chuyªn ®ò 1 c¸c bµi to¸n liªn quan ®õn hµm sè a lý thuyõt 1 §ióm thuéc ®å thþ ax1 y1 d y ax b y1 ax1 b ax1 y1 p y ax2 y1 a 2 kho¶ng c¸ch kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®ióm ax1 y1 bx2 y

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

chuyên đề 1: Các bài toán liên quan đến hàm số

<b>A. Lí thuyết.</b>

<i><b>1.</b></i> <i><b>Điểm thuộc đồ thị</b></i>

A(x1, y1)



(d) y= ax +b



y1= ax1 +b

A(x1, y1)



(P): y = ax2



y1 = a
2
1

<i>x</i>

<i><b>2.</b></i> <i><b>Khoảng cách </b></i>

Khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1) ; B(x2, y2) lµ AB =

2 2

1 2 1 2

(

<i>x</i>



<i>x</i>

)



(

<i>y</i>



<i>y</i>

)

Khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1) ; O(0, 0) lµ OA=

2 2

1 1

<i>x</i>



<i>y</i>

<i><b>3.</b></i> <i><b>Toạ độ trung điểm M của AB là</b></i>

1 2

1 2

2

2

<i>M</i>

<i>M</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>









<i><b>4.</b></i> <i><b>Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng</b></i>

(d1) y= a1 x +b1

(d2) y= a2 x +b2

+d1//d2



a1 = a2, b1



b2

+d1trïng víi d2



a1 = a2, b1 = b2

+d1c¾t d2



a1



a2

+ d1



d2



a1 . a2=1

<b>5.</b> <i><b>Vị trí tơng đối của (P) y = ax</b><b>2</b><b>_{và (d) y= mx +n là:}</b></i>

Phơng trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d) là:
ax2_{= mx +n}



ax2_{mx +n =0 (*)}

Phơng trình (*) là pt bËc hai cã





2

4

<i>m</i>

<i>an</i>

  



+NÕu



< 0



pt (*) V« nghiƯm



(P ) và (d) không có điểm chung
+Nếu

= 0



pt (*) Cã nghiƯm kÐp



(P ) vµ (d) tiÕp xóc

+NÕu



> 0



pt (*) Cã 2 nghiệm phân biệt

(P ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

<i><b>6. Tớnh ng bin nghch biến </b></i>

+ Hàm số y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a< 0

+ Khi a>0 hàm số y= ax2_{đồng biến với mọi x>0 và nghịch biến với mọi x<0}

+ Khi a<0 hàm số y= ax2_{đồng biến với mọi x<0 và nghịch biến với mọi x>0}

B. VÝ dô

<i><b>VÝ dô 1</b></i> : cho (P): y=x2

và đờng thẳng (d): y= mx+m2_-1

1) Tìm m để (P) và (d) khơng có điểm chung ?
2) Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc? Tìm tiếp điểm?

3) Tìm m để (P) cắt (d) tại Avà B? Tìm A, B trong đó điểm A có hồnh độ bằng 1 ?
a. Tính AB? Tìm M trên cung AB sao cho SMAB =3 ?

b. T×m SOAB = ? , POAB = ?

c. Tính khoảng cách từ O đến (d) khi đó ?

4) m = ? để (P) cắt (d) tại 2 điểm A , B sao cho: P= xA2 + xB2 + 5 , đạt GTNN ?

5) m= ? để (P) cắt (d) tại Avà B thoả mãn yA+ yB + xAxB =1 ?

6) Tìm m để (P) cắt (d) tại Avà B thoả mãn một điều kiện nào đó của xA, xB?

7) Tìm M thuộc cung AB trong đó A(1;1) và B(2;4) sao cho diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nht

<i><b>Ví dụ 2</b></i>

Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y= 2x2_{vµ (d) y=–3x +5}

1. Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đi qua hai điểm A(1;1) và B(-3;4)

2. Lập phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua M(1,-2) tiếp xúc với (P)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

4. Lập phơng trình đờng thẳng (d3)



(d) và tiếp xúc với (P)

