on tap Hinh hoc lop 12 hoc ky 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (204.05 KB, 21 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BAØI 1:

TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM

TRONG KHÔNG GIAN

I/ Tọa độ của véctơ 
1.Định nghĩa:

→a = (a1;a2;a3)  →a = a1. i


+a2. j


+a3 .k

2. Tính chất: Cho →a =(a1;a2;a3) ; b→ =(b1;b2;b3) vaø k R ,ta coù:


a
→

=
b
→

⇔

1 1

2 2

3 3

a b








 



 →a ± b→ =(a1 ± b1;a2 ± b2;a3 ± b3)
 k. →a =(ka1;ka2;ka3)

III/. Tọa độ của điểm

1.Định nghĩa:Cho hệ tọa độ Oxy .Với một điểm M tùy ý ,tọa độ của véctơ OM được gọi là tọa độ
của điểm M ;ký hiệu M=(x;y;z) hay M (x;y;z)

2. Tính chất : Cho A(x1 ;y1;z1) và B(x2;y2;z2) thì :
a/ AB❑

=(x2-x1 ; y2-y1; z2-z1)

b/ Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

(tức là:MA = k.MB ) thì:






 














 



1 2

1
1
1

M

x kx
x

k
y ky
y

k
z kz
z

k
c/Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là :






















1 2

1 2
2
2
2

M

x x
x

y y
y

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BÀI 2

TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG

I/Tích vơ hướng của 2 véc tơ:
1/Định nghĩa:

Cho hai véc tơ a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3) tích vơ hướng của 2 véc tơ a, b kí hiệu a.b
được định nghĩa: a.b = a b a b a b1 1 2 2 3 3

2/Hệ quả:

  

2 2 2

1 2 3

a a a →a

2=

  a

→

 =  

2 2 2

1 2 3

a a a



   



   

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

cos( , )a b a b a b a b

a a a b b b

 a


b



 a b a b a b1 1 2 2 3 3=0

I

I/Tích có hướng của 2 véc tơ:

1/Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ tuỳ ý →a =(a1;a2;a3); b→ =(b1;b2;b3). Tích có
hướng củ 2 véc tơ a và b là một véc tơ kí hiệu: a b, 

 

được định nghĩa:a b, 
 

2 3 3 1 1 2

, ,

a a a a a a

b b b b b b

 
 
 
2/Tính chất:
 a


, b cùng phương khi và chỉ khi a b, 
 

=0
 a b,

 

 

 
 a



, a b, 
 

 b


 a b,

 

 

 

= a bsin( , )a b

   

III/Một số ứng dụng cuả tích có hướng:
1/Diện tích tam giác :

SABC=

1
,
2 AB AC

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2/Diện tích hình bình hành ABCD :
SABCD=

,
AB AC

 

 

 

3/Điều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ:

Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ a, b, c đồng phẳng là : a b, 
 

.c = 0
4/Thể tích của hình hộp ABCDA’B’C’D’:

VABCDA’B’C’D’ =

, . '

AB AD AA

 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  

5/Thể tích của hình tứ diện ABCD:
VABCD =

, .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

BÀI 5:

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

1/Định nghóa:

n 0 là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu

n



nằm trên đường thẳng vng góc với(P)
2/Chú ý:

 Cho 2 vétơ a


, b khơng cùng phương chúng nằm trên 2 đường thẳng song song với mặt
phẳng (P)hoặc nằm trên (P). Thì

n



=[a,b ] là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Khi đó

hai véc tơ a, b gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

 Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì cặp AB



, AC là cặp véc tơ chỉ
phương của mặt phẳng (ABC),

n



=[AB ,AC


] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
3/Định nghóa phương trình mặt phẳng:

Trong khơng gian mỗi phương trình: Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2



0 được gọi là phương
trình tổng quát của mặt phẳng (hay đơn giản hơn là phương trình mặt phẳng).

Chú ý:

 Mặt phẳng có phương trình: Ax+By+Cz+D = 0 thì

n



=(A;B;C) là một véc tơ pháp tuyến của
nó.

 Mặt phẳng đi qua M(x;y;z) có một véc tơ pháp tuyến là

n



=(A;B;C) có phương trình là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.

 Mặt phẳng () song song với mp(') có phương trình: Ax+By+Cz+D = 0 thì phương trình
của mặt phẳng () có dạng : Ax+By+Cz+D’ = 0

 Mặt phẳng qua 3 điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) phương trình là:

  1

x y z

a b c . Phương
trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.

