soạn soạn giảng chuyªn ®ò bêt ®¼ng thøc i i kiõn thøc cçn nhí víi hai sè ab a b a b lµ c¸c bêt ®¼ng thøc trong ch­¬ng tr×nh to¸n líp 6 chóng ta lµm quen víi mét sè vên ®ò liªn quan ®õn b§t

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Soạn:
Gi

ả ng : <b>Chuyên đề</b>

<b>Bất đẳng thức ( I )</b>
I/ <b>Kiến thức cần nhớ:</b>

Với hai số a,b : a > b; a < b là các bất đẳng thức. Trong chơng trình Tốn lớp 6,
chúng ta làm quen với một số vấn đề liên quan đến BĐT nh so sánh hai số, hai
luỹ thừa; hai phân số...một số phơng pháp chứng minh BĐT, dùng BBĐT để tìm
khoảng giá trị số phải tìm . v.v...

*/ <b>TÝnh chÊt cđa B§T</b>

a/ Tính bắc cầu: Nếu a > b ; b > c Thì a > c
b/ Tính đơn điệu của phép cộng

Nếu a > b Thì a + c > b + c
c/ Tính đơn điệu của phép nhân

NÕu a > b ; c > 0 Th× a.c > b.c
c < 0 Th× a.c < b.c
d/ Cộng từng vế của các BĐT cùng chiều

NÕu a > b; c > d Th× a + c > b + d
II/<b> C¸c vÝ dơ</b>

A/<b> So s¸nh hai sè:</b>

a/ So sánh hai số tự nhiên

VD: Giỏ tin 7 quyển vở nhiều hơn giá tiền 8 cái bút chì. Hỏi giá tiền 8 quyển
vở và 9 cái bút chỡ ng no nhiu hn?

<b>Giải:</b>

Gọi giá tiền 1 quyển vở là x (đ)
giá tiền một cái bút chì là y (đ)

Theo bài ra ta cã: 7x > 8y. Ta cÇn so sánh 8x và 9y
Tõ 7x > 8y (1) => 7x > 7y => x > y (2)

Cộng từng vế của hai BĐT cùng chiều (1) và (2) ta đợc 7x + x > 8y + y
Hay 8x > 9 y
Vậy giá tiền 8 quyển vở nhiều hơn giá tiền 9 cỏi bỳt chỡ .

b/ So sánh hai phân số

*/ <i><b>Các ph</b><b> ơng pháp th</b><b> ơng dùng để so sánh hai phân số:</b></i>

1, Quy đồng mẫu:

Trong hai PS cùng mẫu, PS nào có tử nhỏ hơn thì PS đó nhỏ hơn
<i>a</i>

<i>b</i><
<i>c</i>

<i>d</i> <=> a < c
2. Quy đồng tử:

Trong hai PS cùng tử , PS nào có mẫu nhỏ hơn thì PS đó lớn hơn
<i>a</i>

<i>b</i><
<i>c</i>

<i>d</i> <=> d < b ( a,b,c,d Z +)
3. Sư dơng tÝnh chÊt:

<i>a</i>
<i>b</i><

<i>c</i>

<i>d</i> <=> ad < bc ( a,b c,d Z
<i>a</i>

<i>b</i>>
<i>c</i>

<i>d</i> <=> ad > bc b > 0; d > 0 )

4. Sử dụng “phần bù”tới đơn vị:

Hai PS đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phần bù đến đơn vị của PS nào lớn hơn thì PS đó
nhỏ hơn.

NÕu <i>a</i>

<i>b</i> = 1 – M;
<i>c</i>

<i>d</i> = 1 - K
mà M > K Thì <i>a</i>

<i>b</i> <
<i>c</i>
<i>d</i>
5. Sử dụng “ phần thừa” tới đơn vị:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

NÕu <i>a</i>

<i>b</i> = 1 + M ;
<i>c</i>

<i>d</i> = 1 + K
mµ M > K Th× <i>a</i>

<i>b</i> >
<i>c</i>
<i>d</i>
6. Dïng PS trung gian:

+/ Chọn một PS trung gian có cùng tử với một trong hai PS đã cho, cùng mẫu với
PS còn lại. VD: So sánh 12

49 vµ
13
47

Chän PS 12

47 lµm PS trung gian, ta cã
12
49 <

12
47 (1)
12

47 <
13

47 (2)

Tõ (1) vµ (2) => 12

49 <
13
47

+/ Chän mét PS trung gian thĨ hiƯn mèi quan hƯ gi÷a tư vµ mÉu cđa hai PS
VD : So sánh 15

59 và
24
97

Ta thÊy 15

59 >
15
60 =

1
4 (1)

24

97 <
24
96 =

1
4 (2)

Tõ (1) vµ (2) => 24

97 <
1
4 <

15

59 Nªn
24
97 <

15

59

Ngồi ra ta cịn hay dùng phơng pháp “làm trội”, “ làm giảm”. các tính chất của
luỹ thừa ... để so sánh hai hay nhiều PS.

