Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phan Trung Hiếu

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

06/10/2017

LOG
O

Chương 2:

Đạo hàm và vi phân

hàm một biến

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Đạo hàm của hàm một biến
§2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số
§3. Đạo hàm và vi phân cấp cao

2

§1. Đạo hàm của hàm một biến

3

I. Đạo hàm cấp một:

Định nghĩa 1.1.

Cho hàm số

f

(

x

) xác định trên

khoảng mở chứa

x

0

.

Đạo hàm

(cấp một) của

hàm số

f

(

x

) tại

x

₀

, ký hiệu

, được

tính bởi

0

0
0

0

( )

( )

( ) lim

_{x x}

f x

f x

f x

x x











0 0

( )

( )

y x





f x



nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.



Chú ý 1.2.

Nếu

tồn tại thì

f

(

x

) được

gọi là

khả vi

tại

x

0

.

0

( )

f x



4

Trong định nghĩa trên, nếu đặt

0

:

x x x

  

Số gia của biến số

tại

x

₀

.

0

( )

( )

y f x

f x

 



:

Số gia của hàm số

tại

x

0

.

0 0

(

)

( )

f x

x

f x



  

Khi đó

0 0

0 ₀ ₀

0 0

0

(

)

( )

( ) lim

lim

(

)

( )

lim

x x

h

y

f x

x

f x

f x

_x

_x

f x h

f x

h

   





  





_



_

 



5

Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
2

ln(1 _{) khi} ₀
( )

0 khi 0

x _x
f x x

x

  _



 

 _


tạix00.

Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)

0

0
0

0

( )

( )

( ) lim

_{x x}

f x

f x

f x

x x














Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)

0

0
0

0
( ) ( )
( ) lim_{x x} f x f x

f x

x x







 



6

Định lý 1.5

0 0 0

( )

( )

( )

f x

_

_{  }

L

_

f x

_



_

f x

_



_

L

Định lý 1.6.

f

(

x

)

có đạo hàm tại x

₀



f

(

x

)

liên tục tại x

₀

.

Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
( )

f x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

06/10/2017

7

Ví dụ 1.4: Tìm a, bđể hàm số

2

3 5 khi 1

( )

khi 1

   

  _ _{ }



x x

f x

ax b x

có đạo hàm tại

Ví dụ 1.3: Tìmm để hàm số

2

( ) khi 0

( )

khi 0

  

  _



x

e x x x
f x

m x

khả vi tại x00.

0 1.

x  

II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:

8

2.1. Các cơng thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.

2
( . ) .

( )

( . ) . .

. .

k u k u

u v u v

u v u v u v

u u v u v

v v

 
  
  

   
 _ _ _
  

 
 

2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó

( ) u x.

y x y u   

2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có u u x v v x ( ),  ( )

9

Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) yarctan x
b)_y__{(arcsin )}_x 2

c) 1

1


x

y
x

d)_{y e}_ x_arctan_ex__{ln 1}__e2x

e) ₂ 3

( 1)

  x

y x

f) _y_{ }_{(1 ) 2}_x __x2 3₃__x3

III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:

10

3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal):

Cho hàm số y= f(x) xác định trên Dvới x, ylà các biến
số kinh tế, gọi x D0 .

Hàm số được gọi làhàm biên tế(hàm cận
biên) của biếnMy f xy.( )

Giá trị được gọi làbiên tế(giá trị cận
biên) của hàm sốf(x) tại điểmx0.

0 0

( ) ( )

My x f x

11

3.2. Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng
thay đổi giá trị của biến ykhi biếnxtăng thêm 1
đơn vị. Cụ thể, ta có

0
( )

My x

0

( ) 0

My x  có nghĩa là khi x tăng1 đơn vị thì ysẽ tăng

0

( )

My x đơn vị.
0

( ) 0

My x  có nghĩa là khi x tăng1 đơn vị thì ysẽ giảm

0

( )

My x

 đơn vị.

Ví dụ 1.6:Cho hàm tổng chi phí
2

0,1 0,3 100.

  

C Q Q

a) Tìm hàm chi phí biên tế.

b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng đơn
vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.Q120

12

3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:
Xét hàm sốy=f(x).Khi biến số tăng từx0đếnxthì ta có
-Độ thay đổi tuyệt đốicủa biếnxtạix0là

0

  

x x x

Độ thay đổi tuyệt đối của biếnxphụ thuộc vào đơn vị
chọn để đo biếnx.