BÀI 6:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG

II/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng :

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
( α' ) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

a/ ( α ) caét ( α' )  A : B : C  A’:B’:C’
b/ ( α )  ( α' )  A

A'=
B
B'=

C
C'=

D
D'
c/ ( α ) // ( α' )  A

A'=
B
B'=

C
C'≠

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BÀI 7:

CHÙM MẶT PHẲNG

Cho 2 mặt phẳng :

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
( α' ): A’x + B’y + C’z+ D’= 0
1/- Định lý :

Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của ( α ) và ( α' ) đều có phương trình dạng :
(Ax + By+ Cz + D)+ μ (A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (2) ( λ2+μ2≠0 )

Ngược lại mỗi phương trình dạng (2) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến
của( α )và( α' )

2/- Định nghóa :

Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( α' ) gọi là một chùm
mặt phẳng , phương trình (2) là phương trình chùm mặt phẳng.

BÀI 8:

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I/ Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng được xem là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau
( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( α' ) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Nên phương trình tổng quát của đường thẳng là :
Ax+By+Cz+D=0

A'x+B'y+C'z+D'=0





với A2 + B2 + C2

 0 ; A’2 + B’2 + C’2 0 và A : B : C  A’ :B’ : C’
II/ Phương trình tham số của đường thẳng

1/- Véctơ chỉ phương của đường thằng

Véctơ a 0

→

được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu đường thẳng chứa a song
song hoặc trùng với d

2/ Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm Mo (xo;yo;zo) có một vtcp a = (a1;a2;a3)
phương trình tham số là :

o 1

2 2 2

o 2 1 2 3

o 3
x=x +a t

y=y +a t (2) (a +a +a 0)
z=z +a t









 , t là tham số

III/ Phương trình chính tắc của đường thẳng

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

o o 0

1 2 3

x-x =y-y =z-z

a a a

(3) với a1

+a22+a32≠0
Chú ý :

i/ Trường hợp 1 hoặc 2 trong 3 số a1, a2, a3 bằng 0 ta vẫn viết phương trình (3) với quy ước : nếu
mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.

ii/ Phương pháp chuyển phương trình từ dạng :
a- Tham số ra tổng quát

* Chuyeån tham số về dạng chính tắc

* Từ 2 trong 3 cặp tỷ lệ rút ra 1 phương trình mặt phẳng  có 2 mặt phẳng  có phương trình

đường thẳng dạng tổng qt

b- Tổng quát ra tham số :

* Cho x = t (hoặc y = t, hoặc z = t)

 Giải hệ phương trình theo 2 ẩn còn lại theo t , ta có hệ x, y, z theo t là phương trình tham số
cần tìm.

BÀI 9:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG,

ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG

I/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng:

d1 :

1 1 1

1 2 3

x-x =y-y =z-z

a a a có véctơ chỉ phươnga

=(a1;a2;a3)
d2 :

2 2 2

1 2 3

x-x =y-y =z-z

b b b có véctơ chỉ phương b→ =(b1;b2;b3)
và M1 (x1, y1, z1)  d1 ; M2 (x2, y2, z2)  d2

1/- d1, d2 đồng phẳng  [a


, b
→

].M M1 2
 

= 0

* d1 caét d2 

1 2

1 2 3 1 2 3

[ , ].M M 0
: : : :
a b

a a a b b b

 
 



 



 


* d1 // d2



1 2

1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1

[ , ].M M 0

: : : : ( ) : ( ) : ( )
a b

a a a b b b x x y y z z

 

 



 



     


* d1  d2



1 2

1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1

[ , ].M M 0

: : : : ( ) : ( ) : ( )
a b

a a a b b b x x y y z z

 
 



 



     



2/- d1 cheùo d2  [a


, b
→

].M M1 2
 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

II/ Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
Cho đường thẳng d :

0 0 0

1 2 3

x-x =y-y =z-z

a a a

và mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0

1/- d caét ( α )  Aa1 + Ba2 + Ca3  0 (a


 n


)
2/- d // α 

1 2 3

o o o

A.a + B.a + C.a =0
A.x +B.y +C.z +D 0







3/- d 
α



1 2 3

o o o

A.a + B.a + C.a =0
A.x +B.y +C.z +D=0





4/- d  α  a1 : a2 : a3 = A : B : C

BAØI 10:

KHOẢNG CÁCH

I/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Cho Mo (xo;yo;zo) và mp α : Ax + By + Cz + D = 0

 





o 2 o 2 o2

Ax +By +Cz +D
d M , =

A +B +C


II/Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
Cho điểm Mo (xo, yo, zo)(), () có véctơ chỉ phương a



và một điểm M1 . Ta coù :





0 1

[M M , ]

d M , a

a
  


 

III/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Cho hai đường thẳng :

Đường thẳng  qua Mo có véctơ chỉ phương a

Đường thẳng'qua M1 có véctơ chỉ phương b→





[ , ].M M0 1

d , '

[ , ]
a b

a b
 

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

BÀI 11:

GĨC

I/ Góc giữa hai đường thẳng :

Cho hai đường thẳng ,' lần lượt có các véctơ chỉ phương là : a


=(a1;a2;a3), b→ =(b1;b2;b3) ; 
= ( Δ, Δ' )

