Các dạng toán bất phương trình bậc nhất một ẩn

ĐS8-C4-CD4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. BÀI GIẢNG
1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa: Bất phương trình dạng:
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 ,
Với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
a.Quy tắc chuyển vế
Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:
a + b < c ⇔ a + b − c < 0 → chuyển vế và đổi dấu.
Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy, cụ thể:
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi
dấu hạng tử đó.
Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ
sau sẽ minh họa điều này.
Ví dụ 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó
trên trục số:
a. x + 3 < 4

b. 3 x ≥ 2 x − 2

Giải
a. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng:
x +3 < 4 ⇔ x < 4−3 ⇔ x <1.
Vậy, bất phương trình có nghiệm x < 1 và ta có biểu diễn:

b. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng:
3 x ≥ 2 x − 2 ⇔ 3 x − 2 x ≥ −2 ⇔ x ≥ −2 .

Vậy, bất phương trình có nghiệm x ≥ −2 và ta có biểu diễn:

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a. x + 12 > 21

b. − 2 x > −3x − 5

Giải
a. Ta có biến đổi: x + 12 > 21 ⇔ x > 21 − 12 ⇔ x > 9 .
Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 .
b. Ta có biến đổi: −2 x > −3 x − 5 ⇔ 3x − 2 x > −5 ⇔ x > −5


Vậy, bất phương trình có nghiệm x > −5
b. Quy tắc nhân với một số
Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:
2a + 4b > −2 ⇔ 1 + 2b > −1 → nhân cả hai vế với

1
> 0 (hoặc chia cả hai vế cho 2 > 0 )
2

1
−3a < 6 ⇔ a > −2 → nhân cả hai vế với − < 0 (hoặc chia cả hai vế cho −3 < 0 ).
3
Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy, cụ thể:
Quy tắc nhân với một số: Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số khác
0, ta phải:
1. Giữ nguyên chiều của bất phương tình nếu số đó dương.
2. Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.
Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ
sau sẽ minh họa điều này.

Ví dụ 3. Sử dụng quy tắc nhân với một số giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của
nó trên trục số:
a. 3 x < −6

1
b. − x ≥ −2
2
Giải

a. Sử dụng quy tắc nhân với một số, biến đổi phương trình về dạng:
3 x < −6 ⇔ x < −2
Vậy, bất phương trình có nghiệm x < −2 và ta có biểu diễn:

b. Sử dụng quy tắc nhân với một số, biến đổi phương trình về dạng:
1
− x ≥ −2 ⇔ x ≤ 4
2
Vậy, bất phương trình có nghiệm x ≤ 4 và ta có biểu diễn:

Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:
a. 2 x < 24

b. − 3 x < 27
Giải

a. Ta có biến đổi:
2 x < 24 ⇔ x < 12

Vậy, bất phương trình có nghiệm x < 12

b. Ta có biến đổi:
−3x < 27 ⇔ x > −9

Vậy, bất phương trình có nghiệm x > −9
Chú ý: Tiếp theo, chúng ta minh họa việc sử dụng đồng thời hau quy tắc biến đổi bất phương trình để
bước đầu làm quen với việc giải một bất phương trình.
Ví dụ 5. Sử dụng hai quy tắc biến đổi bất phương trình để giải các bất phương trình sau:
a. 3 x > x + 8

b. x 2 + 2 x > x 2 − 4
Giải

a. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:
3x − x > 8 ⇔ 2 x > 8 ⇔ x > 4

Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 4
b. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:
x 2 + 2 x > x 2 − 4 ⇔ x 2 + 2 x − x 2 > −4 ⇔ x > −2
Vậy, bất phương trình có nghiệm x > −2
Nhận xét:
1. Trong lời giải các bất phương trình trên, chúng ta đã thừa nhận rằng kết quả “Từ một bất phương
trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một bất phương trình mới tương
đương với bất phương trình đã cho”.
2. Cũng chính nhờ những quy tắc này mà việc chứng minh một bất đẳng thức sẽ đơn giản hơn rất nhiều
– Điều này chúng ta sẽ gặp lại trong chủ đề chuyên sâu về bất đẳng thức ở cuối chương.
3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng:
ax + b > 0, a ≠ 0
Được giải như sau: ax + b > 0 ⇔ ax > −b