*/ <i><b>VÝ dô</b></i>

So s¸nh A = 10

15

+1

1016+1 và B =

1016+1

1017+1

<b>Cách 1: </b>Để so sánh A với B ta đi so sánh 10A với 10B. Ta cã:
10A = 10

16

+10

1016+1 = 1 +

9
1016+1

10B = 10

17

+10

1017+1 = 1 +

9
1017+1

DÔ thÊy 9

1016

+1 >

9
1017

+1 nªn 10A > 10B => A > B

<b> C¸ch 2</b> Ap dông tÝnh chÊt :
NÕu <i>a</i>

<i>b</i> < 1 th×
<i>a</i>+<i>m</i>

<i>b</i>+<i>m</i> >

<i>a</i>

<i>b</i> ( m > 0)
Vì B < 1 nên B = 10

16

+1

1017

+1 <

1016+1+9

1017

+1+9 =

1016+10

1017

+10

= 10 .(10

15

+1)

10 .(1016+1) =

1015

+1

1016+1 =A

VËy A > B

c/ So s¸nh hai luü thõa

Khi so sánh hai luỹ thừa ta thơng dùng các phơng pháp:
+/ Đa về cùng cơ số => so sánh hai số mũ

+/ Đa về cùng số mũ => so sánh hai cơ số
+/ So sánh qua luỹ thừa trung gian

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+/ NÕu 0 < a < 1 thì am_{< a}n

<b>VD1</b> So sánh

a, 637_{vµ 16}12 _{b, 3}23_{vµ 5}15 _{c, 127}23_{vµ 513}18
d,

(

1

32

)

7

vµ

(

1

16

)

9

e,

(

1

80

)

7

vµ

(

1

243

)

6

<b>Ta cã </b>

a, 637_{< 64}7

647_{< 64}8 _{= ( 4}3₎8_{= 4}24_{= 16}12_{Nªn 63}7_{< 16}12
b, 323 _{= ( 3}3₎7 _{. 3}2_{= 27}7_.9

515_{= ( 5}2₎7_{.5 = 25}7 _{. 5 DÔ thÊy 27}7_{.9 > 25}7_{.5 Nªn 3}23_{> 5}15
c, 12723_{< 128}23_{= ( 2}7₎23_{= 2}161

₅₁₃18_{> 512}18_{= ( 2}9₎18_{= 2}162

DÔ thÊy 2161_{< 2}162_{Nªn 127}23+ < ₅₁₃18
d,

(

1

32

)

7

=

(

1

25

)

7

=

(

1

2

)

35

(

1

16

)

9

=

(

1

24

)

9

=

(

1

2

)

36

DƠ thÊy

(

1

2

)

35

>

(

1

2

)

36

Nªn

(

1

32

)

7

>

(

1

16

)

9

e,

(

1

80

)

7

>

(

1

81

)

7

=

(

1

34

)

7

= 1

328

(

1
243

)

6

=

6
5
3

1







=

1

330 _Mµ
1
328 _>

1

330 _Nªn

(

1
80

)

7

>

(

1
243

)

6

<b>VD2 </b>

CMR số 958_{là một số có 16 chữ số khi viết kết quả của nó trong hệ thập phân}

<b>Giải</b>

Số tự nhiên nhỏ nhất có 16 cs là 1015
Số tự nhiên nhá nhÊt cã 17 cs lµ 1016
Nh vËy ta cÇn c/m 1015_{< 95}8_{< 10}16

Ta cã 958_{< 100}8_{= ( 10}2₎8_{= 10}16₍₁₎

Gi¶ sư 1015_{< 95}8 _=> 10

15

958 < 1 <=>
1016

958 < 10

Ta cã 10

16

958 =

(

100
95

)

8

=

(

20

19

)

8

mµ

(

20

19

)

8

< 20

19 .
19
18 .

18
17 ....

14
13.

