chủ đề iii tổ hợp nhị thức newton đại số tổ hợp – nhị thức newton 1 đẳng thức và bất đẳng thức 1 tính tổng 2 tính tổng 3 so sánh 4 chứng minh 5 cho tx biến đổi tx t

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI SỐ TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON :

1/.Đẳng thức và bất đẳng thức:

1/.Tính tổng : <i>S</i> 12<i>C</i>1<i>n</i> 22<i>Cn</i>2 ... <i>n C</i>2 <i>nn</i>,(<i>n</i> )



      _.

2/.Tính tổng :

2
1
3 1
( 1)
2
<i>n</i>
<i>k</i> <i>k</i>
<i>n</i>
<i>k</i>
<i>k</i> <i>k</i>
<i>T</i> <i>C</i>
<i>k</i>

 
 




3/. So sánh :

2

2 1 2 1

0 0
&
<i>n</i> <i>n</i>
<i>k</i> <i>k</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>k</i> <i>k</i>

<i>A</i> <i>C</i>  <i>B</i> <i>C</i> 

 



_



_

.

4/.Chứng minh : 1 2

(2 1)!
. .

[( 1)!]

<i>n</i>

<i>k</i> <i>n k</i>
<i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i>

<i>n</i>
<i>k C C</i>

<i>n</i>








5/.Cho T(x) =

2003

1

(2 1)<i>k</i>
<i>k</i>

<i>x</i>






, biến đổi T(x) =

2003

0

( 1)<i>k</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>a x</i>





. Thu gọn hệ số a0 , a1, a2.

6/.Chứng minh :

0 ₍ ₁₎ 1 ₍ ₂₎ 2 _{... 1} 1 ₍ ₁₎ (2 1)! _, *_.

6.( 1)!( 1)!

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>nC</i> <i>n</i> <i>C</i> <i>n</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 

         

  

7/.Chứng minh :

1 2

( 2)2 2

( 1)! . .... ,
2

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>C C</i> <i>C</i> <i>n</i>

<i>n</i>



 

    

2/.Phương trình, bất phương trình & hệ phương trình:

1/.Tìm <i>k</i> 50_{và n để các số}<i>Cnk</i> 1,<i>C Cnk</i>, <i>nk</i> 1

 

là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
2/.a/.Tính số tập con của một tập hợp A biết rằng 2 lần tổng các số tập con có 1,2, 3
phần tử của A đúng bằng 7 lần số phần tử của A.

b/.Tìm số phần tử lớn nhất của tập hợp B biết B cósố tập con 5 phần tử không nhiều
hơn hai lần số tập con 2 phần tử .

3/.Giải : a/.

4
n

3 n 4

n 1 n

A 24

23

A C 





 _b/.A4n 1 14.P .C3 n 3n 1

c/.

1 1

1 . 1 1

10 2

<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>

<i>A</i> <i>y A</i> <i>A</i>

<i>C</i>

-

-- + - ₌ ₌

d/.<i>Cxy</i> 1:<i>Cxy</i> :<i>Cxy</i>1 2 : 3 : 4

 



e/. 5 60.( )! 32

<i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>P</i> <i>n k A</i> 

    f/.

1 2

2 2

5
2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i> <i>A</i>

   

4/.Cho nhị thức

1 1

lg 1 12

( )

<i>n</i>
<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i>  <i>x</i>

 

 

 

 

  _{. Biết tổng các hệ số thứ 1,2,3 của khai triển nhị thức bằng 22; tìm}

giá trị của x để số hạng thứ 4 bằng 200?

5/.Cho T(x) =

1
3 2

3
2
4.2
2

 

 
 
 
<i>n</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

. Gọi u , v là số hạng thứ 3, 5 của T(x) .
Tìm x sao cho : 1 3

9 240

log <i>_n</i> 1 log(3 )<i>_n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

6/.Cho T(x) =





5

log(10 3 ) ( 2)log3

2  <i>x</i> 2<i>x</i> <i>n</i>


.

