chuû ñeà i page 12 gi¸o ¸n tù chän to¸n 8 gv trçn thþ ly ngµy so¹n chñ ®ò i ph©n tých §a thøc thµnh nh©n tö a môc tiªu sau khi häc xong chñ ®ò nµy hs cã kh¶ n¨ng biõt thõ nµo lµ ph©n tých ®a thøc t

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Ngày soạn :……….. </b>

<b>Ch I </b>

<b>PHâN TíCH ĐA THức THàNH NHâN Tư</b>

A. <b>MơC TIªU</b> :

Sau khi học xong chủ đề này, HS cú kh nng:

Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử

Hiểu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng.

Vn dng đợc các phơng pháp đó để giải các bài tốn về phân tích đa thức
thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức

B. <b>THêI L ỵNG</b> : 6 tiÕt
C.<b> THùC HIƯN :</b>

<i>C©u hái 1 : ThÕ nào là phân tích một đa thức thành nhân tử?</i>

Tr lời: Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đơn thức và đa thức khác.

<i>Câu hỏi 2: Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa</i>
thức thành nhân tử? Tại sao những cách biến đổi cịn lại khơng phải là phân tích
đa thức thành nhân tử?

2x2_{+ 5x}__{3 = x(2x + 5)}_₃ ₍₁₎

2x2_{+ 5x}__{3 = x}

(

2<i>x</i>+5<i>−</i>3

<i>x</i>

)

(2)

2x2_{+ 5x}__{3 = 2}

(

<i>_x</i>2₊5
2<i>x −</i>

3

2

)

(3)

2x2_{+ 5x}__{3 = (2x}__{1)(x + 3)} ₍₄₎

2x2_{+ 5x}__{3 = 2}

(

<i>_{x −}</i>1

2

)

(x + 3) (5)

<i>Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách</i>
biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức cha đợc
biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2)
cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đợ biến đổi thành
một tích của một đơn thức và một biểu thức không phải là đa thức.

<i>Câu hỏi : Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân</i>
tử?

Trả lời: Ba phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là:
Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung, phPh-ơng pháp dùng hằng đẳng thức và phPh-ơng pháp
nhóm nhiều hạng tử.

<b>Tn 1 : </b>
<b>1</b>

<b> . PHơNG PHáP ĐặT NHâN Tử CHUNG</b>

<i>Cõu hi : Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì? Phơng pháp</i>
này dựa trên tính chất nào của phép tốn về đa thức? Có thể nêu ra một công
thức đơn giản cho phơng pháp này hay khơng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
các đa thức.

Một công thức đơn giản cho phơng pháp này là: AB + AC =

A(B + C)

<i>Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) 3x2_{+ 12xy ; b) 5x(y + 1)}__{2(y + 1) ; c) 14x}2_(3y__{2) + 35x(3y}__{2) +28y(2}__3y)

Tr¶ lêi:

a) 3x2_{+ 12xy = 3x.x + 3x . 4y = 3x(x + 4y)}

b) 5x(y + 1)  2(y + 1) = (y + 1) (5x  2)

c) 14x2_(3y__{2) + 35x(3y}__{2) +28y(2}__{3y) = 14x}2_(3y__{2) + 35x(3y}_₂₎__28y(3y
2)

= (3y  2) (14x2_{+ 35x}_28y).

Bài 2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, 5x 20y ; b, 5x( x – 1 ) – 3x( x – 1 ) ; c, x( x + y ) – 5x – 5y.

Tr¶ lêi:

a, 5x – 20y = 5 ( x – 4y ) ; b, 5x ( x – 1 ) – 3x ( x – 1 ) = x ( x – 1 ) ( 5
– 2 )

= 3x ( x – 1 )
c, x ( x + y ) – 5x – 5y = x( x+ y ) – ( 5x + 5y )

= x( x + y ) – 5 ( x + y ).
= ( x + y ) ( x – 5 )
Bài3

Tình giá trị của các biểu thức sau:
a, x2_{+ xy + x t¹i x = 77 vµ y = 22 ;}

b, x( x – y ) +y( y – x ) t¹i x = 53 và x = 3;
Trả lời:

a, x2 _{+ xy + x = x ( x + y + 1 ) = 77 ( 77 + 22 + 1 )}

= 77 . 100 = 7700.
b,x( x – y ) +y ( y – x ) = x ( x – y ) - y( x – y )

= ( x – y ) ( x – y )
= ( x – y )2

Thay x = 53 , y = 3 ta cã ( x – y )2_{= ( 53 – 3 )}2_{= 2500}

<i>Bµi 4</i>

Chøng minh r»ng: n2_{( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) luôn chia hết cho 6 với mọi số}

nguyên n
Bài giải.

Ta cã n2_{( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) = n ( n + 1 )( n + 2 )}__{6 vớ mọi n}_{Z. (Vì đây}

là tích của 3 số nguyên liên tiếp V)
<b>Bài tập tự giải:</b>

Bi 1.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung
a, 3x ( x – a ) + 4a ( a – x ) .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

c, x2_{( y}2_{+ z ) + y}3 _{+ yz}

d, 3x2 _{( x + 1 ) – 5x ( x + 1 )}2_{+ 4 ( x + 1 )}

Bài 1.2 . Đánh dấu x vào câu trả lời đúng nhất

Khi rót gän biÓu thøc: ( x – 1 ) ( x2_{+ x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )}

Các bạn Tuấn, Bình, Hơng thùc hiÖn nh sau:

TuÊn: ( x – 1 ) ( x2_{+ x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )}

= x3_{– 1 - x ( x}2 _{– 1 ) = x}3_{– 1 - x}3_{+ x = x – 1 .}

B×nh: ( x – 1 ) ( x2_{+ x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )}

= x3 _{+ x}2_{+ x – x}2_{– x – 1 – ( x}2_{– x ) ( x + 1 )}

= x3_{– 1 – ( x}3_{+ x}2_–x2_{– x ) = x}3_{– 1 – x}3 _{+ x = x – 1}

H¬ng: ( x – 1 ) ( x2_{+ x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )}

= ( x – 1 )





2

x x 1 – x x 1

    

 

= ( x – 1 ) ( x2_{+ x + 1 – x}2_{– x )}

= ( x – 1 ) . 1 = x – 1
Bạn nào thực hiện đúng:

A. TuÊn C. Hơng
B. Bình D. B Cả ba bạn
<b>2 . </b>

<b> PH ơNG PHáP DùNG HằNG ĐẳNG THứC </b>

<i>Cõu hi</i>: Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì?