-Độ thay đổi tương đốicủa biếnxtạix0là
0



x

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

06/10/2017

13

3.4. Hệ số co dãn:hệ số co dãn của biếnytheo biếnxtại

x0là

0

0 0

0

( ) ( ) _{( )}

yx x y x _{y x}x

3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ
độ thay đổi tương đối của biến ykhi biến xtăng

tương đối lên 1%tại x0. Cụ thể, ta có
0

( )
yx x



0

( ) 0


 yx x  có nghĩa là có nghĩa là tại x= x0, khix
tăng1% thìysẽtăngyx( )%.x0

có nghĩa là có nghĩa là tại x= x0, khix
tăng1% thìysẽgiảmyx( )%.x0

0

( ) 0


 yx x 

14

Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:

Nếu thì hàmfđược gọi làco dãntạix0(hàm

số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi
đó, điểm (x0;y0) được gọi làđiểm co dãn.

Nếu thì hàmfđược gọi làđẳng co dãntạix0

Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm đẳng co dãn

(điểm co dãn đơn vị).

Nếu thì hàmfđược gọi làkhơng co dãntại

x0(hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến

số). Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm khơng co

dãn.

0

( ) 1
yx x 

0

( ) 1
yx x 

0

( ) 1
yx x 

15

Ví dụ 1.7:Cho hàm cầu Tính hệ số co

dãn của cầu theo giá tại các mức giáP= 100;P=
200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.

600 2 .

 

Q P

16

§2. V

i phân của hàm số

I. Vi phân cấp một:

17

Vi phân(cấp một) của hàm sốf(x) là

( )





( )

df x

f x dx

dy y dx





hay

Ví dụ 2.1.

Tìm vi phân của hàm số

2

.

x

y e



18

Định lý 2.3.

Nếu

u

,

v

là các hàm khả vi thì

1) (

d u v

_{  }

)

du dv

.

2) ( . )

d k u

_

k du

. .

3) ( . )

d u v

_

vdu udv

_

.

2

4)

d

u

vdu udv

.

v

v

 

_



 

 

Ví dụ 2.2.

Tính

3

) ( x)

a d x _e

3

) (

x

)

b d x e

3

)

x

_x

c d

e

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

06/10/2017

III. Ứng dụng của vi phân:

19

Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.
Ta có giá trị của hàm số tạixgầnx0là

Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàmf(x),
điểmx0và số gia đủ nhỏ.

0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ). ( )

( ) ( ).



      



  

f x x f x f x x o x

f x f x x

x



Ví dụ 2.3.

Tính gần đúng giá trị của

3_2,0001.

20

§3.

Đạo hàm và vi phân

cấp cao

I. Đạo hàm cấp cao:

21

Định nghĩa 1.1.

Giả sử

y

=

f

(

x

) có đạo hàm cấp

một

thì đạo hàm

cấp hai

của hàm số

y=f

(

x

)

là

Tương tự, ta có đạo hàm cấp

n

của

f

(

x

) là

y







( )

( )

y





f x





f x





( )n ( )n

_{( )}

( 1)n

_{( )}

y

_

f

x

_

f



x

_



 



Ví dụ 3.1.

Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp

ba, cấp bốn, cấp

n

của hàm số

_{y e k const}

_

kx

,

_

.

22

Định lý 1.2 (Công thức Leibniz).

Giả sử u và

v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó

( ) ( ) ( )

0

( . )

n n k k n k
n

k

u v

C u v









Ví dụ 3.4.

Tính

của hàm số

2 2x

_.

y x e



(20)

y

Ví dụ 3.2.

Cho hàm số

Chứng

minh

xy





2(

y





sin )

x xy

y x x

 



sin .

0.

Ví dụ 3.3.

Cho hàm số

. Chứng

minh

2

2





y

x x

3

_{  }

_{1 0.}

y y

II. Vi phân cấp cao:

23

Định nghĩa 2.1.

Giả sử

y

=

f

(

x

) có đạo hàm đến

cấp

n

thì

vi phân cấp n

của hàm số

y

=

f

(

x

) là

 

1 ( )

n n n n

d y d d y

_



_

y dx

Ví dụ 3.5.

Cho Tính

_y

_

_{(2 3) .}

_x

_

3

_{d y}

3

_.

