Chuyên đề giới hạn của dãy số - Huỳnh Ái Hằng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.72 MB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tác giả:HUỲNH ÁI HẰNG (Huế) Biên tập:Lê Bá Bảo (Huế)

CHUYÊN ĐỀ:

GIỚI HẠN

Chủ đề 1:

I- LÝ THUYẾT:

1.ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số

   

un , vn . Nếu ;

lim 0

n n

n

u v n

v

   









thì limun0.

2.CÁC PHÉP TỐN: Giả sử limun  L , limvnM và c là một hằng số. Khi đó:









 





* ;

* lim lim . .

* lim . . lim 0

n n n n

n
n

n

u v L M u v L M

u L

c u c L M

v M

   

  

Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS

Một dãy số tăng và bị chặn trên ( hoặc giảm và bị chặn dưới ) thì có giới hạn.
Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA)

Cho 3 dãy số ( ), ( ),un vn (wn) với: vn unwn ;  n *.

Lúc đó: lim lim

lim
n

n
n

v A

u A

w A

  

 

  



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

*CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:

* limc c ,



c



3
3
lim
lim

lim
n
n

n

u L

 


  




* lim 0 vµ lim
0

n

n
n

u L

L u L

u n

 

  

  


* Tổng cấp số nhân lùi vô hạn



q 1



: 2 1

1 1 1 ...

u
S u u q u q

q
    



* lim n lim 1 0
n
u

u
   

1 1 1

lim 0; lim 0; lim 0;

n  n  n 

* limqn 0 nếu q 1
*lim 1 0





k k

n   Mở rộng: lim k 0

c
n 

* limn ; lim n ; lim3n 
* limqn  nếu q1

* limnk  ,



k*



3. MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:

limun  , limvn   limun  , limvn  L 0 limun L 0, limvn0
limun limvn limu vn. n limun Dấu L limu vn. n Dấu L Dấu vn

lim n
n
u
v















































II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1. Với k là số nguyên dương thì lim 1k

n bằng

A. . B. . C. 0 . D. 1.

Hướng dẫn:





lim k 0, k

n   .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. lim1 lim 1k ;



k



n n  . B. lim 0

n

q  nếu q1.
C. limcc (c là hằng số). D. lim3 3 lim

n n

u  u .

Hướng dẫn:

limqn0 nếu q 1.

Lựa chọn đáp án B.

Câu 3. Cho dãy số

 

un thỏa mãn un 2 12
n

  với mọi n. Khi đó, limun có giá trị bằng
A. 2. B. 2. C. 0 . D. 1.

Hướng dẫn: 
Vì un 2 12

n

  và lim 12 0

n  nên lim



un 2



0. Vậy limun2.

Lựa chọn đáp án A.

Câu 4. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
A. 1

n . B.
1

n. C.

1
.
n

n


D. cosn
n .
Hướng dẫn:

1 1

limn lim 1 1 0

n n

 

     


 

 

  .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 5. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A. 3

2
n
 
 
 
 

  . B.
5
4

n
 
 
 
 

  . C.

2
3

n
 
 
 
 

  . D.

4
3

n
 
 
 
 
  .
Hướng dẫn:

Vì 1 2 1
3

   nên lim 2 0
3

n
 

  
 
 
  .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 6. Dãy nào sau đây khơng có giới hạn?
A. 2

3
n
 
 
 
 

  . B.
2
3

n
 
 
 
 

  . C.



0,99



n

 . D.

 

1n.
Hướng dẫn:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 7. lim

 

1
2

n

n


 có giá trị bằng
A. 1

2. B. 0 . C. 1. D.

1
2
 .
Hướng dẫn:

 

1 1 1

 

. Do lim 0 lim 0

2 2

n n

n n n n

 

   

  .

Lựa chọn đáp án B.

Câu 8. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
A. 1 .

3n B.

 

1
.
n

n


C. 5 .
4

n
 
 
 
 

  D. 2

2
.
n
Hướng dẫn:

Vì 5 1
4 nên

lim .

4
n
 

   
 

 
 

Lựa chọn đáp án C.