Ta coù :

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.
cos

. .

a b a b a b a b

a b a a a b b b






 

 

   

 Δ
'

 a


. b→ = 0  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
II/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Cho mặt phẳng

 

 : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến n =(A; B;C) và đường thẳng
() có véctơ chỉ phương a



=(a1; a2; a3). Gọi  là góc giữa () và

 

 .
Ta có :

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

Aa +Ba +Ca
sin =

A +B +C . a +a +a


// α hoặc  α  Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0
III/ Góc giữa hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng ( α ):Ax+By+Cz+D=0có véctơ pháp tuyến

n

 =(A;B;C). ( α'
):A’x+B’y+C’z+D’=0 có véctơ pháp tuyến

n



=(A’;B’;C’) gọi ϕ là góc giữa ( α ) và ( α' ) ta có :

cos ϕ = 2 2 2 2 2 2
AA +BB +CC
A +B +C . A +B +C

  

BÀI 12:

MẶT CẦU

I/ Phương trình mặt cầu :

1/- Phương trình mặt cầu (S) tâm I (a;b;c), bán kính R là :
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

* Neáu I  0 thì phương trình mặt cầu là :

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2/- Phương trình : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+d= 0

với a2 + b2 + c2 –d > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I (a;b;c) và bán kính R=

2 2 2

a +b +c -d

II/ Giao của mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 +(y – b)2 +(z– c)2 = R2 tâm I(a;b;c) và mặt phẳng ( α ) :

Ax+By+Cz+D = 0Gọi H =Ch I  thì :

IH = d (I,

 

 ) =



Aa+Bb+Cc+D



√

A2

+B2+C2

+ Neáu IH < R thì (S)  ( α )=

C

(H,

√

R2−IH2 )

Vậy 2 2 2 2

Ax+By+Cz+D=0
(x-a) +(y-b) +(z-c) =R




 với



Aa+Bb+Cc+D



√

A2

+B2+C2 < R là phương trình đường trịn .

+ Nếu IH=R thì ( α )  (S)= {H}  ( α ) là tiếp diện của (S) tại H

+ Nếu IH > R thì ( α )  (S) = 

MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN

CỦA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 12

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ TOẠ ĐỘ ĐIỂM TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH
CĨ HƯỚNG.

1/ Một số bài toán về tam giác, tứ giác.

 Chứng minh 3 diểm A, B, C lập thành tam giác .

Ta đi tính toạ độ véc tơ AB, AC, rồi chứng tỏ chúng không cùng phương  toạ độ tương ứng chia

cho nhau khác nhau họăc [AB,AC]0

 Chứng minh tam giác ABC vng tại A :

Ta đi tính toạ độ véc tơ AB, AC, rồi chứng tô AB.AC.

 Tìm điểm D để tứ giác ABCD lập thành một hình bình hành .
Ta đi tính toạ độ véc tơ AD, BCđể tứ giác

ABCD lập thành một hình bình hành thì :

AD



= BC  toạ độ điểm D

 Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC .

H là trực tâm tam giác ABC 

. 0

, . 0

AH BC
BH AC

AB AC AH

 









  

 


 
 

  

 Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC .

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

2 2

, . 0

AI BI

BI CI

AB AC AI

 








  

 



  

A D

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tìm toạ độ giao điểm D cuả đường phân giác trong góc A với cạnh BC của tam giác
ABC.
Ta có
AB
DB DC
AC

 

điều này chứng tỏ điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k =

AB
AC



từ đây tìm
được toạ độ điểm D

Tìm toạ độ giao điểm E cuả đường phân giác ngồi góc A với cạnh BC của tam giác
ABC.
Ta có
AB
EB EC
AC

 

điều này chứng tỏ điểm E chia đoạn BC theo tỉ số k =

AB

AC từ đây tìm được

toạ độ điểm E

 Tính diện tich của một tam giác .
SABC =

1
,
2 AB AC

 

 Độ dài đường cao AH . 
AH=

1
,

2SABC 2 AB AC

BC BC

 

 



 

2/ Một số bài toán về tứ diện.

 Chứng minh 4 diểm A, B, C, D lập thành tứ diện .

Ta đi tính toạ độ véc tơ AB, AC, AD rồi chứng tỏ chúng khơng đồng phẳng  [AB,AC].AD

0

 Tìm toạ độ trực chân đường cao H của tứ diện hạ từ A xuống mp(BCD).

Cách I/ H là chân đường cao cần tìm 

. 0

, . 0

AH BC
AH BD

BC BD AH

 






  
 

 
 
  

Cách II/ Lập phương trình mp(BCD), Phương trình đường thẳng  qua A vng góc mp(BCD)

toạ độ điểm H là nghiệm của hệ:

( )
( )
ptmp BCD
ptdt





 Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD .

Cách I/ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện

2 2
2 2

2 2
AI BI
BI CI
CI DI
 







Cách II/ Thế toạ độ của A,B,C,D vào phương trình tơng qt dạng khai triển giải hệ 4 phương
trình 4 ẩn số A,B,C,D  toạ độ tâm là I(-A;-B;-C)

 Thể tích của tứ diện ABCD :
VABCD=

, .

6 AB AC AD
  

 Độ dài Đường cao AH của tứ diện ABCD : 
AH =
, .
3
,

ABCD
BCD

AB AC AD
V

S BC BD

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

MỘT SỐ DẠNG TỐN

LẬP PHƯƠNG TRÌNH

MẶT PHĂÛNG

1/ Lập phương trình mặt phăûng qua 3 điểm A,B,C.
Chọn điểm đi qua là A, véc tơ pháp tuyến là n [AB AC, ]




 

2/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) và vng góc đường thẳng d cho
trước.

Mặt phẳng ( α ) qua M và nhận vtcp ad


của đường thẳng d làm VTPT.

3/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) va øsong song với mp( ): Ax
+By+Cz+D=0.

Mặt phăûng ( α )//():Ax +By+Cz+D=0  ( α ) có VTPT là n


=(A;B;C). Mặt khác Mp( α
) đi qua M  Phương trình của Mp( α ) laø : A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.

4/ Lập phương trình mặt phăûng ( ) qua M(x0;y0;z0) và vng góc với 2 mặt phẳng ( α ) và
(  ) .

Mặt phẳng () đi qua M và nhận n


= (A;B) làm véc tơ pháp tuyến.

5/ Lập phương trình mặt phăûng mp ( α ) qua M(x0;y0;z0) chứa đường thẳng d:

' ' ' ' 0

Ax By Cz D
A x B y C z D

   




   

 .

 Phưong trình mặt phẳng ( α ) có dạng:

m(Ax +By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’) = 0. (với m2+n2>0)

 Thay toạ độ M vào phương trình mp ( α ) chọn m.n thích hợp  phương trình ( α ) .
6/ Lập phương trình mặt phăûng trung trực của AB.

Mặt phẳng trung trực nhận AB làm VTPT và đi qua trung điểm I của AB  phương trình Mp (

α ) .

7/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua 3 điểm A(a;0;0) B(0;b;0), C(0;0;c).
Mặt phẳng này là mặt phẳng theo đoạn chắn phương trình là:   1

x y z

a b c .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận

n a n

[ , ]

d 




 

laøm VTPT.

9/Lập phương trình mặt phăûng chứa đt (d) và song song với đt( ). 
TH1: Nếu đt(d) cho dưới dạng tham số.

 Ta tìm điểm đi qua M và VTCP của (d), VTCP của  .
 Lập phương trình mặt phẳng qua M có VTPT n [ ,a ad ]




  
TH2: Nếu đt(d) cho dưới dạng tổng quát.

 Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dưới dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d).
 Do mp ( α ) // 

n a



.






= 0 chọn m,n thích hợp  ptr
10 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 và d2:

Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm đi qua của một trong 2 đường thẳng và nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

làm
VTPT.

11/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) và song song với 2 đường thẳng d1 và
d2..

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

laøm VTPT.

12/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) chứa đt  và vng góc với mp ( ) .
TH1: Nếu đt  cho dưới dạng tham số.

 Ta tìm điểm đi qua M và VTCP a



cuûa ( ), VTPT

n





cuûa () .
 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua M coù VTPT n [ ,n a ]




  
TH1: Nếu đt(d) cho dưới dạng tổng quát.

 Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dưới dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d)
 Do mp ( α )  () 

n n



.







= 0 chọn m,n thích hợp  ptr

13 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 và d2:

Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm đi qua của một trong 2 đường thẳng và nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

làm
VTPT.

14/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) và song song với 2 đường thẳng d1 và
d2..

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

laøm VTPT.

15/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) đi qua A vng góc với trục ox.
Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là i .

16

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là n AB i,


 

               
.

17/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) đi qua A song song với mp(oxy) . 
Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là k .

18/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) đi qua A, B vng góc với mp(oxy) .
 Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là n AB k,



 

 

 
.

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƯƠNG

TRÌNH ĐƯỜNG THĂÛNG

1/ Đưa từ phương trình tổng qt thành phương trình tham số, chính tắc:

Cách 1:

B1:Tìm một điểm đi qua bằng cách cho x hoặc y hoặc z một giá trị tuỳ ý giải hệ còn lại  toạ
độ điểm đi qua.

B2: Tìm một véc tơ chỉ phương là tích có hướng của 2 véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
chứa đường thẳng đó.