Với a > 0 , ta được x > −

b
a



Với a < 0 , ta được x < −

b
a

Ví dụ 6. Giải bất phương trình −4 x − 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Giải
Ta có biến đổi:
−4 x − 8 < 0 ⇔ 4 x > − 8 ⇔ x > − 2
Vậy, bất phương trình có nghiệm x > −2 và ta có biểu diễn:

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN


Dạng tốn 1: ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT MỘT ẨN
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn:
b. mx + (m − 1) y + 4 ≤ 0

a. (m 2 − 2m) x 2 + mx + 3 > 0
Giải

a. Để bất phương trình (m 2 − 2m) x 2 + mx + 3 > 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi:
 m2 − 2m= 0 m(m− 2) = 0 m= 0 h
c m= 2
⇔
⇔
⇔ m= 2

 m≠ 0
 m≠ 0
 m≠ 0
Vậy, với m = 2 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.
b. Để bất phương trình mx + (m − 1) y + 4 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi:
m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔ m =1

m − 1 = 0
m = 1
Trường hợp 2: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:
m = 0
m = 0
⇔
⇔m=0

m − 1 ≠ 0
m ≠ 1
Kết luận:



Với m = 1 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.



Với m = 0 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất một ẩn y.

Dạng tốn 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Ví dụ 1. Giải các phương trình (theo quy tắc chuyển vế):
a. x − 5 > 3

b. x − 2 x < −2 x + 4

c. − 3 x > −4 x + 2

d . 8x + 2 < 7 x − 1

Giải
a. Ta có:
x −5 > 3 ⇔ x > 3+5 ⇔ x > 8
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > 8
b. Ta có:
x − 2 x < −2 x + 4 ⇔ x − 2 x + 2 x < 4 ⇔ x < 4
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x < 4
c. Ta có:
−3x > −4 x + 2 ⇔ −3x + 4 x > 2 ⇔ x > 2
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > 2
d. Ta có:
8 x + 2 < 7 x − 1 ⇔ 8 x − 7 x < −1 − 2 ⇔ x < −3

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x < −3
Ví dụ 2. Giải các phương trình (theo quy tắc nhân):
a. 0,3 x > 0, 6

b. - 4 x < 12

c. − x > 4

Giải
a. Ta có: 0,3x > 0, 6 ⇔ 0,3 x.

1
1
0, 6
> 0, 6.
⇔x>
⇔ x>2.
0,3
0,3
0,3

Vậy, nghiệm của bất phương tình là x > 2 .
 1
 1
b. Ta có: −4 x < 12 ⇔ (−4 x).  − ÷ > 12.  − ÷ ⇔ x > −3 .
 4
 4
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x > −3 .

c. Ta có: − x > 4 ⇔ ( − x)(−1) < 4.(−1) ⇔ x < −4 .
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x < −4
d. . Ta có: 1,5 x > −9 ⇔ 1,5 x.

1
1
> (−9).
⇔ x > −6 .
1,5
1,5

Vậy, nghiệm của bất phương tình là x > −6 .
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số:
a. 2 x − 3 > 0

b. 3 x + 4 < 0

c. 4 − 3 x ≤ 0

d . 5 − 2x ≥ 0

Giải
a. Ta có biến đổi:
2x − 3 > 0 ⇔ 2x > 3 ⇔ x >

3
2

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x >

3
và ta có biểu diễn.
2

b. Ta có biến đổi:
3 x + 4 < 0 ⇔ 3x < −4 ⇔ x < −

4
3

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x < −

4
và ta có biểu diễn.
3

c. Ta có biến đổi:
4 − 3x ≤ 0 ⇔ 3x ≥ 4 ⇔ x ≥

4
3

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x ≥
d. Ta có biến đổi:
5 − 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ 5 ⇔ x ≤

5
2

4

và ta có biểu diễn.
3

d . 1,5 x > −9


Vậy, nghiệm của bất phương trình là x ≤

5
và ta có biểu diễn.
2

Ví dụ 4. Giải bất phương trình:
(m 2 + 1) x − m 4 < −1 , với m là tham số
Hướng dẫn: Biến đổi bất phương trình về dạng ax < b rồi đánh giá dấu của a.
Giải
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:
(m 2 + 1) x < m 4 − 1

(*)