13
12 =

20

12 < 10

Do đó 1015 _{< 95}8₍₂₎

Tõ (1) vµ(2) => 1015_{< 95}8_{< 10}16_{hay 95}8_{lµ sè cã 16 cs.}

<b>VD3:</b>

Số 21991_{và 5}1991_{viết liền nhau đợc một số có bao nhiêu chữ số?}

<b>Gi¶i</b>

Giả sử số 21991_{có x chữ số; số 5}1991 _{có y chữ số ( x; y} _N)
Ta đã biết số tự nhiên nhỏ nhất có x chữ số là 10x -1

sè tù nhiªn nhá nhÊt cã x+1 chữ số là 10x
=> 10x-1_{< 2}1991_{< 10}x_(*)

T¬ng tù sè tù nhiên nhỏ nhất có y chữ số là 10y -1
sè tù nhiªn nhỏ nhất có y+1 chữ số là 10y

10y-1_{< 5}1991_{< 10}y_{( **)}
Nhân từng vế của BĐT (*) vµ(**) ta cã:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<=> 10x+y-2_{< 10}1991 _{< 10}x+y
<=> x + y- 2< 1991 < x + y
Do x; y N => x + y - 1 = 1991

=> x+y = 1992

Hay số 21991_{và 5}1991_{viết liền nhau đợc một số cú 1992 ch s}

<b>BT vân dụng </b>

BT1/ Giá tiền 1 quyển sách, 6 quyển vở, 3 chiếc bút là 7700đ. Gi¸ tiỊn 8 qn
s¸ch, 6 qun vë, 6 chiÕc bút là 16000đ.

So sánh giá tiền 1 quyển sách vµ 1 qun vë.

BT2/ CMR 2100 _{là số có 31 cs khi viết kết quả của nó trong hệ thập phân .}
BT3/ So sánh A= 1+2+3+... +1000 vµ B = 1.2.3....20

C = 1.2.3...11 vµ D = 1+2+3+... + 1000000.

B/ <b> Chứng minh bất đẳng thức</b>

<b>VD1</b>: Cho A = 1

101 +
1
102 +

1

103 + ... +
1
200

CMR a, A > 12
7
b, A > 5

8

<b>Giải: </b>a, Tách A thành 2 nhóm , mỗi nhóm có 50 số hạng rồi thay mơĩ PS trong
nhóm bằng PS nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta đợc:

A = ( 1

101 +
1

102 +...+
1

150 ) + (
1
151+

1

152 + ... +
1
200 )

=> A > ( 1

150 +
1

150 + ... +
1

150 ) + (
1
200 +

1

200 + ... +
1
200 )

50 sè h¹ng 50 sè h¹ng

=> A > 1

150 . 50 +
1

200 . 50 =
1
3+

1
4=

7
12

VËy A > 12
7

.

b, Tách A thành 4 nhóm, lập luận tơng tự nh phÇn a, ta cã

A=( 1

101 +
1

102 +. .+
1

125 )+(
1
126+

1

127+.. .+
1
150 )+(

1
151+

1

152+.. .+
1
175 )

+

( 1

176+
1

177+.. .+

1
200 )

 A > 1

125 . 25 +
1

150

.

25 +
1

175 .25 +
1

200 . 25

 A > 1

5+
1
6+

1
7 +

1
8 =

107
210 +

1
8 >

1
2 +

1
8 =

5
8

VËy A > 5

8

<b>VD2</b>: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp a; a+1;... ; b-1; b trong đó b> a+1. Ghép
các số trên thành từng cặp hai số hai đầu và hai só cách đều hai đầu

a, CMR hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất; hai sè thc cỈp trong
cïng cã tÝch lín nhÊt.

b, ¸p dông CMR 5

8 <
1
101 +

1

102 +

1

103 + ... +
1
200 <

3
4

<b>Gi¶i: </b>

a, Ta xét hai cặp ( a; b) và ( a+1; b-1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

=> ab + b- ( a+1) > ab Hay ( a+1) .( b-1) > a.b chứng tỏ rằng tích của hai cặp
ngồi cùng nhỏ hơn tích của hai cặp bên cạnh. Từ đó =>

+/ Hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhá nhÊt
+/ Hai sè thc cỈp trong cïng cã tÝch lín nhÊt.
b,<b> ¸p dơng</b>: Gäi A= 1

101 +
1
102 +

1

103 + ... +
1

200

Ghép các số cách đều hai đầu thành từng cặp;
A =

(

1

101+
1

200

)

+

(

1
102+

1

199

)

+ ...+

(

1
150+

1
151

)

= 301

101. 200 +
301

102. 199+. ..+
301
150 . 151

= 301.

(

1

101. 200+
1

102 . 199+.. .+
1
150 .151

)

XÐt mÉu cña 50 PS ở trong ngoặc. Theo c/m phần a, thì tích 101.200 có giá trị
nhỏ nhất; Tích 150.151 có giá trị lớn nhất .

