(x) = x
2
+ bx + c mà Q(x) = 0 vô nghiệm , ta biến đổi
Q(x) = x
2
+ bx + c =

+






+
42
2
2
b
c
b
x
và đổi biến: t = x +
2
b
d. Trờng hợp 4: f(x) =
( )
( )( )
'''
22
cxbxacbxax
xP
++++
Trong trờng hợp này, ta thờng biến đổi nh sau:
f(x) =
( )

( )( )
'''
22
cxbxacbxax
xP
++++
=
cbxxa
DCx
cbxax
BAx
++
+
+
++
+
22
'
Việc tính các hệ số A, B, C, D bằng cách đồng nhất các hệ số.
e. Trờng hợp 5:

++
+


dx
cbxax
nmx
2
Ta thực hiện các phép biến đổi:

( )
cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax
nmx
++
+
++
+
=
++
+
222
2
Hay mx + n = A(2ax + b) + B
Các hệ số A, B đợc xác định bằng phơng pháp đồng nhất thức.
2. Cho hàm số f(x) =
( )
( )
xQ
xP
, bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x)
Ta thực hiện phép chia tử cho mẫu:
f(x) =
( )
( )
xQ
xP

= g(x) +
( )
( )
xQ
xh
, bậc của h(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)
2. Các bài tập vận dụng
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a.


3
2
32x
dx
b.
( )


1
0
3
32x
dx
c.


3
2
2

1x
dx
d.
( )( )


3
2
12x1x
dx
e.

+
1
0
2
65xx
dx
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a.

+
1
0
2
1x
dx
b.

+

a
0
22
ax
dx
c.

++
1
0
2
22xx
dx
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a.

+

3
2
2
dx
13x2x
34x
b.
dx
54xx
12x
1
0

2

++

c.


+
++
0
1
2
2
dx
23xx
33x3x
d.

++
++
1
0
2
2
dx
92xx
103xx
e.

++

+++
1
0
2
23
dx
92xx
110x2xx
g.
( )( )

+
2
1
0
2
1x1x
xdx
h.
( ) ( )

+
++
1
0
22
2
dx
1x3x
96x5x

i.
( )
( )

++

1
0
2
dx
1x2x
24x
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a.
( )
( )



++
+
1
2
2
2
54
1
xx
dxx
b.

( )
( )
dx
xx
x

++

1
0
2
12
24
c.

++
1
0
24
34xx
dx
d.
dx
xx
xx


+
++
0

1
3
2
23
333
e.

+
3
1
3
3xx
dx
f.
( )

++
+
1
0
2
65
114
dx
xx
x
3. Bài tập về nhà:
Tính các tích phân sau:
1.

+
1
0
2
dx
x1
2x
2.

+
3
1
3
3xx
dx
a.

+

1
0
2
dx
65xx
35x
b.
( )


+

+
0
1
2
23xx
dx1x
c.
( )

+
1
0
2
2
x1
xdx
d.
dx
1x
2x
3
2
2
3


e.

+
1

0
2
2
dx
x1
x
f.

+

2
1
4
2
dx
x1
1x
g.

+
2
1
4
x1
dx
h.


+
0

1
2
34xx
dx
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1.

++
1
0
x1x
dx
2.


1
0
2
2
x4
dxx
3.

+
1
0
x
1e
dx
4.

+
1
0
2
dx
1x
x
5.



1
0
xx
4ee
dx
6.
( )( )

+++

dx
13xx15xx
1x
22
2
7.

+

1
0
12x
xdx
8.


a
0
222
dxxax
với a > 0 9.


1
0
23
dxx1x
10.

++
+
1
0
2
dx
65xx
114x
11.

+
+
1
2
1
4
2
dx
x1
x1
12.

+
1
0
2
dx1x
13.

++
2
0
2
3
dx
12xx
x
14.

2
2
0
2
2
dx
x1
x
15.

+
+
1
0
6
4
dx
1x
1x
16.

++
1
0
24
dx
1xx
x
17.