Trả lời: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó thì có thể dùng

hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức
<i>Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) x2 __{4x + 4 ;} _{b) 8x}3_{+ 27y}3 _; _{c) 9x}2__(x__y)2

Tr¶ lêi:

a) x2__{4x + 4 = (x}_₂₎2

b) 8x3_{+ 27y}3_{= (2x)}3_{+ (3y)}3_{= (2x + 3y) [(2x)}2__{(2x)(3y) + (3y)}2_]

= (2x + 3y) (4x2__{6xy + 9y}2₎

c) 9x2 __(x__y)2_{= (3x)}2__(x__y)2_{= [ 3x}__(x__{y)] [3x + (x}__y)]

= (3x  x + y) (3x + x  y) = (2x + y) (4x y)
Bài 2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, 9x2_{+ 6xy + y}2_{; b, 4x}2_{– 25 ; c, x}6_{– y}6_{; d, ( 3x + 1 )}2_{– (x +1 )}2

tr¶ lêi:

a, 9x2_{+ 6xy + y}2_{= ( 3x )}2_{+ 2 . 3x. y + y}2

= ( 3x + y )2

b, 4x2_{– 25 = (2x )}2_{– 5}2_{= ( 2x – 5 )( 2x + 5 ).}

c, x6_{– y}6_{= ( x}2₎3_{– ( y}2₎3_{= ( x}2_{– y}2_{) ( x}4_{+ x}2_y2_{+ y}4₎

= ( x + y) ( x – y ) ( x4_{+ x}2_y2_{+ y}4₎

Bài 3

Tìm x, biết:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tr¶ lêi:

a, x3_{– 0,25x = 0}_ _{x ( x}2_{– 0,25 ) = 0}_ _{x ( x – 0,5)( x + 0,5 ) = 0}
 _{x = 0}

Hc x – 0,5 = 0  x = 0,5.
Hc x + 0,5 = 0  x = - 0,5.
b, x2_{– 10x = - 25} _x2_{– 10 x + 25 = 0}

 _{( x – 5 )}2 _{= 0.}

 x = 5 .
<b>Bài tập tự giải:</b>

Bi 1.2: Phõn tớch thnh nhõn t bằng cách dùng hằng đẳng thức:

a, x2_{+ x + y}2_{+ y + 2xy}

b, - x2_{+ 5x + 2xy – 5y – y}2

c, x2 _{– y}2_{+ 2x + 1}

d, x2 _{+ 2xz – y}2_{+ 2ty + z}2_{– t}2
<i><b> </b></i>

<b>Ký dut gi¸o ¸n </b>

Ngày / 2009

<i><b>Tuần 2</b></i>

<b>MơC TIªU</b> :

Sau khi học xong chủ đề này, HS cú kh nng:

Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử

Hiểu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng.

Vn dng c các phơng pháp đó để giải các bài tốn về phân tích đa thức
thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
<b>1. PHƯƠNG PHáP NHóM NHIềU HạNG Tử.</b>

<i>C©u hái : Néi dung của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì?</i>

Tr lời: Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể

đặt đợc nhân tử chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ .
<i>Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) x2__{2xy + 5x}__{10y ; b) x (2x}__3y)__6y2_{+ 4xy ; c) 8x}3_{+ 4x}2 __y3__y2

Tr¶ lêi:

a) x2 __{2xy + 5x}__{10y = (x}2__{2xy) + (5x}__{10y) = x(x}__{2y) + 5(x}__2y)

= (x  2y) (x + 5)

b) x (2x  3y)  6y2_{+ 4xy = x(2x}__{3y) + (4xy}__6y2_{) = x(2x}__{3y) + 2y(2x}__{3y) =}

= (2x  3y) (x + 2y)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

= (2x  y) [(2x)2_{+ (2x)y + y}2_{] + (2x}__{y) (2x + y)}

= (2x  y)(4x2_{+ 2xy + y}2_{) + (2x}__{y) (2x +y)}

= (2x  y (4x2_{+ 2xy + y}2_{+ 2x + y)}

Bài 2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a,5x 5y + ax – ay ;

b, a3_{– a}2_{x – ay + xy ;}

c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz;
Tr¶ lêi:

a,5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y ) + ( ax – ay)
= 5( x – y ) + a ( x – y ).

= ( x – y ) ( 5 + a );

b, a3_{– a}2_{x – ay + xy = (a}3_{– a}2_{x ) – ( ay - xy ) = a}2_{( a – x ) – y ( a – x )}

= ( a – x )(a2_{– 1 )}

= ( a – x )( a + 1 ) ( a – 1 )
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz

= xy ( x + y ) + xyz + yz ( y + z ) + xyz + xz ( x + z ) + xyz
=  xy x y xyz







   yz y z xyz xz x z xyz







   







 
= xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + xz ( x + y + z )

= ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ).

<b>Bµi tËp tự giải:</b>

Bài 1. 3 . Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử:
a, x4_x3_{– x + 1.}

b, x2_{y + xy}2_{– x – y}

c, ax2_{+ ay – bx}2_{– by}

d, 8xy3_{– 5xyz – 24y}2_{+ 15z}

<b>2. PH©N TÝCH B»NG CáCH PHốI HợP NHIềU PH ơNG PHáP </b>

<i>Cõu hi : Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ</i>
từng phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó?

Trả lời: Có thể và nên dùng phối hợp các phơng pháp ó bit

<i>Bài 1 :</i> Phân tích đa thức thành nhân tö:

a) a3__a2_b__ab2_{+ b}3_{; b) ab}2_c3_{+ 64ab}2_{; c) 27x}3_y__a3_b3_y

Tr¶ lêi: :

a) a3__a2_b__ab2_{+ b}3_{= a}2_(a__b)__b2_(a__{b) = (a}__{b) (a}2__b2₎

= (a  b)(a  b)(a + b) = (a  b)2_{(a + b)}

b) ab2_c3_{+ 64ab}2_{= ab}2_(c3__{64) = ab}2_(c3_{+ 4}3_{) = ab}2_{(c + 4)(c}2__{4c + 16)}

c) 27x3_y__a3_b3_{y = y(27}__a3_b3_{) = y([3}3__(ab)3_]

= y(3  ab) [32_{+ 3(ab) + (ab)}2_{] = y(3}_{ab) (9 + 3ab + a}2_b2₎

Bài 2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x3_{x + 3x}2_{y + 3x y}2_+y3_{– y ;}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Tr¶ lêi:

a, x3_{– x + 3x}2_{y + 3x y}2_+y3_{– y = ( x}3_{+ 3x}2_{y + 3x y}2_+y3_{) – ( x + y )}

= ( x + y )3_{– ( x + y )}

= ( x + y )





2

x y 1

 _ _ 

 

= ( x + y ) ( x + y – 1 ) ( x + y + 1 )
b, 5 x2_{– 10 xy + 5y}2_{– 20 z}2_{= 5 ( x}2_{– 2xy + y}2_{– 4z}2₎

= 5





2 2 2

x – 2xy y – 4z

 _ 

 

= 5





2 ₂

x – y – 4z

 

 _{= 5 ( x – y – 2z ) ( x – y + 2z )}
<i><b> </b></i>

Ký dut gi¸o ¸n
Ngµy 05/10/2009

<b>Ngµy soạn</b> :

<b>Tuần 3</b>

<b>MụC TIêU</b> :

Sau khi hc xong ch đề này, HS có khả năng:

 BiÕt thÕ nµo lµ phân tích đa thức thành nhân tử

Hiểu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng.

Vận dụng đợc các phơng pháp đó để giải các bài tốn về phân tích đa thức
thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức

<b>1. PH ơNG PHáP TáCH HạNG Tử, THêM BớT CùNG MộT HạNG Tử</b>

<i>Câu hỏi : Ngoài 3 phơng pháp thờng dùng nêu trên, có phơng pháp nào khác</i>
cũng đợc dùng để phân tích đa thức thành nhân t khụng?

