de thi HSG lop 8 nam 0809 dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>đề thi học sinh giỏi</b>

<i><b> </b></i>

<b>Bài 1: (2 điểm) </b>

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

1.

<i>x</i>

2



7

<i>x</i>



6

2.

<i>x</i>

4



2008

<i>x</i>

2



2007

<i>x</i>



2008

<b>Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: </b>

1.

<i>x</i>

2



3

<i>x</i>



2

<i>x</i>



1 0

_

2.





2 2 2

2

2 2

2 2

1

1

1

1

8

<i>x</i>

4

<i>x</i>

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











 





























 













 



<b>Bµi 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta cã: (a+b+c)(</b>

1

_

1

_

1

)

_

9

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

3.

T×m sè d trong phÐp chia cđa biĨu thøc



<i>x</i>

_

2

 

<i>x</i>

_

4

 

<i>x</i>

_

6

 

<i>x</i>

_

8



_

2008

cho ®a thøc

<i>x</i>

2



10

<i>x</i>



21

.

<b>Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ ờng cao AH (H</b>

BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC

tại E.

1.

Chng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo

<i>m AB</i>

_

.

2.

Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

3.

Tia AM cắt BC tại G. Chng minh:

<i>GB</i>

<i>HD</i>

<i>BC</i>

<i>AH HC</i>

.

<b>Bài 1</b> <b>Câu</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>1.</b> <b>2,0</b>

<b>1.1</b> <i><b>(0,75 điểm)</b></i>

2

₇

₆

2

₆

₆

₁

₆

₁

<i>x</i>



<i>x</i>

 

<i>x</i>

 

<i>x</i>

<i>x</i>

 

<i>x x</i>





<i>x</i>







<i>x</i>



1

 

<i>x</i>



6



0.5
0,5

<b>1.2</b> <i><b>(1,25 ®iĨm)</b></i>

4 2 4 2 2

2008

2007

2008

2007

2007

2007 1

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>





<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>





0,25



 



2





4 2

_{1 2007}

2

₁

2

₁

2

₂₀₀₇

2

₁

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





 

 









 

0,25



2

 

2





2

 

2

 

2



1

1

2007

1

1

2008

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



 







 



 





0,25

<b>2.</b> <i><b>2,0</b></i>

2.1 ₂

3

2

1 0

<i>x</i>



<i>x</i>

 

<i>x</i>





(1)

+ NÕu

<i>x</i>

_

1

: (1)

_



<i>x</i>

_

1



2

_{ }

0

<i>x</i>

_

1

(tháa m·n ®iỊu kiƯn

<i>x</i>

_

1

).

+ Nếu

<i>x</i>

_

1

: (1)



<i>x</i>

2



4

<i>x</i>

  

3 0

<i>x</i>

2



<i>x</i>



3



<i>x</i>



1



 

0



<i>x</i>



1

 

<i>x</i>



3





0



<i>x</i>



1;

<i>x</i>



3

(cả hai đều không bé hơn 1, nên b loi)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất lµ

<i>x</i>

_

1

.

0,5
0,5
2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1

1

1

1

8

<i>x</i>

4

<i>x</i>

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











 





























 













 



(2)

Điều kiện để phơng trình có nghiệm:

<i>x</i>

_

0

(2)





2 2

2

2 2

2 2

1

1

1

1

8

<i>x</i>

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

4

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>











 

 





_



_



_



_{ }





_{ }





_













 



_

 





_









2

2 2

2
2

1

1

8

<i>x</i>

8

<i>x</i>

<i>x</i>

4

<i>x</i>

4

16

<i>x</i>

<i>x</i>











_



_



_



_



















0

8

<i>x</i>

<i>hay x</i>







và

<i>x</i>

_

0

.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm

<i>x</i>

_

8

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>3</b> <i><b>2.0</b></i>
3.1 Ta cã:

A=

(

_

_

)(

1

_

1

_

1

)

_

1

_

_

_

_

1

_

_

_

_

1

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

=

3

(

)

(

)

(

)

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a</i>













Mµ:



2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

(BĐT Cô-Si)

Do ú A



3



2



2



2



9

.

Vy A



9

0,5

0,5
3.2 Ta có:

 

 

 





2

 

2



( )

2

4

6

8

2008

10

16

10

24

2008

<i>P x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

























Đặt

<i>t</i>

_

<i>x</i>

2

_

10

<i>x</i>

_

21 (

<i>t</i>

_

3;

<i>t</i>

_

7)

, biểu thức P(x) đợc viết lại:



 



2

( )

5

3

2008

2

1993

<i>P x</i>

 

<i>t</i>

<i>t</i>





 

<i>t</i>

<i>t</i>



Do đó khi chia

<i>t</i>

2

_

2

<i>t</i>

_

1993

cho t ta có số d là 1993

0,5

0,5

<b>4</b> <b>4,0</b>

4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:

Gãc C chung.

<i>CD</i>

<i>CA</i>

<i>CE</i>



<i>CB</i>

(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).

Suy ra:



<i>_BEC</i>

_



<i>_ADC</i>

_

₁₃₅

0(v× tam giác AHD vuông cân tại H theo
giả thiết).

Nờn

<i>_AEB</i>



₄₅

0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:

2

2

<i>BE</i>



<i>AB</i>



<i>m</i>

1,0

0,5
4.2

Ta cã:

1

1

2

2

<i>BM</i>

<i>BE</i>

<i>AD</i>

<i>BC</i>

 

<i>BC</i>

 

<i>AC</i>

(do

<i>BEC</i>

<i>ADC</i>

)

mà

<i>AD</i>



<i>AH</i>

2

(tam giác AHD vuông vân tại H)

nªn

1

1

2

2

2

2

<i>BM</i>

<i>AD</i>

<i>AH</i>

<i>BH</i>

<i>BH</i>

<i>BC</i>

 

<i>AC</i>

 

<i>AC</i>



<i>AB</i>



<i>BE</i>

(do



<i>ABH</i>





<i>CBA</i>

)

Do đó

_

<i>BHM</i>

_

_

<i>BEC</i>

(c.g.c), suy ra:

<i>_BHM</i>



_



<i>_BEC</i>

_

₁₃₅

0

_

<i>_AHM</i>



₄₅

0

0,5
0,5
0,5
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Suy ra:

<i>GB</i>

<i>AB</i>

<i>GC</i>



<i>AC</i>

, mµ







//



<i>AB</i>

<i>ED</i>

<i>AH</i>

<i>HD</i>

<i>ABC</i>

<i>DEC</i>

<i>ED AH</i>

<i>AC</i>



<i>DC</i>









<i>HC</i>



<i>HC</i>

0,5

Do đó:

<i>GB</i>

<i>HD</i>

<i>GB</i>

<i>HD</i>

<i>GB</i>

<i>HD</i>

</div>

<!--links-->