+

2
1
4
2
dx
x1
x1
18.
( )

++
1
0
n
nn
x1x1
dx
, n = 1, 2,
19.

+
+
+
2
51
1
24
2

dx
1xx
1x
20.

+
7
0
3
2
3
x1
dxx
21.

+

ln2
0
x
x
dx
e1
e1
22.
( )

+
4
1

2
1xx
dx
23.


3
2
2
dx1x
24.

+
1
0
2
dx1x
25.

+
32
5
2
4xx
dx
26.

+
2
1

dx
1x1
x
27.

+
e
1
dx
x
lnx3lnx1
28.
( )


3
2
2
dxxxln
29.

+

ln5
ln3
xx
32ee
dx
30.
( )

1
0
2x
dxe2x
31.

+
3
1x
xdx
32.

+
ln2
0
x
2x
dx
1e
e
33.
( )

e
1
2
dxxlnx
34.

+
e
1
3
2
dx
x
xln2lnx
35.
dx
21
x
1
1
x
4


+
36.

10
1
2
xdxxlg
37.

++
7

2
1x2
dx
38.

+
1
0
x
2e
dx
39.
dx
13x
1x
3
7
0
3

+
+
40.

2
2
4
x
dx xsin10
41.

2
1
2
dx
x
lnx
42.
( )


1
0
6
35
dxx1x
43.


+++

1
1
2
x1x1
dx
II. Tích phân của các hàm số lợng giác
1. Phơng pháp:
1. Tích phân dạng:

b
a
x.dxsinmx.sinn
,

b
a
x.dxsinmx.cosn
,

b
a
x.dxcosmx.sinn
với m, n

Z
Phơng pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
2. Tích phân dạng:
( )

b

a
dxcosxsinx,f
a. Thờng đặt t = tan
2
x
b. Nếu f(- sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) thì đặt t = tanx
(Chẵn đối với sinx và cosx)
3. Tích phân dạng:

b
a
nm
x.dxx.cossin
a. Nếu m, n dơng
- Nếu m lẻ thì đặt t = cosx
- Nếu n lẻ thì đặt t = sinx
b. Nếu m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc.
c. Nếu m, n âm và cùng chẵn, cùng lẻ thì đặt t = tanx.
4. TÝch ph©n d¹ng:
∫
b
a
m
x.dxtan
(m > 0)
¸p dông c«ng thøc d(tanx) = (1 + tan
2
x)dx
BiÕn ®æi
∫

b
a
m
x.dxtan
=
∫∫






−=
−−
b
a
2
2m
b
a
22m
dx1
xcos
1
xtanx.dxx.tantan
=
( )
∫∫
−−
−

b
a
2m
b
a
2m
xdxtantanxxdtan
2. Bµi tËp minh ho¹:
Bµi 1. TÝnh c¸ch tÝch ph©n sau:
1.
∫
4
π
0
cos4xdx
2.
∫
4
π
0
3
xcosxdxsin
3.
∫
4
π
0
xsin9xsinxd
4.
∫

2
π
0
dxcos3xsin5x
5.
∫
2
π
0
2
3xdxcosx.cos
6.
∫
π
0
4
xdxcos
7.
∫
2
π
0
3
xdxsin
8.
∫
3
π
4
π

3
xdxtan
9.
∫
4
π
0
42
xdxxcossin
10.
∫
++
++
2
π
0
dx
53cosx4sinx
67cosxsinx
Bµi 2. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.
∫
4
π
0
4
xcos
dx
2.
∫

2
π
0
310
xdxxcossin
3.
( )
∫
+
4
π
0
44
dxxcosxsincos2x
4.
∫
+
2
π
0
3
dx
cosx1
x4sin
5.
∫
+
2
π
0

2
3
dx
xcos1
xsin
6.
∫
+
π
0
2
dx
xcos1
xsinx
7.
∫
3
π
0
cosx
dx
8.
∫
4
π
0
2
xdxxtan
9.
∫

+
2
π
0
dx
1cosx
sin3x
10.
( )
∫
−
+
2
π
3
π
4
tanxdxxcos1
11.
dx
xcos
x2cot1
3
π
6
π
2
2
∫
+