Câu 9. lim1 2
4

n

n


có giá trị bằng
A. 1

4. B.

1
4

 . C. 1

2. D.

1
2
 .
Hướng dẫn:

1
2

1 2 1

lim lim

4 4 2

n n

n



   

Lựa chọn đáp án D.

Câu 10. lim3 5
5

n n

n


có giá trị bằng

A. 1. B. 0 . C. 3

5. D.

8
5.
Hướng dẫn:

1
5
3 5

lim lim 1

1
5

n

n n

n

 
  
 


  

  .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 11.

7 5 1

lim

3.4 7

n n

  

 có giá trị bằng

A. 7. B. 0 . C. 1. D. 1
3.
Hướng dẫn:

5 1

7 7

7 5 1 7.7 5 1

lim lim lim 7

3.4 7 3.4 7 4

3. 1

n n

n n n n

n n n n n



   

 

   

           

   



 
 

Lựa chọn đáp án A.

Câu 12.

2
2 2

3 2

lim

3 3 2

n n n

π

π 

 

  có giá trị bằng

A. 1

3. B.

4. C. . D. 1.

Hướng dẫn:

2
2 2

3
1

4 4

3 2 3 4 1

lim lim lim

3 3 2 3 3 4.4 3

3 4

4 4

n n

n n n n n n

n n n n n n n n

π

π π

π  π π

   
    
   

 

          

         

 

 

   

 

   

Lựa chọn đáp án B.

Câu 13.

3
4

2 5

lim

2 2

n n

  

  có giá trị bằng

A. . B. 2. C. 0 . D. 6.
Hướng dẫn:

3 3 4

3 4

2 1 5

2 5

lim lim 0

2 2

2 2 1

n n n n n

n n

  

    

    .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 14. Gọi L lim 4 sin 3n
n

  thì L bằng số nào sau đây?

A. 0. B. 2. C. 2. D. 4.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta có sin 3n 1

n n

sin 3

lim n 0

n

  L lim 4 sin 3n 4 2

n

     .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 15.

4
4

2 1

lim

3 2

n n

 

 có giá trị bằng

A. 0 . B. 2

3. C. . D.

2
5.
Hướng dẫn:

4 3 4

1 1

2 1 2

lim lim

2 3

3 2 3

n n n n

n n

n

 

   

  .

Lựa chọn đáp án B.

Câu 16.

3 2

2 4

lim

2 3

n n

 

  có giá trị bằng

A. 2. B. 0 . C. . D. 2.

Hướng dẫn:

3 2 3 3

2
2

1 4 1 4

2 2

2 4

lim lim lim

2 3
2 3

2 3

1
1

n

n n n n n

n

n n

n

n n
n n

   

     

     

 

       

 

   

         




   

 

Lựa chọn đáp án C.

Câu 17.

















2 3

lim

1 2 5

n n

 

  có giá trị bằng
A. 0 . B. 1

2. C. 1. D. .

Hướng dẫn:













2
2

2 3 2 3

1 1 1 1

2 3 1

lim lim lim

1 5 1 5

1 2 5 1 2 1 2

n n

n n n n n n

n n n n

n n n n

      

          

      

        

       

            

      

   

      

Lựa chọn đáp án B.

Câu 18. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 12 ... 1 ...

5 5 5n

S     có giá trị bằng
A. 1

5. B.

4. C.

5. D.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hướng dẫn:

1 1 1

... ...

5 5 5n

S     là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1
5

u  và 1

5
q .

Khi đó,

1
1
5

1 4
1

S 



Lựa chọn đáp án B.

Câu 19. Cho các dãy số

       

un , vn , wn , αn với 3 21, 2 2

1 1 2

n

n n n

n

u v

n



 

  ,

2017
4

n n

w  ,

4 1

2017 2

n

n n

α  

 . Có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0 trong các dãy số trên?

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.

Hướng dẫn:

Có 3 dãy có giới hạn bằng 0 gồm      un , vn , wn .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 20. Biết lim4 1
2

n

a
n
 

 . Hỏi a là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x2 4 0. B. x25x 4 0. C. x25x 4 0. D.

2
4

5 4

x

x x





  .