Vì m 2 + 1 luôn dương với mọi m nên khi chia cả hai vế của bất phương trình (*) cho m 2 + 1 thì chiều
của bất phương trình khơng thay đổi, cụ thể ta được:
x<

m 4 − 1 (m 2 − 1)(m 2 + 1)
=
= m2 − 1 ⇔ x < m2 − 1
m2 + 1
m2 + 1

Vậy, bất phương trình có nghiệm x < m 2 − 1 .
Ví dụ 5. Cho bất phương trình:
( m 2 − 2 m) x + 1 < m
Giải bất phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a. m = 1

b. m = 2

c. m = 3
Giải

a. Với m = 1 , bất phương trình có dạng:
(12 − 2.1) x + 1 < 1 ⇔ − x < 0 ⇔ x > 0
Vậy, với m = 1 bất phương trình có nghiệm x > 0 .
b. Với m = 2 , bất phương trình có dạng:
(22 − 2.2) x + 1 < 2 ⇔ 0 x < 1 , luôn đúng.
Vậy, với m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
c. Với m = 3 , bất phương trình có dạng:
(32 − 2.3) x + 1 < 3 ⇔ 3 x < 2 ⇔ x <

2
3

Vậy, với m = 3 bất phương trình có nghiệm x <

2
.
3

d. Với m = 0 , bất phương trình có dạng:
0.x + 1 < 0 ⇔ 1 < 0 , mâu thuẫn.

Vậy, với m = 0 bất phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 6. Kiểm tra xem giá trị x = −2 có là nghiệm của bất phương trình sau khơng?
a. x + 2 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 − 5 < 2 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 − 6
b. (−0, 001) x > 0, 003

d. m = 0


Giải
a. Ta có:
x + 2 x 2 − 3 x3 + 4 x 4 − 5 < 2 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 − 6
⇔ x − 5 < −6 ⇔ x < −1

Vậy x = −2 là nghiệm của bất phương trình.
b. Ta có:
(−0, 001) x > 0, 003 ⇔ x < −3
Vậy x = −2 khơng phải là nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 7. Đố: Tìm sai lầm trong các lời giải sau:
a. Giải bất phương trình −2 x > 23 .
Ta có: −2 x > 23 ⇔ x > 23 + 2 ⇔ x > 25
3
b. Giải bất phương trình − x > 12
7
3
 7  3 
 7
Ta có: − x > 12 ⇔  − ÷.  − x ÷ > 12.  − ÷ ⇔ x > −28

7
 3  7 
 3
Giải
a. Phép tương đương: −2 x > 23 ⇔ x > 23 + 2 là sai
Ta sửa lại như sau:
23
 1
 1
−2 x > 23 ⇔ −2 x.  − ÷ < 23.  − ÷ ⇔ x < −
2
 2
 2
3
 7  3 
 7
b. Phép tương đương − x > 12 ⇔  − ÷.  − x ÷ > 12.  − ÷ là sai.
7
 3  7 
 3
Ta sửa lại như sau:
3
 7  3 
 7
− x > 12 ⇔  − ÷.  − x ÷ < 12.  − ÷ ⇔ x < −28
7
 3  7 
 3
Ví dụ 8. Tìm x sao cho:
a. Giá trị của biểu thức 2 x − 5 không âm.

b. Giá trị của biểu thức −3x không lớn hơn giá trị của biểu thức −7 x + 5 .
Giải
a. Theo đề bài ta có:
2x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥
Vậy với x ≥

5
.
2

5
thỏa mãn điều kiện đầu bài.
2

b. Theo đề bài ta có:
−3x ≤ −7 x + 5 ⇔ 4 x ≤ 5 ⇔ x ≤

5
.
4


Vậy với x ≤

5
thỏa mãn điều kiện đầu bài.
4

Ví dụ 9. Tìm x để A < 0 , biết A = 1 −

2x + 3
2
Giải

Trước tiên ta đi rút gọn biểu thức A:
A = 1−

2 x + 3 2 − 2 x − 3 −2 x − 1
=
=
2
2
2

Để A < 0 , ta phải có:
−2 x − 1
1
< 0 ⇔ −2 x − 1 < 0 ⇔ −2 x < 1 ⇔ x > −
2
2
Vậy, với x > −