12.
∫
4
π
0
2
dx
2
x
cos
13.
∫
3
π
4
π
22
dx
xxcossin
cos2x
Bµi 3. Cho hµm sè f(x) =
sinxcosx
sinx
+
a. T×m hai sè A, B sao cho f(x) = A + B







+
−
sinxcosx
sinxcosx
b. TÝnh
( )
∫
2
π
0
dxxf
Bµi 4.
a. Cho hµm sè f liªn tôc trªn (0; 1). Chøng minh r»ng
( ) ( )
∫∫
=
2
π
0
2
π
0
dxcosxfdxsinxf
b. Sö dông kÕt qu¶ ®Ó tÝnh I =
∫
+
2
π
0

3
cosxsinx
xdxcos
vµ J =
∫
+
2
π
0
3
cosxsinx
xdxsin
III. Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.
( )
∫
+
2
π
0
dxsin2x3x
2.
∫
−
3
π
0
dx
4cos2x7

sin2x
3.
( )
∫
+
2
π
0
sinxdx1x
4.
∫
+
4
π
.0
dx
2sin2x1
cos2x
5.
∫
4
π
0
7
5
dx
xcos
xsin
6.
∫

2
π
0
2
sin2xdxx
7.
∫
2
π
0
xcosxdx
8.
( )
∫
+
4
π
0
2
2cosxsinx
dx
9.
∫
2
π
0
3
xdxsinx.cos
10.
∫

+
2
π
0
sinx1
cosxdx
11.
∫
2
π
0
4
xdxsin
Bµi 2. (Gi¶i ®Ò thi). TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.
( )
∫
+
2
π
0
33
dxxsinxcos
2.
( )
∫
+
2
π
0

44
dxxcosxsincos2x
3.
∫
+
2
π
0
3
dx
1cosx
xcos
4.
∫
+
4
π
0
44
dx
xcosxsin
sin4x
5.
∫
+
2
π
0
2
3

dx
xcos1
xsinx.cos
6.
∫
+
2
π
0
2
xcos1
cosxdx
7.
∫
+
2
π
0
dx
sinx1
cosx
8.
( )
dx
14x
1
12xsin
x
5
9

1
0
5
2
3x
∫








−
+
+
+
9.
∫
−








−

2
2
4
x
dxsinπi10
10.
∫
−
−
+
2
π
2
π
2
dx
xsin4
cosxx
11.
( )
∫
+
−
2
π
0
3
dx
sinxcosx
4sinx5cosx

12.
∫
2
π
0
3xsin
xdxsinx.cose
2
13.
( )
dxxsin
3
3
π
0
3
∫
14.
cotx.dx
xsin
sinxxsin
2
π
3
π
3
3 3
∫
−
15.

dx2xcotxtan
3
π
6
π
22
∫
−+
16.
∫
−
+
+
4
π
4
π
x
66
dx
16
xcosxsin
17.
∫
π
0
2
xdxxsinx.cos
18.
∫

2
π
0
2
xcos4xdxcos
19.
( )
∫
++
4
π
0
3
dx
2cosxsinx
cos2x
20.
∫






+
4
π
0
66
dx

xcosxsin
sin4x
21.
( )
∫
−−
π
0
22
dxxcossinxcosxx2sin
22.
∫
+
++
2
π
6
π
dx
cosxsinx
cos2xsin2x1
23.
∫
2
π
4
π
4
6
dx

xsin
xcos
24.
∫
+
2
π
0
2
3
dx
xcos1
xsin
25.
∫






+






+
dx

6
π
xcot
3
π
xtan
26.
∫
2
π
0
32
xdxx.cossin
27.
( )
∫
−+
2
π
0
441010
dxxxcossinxsinxcos
28.
∫
π
0
4
xdxcos
29.
( )

