tài liệu hsg – chinh phục olympic toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH HỆ CHẤT LƯỢNG CAO
<b> Trường ĐHSPHN NGÀNH SƯ PHẠM TỐN- K58 </b>

MƠN THI: TỐN 2
<i><b>Thời gian làm bài: 180 phút </b></i>
<b>Câu I. </b>

1. Cho hàm số

ax 1 nê u x 0
( )

a sin cos 1 nê u x>0
<i>x</i> <i>bx</i>

<i>f x</i>

<i>x b</i> <i>x</i>

 + − ′ ≤



=  _′

− +



<i>Tìm a và b để f(x) có đạo hàm trên R</i>.
2. Tính giới hạn

1

0

sin

lim .

<i>n</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>

→+∞

∫

<b>Câu II. </b>

1. Giải bất phương trình 2 2

(<i>x</i>+2) <i>x</i> − + ≤5<i>x</i> 4 <i>x</i> −4
2. Giải phương trình 2 1 2 1

sin <i>n</i>+ <i>_{x c}</i>− os <i>n</i>+<i>_x</i>=1<i>_{với n nguyên dương.}</i>
<b>Câu III. </b>

<i> Cho tứ diện đều ABCD nội tiếp mặt cầu (O; R). Một điểm M thay đổi trong tam giác </i>
<i>BCD. Hình chiếu vng góc của M lên các mặt phẳng ( ABC), (ACD) và ( ADB) lần lượt </i>

<i>là H, I và K. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng </i>

<i>1. Các đường thẳng BC, MD và DH đồng quy. </i>
<i>2. OM đi qua trọng tâm của tam giác HIK. </i>
Câu IV.

<i>1. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho </i>

2008

( 2007− 2006) = <i>n</i>− <i>n</i>−1?

<i>2. Cho a, b, c và d là các số thực bất kì. Chứng minh rằng </i>
3
<i>a b</i> <i>c d</i> <i>ad</i> <i>bc</i>
<i>a b</i> <i>c</i> <i>d</i> <i>ac bd</i>

− ₊ − ₊ + _≥

+ + −

<b>Câu V. </b>

<i>1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 3; -1) và phương trình </i>
<i>đường phân giác trong các góc B và C lần lượt là </i>2<i>x</i>−2<i>y</i>−3<i> = 0 và x + 2y – 5 = 0. </i>
Viết phương trình đường thẳng BC.

<i>2. Cho P( x ) là một đa thức bậc 4 hệ số thực có 4 nghiệm thực phân biệt. Chứng </i>
minh rằng đa thức 2 ( )<i>P x P x</i>′′( )−

[

<i>P x</i>′( )

]

2<i> có 6 nghiệm thực. </i>

<i> </i>

**********************Hết****************************
<b>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. </b>

Họ và tên thì sinh: ……….. Số báo danh: ……….

</div>

<!--links-->