1
thỏa mãn điều kiện đầu bài.
2

Chú ý: Ta cũng có thể giải trực tiếp, cụ thể:
A < 0 ⇔ 1−

2x + 3

2x + 3
<0⇔
> 1 ⇔ 2x + 3 > 2
2
2

⇔ 2x > 2 − 3 ⇔ x > −

1
2

Ví dụ 10. Một người có số tiền khơng q 70 000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá 2000
đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng?
Giải
Gọi x là số tờ giấy bạc loại 5000 đồng ( 0 < x < 15 , đơn vị: tờ).
Do đó, số giấy bạc loại 2000 đồng là: 15 − x (tờ).
Theo đề bài, ta có bất phương trình:
5000.x + (15 − x).2000 ≤ 70000 ⇔ 3000 x ≤ 40000 ⇔ x ≤

40
⇔ x ≤ 13,3
3

Vì x là nguyên dương, nên x nhận được các giá trị từ 1 đến 13.
Vậy, số tờ giấy bạc mệnh giá 5000 đồng là một trong các số nguyên từ 1 đến 13.
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:Hãy xét xem các bất phương trình sau có là bất phương trình bậc nhất một ẩn hay khơng?
1
x2
a) 0 x + 8 ≥ 0;

b) x − 6 < 0;
c) x ≤ 0;
d)
+ 4 > 0.
3
5
x 5
1
−7 x − 2
≥ 0.
e) −3 x + 3 > 0;
f) − = 0;
g) + 2 ≤ 0;
h)
4 2
x
3
Bài 2: Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của
tham số m:
2
a) (m 2 + 3) x + 1 ≤ 0;
b) − ( m + m + 4 ) x > −2m + 3
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
1
3x + 5
x+2
− x ≥ 1+
a) 2 x − 8 > 0;
b) 9 − 3x ≤ 0;
c) 5 − x < 1;

d)
3
2
3


Bài 4: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a)

x−2
x − 17
−x−2≤
3
2

b)

2 x + 1 x − 4 3x + 1 x − 4
−
≤
−
3
4
6
12

Bài 5: Giải các bất phương trình
a) x 2 − 3x + 1 > 2( x − 1) − x (3 − x )
b) ( x − 1) 2 + x 2 ≤ ( x + 1) 2 + ( x + 2 )

2

c) ( x 2 + 1)( x − 6) ≤ ( x − 2)3
Bài 6: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a)

x - 1 7x + 3 2x + 1 3 - 2x
£
+
2
15
3
5

2
x ( 5 - 3x) 4x + 1
b) 2x + 1 - 2x + 3 >
- 3
- 4
- 6
- 5

c)

4x - 2
1- 5x
- x + 3£
3
4

d)

x+4
x +3 x- 2
- x - 5³
5
3
2

2
x ( 2x + 3)
e) 5x - 3 + 3x - 1 <
- 5
5
4
2
2
x ( 1- 3x) 5x
f) 5x - 2 - 2x - x >
- 3
- 2
- 3
- 4

g) 2x +
h) x -

2x + 1
1
> 3x 2

5

5x
x x
- 3> 6
3 6

Bất phương trình dạng đặc biệt

x+a x+c x+e x+ g
+
<
+
b
d
f
h

Phương pháp giải:
- Nếu a + b = c + d = e + f = g + h = k . Ta cộng mỗi phân thức thêm 1.
- Nếu a − b = c − d = e − f = g − h = k .Ta cộng mỗi phân thức thêm -1.
- Sau đó quy đồng từng phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung đưa về dạng
1 1 1 1
+ − − ÷ < 0.
b d f h
1 1 1 1
Chú ý 1: Cần xét xem  + − − ÷ là số âm hay dương để đưa ra đánh giá về dấu của ( x − k ) .
b d f h
Chú ý 2: Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn và tùy bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích

( x−k) 

hợp.


Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
x+2 x+5 x+3 x+6
+
>
+
a)
6
3
5
2

b)

x − 2 x −1 2x −1 2x − 3
+
<
+
.
1007 1008 2017 2015

Bài 8: Giải các bất phương trình ẩn x sau:
a)

x + 2004 x + 2005 x + 2006 x + 2007
+

<
+
2005
2006
2007
2008

b)

x- 2 x- 4 x- 3 x- 5
+
<
+
2002 2000
2001 1999

c)

x - ab x - bc x - ac
+
+
> a + b + c, (a, b, c >0)
a +b
b+c
a +c

Bài 9: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a) −1 <

x +1 x − 2

−
< 1`
6
2

b) x − 1 <

2x −1
−1 < 2x + 4
3

2
5 − x  1− 2x
 1
+
−
: 2
Bài 10: Cho biểu thức A = 
2 ÷
 1 − x x +1 1 − x  x −1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A
b) Tìm x để A > 0
Bài 11: Một người có số tiền khơng q 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: loại
2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng?
Bài 12: Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ.
Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5 km/h, về sau đi với vận tốc 4 km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà
người đó đã đi với vận tốc 5 km/h.
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:a) Khơng, vì hệ số của ẩn x là 0