III. Quy tắc L’Hospital:

24

Định lý 3.1.

Giả sử các hàm f và g khả vi trong

lân cận nào đó của x

₀

(hoặc có thể trừ x

₀

). Nếu

i

)

hay

và

tồn tại

thì

0 0

lim ( ) lim ( ) 0

x x

f x



x x

g x



0 0

lim ( ) lim ( )

x x

f x



x x

g x

 

0

( )

lim

( )

x x

f x

g x







0 0

( )

( )

lim

lim

( )

( )

x x x x

f x

f x

g x

g x

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

06/10/2017

25



Chú ý 1.2.



Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc

L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vơ định



Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital

nhiều lần.

0

0 hoặc





.

IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:

26

Dạng

0

0

Ví dụ 3.6.

Tính các giới hạn sau

0
sin
)lim_x x

c _ _x

2
3 2
2

5 6
)lim_x x x ₂

a _ _{x x x}_{  }  )lim₀2 ₂ 4 2
9 3
x

x
b

x


 

 
3
0

1
)lim_x ex

d
x



3

0

sin

)lim

_x

x

x

e

x





2 2

0

ln(cos )
)lim

arctan 2

x

x
f

x x

 

27

Dạng





Ví dụ 3.7.

Tính các giới hạn sau

2
2

3 2

) lim_x x ₁x

a _ _x _ b) lim_x__exx2_₃x

2
3
ln
) lim_x x

c _ _x ) limx ₁ 2

x
d

x
 _

28

Dạng

_0.

_

Ta đưa về dạng

0₀hoặc ._

1

1
. (0. ) g
f

f
f g _g




  



Ví dụ 3.8.

Tính các giới hạn sau

0
) lim .ln

x

a _x x


2

) lim ₂ .tan
x

b _ x



x


 _ 

 

 



Chú ý:

29

Dạng

  

Ta đưa về dạng 0

0 hoặc .

1
1
1 1
.

f
f _g

f
f g g _g

f g _{g f}
  _ 
 _ _

  


  _  _

  
 _ _
 _ _ _
 _ _




Chú ý:

30

Ví dụ 3.9.

Tính các giới hạn sau

2
) lim ( x )

x

b _e x
1

1 1

)lim

ln 1

x

a

x x


 _ 

 _ 

 

0

1 1 1

)lim

tan2 sin
x

c

x x x


 _ 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

06/10/2017

31

Dạng

_{0 , ,1}

0

_

0 

Giới hạn có dạng , trong đó

_

_

0

( )
lim ( )g x

x x f x f x( ) 0

trong lân cận của

x

0

.

Xem lại phương pháp giải ở Chương 1.

Ví dụ 3.10.

Tính các giới hạn sau

0
) lim x

x

a _x


tan
0

1
) lim x

x

b
x




 
 
 

V. Một số bài toán trong kinh tế:

32
5.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất:

Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm.
Gọi

P: đơn giá.

QD=QD(P): hàm cầu.

Q=Q(P): hàm sản lượng.

C = C(Q): hàm tổng chi phí.

R=P.Q: doanh thu.

: lợi nhuận (trước thuế).
R C

 

33

Ta có thể thiết lập các bài tốn tối ưu trong kinh tế mà
thực chất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến
số. Chẳng hạn:

-Tìm mức Phoặc Qđể doanh thu Rđạt tối đa.
lập hàm R(P) hoặc R(Q).

-Tìm mức Qđể chi phí Cđạt tối thiểu.
lập hàm C(Q).

-Tìm mức Qđể lợi nhuận đạt tối đa.

lập hàm 

Chú ý 5.1:

Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm_{ }Q Q P_D( ).







( ).Q

34

Ví dụ 3.11:Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản
phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá của 1
đơn vị sản phẩm trên thị trường làP= 130 đơn vị tiền.
Tổng chi phí để doanh nghiệp sản xuất raQđơn vị sản

phẩm (Q> 1) là đơn vị tiền.

Tìm mức sản lượngQđể doanh nghiệp có lợi nhuận
tối đa.

3 2

1 ₁₀ ₂₀

3

   

C Q Q Q

Ví dụ 3.12:Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một
loại sản phẩm. Hàm cầuQDcủa sản phẩm này làQD=

300-P,vớiPlà giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm

chi phí sản xuất của doanh nghiệp là

Tìm mức sản lượngQđể doanh nghiệp có lợi nhuận
tối đa.