4. Lập phơng trình đờng thẳng (d4) tiếp xúc với (P) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích là 1

5. Lập phơng trình đờng thẳng (d5) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ lần lợt là 1 và

1

2

6. Lập phơng trình đờng thẳng (d6) đi qua C(0;1) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 10

7. Lập phơng trình đờng thẳng (d7) //d và cắt (P) tại điểm có hồnh độ là -2

8. LËp phơng trình (d8) đi qua D( 0;2) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho

2 2

₁

<i>A</i> <i>B</i>

<i>x</i>



<i>x</i>



<i><b>VÝ dơ 3. ( §Ị thi vào THPT năm học 1997-1998)</b></i>

Trong h trc to Oxy cho ba điểm A(-

3

;6); B(1;0); C(2;8)
1,Biết điểm A nằm trên Parabol(P) có phơng trình y=ax2_{, xác định a}

2, Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua hai điểm B và C
3, Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) v Parabol (P)

<i><b>Ví dụ 4. ( Đề thi vào THPT năm học 1998-1999)</b></i>

a. Trờn h trc to v đồ thị các hàm số y=

2

2

<i>x</i>

(P) vµ y=

3

2

<i>x</i>



(d)
b. Dùng đồ thị cho biết nghiệm của phơng trình

2

<i>x</i>

3

<i>x</i>

<i><b>Ví dụ 5. ( Đề thi vào THPT năm học 1999-2000)</b></i>

Cho hàm số y=2x2_(P)

1. V ũ thị hàm số (P)

2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (0;-2) và tiếp xúc với (P)

<i><b>VÝ dô 6. ( Đề thi vào THPT năm học 2002-2003)</b></i>

Cho hm số y= x+m (D). Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D)
a. Đi qua A(1;2003)

b. Song song với đờng thẳng x-y +3=0

c. TiÕp xóc víi Parabol y=

2

1

4

<i>x</i>

<i><b>VÝ dụ 8. ( Đề thi vào THPT năm học 2003-2004)</b></i>

Cho hµm sè y=2x2_{(P) vµ y=2(a2)x}
-2

1

2

<i>a</i>

a. Tìm a để (d) đi qua A(0;8)

b. Khi a thay đổi xét số giao điểm của (P) và (d) tuỳ theo giá trị của a
c. Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng

3

<i><b>VÝ dô 9. ( Đề thi vào THPT năm học 2004-2005)</b></i>

Trờn mt phng toạ độ Oxy cho Pa rabol (P) :y=2x2_{, một đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua I(0;2)}

1. Viết phơng trình (d)

2. CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

3. Gi honh giao điểm của A và B là x1 và x2. CMR: 1 2

2

<i>x</i>



<i>x</i>



<i><b>VÝ dơ 10. ( §Ị thi vào THPT năm học 2005-2006)</b></i>

Cho hm s: y= (2m-3) x +n-4 (d) (m



3

2

₎
1. Tìm giá trị của m và n để đờng thẳng (d)

a. §i qua A(1;2) ; B(3;4)

b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ y=3

2

-1 và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ

<i>x</i>

 

1

2

2. Cho n=0, tìm m để (d) cắt dờng thẳng (d’) có phơng trình x-y+2=0 tại điểm M(x;y) sao cho biểu thức P =y2_-2x2_t

giá trị lớn nhất.

<i><b>Ví dụ 11. ( Đề thi vào THPT năm học 2006-2007)</b></i>

Trong h trc to Oxy, cho đờng thẳng (d): y=x +2 và Parabol (p) : y= x2

1. Xác định tọa độ hai giao điểm A và B của (d) và (P)

2. Cho điểm M thuộc (P) có hồnh độ là m (với -1



m



2). CMR SMAB



27

8

<i><b>VÝ dô 12. ( Đề thi vào THPT Hà Nội năm học 2006-2007)</b></i>

Tỡm to độ hai giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y=2x +3 và y= x2_{. Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vng góc của}

A và B trên trục hoành. Tính SABCD

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) : y= 2(m–1) x–(m2_{–2m) và đờng Parabol (P) : y=x}2_.