b) Có
c) Có.
2
d) Khơng, vì x là ẩn bậc hai chữ khơng phải bậc một.
e) Khơng, vì ẩn x nằm trong dấu giá trị tuyệt đối.
f) Khơng, vì dấu "=" thể hiện đó là phương trình.
h) Khơng, vì ẩn x nằm ở mẫu số.
h) Có.
Bài 2: ta chỉ ra hệ số a ¹ 0
2
éỉ
ư 15ự
1ữ
ờ
ỳ
ỗ
m+ ữ
+ ỳ< 0" m ẻ Ă
a) m + 3 > 0 " m Ỵ ¡
b) - m + m + 4 = - ờỗ
ữ
ỗ
2ữ
4ỳ
ứ
ờố
ở
ỷ
Bi 3: a) 2 x 8 > 0 ⇔ 2 x > 8 ⇔ x > 4 .
b) 9 − 3 x ≤ 0 ⇔ −3 x ≤ −9 ⇔ x ≥ 3 .

1
1
c) 5 − x < 1 ⇔ − x < −4 ⇔ x > 12 .
3
3
3x + 5
x+2
x −5
− x ≥ 1+
⇔ ≥
⇔ x ≥ −5 .
d)
2
3
6 6

2

Bài 4: a)

(

2

)

2 ( x − 2 ) − 6 x − 6.2 3 ( x − 17 )
x−2
x − 17
−x−2≤

⇔ 2 x − 4 − 6 x − 12 ≤ 3 x − 51
⇔
≤
3
2
6
6


⇔ −4 x − 16 ≤ 3 x − 51 ⇔ −4 x − 3x ≤ −51 + 16 ⇔ −7 x ≤ −35 ⇔ x ≥ 5.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x | x ≥ 5} và được biểu diễn trên trục số như sau:

b)

4 ( 2 x + 1) − 3 ( x − 4 ) 2 ( 3x + 1) − ( x − 4 )
2 x + 1 x − 4 3x + 1 x − 4
−
≤
−
⇔
≤
3
4
6
12
12
12

⇔ 8 x + 4 − 3x + 12 ≤ 6 x + 2 − x + 4 ⇔ 5 x + 16 ≤ 5 x + 6 ⇔ 5 x − 5 x ≤ 6 − 16 ⇔ 0 x ≤ −10 ⇔ x ∈ ∅
Vậy bất phương trình vơ nghiệm và được biểu diễn trên trục số như sau:

Bài 5: a) x2 - 3x + 1 > 2(x - 1) - x(3 - x) Û x2 - 3x + 1 > 2x - 2 - 3x + x2
Û - 2x > - 3 Û x <

3

3
. Tập nghiệm của BPT là S =  x | x < 
2

2
2

b) (x - 1)2 + x2 £ (x + 1)2 + ( x + 2) Û 2x2 - 2x + 1 £ 2x2 + 6x + 5 Û - 8x £ 4 Û x ³ 1

nghiệm của BPT là S =  x | x ≥ − 
2

2
3
c) (x + 1)(x - 6) £ (x - 2) Û x3 - 6x2 + x - 6 £ x3 - 6x2 + 12x - 8

2
11

Û - 11x £ - 2 Û x ³

2

Tập nghiệm của BPT là S =  x | x ≥ 

11 

Bài 6:

x − 1 7x + 3 2x + 1 3 − 2x
−
≤
+
2
15
3
5
15.( x - 1) 2.( 7x + 3) 10.( 2x + 1) 6.( 3 - 2x)
Û
£
+
30
30
30
30
Û 15x - 15 - 14x - 6 £ 20x + 10 + 18 - 12x
Û x - 21 £ 8x + 28 Û 7x ³ - 49 Û x ³ - 7 . Vậy S = { x x ≥ −7} .

a)

2x + 1 2 x2 + 3 x ( 5 − 3x ) 4 x + 1
−
>
−
−3

−4
−6
−5
2
- 2x - 1 2x + 3 - x ( 5 - 3x) 4x + 1
Û
+
>
+
3
4
6
5
2
20.( - 2x - 1) + 15. 2x + 3
- 10x.( 5 - 3x) + 12.( 4x + 1)
Û
>
60
60

b)