Hướng dẫn: 
4 1

lim 4

2
n

a a
n

   

 . Lần lượt thế a4 vào các phương trình ở các phương án.

Lựa chọn đáp ánB.

Câu 21. lim 3



n3n21



có giá trị bằng

A.2. B. 1. C. . D. .
Hướng dẫn:



3 2



3
1 1
lim 3n n 1 limn 3

n n

 



       

  .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 22.



2 2



lim n  n n 2 có giá trị bằng

A. 0 . B. 1. C. . D. 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>







 



2 2

2 2 2 2

2 2

lim 2 lim lim

2 2

n n n n

n n n

n n n n n n

   

    

     

2
2

1 1

lim

1 2

1 1

n

n n



 

  

Lựa chọn đáp án D.

Câu 23. lim



n2 n n22



có giá trị bằng

A. 1 2. B. . C. 1. D. .

Hướng dẫn:



2 2



1 2

lim n n n 2 lim n 1 1

n n

  

  

          

 

 

 

 

Lựa chọn đáp án D.

Câu 24.

2
2

2
lim

4 2

n n n

n n n

 

  có giá trị bằng

A. 4. B. 2. C. 1

 . D. 1

2.
Hướng dẫn:

















2 2 2

2
2

2 4 2

lim

4 4 2

2
lim

4 2

n n n n n n

n n n n n n

n n n

n n n

   

 

    




1 1

2 4 2 2 4 2

2 2

1 1 1 1

lim lim =4.

n

n n

n

n n

   

   

       

   

 

   

    

 

   

       

   

 

   

Lựa chọn đáp án A.

Câu 25. lim



3n13n



có giá trị bằng

A. 0 . B. 1. C. . D. .

Hướng dẫn:









 





 

3
3

3 3

3 3 3 3

1 1

lim lim 0

lim 1

1 ( 1) 1 ( 1)

n n

n n n n n n n n

 

  

 

 

     

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Câu 26. lim1 3 5 ... (22 1)

3 2

n
n

    

 có giá trị bằng

A. 0 . B. 1. C. 1

3. D. .

Hướng dẫn:

1 3   5 ... (2n1) là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có u11, un2n1 và cơng
sai d2.

Do đó 1 3 5 ... (2 1) 1



2 1



2
2

n

n  n  n

          .
Suy ra

2 2

1 3 5 ... (2 1) 1 1

lim lim lim

2 3

3 2 3 2

n n

n

       

   .

Lựa chọn đáp án C.

Câu 27.





1 1 1 1

lim ...

1.2 2.3 3.4 n n 1

 

 

     

 

  

  có giá trị bằng

A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.

Hướng dẫn:

Ta có:







Lựa chọn đáp án D.

Câu 28. Cho dãy

 

1
1
:

n n

n
n
u

u u

u

u

 

 

 



. Lúc đó, limun bằng

A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.

Hướng dẫn:

Dùng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được un 1 limun 0.
n

  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A. Nếu limun0 thì limun 0. B. Nếu limun   thì limun.
C. Nếu limun   thì limun . D. Nếu limun a thì limun a.

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì ln ln tăng hoặc ln ln giảm.
B. Nếu

 

un là dãy số tăng thì limun .

C. Nếu limun  và limvn  thì lim



unvn



0.
D. Nếu unan và   1 a 0 thì limun0.

Câu 4. Với a là một số thực, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu limuna và limvn  thì lim n 0

n
u
v  .
B. Nếu limuna và limvn thì lim n 0

n
u
v  .

C. Nếu limuna và limvn  thì lim



u vn n



 .

D. Nếu limun a 0 và limvn0 và vn0 với mọi n thì lim n
n
u

v  .

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Mọi dãy dương đều có giới hạn.
B. Mọi dãy tăng đều có giới hạn.
C. Mọi dãy giảm đều có giới hạn.

D. Mọi dãy là dãy khơng đổi đều có giới hạn.

Câu 6. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Mọi dãy bị chặn đều có giới hạn.

