Chuyen de giai phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (130.32 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1.Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình về phương trình bậc n đối với ẩn 
phụ:

1.1 Một số dạng phương trình thường gặp:

Dạng 1: a f(x)b.n f(x)c0 (1)
Đặt t = n f(x)

(1) trở thành: atn + bt + c = 0

Tìm t -> tìm x

VD1: Giải phương trình:
x2 +2x +12 =

4
4
2

6 2


 x

x s

Đặt t = 2 2 4 4

 x

x (Điều kiện cần t  0)

Phương trình trở thành: t2 – 12t + 20 = 0

<=> [ 10
2



t

t  Tìm x

Tập nghiệm: S = {-8; -2; 0; 6}
VD2: Giải phương trình: 3x – 4 = 51 2x



Đặt t = 51 2x

Phương trình trở thành: 3t2 + 2t +5 = 0

<=> t = -1

 Tìm x.

Dạng 2: (f(x) + g(x)) + ( f(x)  g(x))  2 f(x).g(x) + = 0
Đặt t = f(x)  g(x)

 t2 = f(x) + g(x)  2 f(x).g(x)

 Phương trình trở thành:  t2 +  t +  = 0

VD3: Giải phương trình:

3 2 x- 2 x3 = 5x + 12 6 x x2 - 30 = 0

ĐK: -3x2

Đặt t = 3 2 x- 2 x3
 t2 = 30 – 5x – 12 2

6 x x

Phương trình trở thành: t = -t2

<=> [ 0
1



t

t Tìm x.

Dạng 3:  n f(x) +  2n f(x).g(x) +  n g(x) = 0 ; n = 1,2,3,…

Cách 1: Chia cả 2 vế cho n g(x) , ta được phương trình:

 t2 +  t +  = 0

Cách 2: Đặt 2n f(x) = t2n g(x) (f(x), g(x) 0)…

Ta được phương trình: n g(x)( t2 +  t + ) = 0

VD1: Giải phương trình:

x2 - 3x +1 =

2
4


x
x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cách 1: <=>2
1
1
2
2




x
x
x
x

-
1
1
x
2
2




x
x

x - 1 = 0 Do x2 + x+ 1 >0 x

Đặt t =

1
1
x
2
2




x
x
x

Phương trình trở thành: 2t2 – t – 1 = 0

=>t => Tìm x
Cách 2: Đặt x2- x 1

 = t x2  x 1

Ta có x2 x 1



 (2t2 – t – 1) = 0

VD2: Giải phương trình:

3 1



x + 33 3


x = 46 2 2 3


 x

x

ĐK: [ 3

1



x
x

Dễ thấy x = 3 không phải là nghiệm của phương trình.
+) Với x > 3 Phương trình  3

3
1


x
x

- 6

3
1
4


x
x

+3 = 0
Đặt t = 6

3
3


x
x

(Đk cần t0)

Ta có t2 – 4t +3 = 0

+) Với x  -1 Phương trình  3

3
)
1
(



x

x + 6
3
)
1
(
4
x
x




 +3 = 0

Đặt t = 6

3
)
1
(
x
x



 Ta có:

t2 +4t +3 =0
 Tìm t

 Tìm x.

1.2 Một vài ví dụ khác:
VD1: Giải phương trình:

9x2 – 8x +1 = 2 2x 1

Đặt t = 2x 1 (t  0)

Phương trình trở thành: 9t4 +2t2 – 8t –3 = 0
 t = 1

 Tìm x.

VD2: Giải phương trình:
x +
4
1
2
1


 x

x = 9

Đặt t =

4
1



x (t  0)
 Tìm t

 Tìm x.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2x 3x 2 + 5 3x 2 = x + 16

Đặt t = 3x 2 (t  0)
 x =

3
2

2 

t

Phương trình bậc 3 ẩn t  Tìm x.

VD4: Giải phương trình:
x +

2


x
x

= 1235

Điều kiện có nghiệm x > 1
Đặt t = 1x

Phương trình trở thành: 1t + 1 2

1
t

 = 12

35
 12(t + 1 t2

 ) = 35t 1 t2

Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình về phương trình dối với ẩn phụ, còn 
ẩn phụ ban đầu coi là tham số:

VD1: Giải phương trình:

(1+x) x 1 +1 = 2x

Đặt t = x 1 (t  0)

Phương trình trở thành:

t2 – (1+x)t + x = 0


[

1


t

x

t  Tìm x.

VD2: Giải phương trình:

2x2 +2 – (3x - 1) x2 = 0

Đặt t = x2 (t  0)

Phương trình trở thành: t2 – (3x - 1)t + 2x2 – x = 0


[

2 1


x
t

x

t  Tìm x.

Sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình tích:
VD1: Giải phương trình:

8
7
2 2


 x

x - x = x – 2

ĐK: x  0

Phương trình  2(x 2)2 x = x – 2 + x

Đặt    2


x
u

x
v

Ta có: 2u2 v2

 = u + v


[



u

v

u 

[

2
2
2




x
x

VD2: Giải phương trình:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đặt



1
3

2





x
u

x
v

Ta có: u2 +3v - 9 = uv
 ( u – 3 )( u + 3 – v ) = 0



[




u

v

u 

Tìm x.
VD3: 3 1



x + 3 2


x = 3 2 1


x

Đặt



3
1
2




x
u

x
v

Ta có: u + v = 3 u3 v3



 uv(u+v) = 0  Tìm x.