(

)

1
Tập
2

- 40x - 20 + 30x2 + 45 - 50x + 30x2 + 48x + 12
Û
>
60
60


13 
13
. Vậy S =  x x < 
38 
38

3.( 1- 5x)

Û 30x2 - 40x + 25 > 30x2 - 2x + 12 Û - 38x > - 13 Û x <
c)

4.( 4x - 2) + 12.( - x + 3)
4x - 2
1- 5x
- x + 3£
Û
£
3
4
12

12

Û 16x - 8 - 12x + 36 £ 3 - 15x Û 4x + 28 £ 3 - 15x Û 19x £ - 25 Û x £

- 25
19


−25 
Vậy S =  x x ≤

19 


6.( x + 4) - 30.( x + 5) 10.( x + 3) - 15.( x - 2)
x+4
x +3 x- 2
- x - 5³
Û
³
5
3
2
30
30
Û 6x + 24 - 30x - 150 ³ 10x + 30 - 15x + 30

−186 
- 186
. Vậy S =  x x ≤

Û - 24x - 126 ³ - 5x + 60 Û - 19x ³ 186 Û x £

19 
19


d)

2
x ( 2x + 3)
e) 5x - 3 + 3x - 1 <
- 5
5
4
2
4. 5x2 - 3 + 5( 3x - 1) 10x.( 2x + 3) - 5.20
Û
<
20
20
2
2
20x - 12 + 15x - 5 20x + 30x - 100
Û
<
20
20

(

)

Û 20x2 + 15x - 17 < 20x2 + 30x - 100 Û - 15x < - 83 Û 15x > 83 Û x >

83
15


83 
Vậy S =  x x > 
15 


2
x ( 1- 3x) 5x
- 5x + 2 2x2 - x - x + 3x2 5x
f) 5x - 2 - 2x - x >
Û
+
>
+
3
2
3
4
- 3
- 2
- 3
- 4

Û

(

) > 4( - x + 3x ) + 3.5x Û

4( - 5x + 2) + 6 2x2 - x
12

2

12

Û - 26x + 8 > 11x Û - 37x > - 8 Û 37x < 8 Û x <

- 20x + 8 + 12x2 - 6x > - 4x + 12x2 + 15x

8
8
. Vậy S =  x x < 
37 
37


10.2x + 5( 2x + 1)
2x + 1
1
3x.10 - 2 Û 20x + 10x + 5 > 30x - 2 ⇔ 0 x > −7
> 3x Û
>

2
5
10
10
( vô lý) ⇔ x ∈ ∅. Vậy S = ∅.
5x
x x
h) x - 3> 6
3 6
6x - 5x - 18 2x - x
Û
>
Û x - 18 > x Û 0x < - 18 ⇔ x ∈ ∅ . Vậy S = ∅.
6
6
Bài 7:
x +8 x +8 x +8 x +8
+
>
+
a) Cộng thêm 1 mỗi phân thức, ta có:
6
3
5
2
Từ đó tìm được x < −8 .
g) 2x +


2 x − 4 2 x − 2 2 x −1 2 x − 3

+
<
+
2014 2016 2017 2015
1
1
1 
 1
+
−
−
Cộng thêm - 1 mỗi phân thức, ta được: (2 x − 2018) 
÷< 0 .
 2014 2016 2017 2015 
Từ đó tìm được x < 1009 .

b) BPT tương đương:

Bài 8: a)

x + 2004 x + 2005 x + 2006 x + 2007
+
<
+
2005
2006
2007
2008

Û

x + 2004
x + 2005
x + 2006
x + 2007
- 1+
- 1<
- 1+
- 1
2005
2006
2007
2008

Û

x- 1 x- 1 x- 1 x- 1
+
<0
2005 2006 2007 2008

ổ1
1
1
1 ử
ữ
ữ
(x - 1)ỗ
+
<0

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố2005 2006 2007 2008ø
Û x - 1 < 0(do

1
1
1
1
+
> 0)
2005 2006 2007 2008

Û x < 1.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x < 1 .
b)
x- 2 x- 4 x- 3 x- 5
+
<
+
2002 2000
2001 1999