B. Mọi dãy tăng và bị chặn trên đều có giới hạn.
C. Mọi dãy giảm và bị chặn trên có giới hạn.
D. Mọi dãy tăng và bị chặn dưới đều có giới hạn.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

B. 1
1 2 ...

1
n

u

u u u

q

   

 .

C. 2 1

1 1 2 ... 1 ...

n u

u u q u q u q

q

     

 .
D. lim 1

1
n

u
S

q


 .

Câu 8. Để tính lim2.4 5 13
2 5

n n n

n n

 

 ta tiến hành
A. Chia cả tử và mẫu cho 2n

. B. Chia cả tử và mẫu cho 3n.
C. Chia cả tử và mẫu cho 4n. D. Chia cả tử và mẫu cho 5n

Câu 9.

 

5 2 1

lim

5.2 5 3

n
n




 

 

có giá trị bằng

A. 1
3

 . B. 1

5 . C.

2
5

 . D. 1

5
 .

Câu 10.

2 3

3 2

2 3

lim

2 4 1

n n



  có giá trị bằng

A. 3
2

 . B. 0 . C. 1. D. 3

Câu 11. lim







n n

n

 

 có giá trị bằng
A. 0 . B. 1

3. C. 1 . D. .

Câu 12.













2 3

4 2

2 2 1 4 5

lim

3 1 3 7

n n n n

n n n

  

   có giá trị bằng
A. 0 . B. 8

3. C. 1 . D. .

Câu 13.















3 2

2 3 1

lim

2 1 7

n n n

n n

 

  có giá trị bằng

A. 1. B. 3 . C. 3

 . D. .

Câu 14.







2
3 1
lim

1 1 2

n n

 

  có giá trị bằng

A. 0 . B. 1. C. 1

 . D. 1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 15. Tổng 1 1 1 ... 1 ...

2 4 2n

S      bằng

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6 .

Câu 16. Tổng

 

1
1

1 1 1

+...+ ...

2 4 8 2

n

n
S




 



    

  bằng

A. 1. B. 1

3. C.

3
.

4 D.

2
3.

lim n 2n 1 2n n có giá trị bằng

A. 1 2. B. . C. 1. D. .

Câu 22.





lim n 2n 3 n có giá trị bằng

A.1. B. 0 . C. . D. 1.

Câu 23.

9 2

lim

3 2

n n n

n

  

 có giá trị bằng

A. 1. B. 3 . C. 0 . D. .

Câu 24. lim 1 12 13 .. 1

3 3 3 3n

     

 

  có giá trị bằng
A. 1.

2 B.

1
.

24 C. . D. 1.

Câu 25.



2 2



lim 2n   n 1 2n 3n2 có giá trị bằng
A. 1

2 . B. 0 . C. . D.  .

Câu 26. lim 1 1

1 2

n n

 

  

 

    có giá trị bằng

A. 1. B. 0 . C. 1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 27.

2017 2016
2017 2015
lim

n n



 có giá trị bằng

A. 1. B. 1. C. 1

3. D. .

Câu 28.







1 1 1 1

lim ...

1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 3

 

   

 

   

  có giá trị bằng

A. 1

2. B. 1. C.

3. D. .

Câu 29. lim n



n 2 n3





  có giá trị bằng

A. 1. B. 0 . C. 5

2. D. .

Câu 30. Nếu limunL thì lim3 8
n

u  có giá trị bằng
A. L2. B. 3 L8. C. 3

L . D. L8.

Câu 31. Nếu dãy

 

un với un 0,  n  và limunL thì lim 1
9
n

u  có giá trị bằng
A. 1

L . B.
1

L . C.

1
3

L . D.

1
9
L .

Câu 32. Cho dãy số

 

un với limun3. Khi đó, lim2 4
1
n

n

u
u



 có giá trị bằng

A.4. B. 2. C. 5 . D. 1

Câu 33. Cho dãy số

 

un với limun . Khi đó, lim 2 2
1
n

n
u
u



 có giá trị bằng

A. 1. B. . C. 0 . D. 2.

Câu 34. Cho dãy số

 

un với un 2

 

2 2 ...

 

2 n. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề
sau:

 

2 2

lim 2 2 ... 2 ...

1 2
n

n

u      

 .
B. limun.