∫
+
4
π
0
2
2cosxsinx
dx
30.
( )
∫
+
+
+
2
π
0
cosx1
dx
cosx1
sinx1
ln
31.
∫
−
3
π
3
π
2

dx
xcos
xsinx
32.
∫
+
+
3
π
4
π
dx
sin2x3
sinxcosx
33.
( )
∫
+
2
π
0
3
cosxsinx
4sinxdx
34.
( )
∫
+
4
π

0
dxtanx1ln
35.
∫
3
4π
π
2
x
sin
dx
36.
∫
3
π
4
π
4
xdxtan
37.
∫
−
2
π
0
2
xcos2
dx
38.
∫

+
−
4
π
0
2
dx
sin2x1
x2sin1
39.
∫
+
+
2
π
0
dx
3cosx1
sinxsin2x
40.
∫
+
2
π
0
dx
cosx1
sin2x.cosx
41.
( )

∫
+
2
π
0
sinx
cosxdxcosxe
42.
∫
+
2
π
0
22
dx
x4sinxcos
sin2x
41.
∫
+
+
3
π
0
dx
3sin2x
cosxsinx
Bµi 3. Cho tÝch ph©n I
n
=

∫
4
π
0
n
xdxxtan
(n lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú)
1. TÝnh I
n
khi n = 2.
2. Chøng minh r»ng I
n
>
2n
4
π
2n
1
+






+
(§H B¸ch khoa HN A - 1997)–
Bµi 4. Cho hµm sè g(x) = sinx.sin2x.cos5x
1. T×m hä nguyªn hµm cña g(x)
2. TÝnh tÝch ph©n I =

( )
∫
−
+
2
π
2
π
x
dx
1e
xg
(§H B¸ch khoa HN A - 1999)–
Bài 5. Xét tích phân I
n
=

1
0
n
xdxsin
, với n là nguyên dơng
Chứng minh
( )
[ ]
1n
1
I
1n
1sin

n
1n
+
<<
+
+
(ĐH Huế A - 1998)
Bài 6. Cho hai tích phân sau: I =

2

0
22
2x.dxx.coscos
J =

2

0
22
2x.dxx.cossin
1. Tính I + J và I - J
2. Tính I và J
(HV Ngân hàng TP HCM D - 1998)
Bài 7. Đặt I =

+
6

0

2
cosx3sinx
xdxsin
và J =

+
6

0
2
cosx3sinx
xdxcos
1. Tính I 3J và I + J.
2. Từ các kết quả trên, hãy tính các giá trị của I, J và K =


3
5
2
3
sinx3cosx
cos2xdx
III. Tích phân và khai triển nhị thức niu tơn
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1.

+

ln6
ln4

xx
2x
dx
56ee
e
2.
( )


+
2
2
225
dxx4xx
3.

+

8
3
2
dx
1x
1x
4.
dx
2
1
xsinsinx.
2

6

2

+
6.







+
+
2

0
x
dxe
cosx1
sinx1
7.
( )
dx
cosxsinx
sinx
2

0
3

+
8.
( )


2

0
23
xdxcos1xcos
9.

+
8
3
dx
1x
lnx
10.

6

0
dx
cos2x
sinx
11.

dx
xln1x
xlog
e
1
2
3
2

+
12.

+
+
1
0
dx
x1
x1
13.
dx
xsin3cosx
sinx
3

0
2

+
14.

++
4

4

2
dx
xx1
sinx
15.
( )

++
3
0
2
dxx1xln
16.


3

3

2
dx
xcos
xsinx

17.

+

2

0
dx
12sinx
3cosxsin2x
18.
( )( )


++
1
1
2x
1x1e
dx
19.
dx
4

xx.sinsin
xcos
4

6

3
2







+
20.

+
2
1
3
x1x
dx
22.
2x
ln 3
x x
ln 2
e dx
I
e 1 e 2
=
+

23.

1
2
0
I = xln(x + x +1)dx

25.
( )

+
2
0
cos
2sin.sin

xdxxe
x
26.

+
+
=
5
1
2
13
1
dx
xx
x
I

27.


x
ln10
b
3
x
e dx
e 2
28.
2
3
0
7sin x 5cos x
dx
(sin x cos x)


+

29.
dx. .cos.sin.
3
2
0
sin
2
xxe
x

30.