3 ₁₉ 2 ₃₃₃ _10.

   

C Q Q Q

35
5.2. Bài toán thuế doanh thu:

Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm.
Gọi

t: mức thuế doanh thu trên một đơn vị sản phẩm.

T=t.Q: tổng số thuế doanh thu.
: lợi nhuận sau thuế.

Hãy tìm mức thuếttrên một đơn vị sản phẩm để tổng
số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất.

t R C T

   

Phương pháp:

Bước 1:Viết hàm lợi nhuận sau thuế

Bước 2:Tìm mức sản lượngQ(t) để đạt GTLN.

Bước 3:Viết hàmT=t.Q(t),t> 0. Sau đó, tìm mức
thuếtđểTđạt GTLN.

( ), 0.

t Q Q

 

t



36

Ví dụ 3.13:Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một
loại sản phẩm. Hàm cầuQDcủa sản phẩm này làQD=

800-P,vớiPlà giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm
chi phí sản xuất của doanh nghiệp là

Các nhà làm thuế sẽ áp mức thuế doanh thuttrên một
đơn vị sản phẩm là bao nhiêu để tổng số thuế thu được
từ doanh nghiệp là lớn nhất?

2 ₂₀₀ _100.

  

C Q Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

06/10/2017

37
5.3. Bài toán thuế nhập khẩu:

Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt
hàng. Gọi

QS=S(P): hàmcungcủa mặt hàng ở thị trườngnội địa.

QD=D(P): hàmcầucủa mặt hàng ở thị trườngnội địa.

P0:giá bán một đơn vị hàng ở thị trườngnội địa.
Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập về từ thị trườngquốc
tế.

số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp phải
chi ra để mua ở thị trường quốc tế = giá bán ở thị trường

quốc tế + chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế).

t: mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm

:

P

0

 

P t P

38

P: giá bán một đơn vị hàng của doanh nghiệp ra thị
trườngnội địasau khi nhập hàng.

Hãy tìm mức thuế nhập khẩuttrên một đơn vị hàng để
tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là
lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng nhập khẩu của
doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị
trường quốc tế).

0

  

P t P P

Phương pháp:

Bước 1 (Tìm P0):Trước khi nhập khẩu, các nhà sản
xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng

.

S D

Q Q

 

39
Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là

t R C T

   

. . . .

P Q P Q t Q

  

Bước 3:Tìm mức sản lượngQ(t) để đạt GTLN.

Bước 4:Viết hàmT=t.Q(t),t> 0. Sau đó, tìm mức thuế

tđểTđạt GTLN.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

S D D S

Q Q P Q P  Q Q P Q P  P P Q

( )

tQ



Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế hoặc ):

Sau khi nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung là

Q+QS(P). Khi đó:

( )

t P



t



Bước 5:Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện
0

  

P t P P

40

Ví dụ 3.14:Một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu
một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa,
nhu cầu về mặt hàng này làQD= 4200-Pđơn vị và các

nhà sản xuất cung cấp được QS= -200+Pđơn vị.Để

mua mặt hàng này ở thị trường quốc tế thì doanh
nghiệp phải chi ra một số tiền là 1600 đơn vị tiền cho
mỗi đơn vị hàng (chưa tính thuế). Hãy xác định mức
thuế nhập khẩutthu trên một đơn vị hàng để tổng số
thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất ?

41
5.4. Bài toán thuế xuất khẩu:

Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt
hàng. Gọi

QS=S(P): hàmcungcủa mặt hàng ở thị trườngnội địa.

QD=D(P): hàmcầucủa mặt hàng ở thị trườngnội địa.

P0: giá bán một đơn vị hàng ở thị trườngnội địa.
Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trườngnội
địa.

số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp thu
được khi bán mặt hàng ở thị trường quốc tế (giá bán một
đơn vị hàng trên thị trường quốc tế của doanh nghiệp trừ
đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế)).

t: mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm

:

P

0
 
P t P

42

P: giá mua một đơn vị hàng từ thị trườngnội địa để
xuất khẩu.

Hãy tìm mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản
phẩm để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh
nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu
của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị
trường quốc tế).

0  

P P P t

Phương pháp:

</div>

<!--links-->