Trả lời: Còn có các phơng pháp khác nh: phơng pháp tách một hạng tử thành

nhiều hạng tử, phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
<i>Bài 1 : Phân tích thành nhân tử</i>

a) 2x2_{3x + 1} _; _{b) y}4_{+ 64}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) 2x2 __{3x + 1 = 2x}2 __2x__{x + 1 = 2x(x}_₁₎__(x__{1) = (x}__{1) (2x}_₁₎

b) y4_{+ 64 = y}4_{+ 16y}2_{+ 64}__16y2_{= (y}2_{+ 8)}2__(4y)2

= (y2_{+ 8}__{4y) (y}2_{+ 8 + 4y)}

<i>Bài 2 : </i>

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x2_{+ 5x 6 ; b, 2x}2 _{+ 3x – 5}

Tr¶ lêi:

a, x2_{+ 5x – 6 = x}2_{– x + 6x – 6}

= ( x2_{– x ) + ( 6x – 6 )}

= x ( x – 1 ) + 6 ( x – 1 )
= ( x – 1 ) ( x + 6 )

b, 2x2 _{+ 3x – 5 = 2x}2_{– 2x + 5x – 5 = ( 2x}2_{– 2x ) + ( 5x – 5 )}

= 2x ( x – 1 ) + 5 ( x – 1 )
= ( x – 1 ) ( 2x + 5 )

Bài 3

Tìm x, biết:

a, 5x ( x – 1 ) = x – 1 ; b, 2 ( x + 5 ) – x2_{– 5x = 0}

Tr¶ lêi:

a, 5x ( x – 1 ) = x – 1  _{5x ( x – 1 ) – ( x – 1 ) = 0}

 ( x – 1 ) ( 5x – 1 ) = 0
 ( x – 1 ) = 0  x = 1

Hc ( 5x – 1 ) = 0 x = 1/5.

<b>Bài tập tự giải:</b>

Bài 5.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng
tử

a, x8_{+ x}4_{+ 1 b, x}8_{+ 3x}4_{+ 4}

<b>2 . VậN DụNG PHâN TíCH ĐA THứC THàNH NHâN Tử Để LàM</b>

<b>CáC</b> <b>DạNG TOáN</b>

<i>Câu hỏi</i>: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải một
số loại toán nào?

Trả lời: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các
bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức

<i>Bài 1 : Giải các phơng trình</i>

a) 2(x + 3)  x(x + 3) = 0 ; b) x3_{+ 27 + (x + 3) (x}__{9) = 0 ; c) x}2_{+ 5x = 6}

Tr¶ lêi:

a) Vì 2 (x + 3)  x(x + 3) = (x + 3) (2  x) nên phơng trình đã cho trở thành
(x + 3)(2  x) = 0. Do đó x + 3 = 0 ; 2  x = 0, tức là x = 3 ; x = 2

phơng trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 3

b) Ta cã x3_{+ 27 + (x + 3)(x}__{9) = (x + 3)(x}2__{3x + 9) + (x + 3)(x}_₉₎

= (x + 3)(x2 __{3x + 9 + x}__{9) = (x + 3)(x}2__{2x) = x(x + 3)(x}_₂₎

Do đó phơng trình đã trở thành x (x + 3)(x  2) = 0. Vì vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x 

2 = 0 tức là phơng trình có 3 nghiệm: x = 0 ; x = 3 ; x = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

x2 __{x + 6x}__{6 = x(x}__{1) + 6(x}__{1) = (x}__{1)(X + 6) nên phơng trình đã cho trở}

thành (x  1)(x + 6) = 0. Do đó x  1 = 0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = 6

<i>Bµi 2 : Thùc hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia</i>
thành nhân tử:

a) (x5_{+ x}3_{+ x}2_{+ 1) : (x}3_{+ 1) ; b) (x}2 __{5x + 6) : (x}__{3) ; c) (x}3_{+ x}2_{+ 4):(x +2)}

Trả lời:

a) Vì x5_{+ x}3_{+ x}2_{+ 1 = x}3_(x2_{+ 1) + x}2_{+ 1 = (x}2_{+ 1)(x}3_{+ 1) nªn}

(x5 _{+ x}3_{+ x}2_{+ 1) : (x}3_{+ 1) = (x}2_{+ 1)(x}3_{+ 1) : (x}3_{+ 1) = x}2_{+ 1}

b) V× x2__{5x + 6 = x}2 __3x__{2x + 6 = x(x}_₃₎__2(x__{3) = (x}__3)(x__{2) nªn}

(x2__{5x + 6) : (x}__{3) = (x}__3)(x__{2) : (x}__{3) = x}_₂

c) Ta cã x3_{+ x}2_{+ 4 = x}3_{+ 2x}2__x2_{+ 4 = x}2_{(x + 2)}__(x2_₄₎

= x2_{(x + 2)}__(x__{2) (x + 2) = (x + 2)(x}2 __{x + 2)}

Do đó (x3_{+ x}2_{+ 4) : (x +2) = (x + 2)(x}2 __{x + 2) : (x + 2) = x}2__{x + 2}

<i>Bµi 3 : Rót gọn các phân thức </i>

<i>x y</i>(2<i>x </i>3)

<i>a</i>

; b) 2<i>x</i>

2

+xy<i>− y</i>2

2<i>x</i>2<i>−</i>3 xy+<i>y</i>2 ; c)

2<i>x</i>2<i>−</i>3<i>x</i>+1
<i>x</i>2+<i>x −2</i>

Tr¶ lêi:

a)

<i>x − y</i>(2<i>x −</i>3)

¿
¿
¿

b) 2<i>x</i>

2

+xy<i>− y</i>2
2<i>x</i>2<i>−</i>3 xy+<i>y</i>2 =
2<i>x</i>2+2 xy<i>−</i>xy<i>− y</i>2

2<i>x</i>2<i>₋</i>_{2 xy}<i>₋</i>_xy

+<i>y</i>2=

2<i>x</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)<i>− y</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)
2<i>x</i>(<i>x − y</i>)<i>− y</i>(<i>x − y</i>)=

(<i>x</i>+<i>y</i>)(2<i>x − y</i>)
(<i>x − y</i>)(2<i>x − y</i>)=

(<i>x</i>+<i>y</i>)
(<i>x − y</i>)

c) 2<i>x</i>

2

<i>−</i>3<i>x</i>+1
<i>x</i>2+<i>x −</i>2 =

2<i>x</i>2<i>−</i>2<i>x − x</i>+1
<i>x</i>2<i>− x</i>+2<i>x −</i>2 =

2<i>x</i>(<i>x −1</i>)<i>−</i>(<i>x −1</i>)
<i>x</i>(<i>x −1</i>)+2(<i>x −</i>1)=

(<i>x </i>1)(2<i>x </i>1)
(<i>x </i>1)(<i>x</i>+2) =

2<i>x </i>1
<i>x</i>+2 .