B3: viết phương trình tham số và chính tắc
Cách 2:

Đặt x=t thế vào phương trình tổng quát, rồi giải tìm x, y theo t. giả sử x=(t), y=( )t 
phương trình tham số là:

( )
( )
x t

y t

z t









 


1/ Đưa từ phương trình phương trình tham số, chính tắc về tổng quát :

Rút t trong phương trình tham số cho bằng nhau



phương trình chính tắc:

o o 0

1 2 3

x-x =y-y =z-z

a a a



phương trình tổng quát là:

0 0

1 2

0 0

2 3

x x y y

a a

y y z z

a a

 










 

 




MỘT SỐ DẠNG TOÁN

LẬP PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THĂÛNG

1/ Lập phương trình đường thăûng  qua 2 điểm A, B .
Đường thẳng  qua A và nhận AB



làm VTCP.

2/ Lập phương trình đường thăûng qua điểm A và vng góc với mặt phẵng ( α ) .
Đường thẳng  qua A và nhận vtpt n



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

3 / Lập phương trình đường thăûng  qua điểm A và song song với giao tuyến của 2 mp ( α
) , mp ( ) .

Đường thẳng  qua A và nhận a [ ,n n ]



   làm VTCP.

4 / Lập phương trình đường thăûng  qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2.
 Lập phương trình mp ( α ) qua A và d1.

 Lập phương trình mp () qua A và d2.
  là giao tuyến của (

α

) và ()  phương trình của (
α
) là
( )
( )
ptmp
ptmp





 Giải xong thử lại xem  có cắt d1, d2 không?

Chú ý: Nếu d1, d2 cho dưới dạng tổng quát thì nên lập phương trình của ( α ) , () dùng
phương trình chùm

5/ Lập phương trình đường thăûng  qua A vng góc và cắt đt d .

 Lập phương trình Mp ( α ) qua A nhận vtcp ad



của d làm vtpt .
 Lập phương trình Mp () qua A chứa d.

  là giao tuyến của (
α

) và ()  phương trình của (
α
) là
( )
( )
ptmp
ptmp






6/ Lập phương trình đường thăûng  nằm trong mp ( α ) và cắt hai đường thẳng d1, d2.
 Tìm giao điểm A của d1 và (

α

). Tọa độ của A là nghiệm của hệ 1

( )
ptmp
ptdtd





 Tìm giao điểm B của d2 vaø (
α

).Tọa độ của B là nghiệm của hệ 2

( )
ptmp
ptdtd




 Phương trình đường thẳng  là Pt đường thẳng AB.

7/ Lập phương trình hình chiếu của đường thăûng  trên mặt phẳng ( α ).
 Lập phương trình mặt phẳng () chứa  và vng góc ( α ) .

 Phương trình hình chiếu là hệ phương trình

( )
( )
ptmp

ptmp






8/ Lập phương trình đường thăûng  song song với d1 cắt d2 và d3 .
 Lập phương trình mp ( α ) chứa d2 và song song với d1.

 Lập phương trình mp () chứa d3 và song song với d1.
 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )
( )
ptmp
ptmp






9/ Lập phương trình đường thăûng  là đường vng góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
d1 cắt d2.

  là dường vng góc chung của d1 và d2  vtcp của  là a [a ad1, d2]

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Lập phương trình mp ( α ) chứa d1 và  . mp ( α ) đi qua điểm M của d1 nhận
1

[ , ]

d

n a a




</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 Lập phương trình mp () chứa d2 và  . mp () đi qua điểm N của d2 nhận 1 2

[ , ]

d

n





a a



 

làm
VTPT .

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )
( )
ptmp
ptmp








10/ Lập phương trình đường thăûng  qua giao điểm của mp ( α ) và d nằm trong ( α )
vng góc với  .

 Tìm giao điểm A của d vaø (
α

). Toạ độ của A là nghiệm của hệ

( )
( )
ptmp

ptdt d






 Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A và vng góc với d .

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )
( )
ptmp
ptmp








11 / Lập phương trình đường thăûng qua  qua M vng góc với d1, và cắt d2.
 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với d1.

 Lập phương trình mp () qua M chứa d2.
 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )

( )
ptmp
ptmp








12 / Lập phương trình đường thăûng  vng góc với ( α ) và cắt d1 và d2.
 Lập phương trình mp () chứa d1 và vng góc với ( α ) .

 Lập phương trình mp ( ) chứa d2 và vng góc với ( α ).
 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )
( )
ptmp
ptmp








13/ Lập phương trình đường thăûng  qua M vng góc với 2 đường thẳng d1 và d2.

Khi đó  qua M và nhận a [a ad1, d2]



   làm VTCP

14/ Lập phương trình đường thăûng  qua M song song với mp( α ) và vng góc với đt
(d).

 Lập phương trình mặt phẳng () qua M song song với mp ( α ) .
 Lập phương trình mp( ) qua M vng góc với  .

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )
( )
ptmp
ptmp








MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM VÀ TÌM

ĐIỂM ĐỐI XỨNG

1/ Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng .

B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với  .

B2:Tìm giao điểm H của  và mp( α )  H là hình chiếu của M trên 

Chú ý:

Tìm giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng ( α ) ta thường làm như sau:

CI: Nếu phương trình  là phương trình tham số. Ta thay x, y, z vào phương trình mặt phẳng

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

CII: Nếu phương trình  là phương trình tổng quát ta giải hệ 3 phương trình ba ẩn số (giải bằng

máy tính)  toạ độ của giao điểm

2/ Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( α ) .

B1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với mp( α ).

B2:Tìm giao điểm H của  và mp( α )  H là hình chiếu của M trên .

3/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng  .

B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với  .

B2:Tìm giao điểm I của  và mp( α ).

B3: M’ là điểm đối xứng của M qua ( α ) thì I là trung điểm của MM’  toạ độ của M’ là:

2
2
2

M I M

x x x

y y y

z z z

 




 



  



4/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ( α ) .

B1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với mp( α ).

B2:Tìm giao điểm I của  và mp( α ).

B3: M’ là hình chiếu của M qua ( α ) thì I là trung điểm của MM’  toạ độ của M’ là:

2
2
2

M I M

x x x

y y y

z z z

 




 



  



MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1/ Xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng :

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
(



') : A/x + B/y + C/z + D/ = 0

Neáu ( α ) caét ( α' )  A : B : C  A’:B’:C’
Neáu ( α )  ( α' )  A

A'=
B

B'=

C
C'=

D
D'
Neáu ( α ) // ( α' )  A

A'=
B
B'=

C
C'≠

D
D'
2/ Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

B1: Tìm VTCP, điểm đi qua của d1: Giả sử d1 có 1 véc tơ chỉ phươnga =(a1;a2;a3) và một điểm
đi qua là M1 (x1, y1, z1).

Tìm VTCP, điểm đi qua của d2: Giả sử d2 có véctơ chỉ phương b→ =(b1;b2;b3) và một điểm
đi qua là M2 (x2, y2, z2).

B2: Tính [a, b
→

], M M1 2

 

* d1 cheùo d2  [a


, b
→

].M M1 2
 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

* d1 caét d2 

1 2

1 2 3 1 2 3

[ , ].M M 0
: : : :
a b

a a a b b b

 
 



 



 


* d1 // d2

 a a a1: :2 3 b b b1: :2 3 (x2 x1) : (y2  y1) : (z z2 1)
* d1  d2



a a a

: :

2 3



b b b

: :

2 3



(

x



x

) : (

y



y

) : (

z



z

)

3/ Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d :

0 0 0

1 2 3

x-x =y-y =z-z

a a a

và mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
1/- d caét ( α )  Aa1 + Ba2 + Ca3  0 (a


 n


)

2/- d // α 

1 2 3

o o o

A.a + B.a + C.a =0
A.x +B.y +C.z +D 0







3/- d 
α



1 2 3

o o o

A.a + B.a + C.a =0
A.x +B.y +C.z +D=0





4/- d  α  a1 : a2 : a3 = A : B : C

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ MẶT CẦU

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Phương pháp giải:

 Cách I: Biến đổi phương trình về dạng :

 (x – a )2 + ( y -b)2 + (z – c ) =R2  mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R.

 Cách II: Đồng nhất phương trình đã cho với phương trình : x2+y2 + z2 +2Ax + 2By + Cz + D
= 0 tìm được A,B,C,D nếu A2+B2+C2 -D

 0

 Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C), bán kính R=

 

2 2 2

A +B C D

Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của mp ( α ) với mặt cầu C.
Phương pháp giải:

B1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (C).
B2: Xác định các vị trí tương đối nhờ:

 Nếu d(I,( α ) ) = R  ( α ) tiếp xúc (C).

 Nếu d(I,( α ) ) > R  ( α ) và (C) không có điểm chung.
 Nếu d(I,( α ) ) < R  ( α ) cắt (C) bằng một mặt cầu.
phương trình là:

( )
( )
ptmp
ptmc C




</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Dạng 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu giao tuyến của một mặt phăûng ( α ) và một mặt 
cầu C (I,R).

Phương pháp giải:

 Lập phương trình đường thẳng  qua I vng góc với Mp ( α ) . (lập phương trình tham
số.)

 Tâm H của mặt cầu giao tuyến là giao điểm của  và mp ( α ) Toạ độ H là nghiệm của
hệ.

( )
( )
ptmp
ptmdt









 Bán kính mặt cầu giao tuyến là: r = R2 IH2

Dạng 4: Xác định tiếp điểm của một mặt phăûng ( α ) và một mặt cầu C (I,R).
Phương pháp giải:

 Lập phương trình đường thẳng  qua I vng góc với Mp ( α ) . (lập phương trình tham
số.)

 Tiếp điểm H của mp( α ) và mặt cầu C (I,R) là giao điểm của  và mp ( α ). Toạ độ H là
nghiệm của hệ.