+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
31.

=
xx
dx

I
53
cos.sin
32.
( )
2
3
0
sinxdx
sinx + 3 osxc


33.
6 6
4
x
4
sin x cos x
dx
6 1



+
+

34.

=
2

1
xdxln)2x(I
35.
1
2
ln xdx
e
I x
x

= +
ữ


36.
4
2 4
0
sin 4x
I dx
cos x. tan x 1

=
+

38.

+

=

e
1
dx
xln21x
xln23
I
39.
( )
3
6 2
1
dx
x 1 x+

40.
3
1
(x 4)dx
3. x 1 x 3

+
+ + +

41.
3
2
2
1
log
1 3ln

e
x
I dx
x x
=
+

42.
1
2
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x
+
+

43.
4
0
sin
4
sin 2 2(sin cos ) 2
x dx
x x x

ữ

+ + +

44.
( )

++
+
=
4
0
2
211
1
dx
x
x
45.

+
=
2ln3
0
23
)2(
x

e
dx
I
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) =









x
0
dt
t25
4
1
trên đoạn [7; 16]
Bài 2. Cho tích phân I =
( )

+
1
0
5
dxx1
a. Tính I.
b. Dựa vào I, Hãy chứng minh

5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
C
6
1
C
5
1
C
4
1
C
3
1
C
2
1
C
+++++
Bài 3. Cho tích phân I =

( )

+
2
1
5
dx1x
a. Tính I.
b. Dựa vào I, hãy tính tổng S =
5
5
4
5
2
3
5
3
2
5
4
1
5
5
0
5
6
C
1
12
C

2
12
C
3
12
C
4
12
C
5
12
C
6
12

+

+

+

+

+

Bài 4. Tính các tổng sau:
a. S =
n
n
1n

2
n
3
1
n
2
0
n
1
C
1n
2
C
3
2
C
2
2
C
1
2
+
++++
+
b. S =
100
100
101
2
100

3
1
100
2
0
100
1
C
101
3
C
3
3
C
2
3
C
1
3
++
c. S =
n
n
1n
2
n
3
1
n
2

0
n
1
C
1n
12
C
3
12
C
2
12
C
1
12
+

++

+

+

+
Bài 3. Chứng minh rằng:
a.
1n
12
C
1n

1
C
3
1
C
2
1
C
1n
n
n
2
n
1
n
0
n
+

=
+
++++
+
b.
1n
12
C
1n
1
C

3
1
C
2
1
C
1n
n
n
2
n
1
n
0
n
+

=
+
++++
+
c.
n
n
0
1n
2
n
2n
3

1
n
1n
2
0
n
n
1
C.2
1n
13
C.2
3
13
C.2
2
13
C.2
1
13
+

++

+

+

+

d.
202
2.315
C.3
100
2
C.3
6
2
C.3
4
2
C.3
2
2
101101
99
100
1
100
5
100
95
6
3
100
97
4
1
100

99
2
+
=++++
Bµi 3. Cho tÝch ph©n I =
( )
∫
+
1
0
2006
2
dx1xx
a. TÝnh I.
b. Dùa vµo I, tÝnh tæng S =
2006
2006
2
2006
1
2006
0
2006
C
4014
1
C
6
1
C

4
1
C
2
1
++++
Bµi 4. Cho tÝch ph©n I =
( )
∫
−
1
0
n
2
dx1xx
, víi n ∈ N vµ n ch½n
a. TÝnh I
b. Dùa vµo I, chøng minh r»ng:
( )
1n2
1
C
22n
1
C
6
1
C
4
1

C
2
1
n
n
2
n
1
n
0
n
+
=
+
+−+−
Bµi 5. Cho tÝch ph©n I =
( )
∫
−
1
0
10
dx1xx
a. TÝnh I
b. Dùa vµo I, chøng minh r»ng:
132
1
C
12
1

C
4
1
C
3
1
C
2
1
10
10
2
10
1
10
0
10
−=+−+−