<b>BàI TậP NâNG CAO.</b>

<b>Bài 1</b>:<b> </b> Phân tích các đa thức sau thành nhân tư:
x3 _{+ 6x}2_{+ 11x + 6}

b<b>,</b> Híng dÉn gi¶i:

x3 _{+ 6x}2_{+ 11x + 6 = x}3 _{+ x}2_{+ 5x}2 _{+ 5x + 6x + 6}

= ( x3 _{+ x}2_{) + ( 5x}2 _{+ 5x ) + ( 6x + 6 )}

= x2_{( x + 1 ) 5x ( x + 1 ) + 6 ( x + 1 )}

= ( x + 1 ) ( x2_{+ 5x + 6 )}

= ( x + 1 ) ( x2_{+ 2x + 3x + 6 )}

= ( x + 1 )









2

x 2x 3x 6  _ _ _ 

 

= ( x + 1 ) <i>x</i>



x 2 3 x 2 












= ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 2: Tìm x biết: </b>

a, x3 _{- 5x}2_{+ 8x – 4 = 0;}

b, (x2_{+ x ) ( x}2_{+ x + 1 ) = 6}

<b>Bµi 3: </b>Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x3 _{+ 6x}2_{+ 13x – 42.}

Ký dut gi¸o ¸n
Ngày 12/10/2009

<i>CHủ Đề</i> II : <b> PH ¬NG TR×NH BËC NHÊT,</b>

<b>PH ơNG TRìNH TíCH, PH ơNG TRìNH CHứA ẩN ở MẫU Và CáCH GIảI</b>
<i><b>Loại chủ đề: Bám sát</b></i>

A. <b>MUC TI£U</b> :

Sau khi học xong chủ đề này, HS cú kh nng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Hiểu các phơng pháp giải các phơng trình trên.

Giải thành thạo phơng trình bậc nhất, phơng trình tích, phơng trinh chứa ©n ë
mÉu

B. <b>THêI L ỵNG</b> : 8 tiÕt

C.<b> THùC HIệN :</b>

<b>I. Ph ơng trình t ơng đ ơng, ph ơng trình bậc nhất một ẩn và cách giải</b>

Cõu hi 1: Thế nào là hai phơng trình tơng đơng? viết ký hiệu chỉ hai pt tơng đơng.
Trả lời: Các phơng trình A (x) = B(x) và C (x) = D(x) có các tập nghiệm bằng nhau, ta
bảo là hai phơng trình tơng đơng và ký hiệu: A(x) = B(x)  C(x) = D(x)

Bài 1: Trong các cặp phơng trình cho dới đây cặp phơng trình nào tơng đơng:
a, 3x – 5 = 0 và ( 3x – 5 ) ( x + 2 ) = 0.

b, x2_{+ 1 = 0 vµ 3 ( x + 1 )= 3x – 9.}

c, 2x – 3 = 0 vµ x /5 + 1 = 13/10.

Gi¶i:

a, Hai phơng trình khơng tơng đơng, vì tập nghiệm của phơng trình thứ nhất là S =
5
3



_,

nghiệm của phơng trình thứ hai là S =
5

, 2
3

b, vì tập nghiệm của phơng trình thứ nhất là S = _{, tập nghiệm của phơng trình thứ hai}

l S = . Vy hai phơng trình này tơng đơng.

<b>Chú ý:</b> Hai phơng trình cùng vơ nghiệm đợc coi là hai phơng trình tơng đơng.
c, hai phơng trình này tơng đơng vì có cùng tập hợp nghiệm S =

3
2

 
 
 

Bµi 2. Cho các phơng trình một ẩn sau:

u(2u + 3 ) = 0 (1)
2x + 3 = 2x – 3 (2)

x2_{+ 1 = 0 (3)}

( 2t + 1 )( t – 1 ) = 0 (4)
Hãy chọn kết qu ỳng trong cỏc kt qu sau:

A, phơng trình (1) với phơng trình (2).
B, phơng trình (2) _{với phơng trình (3).}

C, phng trỡnh (1) với phơng trình (3).
D, cả ba kết quả A, B, C u sai

Trả lời: B
Câu hỏi 2:

Phơng trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát nh thế nào? Nêu cách giải phơng trình
bậc nhất một ẩn.

Trả lời:

- Phơng trình bậc nhất một ẩn số là phơng trình có dạng ax + b = 0
trong đó a, b là các hằng số a _{0. ví dụ: 3x + 1 = 0.}

- Phơng trình bậc nhất một Èn cã mét nghiÖm duy nhÊt x =

<i>b</i>
<i>a</i>


.
- Cách giải: ax + b = 0 ( a _{0 )} _{ax = - b} _{x =}

<i>b</i>
<i>a</i>


</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

- 0,3t + 0,25 = 0 (2)
- 2x +

2
0

5 <i>y</i> ₍₃₎
( 2u – 1 )(u + 1 ) = 0 (4)
Phát biểu nào sau đây là sai:

A, Phơng trình (2) là phơng trình bậc nhất một ẩn số.

B, Phơng trình (1) không phải là phơng trình bậc nhất nhất một ẩn số.
C, Phơng trình (3) không phải là phơng trình bậc nhất nhất một ẩn số.
D, Phơng trình (4) là phơng trình bậc nhất nhất một ẩn số.

Trả lời: D
Câu hỏi 3:

Phát biểu quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân, lấy ví dụ minh hoạ.

<b>Trả lời:</b>

+ Khi chuyn mt hng t t v ny sang vế kia của một phơng trình và đổi dấu hạng
tử đó ta thu đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.

VÝ dơ: 3x – 5 = 2x + 1  3x – 2x = 1 + 5  x = 6.

+ Nếu ta nhân (hoặc chia h) hai vế của phơng trình với cùng một số khác 0 ta đợc một

phơng trình mới tơng đơng

VÝ dơ: 2x + 4 = 8  x + 2 = 4 (chia cả hai vế cho 2 c).
Bài 4: Bằng quy tắc chuyển vế hÃy giải các phơng trình sau:
a, x 2,25 = 0,75. c, 4,2 = x + 2,1
b, 19,3 = 12 – x . d, 3,7 – x = 4.
Bài giải:

a, x 2,25 = 0,75 x = 0,75 + 2,25
 _{x = 3.}

b, 19,3 = 12 – x  x = 12 – 19,3  x = - 7,3

c, 4,2 = x + 2,1  - x = 2,1 – 4,2  - x = - 2,1  x = 2,1.
d, 3,7 – x = 4  _{-x = 4 – 3,7} _{-x = 0,3} _{x = - 0,3}

Bài 5: Bằng quy tắc nhân tìm giá trị gần đúng nghiệm của các phơng trình làm trịn
đến chữ số thập phân th ựba (dùng máy tính bỏ túi để tính tốn d).

a, 2x = 13 ; b, - 5x = 1 + 5 c, <i>x</i> 2 4 3 .
Híng dÉn:

a, Chia hai vế cho 2, ta đợc

13

1,803
2

<i>x</i>  <i>x</i>

b, Chia hai vế cho – 5, thực hiện phép tính ta đợc <i>x</i>0,647
c, <i>x</i>4,899.

Bài 6. Giải các phơng trình sau:

a.

5 4 16 1

2 7

<i>x</i> <i>x</i>


b.

12 5 2 7

3 4

<i>x</i> <i>x</i>


.
Híng dÉn:

a.

5 4 16 1

2 7

<i>x</i> <i>x</i>




7(5 4) 2(16 1)

14 14

<i>x</i> <i>x</i>

 

 7( 5x – 4 ) = 2( 16x + 1 )
 _{35x – 28 = 32x + 2}

 _{35x – 32x = 2 + 28}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

 x = 10.
b.