C. limun .

D. Dãy số

 

un khơng có giới hạn khi n .

Câu 35.

3
1
lim

8
n
n



 có giá trị bằng
A. 1. B. 1

2. C.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 36.

3 2

8 2 1

lim

2 1

n n

n

 

 có giá trị bằng

A. 2. B. 2. C. 1. D. .

Câu 37. lim 1 1 1 ...







1.4 4.7 7.10 3n 2 3n 1

 

   

 

   

  có giá trị bằng

A. 1

2. B. 1. C.

3. D. .

Câu 38. lim1.2 2.3 3.4 ...3





2016 2017

n n
n

    

 có giá trị bằng
A. 1

2017. B.

2016. C. . D. .

Câu 39. lim 3 ( 1) cos 3
1
n

n n

n

   

 

  

  có giá trị bằng
A. 3

2 . B. 3. C. 5 . D. 1.

Câu 40. lim 3 n 5n

 

  có giá trị bằng

A. 3 . B. . C. . D.  5.

Câu 41.

1
lim

n n

 

  có giá trị bằng

A. 1. B. 2. C. 0 . D. 1.

Câu 42.



3 3



lim n 2nn có giá trị bằng
A. 2

 . B. 1

3. C. 1. D. 0 .

Câu 43.



3 2 3



lim n n n có giá trị bằng
A. 1

3. B. . C. 1. D. 0 .

Câu 44. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
A.

2
2
1

3
n

n
u

n n




 B. 2

1 3
.
3
n

n
u

n n





C.

1 2

.
5
n

n
u

n




 D.

1 2
.
5
n

n
u

n





Câu 45. lim2 5 8 ...2



3n 1



n

    

có giá trị bằng
A. 1.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 46. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?
A.
2
2
2
.
3 3
n
n n
u
n n


 B.
1 2
.
3 3
n
n
u
n




C.
2
2
.
3 3
n
n
u
n


 D.
2
3
2
.
5
n
n
u
n n




Câu 47. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?
A.
2

2
3
.
2
n
n n
u
n n


 B.
2018 2017
.
1
n
n
u
n



C. un2017n2016 .n2 D. unn21.

Câu 48. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
A.
2
3
3 1
lim .
3 2

n
n


  B.

3
3
2 3
lim .
2 1
n
n

 
C.
2
3 2
3 1
lim .
3 3
n
n n


  D.

3
2
3

lim .
1
n
n

 

Câu 49. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A.
2
3
5 2
lim .
5 4
n
n


  B.

3
2
2 5
lim .
2 1
n n
n

 
C.

2 4
3 2
2
lim .
2
n n
n n


  D.

3
2
3 5
lim .
1
n
n



Câu 50. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
A.
2
3
2
lim .
4
n
n



  B.

3
2
2
lim .
2 1
n n
n


C.
2 3
3 2
3 2
lim .
2 4
n n
n n


  D.

4
2
3 2
lim .
2 1

n
n



Câu 51. Dãy số nào sau đây khơngcó giới hạn?
A. lim

 

1 sin

2
n π
nπ
  
    
  

 . B. lim sin

 

nπ .

C. lim cos
2
π
nπ
 
  
 
 

 . D. lim cos

 

nπ .

Câu 52. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1?

A. lim sin

 

nπ . B. lim cos

 

nπ .

C. lim sin 2
2 1
n
π
n
  
 
 
  

 . D. 2

cos 2
limn n

n


Câu 53. Biết lim4 1
1 2

n

M
n
 

 và 1

4 3
lim

2 4

n n

n m




 . Tích M m. bằng
A. 2. B. 2. C. 1

2. D.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu 54. Biết lim20172017 0

n  và 2017

2017

lim 0

n

 

. Khi đó, lim2017 sin 20172017



n



n bằng

A. 2017 . B. 2017 . C. 1 . D. 0.

Câu 55. Để tính lim1 2 3 ...2 n
n

   

, một học sinh làm như sau:
Bước 1: Ta có 1 2 3 ...2 n 12 22 32 ... n2

n n n n n

   

    .