Biết các hệ số thứ 2 , 3 , 4 của khai triển T(x) lập thành cấp số cộng và số hạng thứ 6
của T(x) bằng 21, tìm số hạng thứ 3 .

7/. Cho T=

2
3

3

2<i>a</i> <i>n</i>
<i>ab</i>

<i>b b</i>

 



 

  _{. ( a,b > 0 ; n}__N*_{). Tìm n để tỉ số hai số mũ của a và b trong số hạng thứ 5 của}

khai triển T là một số nguyên dương . Khi n = 12 , tìm số hạng có tích số hai số mũ của a và b lớn nhất
( nhỏ nhất).

8/.Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho trong khai triển T(x) = (1 + x)n_{có hai hệ số liên tiếp có tỉ số}

bằng 7/15 ? Khi x = - 2/3 , tìm số hạng lớn nhất của khai triển này
( với n tìm được ở trên)

9/. Tính hệ số của x-3 _{trong khai triển sau : T(x) =}

100

1
2<i>x</i> 3

<i>x</i>

 

 

 

 

10/.Tính hệ số của x-2 _{trong khai triển sau : T(x) =}





100
3

2

1

2 2

3

 

 _  _

 

<i>x x x</i> <i>x x</i>

<i>x</i> _.

11/.Tính hệ số của x2_{trong f(x) = (x}2_{– 3x + 2 )}2003_{bằng 3 cách .}

12/.Cho A =

(

)

100
3₅_- 4₃

, tìm các số hạng nguyên khi khai triển A .

3/.Các bài toán tổ hợp , chỉnh hợp , hoán vị :

1/.Trên các cạnh AB, BC, CA của DABC lần lượt cho 2; 2; 5 điểm phân biệt khác A,B,C
và các điểm này chia cạnh tam giác thành các đoạn bằng nhau .

a/.Tính số tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.

b/.Tính số tứ giác có đỉnh là các điểm đã cho , trong đó có bao nhiêu hình bình hành

c/.Nếu tô màu tất cả các điểm đó bằng 3 màu xanh , đỏ , vàng thoả mãn : các điểm
trên cùng 1 cạnh thì cùng màu .Tính số tam giác không có đỉnh màu vàng .

2/. Cho M =

{

0;1;2;3; 4;5;6

}

và N =

{

4;5;6;7;8;9

}

.Tính số lượng số tự nhiên A trong các
trường hợp sau :

a/. A có 3 chữ số phân biệt chỉ thuộc 1 trong 2 tập M hoặc N .

b/.A =<i>abcd</i>, avà b thuộc M, c và d thuộc N ,các chữ số của A phân biệt .

2/.Tính tổng tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt thuộc tập A =

{

0;1;2;3; 4;5;6

}

.
3/. Có bao nhiêu số dạng N = <i>abcd</i> với a,b,c,d phân biệt thuộc và N > 2003 ?

hoặc <i>a b c d</i>   _?

4/.Tìm số cách chia tất cả 12 sách GK khác nhau cho 3 học sinh A,B,C sao cho số sách
được chia theo tỉ lệ 1:2:3 ? Nếu đem xếp thứ tự 12 sách GK vào một kệ sách có 4 ngăn
liên tiếp sao cho ngăn nào cũng có sách , có bao nhiêu cách ?

5/.Cho A =



0;1;2;3; 4;5;6



. Gọi N là số lớn nhất có các chữ số phân biệt thuộc A .Tìm số
lượng ước số của N . Gọi M là số có 4 chữ số phân biệt thuộc A sao cho tổng các

chữ số của M chia hết cho 2 , tìm số lượng M .

6/.Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt mà mỗi số
đều chia hết cho 2 và hai chữ số 6,7 không ở kề nhau?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

8/.Có bao nhiêu password dạng N = ******* trong đó có 4 ký tự là các chữ số phân biệt
thuộc A và có 3 ký tự là các chữ cái phân biệt thuộc B =



a; b;c;d;e



?

9/.Cho A=

{

0;1; 2;3; 4;5;6;7

}

. Tính số lượng các số tự nhiên N có không nhiều hơn 4 chữ số
trong đó có đúng 1 chữ số lẻ, ̀ các chữ số của N đôi một phân biệt và đều thuộc A.