Û

x- 2
x- 4
x- 3

x- 5
- 1+
- 1<
- 1+
- 1
2002
2000
2001
1999

Û

x - 2004 x - 2004 x - 2004 x - 2004
+
<
+
2002
2000
2001
1999

ổ1
ử
1
1
1 ữ
ữ
( x - 2004) ỗ
+
<0

ỗ
ữ
ỗ
ố2002 2000 2001 1999÷
ø
Û x - 2004 > 0 ( do

1
1
1
1
+
< 0) Û x > 2004
2002 2000 2001 1999

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x > 2004.
c)
c)

x - ab x - bc x - ac
+
+
> a + b + c, (a, b, c >0)
a +b
b +c
a +c

Û

x - ab

x - bc
x - ac
- c+
- a+
- b> 0
a +b
b+c
a +c

Û

x - ab - ac - bc x - bc - ab - ac x - ac - bc - ab
+
+
>0
a +b
b +c
a +c

ỉ1
1
1 ư
÷
÷
Û (x - ab - ac - bc) ç
+
+
>0
ç
÷

÷
ç
a
+
b
b
+
c
a
+
c
è
ø


Û x - ab - ac - bc > 0,(do a, b, c >0 Þ

1
1
1
+
+
> 0)
a +b b +c a + c

Û x > ab+ ac+ bc.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x > ab + ac + bc.
Bài

9:

−1 <

a)

x +1 x − 2
3 x - 2)
−
< 1 Û - 1< x + 1 - (
< 1 Û - 6 < x + 1- 3x + 6 < 6
6
2
6
6

Û - 6 < - 2x + 7 < 6 Û - 6 - 7 < - 2x < 6 - 7
Û - 13 < - 2x < - 1 Û 13 > 2x > 1 Û
b) x - 1 <

2x - 1
- 1 < 2x + 4
3

TH: x - 1 <
TH 2:

 1
13 
1
13

< x < . Vậy S =  x < x < 
2
2
2
 2

3 ( x − 1) 2 x − 1 − 3
2x - 1
- 1⇔
<
⇔ 3x − 3 < 2 x − 4 ⇔ x < −1
3
3
3

3( 2x + 4)
2x - 1
Û 2x - 4 < 6x + 12 Û 4x > - 16 Û x > - 4
- 1 < 2x + 4 Û 2x - 1- 3 <
3
3
3

Vậy - 4 < x < - 1. Tập nghiệm S = { x −4 < x < −1}
Bài 10:

1 − x ≠ 0
x ≠ 1
⇔
a) Điều kiện 

1 + x ≠ 0  x ≠ −1
2
5 − x  1− 2x
 1
+
−
: 2
Ta có A = 
2 ÷
 1 − x x +1 1− x  x −1

 1
 2x −1
2
5− x
A=
+
−
÷:
2
 1 − x x + 1 (1 − x)( x + 1)  1 − x


x +1
2(1 − x)
5− x
2x −1
A=
+
−

÷:
 (1 − x)(1 + x) ( x + 1)(1 − x ) (1 − x )( x + 1)  (1 − x )(1 + x )
 x + 1 + 2 − 2 x − 5 + x  (1 x)(1 + x)
A=
ữì
(1 x)(1 + x)
2x 1



(1 x )(1 + x)
2
2
A=
=
ữì
2x 1
2x 1
(1 x)(1 + x) 
b) Để A > 0 ⇔
Vậy x <

−2
1
> 0 ⇔ 2 x − 1 < 0 vì  - 2 < 0 ⇔ x < (nhận)
2x −1
2

1
thì A > 0

2

Bài 11: Gọi số tờ giấy bạc loại 5000 đồng là x. ĐK :
Theo bài ra ta có bất phương trỡnh:

x ẻ Ơ *, x < 15.


( 15 -

x) . 2000 + x. 5000 £ 70000

Û ( 15 - x) . 2 + x. 5 £ 70 x Ê
M

x ẻ Ơ *, x < 15 Þ

40
.
3

x là các số nguyên từ 1 đến 13.

Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 đồng là các số nguyên từ 1 đến 13.
Bài 12: Gọi quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h là x (km) . ĐK : 0 < x < 18
Theo bài ra ta có bất phương trình :
Mà

x 18 - x
+

£ 4 Û 4x + 90 - 5x £ 80 Û x ³ 10
5
4

0 < x < 18 Þ 10 £ x < 18.

Vậy quãng đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h là x (km) thỏa mãn

10 £ x < 18.