Bước 2: Suy ra lim1 2 3 ...2 n lim 12 22 32 ... n2

n n n n n

 

         



 

 

 

Bước 3: Suy ra lim1 2 3 ...2 n lim 12 lim 22 lim 32 ... lim n2

n n n n n

   

    

Bước 4: Suy ra lim1 2 3 ...2 n 0 0 0 ... 0 0
n

         
.
Bạn học sinh đã giải đúng hay sai? Nếu sai thìsai thì bước nào?

A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bài giải đúng.

Câu 56. lim1 3 5 ... (22 1)

5 4

n

    

 có giá trị bằng
A. 0 . B. 1

 . C. 1

5. D. .

Câu 57. lim1 2 3 ...2
2

n
n
   

 có giá trị bằng

A.1. B. . C. 1. D. 1

2
 .

Câu 58.





2 2 2

lim ...

1.2 2.3 n n 1

 

 

    

 

  

  có giá trị bằng

A. 1

2. B. 2. C. 0 . D. .

Câu 59. Cho dãy

 





*
1

: 1

2
n

n

n
u

u

u n

u


 


   



 

. Lúc đó, limun bằng

A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1.

Câu 60. Cho dãy

 





*
1

1
2
:

3
n

n n

u
u

u  u n

 



  

 

. Lúc đó, limun bằng

A. . B. 2. C. . D. 1.

Câu 61.

2 2 2 2

1 2 3 ...
lim

4 2017
n
n

   

 có giá trị bằng
A. 1.

3 B.

1
.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Câu 62. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì ln tăng hoặc luôn giảm.
B. Nếu n

n

u a và a1 thì limun0.

C. Nếu limun 0 và limvn   thì lim( . ) 0u vn n  .
D. Nếu limun   thì lim2017 0

n
u  .

Câu 63. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
B. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
C. Nếu limun   và limvn   thì lim n 1

n
u
v  .
D. Nếu un anvà 2 a 1



   thì liman 0.

Câu 64. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu limun a và limvn b thì lim(unvn) a b.
B. Nếu limun   và limvn   thì lim(unvn) 0 .
C. Nếu un0 với mọi n và limvn a thì a0.

D. Nếu limun  2 và limvn2018 thì lim n 1009
n

v

u   .

Câu 65. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu limun a và limvn b thì lim n
n

u a

v b.
B. Nếu limun a thì lim un  a.

C. Nếu limun 5 và limvn 0 thì lim n
n
u

v  .
D. Nếu un an và a 2 thì limun  .

Câu 66. Cho dãy số

 

un với 2 4 6 ... 23

3 1

n

n
u

n n

   


  . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. limun 0. B. limun 2. C. limun 3. D. limun  .

Câu 67. Cho dãy số

 

un với

2
1

1 2 2 ... 2

2 3

n

n n

u      

 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. lim 1

2
n

u  . B. limun 1. C. limun  . D. limun  .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

A. limun 0. B. limun 5. C. limun 7. D. limun 2016.

Câu 69. Cho 1 1 1 ... 1 ...

2 4 2n

S      . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. S0. B. S1. C. lim 1

2
n

u  . D. limun  .

Câu 70. Cho S  1 2 22 ... 2n.... Khẳng định nào sau đây sai?
A. S .

B. Slim(1 2 2  2 ... 2 )n .

C. S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

D. S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân.

Câu 71. Cho dãy số

 

un có limun . Khẳng định nào sau đây sai?
A. lim 2 1

2 2

n

n
u

u


 . B.





1 1

lim

2 1

n

n
u

u



 .
C. lim



3un6



 . D.

2 1
1
lim

2 3 2

n

n
u
u
 

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh,

nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

I.

Luy

ệ

n Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá H

ọ

c Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS

lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần

Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh h

ọ

c t

ậ

p mi

ễ

n phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham

khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học và Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Chuyên đề giới hạn của dãy số - Huỳnh Ái Hằng

<b>CHUYÊN ĐỀ: </b>

<b>GIỚI HẠN</b>

<i><b>Chủ đề 1:</b></i>

<b> </b>

   









 





























 









 

 

 

 

 





























       



















 







































 