<b>TỔ HỢP-NHỊ THỨC NEWTON</b>



BÀI 1: Cho đa thức P(x) =

(1 x) 2(1 x)







2



3(1 x) ... 20(1 x)



3







20

được viết dưới dạng

P(x) =

a

0



a x a x

1



2 2

 

.. a x

20 20

_.Tìm

a

15

_?



BÀI 2: Tìm giá trị của x, biết số hạng thứ 6 của khai triển: ?????????

x 1
x 1

2

7
1_log(3 ₁₎

log 9 7 ₅

(2



2

  





















BÀI 3: Giả sử

*

;(1

)

0 1 2 2

...

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n N</i>





<i>x</i>



<i>a</i>



<i>a x a x</i>







<i>a x</i>

_{.Biết rằng tồn tại số k nguyên}

(1 k n 1)  

_{sao cho :}

k 1 k k 1

a

a

a

2

9

24



_

_



. Hãy tính n?



BÀI 4: Tìm số tự nhiên n ,biết rằng trong khai triển

n

1

(x

)

2



thành đa thức đối với biến x,

hệ số của

x

6

bằng 4 lần hệ số của

x

4

.



BÀI 5: Tìm hệ số của số hạng chứa

x

26

trong khai triển nhị thức Newton của

7 n
4

1

(

x )

x



_,

biết rằng :

C

12n 1



C

22n 1



... C



n2n 1



2

20



1



BÀI 6: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển

2

2

n

(3x

)

x



, biết rằng :

C

0n



C

1n



C

2n



121





BÀI 7

<i>Cho n N C m</i>



*

. / :

1

₄

2

_...

₂

<i>n</i> 1 <i>n</i>

_.4

<i>n</i> 1 0

₍

₁₎₄

<i>n</i> 2 1

₍

₂₎₄

<i>n</i> 3 2

_{... ( 1)}

<i>n</i> 1 <i>n</i> 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>

<i>C</i>

<i>n</i>



<i>C</i>

<i>n</i>



<i>C</i>

<i>n</i>



<i>C</i>

<i>n</i>



<i>C</i>



<i>C</i>





















 



BÀI 8 :Tìm hệ số của

x

8

trong khai triển thành đa thức của :

8
2

1 x (1 x)



_

_









BÀI 9: C/m:

C

02009



3 C

2 22009



3 C

4 42009



... 3



2008 2008

C

2009



2

2008 2009

(2



1)



BÀI 10: C/m:

n 1

1 2 n

n n n

1

1

1

2

1

1

C

C

...

C

2

3

n 1

n 1















</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>



BÀI 11: C/m:

n

0 1 2 3 n

n n n n n

1

1

1

1

( 1)

1

C

C

C

C

...

C

2

4

6

8

2(n 1)

2(n 1)



















<i><b></b></i>



BÀI 12: Với n là số nguyên dương ,c/mr:

C

2n



2C

n3



... (n 1)C





nn



(n 2)2



n 1



BÀI 13: Tìm số nguyên bé nhất n sao cho trong khai triển

(1 x)



n

có 2 hệ số liên tiếp có tỉ

số là

7

15

_.



BÀI 14: Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hửu tỷ:

( 3 45)124

_.



BÀI 15: Cho biết 3 số hạng đầu tiên của khai triển

n
4

1

( x

)

2 x



có các hệ số là 3 số hạng

liên tiếp của 1 cấp số cộng. Tìm tất cả các số hạng hửu tỷ của khai triển đã cho.



BÀI 16: Xác định số n sao cho trong khai triển nhị thức

(x 2)



n

số hạng thứ 11 là số hạng

có hệ số lớn nhất.



BÀI 17: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển

8

1 2

(

)

3 3



_.



BÀI 18: Khai triển đa thức

P(x) (1 2x)

 

12

thành dạng :

P(x) a



0



a x a x

1



2 2



... a x



20 20

_{.Tìm max(}

a ,a ,...a

1 2 12

_)?

</div>

<!--links-->