VD4: Giải phương trình:

(x+1) x1 - (x + 2) 1 x + 1 x2 -2 = 0

ĐK: -1  x  1

Đặt:  1







x
u

x

v (u 0, v 0 )  u2 + v2 = 1

Ta có: u3 – (u+1)v + uv - 2 = 0
 (u2 + v)(u - v - 1) = 0
 Tìm x.

Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
VD1: Giải phương trình:

x + 2

4 x = 2 + 3x 4 x2

ĐK: -2  x  2

Đặt y = 4 x2

 Ta có hệ phương trình:



4
3

2
2
2 





y
x

xy
y

x  Tìm x,y

Tổng quát dạng:

1.1 F(x, n a xn

 ) = 0 (n = 2,3,…)

Đặt y = n a xn


Hệ phương trình đối xứng loại I đối với x, y

1.2 F(n f(x),n g(x)) = 0 , trong đó f(x) + g(x) = k,

Với F(u,v) = F(v,u)

Đặt



n

x
f
u

x
g
v

)
(




=> Hệ phương trình đối xứng loại I đối với u,v
VD2: Giải phương trình:

x2 – 4 = 16 2x1
 x2 – 4 = 8 8x4

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có hệ phương trình:

{

4

8

2

8

4

2 y

x

y









 Tìm x,y

Tổng quát: Phương trình dạng:
2.1 xn = an ax b

 +b

=> Đặt y = n axb

=> hệ phương trình đối xứng loại II đối với x, y
2.2 n ax b

 = c(dx + e)n +  x +

Trong đó

 






ac
d

bc
e

Đặt n ax b

 = dy +e Ta có hệ phương trình



    





x

e
dx
c
e
dy

b
ax
e

dy

n
n

)
(
)
(





c dx e ac d x dy bc

bc
acx
e

dy
c

n
n











)
(

 d(x-y).f(x,y)=0
 Tìm x,y …

VD3: Giải phương trình:

x2 +6x – 14 = 98 35x 6x2




Đặt x2 +6x – 14 = t (t  0)
 98 – 35x – 6x2 = x – 6t +14

Ta có hệ phương trình:

 6 14

14
6

2
2











x
t
x

t

x
t

 Tìm t, x.

Tổng quát phương trình dạng:

ax2 + bx + c = px qx r




2 (ap  0)

Trong đó:

p = -b
q =

a
b2

1

r =  c(1ab)
Đặt t = ax2 + bx + c , t  0

Ta có hệ phương trình:

ax2 + bx + c = t

at2 + bt +c = x
 Tìm t, x.

VD4: Giải phương trình:

3 2



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Đặt



3 2







x
u

x
v

Ta có hệ phương trình:
u + v = 3

u3 – v2 = -3

 Tìm u, v.  Tìm x

Tổng quát: Phương trình dạng:

n f(x)

 + m g(x) + = 0

Trong đó : af(x) + bg(x) = c
Đặt



n

m

x
f
u

x
g
v

)
(




Ta có hệ phương trình:

   0







u v

c
bv
aun m

 Tìm u, v.  Tìm x

VD5: Giải phương trình:

2
3



 x

x + 2 1


x

x = 4x – 3

ĐK:

 3 2 0

0
1
2









x
x

Đặt



3 2
1

2
2









x
x
u

x
x
v

Ta có hệ phương trình:
u +v = v2 – u2

 (u + v)(u – v +1) = 0

 Tìm u, v.  Tìm x

Tổng quát:

)
(x

f  g(x) = (f(x) g(x))

VD6:

1
2 2



x + 2 3 2


 x

x = 2 2 2 3


 x

x + x  x2

ĐK:
Đặt:

u = 2 2 1


x

v = 2 3 2

 x
x

w = 2 2 2 3

 x
x

t = x  x2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



u v w t
t
w
v
u







 2 2 2





uu vv ww tt








 hoặc u+v = 0





uv wt



  Tìm x

Tổng quát phương trình dạng:
)

(x

f - g(x) = h(x) - k(x)
Trong đó : f(x) – g(x) =  (h(x) – k(x))

Phương trinh lượng giác hóa:

VD1: Giải phương trình

1  x = x(1+2 1 x2 )

ĐK: x 1

Đặt x = sint , t ]
2
,
2
[  


Phương trình trở thành:

t
cos

1 = sint(1+ 2cost)
 Tìm t

 Tìm x

VD2: Giải phương trình:

x
x




1
1

+ xx




1
1

+ 4x = 0
ĐK: -1  x  1

Đặt x = cos2t , t ]
2
,
0
[ 


Phương trình trở thành:

t
t

2
cos
1




+ 11 coscos22tt




+ 4cos2t = 0

 Tìm t  Tìm x

Tổng quát: Phương trình chứa a x2

 có thể

Đặt x = asint , t ]
2

,
2
[  


Hoặc x = acost , t[0,]

Phương trình chứa a x2 có thể

Đặt x = a tant , t )

2
,
2
(  


Hoặc x = a cott , t(0,)
Phương trình chứa aa xx




hoặc aa xx




</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>

Chuyen de giai phuong trinh

[

[

[

[



[







{

4

8

2

8

4

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

























Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về