Cuc tri trongHHKG toa do

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn )

Bài Tốn 3

<b> Bài tập ï : Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng </b>























t2

z

t

2

y

t

1

x

:d

. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng ()

có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất
Lờ giải tham khảo.

Caùch 1: Phương pháp hình học.

Gọi ()là đường thẳng qua A và cắt d; ()và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d).

Goïi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên ()thì BK _ (). Vậy BK

chính là khoảng cách từ B đến ().

* Trong tam giác vuông BKH thì BK BH nên BK ngắn nhất khi K H. Khi ấy ()đi qua

hai

điểm A và H.

*Trong tam giác vng BKA thì BK BA nên BK lớn nhất khi K A. Khi ấy ()đi qua A

,

nằm trong (P) và vng góc với BA
a) Trường hợp d(B, ()nhỏ nhất.

Phương trình mp(P)= mp(A,d).

VTCP của d là a_d (1;1;2)

 


. Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và AM (0;6;2)

 


.
Do đó VTPT của mp (P) là n a_d ,AM_ (10;2;6)









 

 

 


. Ta chọn _n ₍₅_;₁_;₃₎

 


.
Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0  5x-y+3z-7 = 0.

Gọi H là hình chiếu của B trên (P). Ta dễ dàng tìm được )
35
146
;
35
68
;
7
5
(

H  . Như thế véctơ chỉ

phương của ()là )
35
76
;
35
72
;
7
12
(
AH  

 


. Chonï VTCP của ()là _a  _₍₁₅_;₁₈_;_₁₉₎.

Ta đựơc phương trình của ():

19
2
z
18

4
y
15

1
x








b) Trường hợp d(B, ()lớn nhất

Trường hợp nầy thì () nằm trong (P) , đi qua A và vng góc với BA.

Ta coù AB (2;2;2)

 


; VTPT của (P) là n (5;1;3)

 


. Do đó VTCP của ()là:









 

 

 


n
,

AB

a =(-4;16;12) . Choïn

)
3
;
4
;
1
(
a  

 


Ta được phương trình đường thẳng

3
2
z
4

4
y
1

1
x
:

)

(    





Cách 2: Phương pháp giải tích.

Gọi M = d



() thì M( 1-t;-2+t;2t) và ()có VTCP là _AM  _₍__t_;_t_ ₆_;₂_t_ ₂₎.

Ta có: AB (2;2;2)

 


. Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng ()là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

20
t
10
t
3

208
t
152
t
28

40

t
20
t
6

416
t
304
t

56
AM

AB
,
AM

d ₂

2
2

2

























 


 

 


Xét hàm số

20

t
10
t
3

208
152
t
28
d
)
t
(

f ₂

2
2








 .

Ta có 2 2

2

)
20
t
10
t
3
(

)
60
t
8
t
11
(
16
)
t
(
'
f







 . f ’(t)= 0  t = -2 hoặc t= 30/11.

Bảng biến thiên:

Ta thấy: max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5 khi t = 30/11.
Với max f(t) = max d2_{= 12 , ta có max d=} ₁₂ _{khi t=-2 cho}

)
6
;
8
;
2
(
AM   

 


. Chọn VTCP
của()là  _a _₍₁_;_₄_;_₃₎ ta được phương trình

3
2
z
4

4
y
1

1
x
:
)
(











Với min f(t)= mind2_{= 4/15 , ta có min d=}

15
2

khi
11
30

t  cho 













 


11
38
;
11
36
;
11
30
AM

Chọn VTCP của ()là  _a _₍₁₅_;₁₈_;_₁₉₎. Ta được phương trình của ()là:

19
2
z
18

4

y
15

1
x








Hết bài toán 3 (GV Nguyễn Ngọc Ấn)
Trang 8

t
f’(t)
f(t)

- -2

₁₁

+

3

0 - 0

+ +

3

28

12

28

₃

</div>

<!--links-->