12 5 2 7

3 4

<i>x</i> <i>x</i>




4(12 5) 3(2 7)

12 12

<i>x</i> <i>x</i>


 4( 12x + 5 ) = 3 ( 2x – 7 ).
 _{48x + 20 = 6x – 21}

42x = - 41

<i><b>Phơng trình một ẩn cã chøa tham sè</b></i>

Một phơng trình ngồi chữ để chỉ ẩn số (biến số b) cịn có những chữ để là hệ số đợc
gọi là phơng trình có chứa tham số. Khi giải phơng trình có chứa tham số cần nêu rõ
mọi khả năng xãy ra. Tham số là phần tử thuộc tập hợp số nào? Phơng trình có nghiệm
khơng? Bao nhiêu nghiệm? Nghiệm đợc xác định thế nào? Làm nh vậy gọi là giải và
bin lun phng trỡnh cú cha tham s.

Bài 7. Giải và biện luận phơng trình có chứa tham số m.
( m2_{- 9 ) x – m}2_{– 3m = 0.}

Híng dÉn:

1. Nếu m2_{– 9}__{0 , tức là m}_ __{3 phơng trình đã cho là phơng trình bậc nhất (với}

Èn sè x v) cã nghiÖm duy nhÊt:

2
2

3

9 3

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i>

<i>m</i> <i>m</i>



 

 

2. Nếu m = 3 thì phơng trình có dạng 0x – 18 = 0 phơng trình này vơ nghiệm.
3. Nếu m = - 3, phơng trình có dạng 0x + 0 = 0. mọi số thực x _{R đều là nghiệm}

của phơng trình. (một phơng trình có vơ số nghiệm nh vậy gọi là phơng trình vơ
định m)

<i><b>Bµi tËp tù lun.</b></i>

<b>Bài 8.</b> Xét xem mỗi cặp phơng trình cho dới đây có tơng đơng khơng?
a. 2x + 3 = 0 và 3x =

9
2



.

b. 3x + 1 = 2x + 4 vµ 3x + 1 +

1 1

2 4

3 <i>x</i> 3

<i>x</i>   <i>x</i>

c. 2

( 2)
0
1
<i>x x</i>
<i>x</i>



 _{vµ 2x ( x 2 ) = 0.}
<b>Bài 9.</b> Giải các phơng trình sau:

a. 2x + 5 = 20 3x b. 2,5y + 1,5 = 2,7y – 1,5
c. 2t -

3
5₌

2

3_{- t} _d.

1 2 3

4
3 3 <i>u</i>2<i>u</i>
<b>Bài 10.</b> Để giải phơng trình

2 3 1

1

4 5

<i>x</i> <i>x</i>

Nam đã thực hiện nh sau:

Bớc 1:

5(2 3) 4(1 )

1

20 20

<i>x</i>  <i>x</i>

 

.
Bíc 2: 10x – 15 – 4 + 4x = 1.
Bíc 3: 14x – 19 = 1.

Bíc 4: 14x = 20  _{x =}

20 10

14 7 _.

Bạn Nam giải nh vậy đúng hay sai. Nếu sai thì sai từ bớc nào?
A. Bớc 1. C. Bớc 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài 11.</b> Giải và biện luận phơng trình víi tham sè m.

a. m( x – 1 ) = 5 – ( m – 1 )x. b. m( x + m ) = x + 1.
c. m( m – 1 )x = 2m + 1. d. m( mx 1 ) = x + 1.

<b>II. Ph ơng trình tích.</b>
<b>Câu hỏi 4.</b>

Viết dạng tổng quát của phơng trình tích và nêu cách giải. Lấy ví dụ?
Trả lời:

Phơng trình tích là phơng trình có dạng: A(x).B(x) = 0 (1).

Muốn giải phơng trình (1) ta giải các phơng trình A (x) = 0 và B (x) = 0, rồi lấy tất cả
các nghiệm tìm đợc từ hai phơng trình trên.

VÝ dơ: ( x – 3 )( x + 1 ) = 0  x – 3 = 0 , hc x + 1 = 0.
 _{x = 3 và x = -1.}

Tập hợp nghiệm: S =

3; 1

.

<b>Bài 12 .</b> Cho phơng trình: x2_{– 4x = 5. Mét b¹n häc sinh thùc hiện các bớc giải nh sau:}

Bíc 1: x2_{– 4x + 4 = 5 + 4.}

Bíc 2: ( x – 2 )2_{= 9.}

Bíc 3: ( x – 2 )2_{– 9 = 0.}

Bíc 4: ( x – 2 + 3 )( x – 2 – 3 ) = 0  _{( x – 5 )( x + 1 ) = 0.}

Bíc 5B: x – 5 = 0, hc x + 1 = 0.
x = 5 vµ x = - 1.

Tập hợp nghiệm là S =



5; 1



.

Bạn Học sinh đó giải nh vậy đúng hay sai. Nếu sai thì sai từ bớc nào?
A. Bớc 1. C. Bớc 4.

B. Bớc 3. D. Tt c cỏc bc u ỳng.

Giải: D.

<b>Bài 13. </b>Giải các phơng trình sau:

a. ( x 1 )2_{9 = 0. b. ( 2x – 1 )}2_{– ( x + 3 )}2_{= 0.}

c. 2x2 _{– 9x + 7 = 0. d. x}3_{– x}2_{– x}_{+ 1 = 0.}

Híng dÉn:

a. ( x – 1 )2_{– 9 = 0} _{( x – 1 – 3 )( x – 1 + 3 ) = 0.}

 x – 1 – 3 = 0 hc x – 1 + 3 = 0
 _{x = 4 vµ x = - 2.}

Tập hợp nghiệm của phơng trình là: S = { 4, - 2 }

b. (2x – 1 )2_{– ( x + 3 )}2_{= 0}_ _{(2x – 1 – x – 3 )( 2x – 1 + x + 3 ) = 0}
 _{( x – 4 )( 3x + 2 ) = 0.}

 x – 4 = 0 hc 3x + 2 = 0 .
 x = 4 và x =

2

3

.

Tập hợp nghiệm của phơng trình là S = { 4,
2
3


}

c. 2x2 _{– 9x + 7 = 0} _2x2_{– 2x – 7x + 7 = 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

 _{x = 1 vµ x =}

7
2_.
TËp nghiƯm của phơng trình là S = { 1,

7

2_}

d. x3_{– x}2_{– x}_{+ 1 = 0} _(x3_{– x}2_{) – (x}_{- 1) = 0}

 x2_{( x – 1 ) – ( x – 1 ) = 0}

 ( x – 1 ) ( x2_{– 1 ) = 0}

 _{( x – 1 )} 2_{( x + 1 ) = 0}

 x – 1 = 0 hc x + 1 = 0
 x = 1 vµ x = -1.

Tập hợp nghiệm của phơng trình là S = { 1; -1 }
<i><b>Bµi tËp tù lun.</b></i>

<b>Bµi 14.</b> Giải các phơng trình sau:
a. ( x + 1 )( 2x – 3 )( 3x + 2 ) = 0.

b. ( x2_{– 2x + 1 )( x + 3 ) = ( x + 3 )( 4x}2_{+ 4x + 1 ).}

c. x3_{+ 2x}2_{– x – 2 = 0.}

d. 2x3_{– 7x}2_{+ 7x – 2 = 0.}
<b>Bài 15</b>. Giải các phơng trình sau:

a. x4_{+ 3x}3_{– x – 3 = 0.}

b. x4_{+ 2x}3_{– 4x}2_{– 5x – 6 = 0.}

c. x4_{– 2x}3_{+ x – 2 = 0.}

d. x4_{+ 2x}3_{+ 5x}2_{4x 12 = 0.}
<b>III. Ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu.</b>

Câu hỏi 5: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu là phơng trình nh thế nào?
Cho ví dụ?