( )
( )
ptmp
ptmdt









Daïng 5 : Lập phương trình mặt cầu
Phương pháp chung:

 C1 : Tìm tâm và bán kính của mặt cầu rồi lập phương trình tổng quát. Nếu tâm I (a; b; c),
bán kính R phương trình mặt cầu laø :

(x – a )2 + ( y -b)2 + (z - c)2 =R2 .

 C2 : Tìm A, B, C, D rồi lập phương trình tổng quát dạng khai triển là x2+y2 +z2+2Ax + 2By
+2Cz + D = 0.

Một số bài toán cụ thể thường gặp:

 Lập phương trình mặt cầu tâm I, ñi qua M.

Bán kính chính là khoảng cách từ tâm I tới điểm M

 Lập phương trình mặt cầu đường kính AB khi biết toạ độ A và B.
Tâm là trung điểm I của đoạn AB. Bán kính R= AI=

AB
2

 Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với một mặt phẳng ( α ) cho trước.

Bán kính mặt cầu là R= d(I, ( α ) ).

 Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với đường thẳng  cho trước.

Bán kính mặt cầu là R= d(I,  ).

 Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C,D ( Hay ngoại tiếp tứ diện ABCD).

CI/ Thế toạ độ của A, B, C, D lần lượt vào phương trình:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

CII/Gọi I(x;y;z) là tâm hình cầu giải hệ

2 2

AI BI

BI CI

CI DI

 





 



 toạ độ tâm I, bán kính R= AI  phương trình mặt cầu.

 Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mp ( α ) .
Phương trình Mặt cầu có dạng:

x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = 0. Thế toạ độ của A, B, C vào phương trình mặt cầu, thế tâm 
I(-A,-B,-C) vào phương trình mặt phẳng ( α ) . Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn tìm A, B, C, D 
phương trình.

 Lập phương trình mặt cầu(S) tâm I cắt d tại 2 điểm A, B sao cho AB=l. Bán kính của mặt cầu

là R=

2
2

[ ( , )]
2
l
d I     

 

 Lập phương trình mặt cầu(S) đi qua điểm A(x0;y0;z0) và đi qua đường tròn




 2 2 2

mx+ny+pz+q=0

x +y +z +2Ax+2By+2Cz+D=0
Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

 (x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D) + (mx+ny+pz+q)= 0. (1)Với

2+2>0. Thế toạ độ của A vào (1) rồi tìm ,  thích hợp  phương trình mặt cầu.

MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1/ Bài 1 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A ( 1 , 2 , 2 ) ,
B ( 2 , 0 , -2 ) và mặt phẳng (P) : 3x + y + 2z – 1 = 0.

a/ Tìm toạ độ giao diểm M của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).

b/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng
(P).

c/ Tìm toạ độ điểm A / đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A , B và vng góc với mặt
phẳng (P).

e/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

2/ Bài 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho :
Đường thẳng (D) :

2 5 0

2 3 0

x y z
x z

   




  



Mặt phẳng (P) : x + y + z – 7 = 0.

a/ Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và mặt phẳng (P).

b/ Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (D) lên mặt phẳng (P).

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3/ Bài 3 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng :
(d) : 1

3 1 4

( ) :

1 2 0

x y z

  

(d/) :

2 2 0

2 0

x y

x z

  




 



a/ Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d) và (d/) chéo nhau . Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng (d) và (d/).

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song đường thẳng

(d/).

c/ Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng (d) và (d/).

4/ Bài 4 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho

Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng :

( ) :

2 2 0

2 0

x y

x z

  




 


2

3 1 4

( ) :

1 2 0

x y z

  

a/ Chứng minh rằng ( )1 và (2) chéo nhau.

Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) , biết tiếp diện đó song song với hai đương
thẳng ( )1 và (2).

5/ Bài 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( 1 , -1 ,2) , B ( 1 , 3 ,
2 ) , C ( 4 , 3 , 2 ) , D ( 4 , -1 , 2 ).

a/ Chưng minh rằng bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng.

b/ Gọi A/ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương

trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A/ , B , C , D.

c/ Viết phương trình tiếp diện

 

 của (S) tại điểm A/.

6/ Bài 6 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A , B , C , D có tọa độ xác
định bởi các hệ thức: A = ( 2 , 4 , -1) , OB i 4j k , C ( 2 , 4 , 3 ) , OD2i2j k

   

a/ Chứng minh rằng AB  AC , AC  AD , AD  AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b/ Viết phương trình tham số đường vng góc chung

 

 của hai đường thẳng AB và

CD . Tính góc giữa đường thẳng

 

 và mặt phẳng (ABD).

c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A , B , C , D. Viết phương trình tiếp

diện

 

 của mặt cầu (S) song song mặt phẳng (ABD).