1.Tìm m đẻ đờng thẳng d đi qua gốc toạ độ 0
2. Tìm toạ độ của (d) và (P) khi m=3

3. Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm có tung độ y1 và y2 thoả mãn 1 2

8

<i>y</i>

<i>y</i>

<i><b>Ví dụ 14. ( Đề thi vào THPT năm học 2008-2009)</b></i>

Cho hm s bc nht y= (m –2) x + m +1 (m là tham số )
1. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến;
2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua M(2; 6);

3. Đồ thị cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc toạ độ ). Gọi H là chân đờng cao hạ
từ O của tam giác OAB. Xác định giá trị của m, biết OH=

2

C. Bµi tËp

<b>Bài 1:</b> Cho (P ) : yx vµ (d) : y2 2x 1

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Chứng minh rằng: (P) và (d) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất.
c) Xác định toạ độ giao điểm giữa (P) và (d).

<b>Bài 2: Cho </b>(P ) : ymx (m2 0), m là tham số và (d): y = ax + b
a) Tìm a và b biết rằng (d) đi qua A( –1; 3) và B(2 ;0)

b) Tìm m sao cho (P) tiếp xúc với (d) vừa tìm được. Tìm toạ độ giao điểm tiếp xúc của (P) và (d).
<b>Bài 3: Cho </b>(P ) : yx ; (d) : y2 m x

a) Vẽ (P).

b) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Vẽ (d),xác định toạ độ của A và B khi m = 2
c) Tìm giá trị của m để (d) tiếp xúc với (P).

<b>Bài 4: Cho </b>

(P ) : y



ax vµ (d) : y

2

 

x

m (m lµ tham sè)

a) Xác định a để (P) đi qua điểm A( 2; 1). Vẽ (P) với a vừa tìm được.
b) Tìm m để (d) khơng cắt (P).

c)Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
d) Tìm m để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất.

e) Xác định toạ giao điểm tiếp xúc của (P) và (d).
f) Xác định m để (P) và (d) có ít nhất một điểm chung.
g) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = – 3.
<b>Bài 5: Cho </b>(P ) : y x ; (d) : y2 2xm2 8 ( mlµ thamsè )

a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m =

5

b) Tìm m để (P) và (d) có ít nhất một điểm chung.

<b>Bài 6:</b> Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol

(P ) : y



x và đ ờngthẳng(d) : y

2

x

2

a) V đồ thị của (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
c) Từ A và B vẽ AH



_xx’;BK



_{x’x.Tính diện tích của tứ giác AHBK.}
<b>Bài 7: Cho hàm số y = ax</b>2_{có đồ thị (P)}

a) Tìm a biết rằng (P) qua A(1 ; –1). Vẽ (P) với a vừa tìm được.

b) Trên (P) lấy B có hồnh độ bằng –2 . Viết phương trình của đường thẳng AB và tìm toạ độ giao điểm D của
đường thẳng AB và trục tung.

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng (d)
và (P). ( C khác O).

<i><b>Bµi 8</b><b>.</b></i>

Cho (P): y = x2

1. Vẽ (P) trên hệ trục Oxy.

2. Trên (P) lấy hai điểm A và B có hồnh độ lần lượt là 1 và 3. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
3. Lập phương trình đường trung trực (d) của AB.

4. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

5.Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; 3 trên trục hoành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) lần lượt là đồ thị của các hàm số

2

x

y ; y x 1

4

  

.
a) Vẽ (P) và (d).

b) Dùng đồ thị để giải phương trình

x

2



4x 4 0

 

và kiểm tra lại bằng phép toán.

c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ là - 4. Tìm giao điểm cịn lại của

(d1) với (P).

<i><b>Bµi 10</b><b>.</b></i>
Cho (P): y =

2

1_x

4 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có hồnh độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).

b) Viết phương trình đường thẳng (d).

c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong khoảng từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện
tích lớn nhất.

<i><b>Bµi 11</b><b>.</b></i>

.Cho (P): y = ax2

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(1; 1). Hàm số này đồng biến, nghịch biến khi nào.

b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ m ( m ≠ 1). Viết phương trình (d) và tìm m để
(d) và (P) chỉ có một điểm chung.

<i><b>Bµi 12</b><b>.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) và đường thẳng (d</b></i>1):

y = -2(x+1)
a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1).

b) Tìm a trong hàm số y = ax2_{có đồ thị là (P) qua A.}

c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vng góc với (d1).

d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung.

Tìm tọa độ của B và C. Tính diện tích của tam giác ABC.
<i><b>Bµi 14</b><b>.</b></i>

.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2_.

a) Vẽ (P).

b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là – 1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).

</div>

<!--links-->