Trả lời: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu là phơng trình có chứa một hay nhiều hạng tử có ẩn
ở mÉu thøc .

VÝ dô: 2

3 1
2
1 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 

  ₍₁₎

Câu hỏi 6: Điều kiện xác định của một phơng trình là gì? Cho ví dụ.

Trả lời: Điều kiện xác định (ĐKXĐ ẹ) của một phơng trình có chứa ẩn ở mẫu là tập
hợp các giá tri của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phng trỡnh ú khỏc 0.

Ví dụ: phơng trình 2

3 1
2
1 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>

_{có ĐKXĐ là x?}_1.

Câu hỏi 7: Nêu các bớc để giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức?
Trả lời: Các bớc cần thiết khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thc:

Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình.

Bc 2: Quy ng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung.

Bớc 3: Giải phơng trỡnh va nhn c .

Bớc 4: Loại các nghiệm của phơng trình ở bớc 3 không thoà mÃn ĐKXĐ và kết luận.

Bài 16. Giải phơng trình:
a. 2

2 4 2 5

1 2 3 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

    _{. b.} 2

3 1 2

4 2 6 8

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

   

Híng dÉn:
a. 2

2 4 2 5

1 2 3 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

x + 3? 0 tơng đơng x ? 1 và x ? - 3.

MTC: x2_{+ 2x – 3 v× x}2_{+ 2x – 3 = ( x – 1 )( x + 3 ).}

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong phơng trình rồi khử mẫu ta đợc: 2x( x + 3 ) + 4
= ( 2x – 5 )( x – 1 )  _2x2_{+ 6x + 4 = 2x}2_{– 7x + 5}

 _{13x = 1} _{x =}

1
13_.

Nghiệm của phơng trình cuối thỗ mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là
x =

1
13_.

b. 2

3 1 2

4 2 6 8

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

    

3 1 2

4 2 ( 2)( 4)

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

 

    _.

ĐKXĐ: x? 2 và x? 4.
Quy đồng và khử mẫu ta đợc phơng trình:
( x + 3 )( x – 2 ) + ( x + 1 )( x – 4 ) = - 2

 _2x2_{– 4x = 0} _{x = 0 vµ x = 2 .}

x = 2 khơng thỗ mãn ĐKXĐ (loại l) , x = 0 thoã mãn ĐKXĐ. Vậy phơng trình đã cho
có nghiệm là x = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

A. <b>MơC TIªU</b> :

Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng:

- Nắm đợc các bớc giải bài toán bài toán bằng cách lập phơng trình.

- Cũng cố các bớc giải bài tốn bằng cách lập phơng trình, chú ý khắc sâu ở
b-ớc lập phơng trình (chọn ẩn sốc, phân tích bài tốn, biểu diễn các đại lợng,
lập phơng trình.

- Vận dụng để giải các dạng tốn bậc nhất: Toỏn chuyn ng,

toán năng suất, toán quan hệ số, toán có nội dung hình học, toán phần trăm.
B. <b>THêI L ỵNG</b> : 8 tiÕt

C.<b> THùC HIƯN :</b>

<b>I. KIÕN THứC CăN BảN.</b>

Quá trình giải bài toán bằng cách lập phơng trình gồm các
b-ớc sau:

<b>Bớc 1: </b>lập phơng trình<b>.</b>

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số .

- Biểu diễn các đại lợng cha biết qua ẩn số và các đại lợng đã biết.
- Lâùp phơng trình biểu thị mối tơng quan giữa các đại lợng.
<b>Bớc 2:</b> Giải phơng trình thu đợc ở bớc 1.

<b>Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình vừa giải để loại các nghiệm không thoả </b>
mãn điều kiện của n. Kt lun bi toỏn.

<b>II. CáC Ví Dụ GIảI TOáN</b>

<i><b>1. Toán chuyển động.</b></i> (Đối với dạng toán này GV nên hớn dẫn HS lập bảng để phân

tÝch Đ)

<b>Bài tốn 1: Trên quảng đờng AB dài 30 km, một ngời đi từ A đến C (nằm giữa A và </b>
B n) với vận tốc 30 km /h, rồi đi từ C đến B với vận tốc 20 km / h. Thời gian đi hêựt cả
quảng đờng AB là 1 gi 10 phỳt. Tớnh qung ng AC v CB.

<b>Bài giải:</b>

GV híng dÉn HS lËp b¶ng sau:

Gọi quảng đờng AC là x ( km ) . (Điều kiện 0 ẹ< x < 30 ).

Ta có quảng đơng CB là 30 – x ( km ). Thời gian ngời đó đi hết quảng đờng AC và CB
lần lợt là <i>x</i>

30 vµ

30<i>− x</i>

20 . Theo bµi ra ta cã phơng trình:

<i>x</i>

30 +

30<i>− x</i>

20 =

7
6

Giải phơng trình ta đợc x = 20 (TMĐK T).

Vận tốc ( km/h ) Quảng đờng ( km ) Thời gian (giờ
g)

Trên quảng đờng AC 30 x <i>x</i>

30

Trên quảng đờng CB 20 30 - x 30<i>− x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Vậy quảng đờng AC và CB là 20 km và 10 km.
<b>Bài toán 2: </b>

Một ơ tơ đi từ Hà Nội đến Thanh Hố với vận tốc 40 km / h. Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh
Hố, ơ tơ lại từ Thanh Hố vè Hà Nội với vận tóc 30 km /h. Tổng thời gian cả đi lẫn về
là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ lại ở Thanh Hố k). Tính quảng đờng Hà Nội –
Thanh Hố

<b>Bài giải:</b>

Vn tc ( km/h ) Qung ng ( km ) Thời gian (giờ g)

HN – TH 40 S <i>S</i>

40

TH - HN 30 S <i>S</i>

30

Gọi quảng đờng từ Hà Nội đến Thanh Hoá là S ( Km ) (ĐK ẹ:s > 0 ).
Thời gian lúc đi từ Hà Nội đến Thanh Hố là <i>S</i>

40

Thêi gian lóc về là <i>S</i>

30 .

Tổng thời gian cả đi lẫn về không kể thời gian nghỉ lại ở
Thánh Hoá lµ:

10 giê 45 phót – 2 giê = 8 giê 45 phót = 35/ 4 giê.

Theo bµi ra ta cã phơng trình: <i>S</i>

40 +
<i>S</i>
30 =

35
4 .

3S + 4S = 1050  7S = 1050  S = 150 (TMĐK T).
Vậy quảng đờng HN – TH l 150 km.

<b>Bài toán 3:</b>

Mt ụtụ d nh i t A đến B với vận tốc 50km/h. sau khi khởi hành 24 phút nó giảm
vận tốc đi 10km/h nên đã đến B chậùm hơn dự định 18 phút. Hỏi thi gian d nh i?