=> 1

101. 200 lín nhÊt ;
1

150 .151 nhá nhÊt

Do đó A < 301. 1

101. 200 .50 =
301
404 <

303
404 =

3

4 (1)

A > 301. 1

150 .151 . 50 =
301
453 >

300
453 >

300
480 =

5

8 (2)

Tõ (1) vµ(2) => 5

8 <
1
101 +

1
102 +

1

103 + ... +

1
200 <

3
4

<b>VD3</b>

Cho P = 1

2.
3
4.

5
6.. . .

199

200 (*) C/m r»ng A2 <
1
201

<b>Giải</b> Trớc hết ta có nhận xét rằng biểu thức P là tích của 100 PS nhỏ hơn 1
trong đó các tử đều lẻ và các mẫu đều chẵn. Ta cần tìm một biểu thức trung gian
là tích của các PS mà tử chẵn, mẫu lẻ.

DƠ thấy nếu thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi PS của P thì giá trị mỗi PS tăng lên.
Ta cã P < 2

3.
4
5.

6
7. ..

200

201 (**)

Nhân từng vế của(*) và(**)
=> P2_<

(

12.
3
4.

5
6. ..

199
200

)

.

(

2
3.

4
5.

6
7. ..

200
201

)

=> P2_< 1 .3 . 5. . .199

2 . 4 . 6 .. . 200 .

2 . 4 . 6 .. . 200
3 .5 . 7 .. .201 =

1
201

VËy P2_< 1

201 ( ®pcm)

<b>VD4</b>

Cho 6 só tự nhiên khác nhau có tổng bằng 50. CMR trong 6 số đó tồn tại 3 số
có tổng lớn hơn hoặc bằng 30.

<b>Giải</b> Gọi 6 số đó là a,b,c,d,e,g.
Theo bài ra ta cú a+b+c+d+e+g =50

Không làm mất tính tổng quát , giả sö a > b > c > d > e > g.
+/ NÕu c 9 th× b 10; a 11

Khi đó a + b + c 11+10+9 = 30 #
+/ Nếu c 8 thì d 7; e 6; g 5

Khi đó d + e + g 7+6+5 = 18
=> a + b + c 32 #

<b>VD5:</b> CMR
a, A = 1

2<i>!</i>+

1
3<i>!</i>+

1
4<i>!</i>+.. .+

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b, B = 9

10<i>!</i>+

9
11<i>!</i>+

9

12<i>!</i>+.. .+

9

1000<i>!</i> <

1
9<i>!</i>

<b>Gi¶i:</b> Ta cã

a, A = 1

2<i>!</i>+

1
3<i>!</i>+

1
4<i>!</i>+.. .+

1

100<i>!</i> (1)
=

1
1 . 2. 3 .. .100

¿ 1

1 . 2+
1
1. 2. 3+

1

1 . 2. 3 . 4+.. .+❑❑

DÔ thÊy 1

1 . 2. 3 . 4 <
1

3 . 4 ;

1

1 . 2. 3 . 4 .5 <
1

4 . 5 ... do đó

A < 1

1 . 2+
1
2. 3+

1

3 . 4+. . .+
1

99. 100 =
1-1

100 < 1 #

b, B = 9

10<i>!</i>+

9
11<i>!</i>+

9

12<i>!</i>+.. .+

9
1000<i>!</i>
B < 10<i>−</i>1

10<i>!</i> +

11<i>−</i>1
11<i>!</i> +

12<i>−</i>1

12<i>!</i> +. . .. .+

1000<i>−</i>1
1000<i>!</i>
B < 1

9<i>!−</i>

1
10<i>!</i>+

1
10<i>!</i> <i>−</i>

1
11<i>!</i>+

1

11<i>!</i> <i>−</i>. ..+

1
999<i>!</i> <i>−</i>

1

1000<i>!</i> =

1
9<i>!−</i>

1

1000<i>!</i> <

1
9<i>!</i> #

<b>BT v©n dơng </b>

BT1/ Cho A = 1 + 1₂+1

3+
1
4+.. .+

1

2100<i>₋</i>₁ CMR :

a, A < 100
b, A > 50
BT2/ CMR 1

6 <
1
52+

1
62+

1
72+.. .+

1
1002 <

1
4

BT3/ Cho B = 1

11+
1
12+

1
13+.. .+

1
70

CMR a, B > 4

3

b, B < 2,5
BT4/ Cho C = 1

22+

1
32+

1
42+. ..+

1

</div>

<!--links-->