7/ Bài 7 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x - 3y + 4z – 5 = 0
và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + 6 = 0.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) . Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C) . Xác định tọa độ tâm H và bán
kính r của đường trịn (C).

8/ Bài 8 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , -2 ,
0 ) , C ( 0 , 0 , 3 ) .

a/ Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b/ Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua ba điểm A , B , C.

c/ Thí sinh tự chọn một điểm M ( khác A , B , C ) thuộc mặt phẳng

 

 , rồi viết phương

trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và vng góc với mặt phẳng

 

 .

9/ Bài 9 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 ,
3 ) , C ( 2 , 0 , -1 ) , D ( 5 , 3 , -1 ).

a/ Vieát phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A , B , C.

b/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D và vng góc với mặt phẳng (P).
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

10 / Bài 10 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( 1 , 4 , 0) ,B ( 0 , 2 ,
1 ) , C ( 1 , 0 , -4 ).

a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b/ Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua điểm C và vng góc với đường thẳng AB.

Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng

 

 .

11 / Bài 11 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho

 

 :x y z  1 0
và đường thẳng (d) :

1 1 1

x y z

 



a/ Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng

 

 với

các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD biết A , B , C là giao điểm
tương ứng của mặt phẳng

 

 với các trục tọa độ Ox , Oy , Oz, còn D là giao điểm của
đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy.

b/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A , B , C , D. Xác định tọa độ tâm và
bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

12/ Bài 12 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD
là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) , S . Gọi M là
trung điểm cạnh SC.

a/ Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.

b/ Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S. ABMN.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

13/ Bài 13 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A ( - 4 , - 2 , 4 ) và đường

thaúng (d) :

3 2
1

1 4

x t

y t

z t

 



 


  


Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt đường thẳng (d) và vng góc
với đường thẳng (d).

( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 . Khối B ) .
14/ Bài 14 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( 2 , 0 ,1) , B ( 1 , 0 , 0
) , C ( 1 , 1 , 1 ) và một mặt phẳng (P) : x + y + z – 2 = 0.

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A , B , C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
 ( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 . Khối D ) .

15/ Bài 15 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d)
1

1 2 1

3 1 2

x y z

d     



và một mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0.

a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P). Viết phương trình

tham số đường thẳng

 

 nằm trong (P) , biết

 

 đi qua A và vuông góc (d).

( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 . Khối A ) . 
16/ Bài 16 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1

với A ( 0 ; -3 ; 0 ) , B ( 4 ; 0 ; 0 ) , C ( 0 ; 3 ; 0 ) , B1 ( 4 ; 0 ; 4 )

a/ Tìm tọa độ các đỉnh A1 , C1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với

mặt phẳng ( BCC1B1).

b/ Gọi M là trung điểm A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A , M

và song song với BC1 . Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N . Tính độ dài

MN.

( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 . Khối B ) . 
17/ Bài 17 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

1 2 1

3 1 2

x y z

d     

 vaø 2

2 0
:

3 12 0

x y z
d

x y

   




  



a/ Chứng minh rằng d1 và d2 song song nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả

hai đường thẳng d1 và d2.

b/ Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tai các điểm A và B .

</div>

on tap Hinh hoc lop 12 hoc ky 2

<i><b>BAØI 1:</b></i>

<i><b>TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM </b></i>

<i><b>TRONG KHÔNG GIAN</b></i>

<i><b>BÀI 2</b></i>

<i><b>TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG </b></i>

<i><b>BÀI 5:</b></i>

<i><b>PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG</b></i>

<i>n</i>



<i>n</i>



<i>n</i>



<sub></sub>

<i>n</i>



<i>n</i>



<i><b>BÀI 6:</b></i>

<i><b> VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG </b></i>

<i><b>BÀI 7:</b></i>

<i><b>CHÙM MẶT PHẲNG</b></i>

<i><b>BÀI 8:</b></i>

<i><b> PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG</b></i>

<i><b>BÀI 9:</b></i>

<i><b>VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG,</b></i>

<i><b>ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG</b></i>

<i><b>BAØI 10:</b></i>

<i><b>KHOẢNG CÁCH</b></i>

 













<i><b>BÀI 11:</b></i>

<i><b>GĨC</b></i>

 

 

<i>n</i>

<i>n</i>

<i><b>BÀI 12:</b></i>

<i><b>MẶT CẦU</b></i>

 





√

<i><b>C</b></i>

√





√

<i><b>MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN</b></i>

<i><b>CỦA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 12</b></i>

<b>MỘT SỐ DẠNG TỐN </b>

<b>LẬP PHƯƠNG TRÌNH</b>

<b>MẶT PHĂÛNG</b>

<i>n a n</i>

[ , ]



 

<i>n a</i>

.



<i>n</i>

[

<i>a a</i>

]



 

<i>n</i>

[

<i>a a</i>

]



 

<i>n</i>

<i>n n</i>