<b>Bài giải:</b>

Gi qung ng AB l x (kmứ ) . (điều kiện ủ: x > 0 ). Theo đề bài ta lập đợc bảng
sau:

Vận tốc (km/h ) Thời gian (h ) Quảng ng (km)

D nh 50 <i>x</i>

50

x
Chạy 24 phút

đầu 50 ₅2 20

Đoạn còn lại 40 <i>x </i>20

40

x - 20
Ngi ú n B chậm hơn dự định là 18 phút = 3

10 giờ. Do đó dựa vào bảng ta lập đợc

ph¬ng tr×nh sau:
2

5 +

<i>x −</i>20

40 -
<i>x</i>
50 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Giải phơng trình ta đợc x = 80. thoã mãn điều kiện của ẩn. Vậy quảng đờng AB là 80
km, ngời đó dự định đi với vận Tốc 50 km /h, nên thời gian dự định là 80: 50 = 8/5 giờ
= 1 gi 36 phỳt.

<i><b>Bài tập HS tự giải:</b></i>

<b>Bi tp 4: mt tàu chở hàng từ ga Vinh đến ga Hà Nội . Sau đó 1, 5 giờ một tàu chở </b>
khách từ ga Hà Nội đến Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu chở hàng là 7 km/h. khi
tàu khách đi đợc 4 giờ thì nó cịn cách tàu hàng là 25 km . tính vận tốc mỗi tàu, biết
rằng hai ga cách nhau 319 km.

<i><b>2. To¸n vỊ quan hƯ sè .</b></i>

<b>Bài tốn 5</b> :<b> </b> Tổng của hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 14. tìm hai số đó?
Bài giải:

Gäi sè lín lµ x, sè bÐ lµ 80 – x.

Theo bµi ra ta cã phơng trình: x ( 80 x ) = 14

Giải phơng trình ta đợc x = 47 .
Vậy hai số đó là 47 và 33.

<b>Bài tốn 6</b> :<b> </b> Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và
giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì đợc một phân số bằng 3

4 . t×m phân số ban đầu.

<b>Bài giải: </b>

Gi t s ca phân số ban đầu là x (ĐK ẹ: x Z ).
Mẫu số của phân số đó là x + 11 .

Theo bài ra ta có phơng trình: <i>x</i>+3

4<i>x</i>+11<i>−</i>4=¿
3

4 

<i>x</i>+3
4<i>x</i>+7=¿

3
4

.

Gi¶i phơng trình ta dợc: x = 9 (TMĐK T).

Vậy phân số phải tìm là 9

20 .

<b>Bi tp 7: Mt số tự nhiên có 4 chữ số. Nếu viết thêm vào bên trái và bên phải chữ </b>
số đó cùng chữ số 1 thì đợc một số có sáu chữ số gấp 21 lần số ban đầu. Tìm số tự
nhiờn lỳc ban u?

<b>Bài giải:</b>

Gi s ban u l x (đk ủ: x <i>N</i>, x > 999 ) , ta viết đợc x = <i>abcd</i> , với a, b, c, d là các
chữ số, a _0.

Ta cã: <i>abcd</i> = 1000a + 100b + 10c + d.

Viết thêm vào bên trái và bên phải chữ số đó cùng chữ số 1 thì đợc một số:

1<i>abcd</i>1_{= 100 000 + 10 000a + 1000b + 100c + 10d + 1}

= 100 001 + 10 ( 1000a + 100b + 10c + d )
= 100 001 + 10x.

Theo bài ra ta có phơng trình: 100 001 + x = 21x

Giải phơng trình ta đợc x = 9091 (tmđk t) .
Vậy số tự nhiên ban đầu là 9091

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Bài tập 8:</b> Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu viết thêm vào bên phải hay bên trái chữ số
1 ta đều đợc số có 6 chữ số. Biết rằng khi ta viết thêm vào bên phải chữ số đó ta đợc
một số lớn gấp 3 lần ta viết thêm vào bên trỏi. Tỡm s ú?

<i><b>3. Toán năng suất :</b></i><b>( GV </b>nên hớng dẫn cho hs giải bằng cách lập bảng).

<b>Bi toỏn 9: </b>Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai
thác đợc 50 tấn than. Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác dợc 57 tấn than. Do đó đội
dã hồn thành kế hoạch trớc một ngày và còn vợt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch
đội phải khai thác bao nhiờu tn than?

<b>Bài giải:</b>

Gi x (tn t) l s than đội phải khai thác theo kế hoạch, ta lập đợc bảng sau:
Số than mỗi ngày (tấn

t) Tæng sè than (tấn t) Số ngày

Theo kế hoạch 50 x <i>x</i>

50

Thực hiÖn 57 x + 13 <i>x</i>+13

57

Từ bảng ta lập đợc phơng trinh: <i>x</i>+13

57 =

<i>x</i>

50 - 1 .

Giải phơng trình tìm đợc x = 500 (TMĐK T).

Vậy theo kế hoạch đội phải khai thác 500 tấn than.

<b>Bài tốn 10: </b>Một đội cơng nhân dự tính nếu họ sữa đợc 40 m trong một ngày thì họ sẽ
sữa xong một đoạn đờng trong một thời gian nhất định . Nhng do thời tiết không thuận
tiện nên thực tế mỗi ngày họ sữa đợc một đoạn ít hơn 10 m so với dự định và vì vậy họ
phải kéo dài thời gian làm việc thêm 6 ngày. Tính chiều dài đoạn đờng?

<b>Bµi gi¶i:</b>

Gọi x (ngày n) là thời gian dự định làm xong đoạn đờng (điều kiện ủ: x > 0 ).

Ta cã b¶ng sau:

Thời gian (ngày n) Năng suất Đoạn đờng ( m )

Dự định x 40 40 x

Thùc tÕù x + 6 30 30 ( x + 6 )

Dựa vào bảng ta lập đợc phơng trình sau:

40 x = 30 ( x + 6 ).

Đáp số: chiều dài đoạn ng l: 7200 m
<b>Bi toỏn 11: </b>

Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc. Họ làm chung trong 4
giờ thì ngời thứ nhất chuyển đi làm việc khác, ngời thứ hai làm nốt công việc còn lại
trong 10 giờ.

Hi ngi th hai làm một mình thì trong bao lâu sẻ hồn thành cụng vic ú.

<b>Bài giải:</b>

Gi x l thi gian ngi thứ hai làm một mình xong cơng việc (đk x ủ > 12 ). Trong
10 giờ ngời đó làm đợc 10

<i>x</i> cv.

Cả hai ngời làm chung đợc 4. 1

12 cv.

Theo bµi ra ta cã phơng trình: 4. 1

12 +
10

<i>x</i> = 1.

Giải phơng trình ta đợc x =15 (TMK T).

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Bài toán 12:</b>

Mt mỏy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể không cha nớc trong một thời gian quy
định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m3_{. sau khi bơm đợc 1/3 thể tích của bể ngời cơng}

nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đợc 15 m3_{. Do}

vậy so với quy định bể đợc bơm đầy nớc trớc thời hạn 48 phút. Tớnh th tớch ca b?

<b>Bài giải:</b>

Gọi thể tích của bể là x ( m 3_{) ĐK: x > 15.}

Ta lập bảng sau:

Năng suất ( m3_{/ giờ)} _{Thời gian (giờ g)} _{Dung tÝch (lÝt l)}

Theo quy định 10

10

<i>x</i> x

1 /3 thể tích đầu 10

30

<i>x</i> 1

3<i>x</i>

Phần còn lại 15 2

45

<i>x</i> 2

3<i>x</i>
So với quy định bể đợc bơm đầy trớc thời hạn 48 phút =

4

5 _{giê. Nªn ta cã phơng trình:}
10

<i>x</i>

- 30

<i>x</i>

-
2
45

<i>x</i>

=
4
5 _.

Gii phơng trình ta đợc x = 36 (thỗ mãn điều kiện t).
Vậy thể tchs bể là 36 m3_.

<b>4. To¸n phần trăm</b>
<b>Bài toán 13:</b>

Mt ming hp kim ng v thic có khối lợng 12 kg, chứa 45% đồng. Hỏi phải thêm
vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để đợc một hợp kim mới có chứa 40% đồng?
<b>Bài giải:</b>

Khối lợng đồng nguyên chất có trong 12 kg hợp kim là: 45% . 12

= 5, 4 kg. gäi khèi lỵng thiếc nguyên chất cần thêm là x (đk ủ: x > 0 ).

Sau khi thêm vào khối lợng miếng hợp kim là: (12 + x ) kg, lợng đồng

không thay đổi và chiếm 40% nên ta có phơng trình:
5,4 : ( 12 + x ) = 40% .

Giải phơng trình tìm đợc x = 1,5 (TMK T).

Vậy khối lợng thiếc nguyên chất cần thêm vào là 1,5 kg.

<b>Bài toán 14:</b>

Nu pha thờm 200 g nc vào dung dịch chứa 10% muối ta đợc một dung dịch chứa 6%
muối. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu gam dung dch?

<b>Bài giải:</b>

Gọi x là khối lợng dung dịch chøa 10% mi ( x > 0 ). Lỵng mi có trong dung dịch
là 10% . x .

Khi lng dung dịch sau khi pha thêm là x + 200 . lợng muối có trong dung dịch mới là
6%. ( x + 200 ). Vì lợng muối khơng thay đổi nên ta có phơng trình: 10% x = 6% ( x +
200 ).

Giải phơng trình tìm đợc x = 300 (TMĐK T).
Vậy khối lợng dung dịch ban đầu l 300 kg.

<b>Bài toán 15:</b>

Có hai loại dung dịch chứa cïng mét thø axit, lo¹i Ichøa 30% axÝt, lo¹i II chøa 5% axit.
Muèn cã 50 lÝt dung dÞch chøa 10% axit thì cần phải trộn bao nhiêu lít dung dịch mỗi
loại?

Bài giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Số lít dung dịch loại II cần phải trộn vào là: 50 x.
Lợng axit chứa trong dung dịch loại I là:

30

100_x

Lợng axit chứa trong dung dịch loại II là:
5

100_{( 50 x ).}

Lợng axit có trong 50 lít hỗn hợp lµ:

10

100_{. 50 = 5 lÝt .}

Theo đó ta có phơng trình:

30

100_{x +}

5

100_{( 50 – x ) = 5}
Giải phơng trình ta đợc x = 10 (TMĐK T) .

Vậy số lít dung dịch loại I và loại II cần phải trộn lần lợt là 10l và 40l.

<i><b>Bài tËp HS tù gi¶i:</b></i>

<b>Bài tập 16:</b> Có 3 lít nớc có nhiệt độ 100_{C . Hỏi phải pha thêm bao nhiêu nớc 85}0_{C để}

cã níc 400_C.

<i><b>5. Bµi toán có nội dung hình học.</b></i>
<b>Bái toán 17</b>

Mt khu vn hình chữ nhật có chu vi 280 m. ngời ta làm một lối đi xung quanh khu
ờn đó, có chiều rộng 2 m. tính các kích thớc của vờn, biết rằng phần đất còn lại trong

v-ờn để trồng trt l 4256m2_.

<b>Bài giải:</b>

Gi x l chiu di khu vn (đk ủ: 0 < x < 140 ) .
Ta có chiều rộng của khu vờn đó là 140 – x ( m ).

Sau khi làm lối đi, chiều dài và chiều rộng của khu đất trồng trọt lần lợt là ( x – 4 ) và
140 – x – 4. theo bài ra ta có phơng trình:

( x – 4 ) ( 140 – x – 4 ) = 4256.

Giải phơng trình ta đợc: x = 80, và x = 60 đều thoả mãn điều kiện của ẫn. Vậy một
cạnh của khu vờn là 80m, cạnh kia là 60m.

<b>B¸i to¸n 18</b>

Một hình chữ nhật có chu vi 800m. nếu chiều dài giảm đi 20% và chiều rộng tăng thêm
1/3 của nó thì chu vi khơng thay đổi. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

<b>Bµi giải:</b>

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m). (đkủ: 0 < x < 400 ).

Chiều dài của hình chữ nhật là 400 x . khi giảm chiều dài đi 20% và chiều rộng tăng
thêm 1/3 của nó. Các kích thớc lần lợt là x + 1/3x vµ 400 – x – 20%( 400 – x ).
Theo bài ra ta có phơng trình:

x + 1/3x + 400 – x – 20%( 400 – x ) = 400.

Giải phơng trình tìm đợc x = 150 . thoà mãn điều kiện của ẩn. Vậy chiều rộng của hỡnh
ch nht l 150m v chiu di l 250m.

<b>Bài toán cổ (dành cho HS khád, giỏi).</b>

Mt n em nh ng bờn sụng.
To nh bn nhau chuyn chia bng. (_*)

Mỗi ngời năm quả thừa nănm quả.
Mỗi ngời sáu quả một ngời không.
Hỏi ngời bạn trẻ đang dừng bớc
Có mấy em thơ, mÊy qu¶ bång?
(chia bång c (_*)_{: chia qu¶ bëi).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

lập đợc bảng sau:

Số quả / em Số em đợc chia Hậu quả

C¸ch chia thø nhÊt 5 x Thừa 5 quả

Cách chia thứ hai 6 x - 1 Một em không có

phần
Theo cáh chia thứ nhất ta có: số quả bôngf đem chia là 5x + 5.

Theo cách chia thứ hai, số quả bồng đem chia là 6 ( x – 1 ).

Do số quả bồng là không đổi nên ta có phơng trình: 5x + 5 = 6 ( x

1 ).

Giải phơng trình ta có x = 11 tho· m·n ®iỊu kiƯn cđa Èn. Vậy có 11 em thơ và 60 quả
bồng.

Cách 2 (GV có thể hớng dẫn cho học sinh tìm cách giải thứ 2 bằng cách chọn ẩn là số
quả bång G)

Gọi x là số quả bồng đem chia (ĐKẹ: x nguyên dơng). Theo đề bài ta lập đợc bảng sau:
Số quả / em Số em đợc chia Hậu quả

C¸ch chia thứ nhất 5 <i>x </i>5

5

Thừa 5 quả

Cách chia thứ hai 6 <i>x</i>

6

Một em không có
phần

Vỡ s em c chia theo cách hai ít hơn số em đợc chia ở cách một (một em khơng có
phần m), nên ta có phơng trình: <i>x −</i>5

5 -
<i>x</i>

6 = 1.

Giải phơng trình ta đợc x = 60 (TMĐK T). Vậy số bồng là 60 quả, số em bộ l 11 em.

D. <b>TàI LIệU THAM KHảO</b> :

SGK To¸n 8, tËp II, SBT To¸n 8 tËp 2

 Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 tập 2 – Vò ThÕ Hùu

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23></div>

<!--links-->