Gioi han

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (520.71 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số

 Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:



s inx

lim 1

x x  ; 0

lim 1

x

x
e

x







ln(1 )

lim 1

x

x
x



  ; 1

0 0

lim 1 lim(1 )

x

x
x x x x e

     

 

 



2
2

0 0

sin 1 cos

lim 1; lim , , 0

ax 2

x x

ax ax a

a R a

x

 



    ( * )( cái này có được vì sao? )

@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn

 Thí dụ 1. Tìm giới hạn 3

2 1 8

lim

x

x x

T

x


  

 ( ĐHQGHN 1997 )

Lời giải.

Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau

0 0

2( 1 1) (2 8 )

lim lim

x x

T

x x

 

   

  tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách

nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:

Đặt 3

1 ; 8

u x v x thì xu21;x 8 v u v3; , 2. Như vậy chúng ta có thể viết:





2 3 2

2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 3

lim lim lim lim

1 8 1 4 2 3 12 4

u v u v

u v

T

u v u v v

   

 

      

     (cách giải này có cái hay là

chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu
điểm hơn qua bài tốn sau:

 Thí dụ 2. Tìm giới hạn

5
4

2 1 2

lim

x

x x

T

x


  


 ( ĐHSPHN 1999 )

ĐS: 7

10
T  ,

Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem

bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: lim ( ) ( )

n m

x a

f x g x
T

x a





 số bạn cần tìm là:

( ) ( )

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 Thí dụ 3. Tìm giới hạn 2

1 cos cos 2
lim
x
x x
T
x




Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * )

2 2 2 2

0 0 0

1 cos 1 os2 1 cos 1 os2

lim( cos . ) lim lim cos .

x x x

x c x x c x

T x x

x x x x

  

   

    12 22 5

2 2 2

  

Tổng quát:

2 2 2

2
0

1 cos 2 ...cos 1 2 ...

lim

2
x

xco x nx n

x



   


 Thí dụ 4. Tìm giới hạn

cos os3
2
0

os2
lim

x c x

x

e c x

T
x





Lời giải. Biến đổi như sau

cos os3

2 2

1 1 os2

lim( )

x c x

x

e c x

T

x x




 

  bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé!

Vậy T  T1 T2 với

cos os3 cos os3

1 0 2 0 cos os3 2

1 1 cos os3

lim lim .

x c x x c x

x c x

x x

e e x c x

T
x x
 

 
 
  
   
 
cos os3

cos os3 2 2

1 1 os3 1 cos

lim

x c x
x c x
x

e c x x

x x




    
   
 





cos os3
cos os3

0 0

1 1

lim lim 1; cos os3

x c x t

x c x

x t

e e

t x c x

t


 
 

   

 Thí dụ 5. Tính giới hạn

ln(s inx cos )
lim
x
x
T
x




Lời giải. Biến đổi

0 0

ln(s inx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2

lim lim( . )

2 sin 2 2

x x

x x x

T

x x x

 

 

  ( nhớ học công thức nhan

các anh em )

0 0

ln(1 sin 2 ) ln(1 )

lim lim ; sin 2

sin 2
x t
x t
t x
x t
 
   
o

0 0

sin 2 sin

lim lim ; 2

2
x u
x t
u x
x t
   

Vậy T1.1 1 ( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví

như ko được viết

0
sin 2
lim 0
2
x
x
x
  )

 Thí dụ 6. Tìm giới hạn lim 3
1
x
x

x
T
x


 
  

 

Lời giải. Thực hiện phép biến đổi lim 3 lim 1 2

1 1
x x
x x
x
T
x x
 

   
      
 
   

Đặt 2 1

x t, ta có x 2t 1;x    t vì vậy

2 1 1

1 1 1

lim 1 lim 1 1

t t

T e

t t t

 
 
 
     
            
      

 Thí dụ 7. Tìm giới hạn



3 3 2 2



lim 3 1

x

T x x x x



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lời giải. Thực hiện phép biến đổi đơn giản



3 3 2 2



lim ( 3 ) ( 1 )

x

T x x x x x x



       (cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó
mang đẳng cấp cao hơn rùi)









3 3 2

3 2 3 2 2

lim 3 lim

3 3

x x

x

D x x x

x x x x x x

 
   
   
2
3 3
3
lim 1
3 3

1 1 1

x
x x

 
     
 
 
o 2
2
1

lim ( 1 ) lim

x x

x

Du x x x

x x x

 
 
    
  
2
1
1

1
lim
2
1 1
1 1
x
x
x x

  
 
  

Vậy 3

2
T  D Du

 Thí dụ 8. Tìm giới hạn T=

sin(s inx)
lim

x x ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp

Lời giải.

0 0

sin(s inx) s inx sin(s inx)

lim lim . 1

s inx

x x  x x 

 Thí dụ 9. Tìm giới hạn





0
1 cos
lim
1 1
x
x
T
x



 

Lời giải. Ta thực hiện biến đổi sau



 



2 2 2 2

2 2 2

0 0

2sin (1 1 ) 2sin (1 1 )

2 2

lim lim

1 1 1 1

x x
x x
x x
T
x
x x
 
   
 
   
2 2
2
0

2sin (1 1 )

2
lim 1
4
2
x
x
x
x

 
 
 
 
 
( bạn

trình bày chỗ này rõ ra nhé! )

 Thí dụ 10. Tính giới hạn sau

2
0

1 os 2

lim
sin
x
c x
T

x x



 ( ĐN 1997 )

Lời giải.

2 2

0 0 2 0

1 os 2 sin 2 sin 2 4

lim lim lim . 4

s inx

sin sin 2

x x x

c x x x

T

x x x x x

x
  
  
      

 
 
 

Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!
 Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau

1
lim . os

x

T x c

x



 ( ĐH Giao Thông 1997 )

Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là ngun lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách
giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen )

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

o u x( ) f x( )v x( ); x D ( tập xác định của ba hàm số này )

o lim ( ) lim ( ) ;

x a x a

u x v x Dieu a D

    

Thì lim ( ) ;

x a

f x Dieu a D

  

( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi …
măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 )

Tiếp nè:

 

1 1 1

cos os cos 1

x x c x x x x

x  x     x  0

 

0 0

 

lim lim cos lim 0

x x x x x x x

 

     

 

lim cos 0

x x x

 

  

 

 Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau

1 1 sin 3
lim

1 cos
x

x
T

x



 


 ( ĐHQG HN 1997 )

Lời giải. Biến đổi như sau

0 0

1 1 sin 3 1 1 sin 3

lim lim

1 cos 1 cos

x x

T

x x

 

   

 

  ( vì 1 sin 3 x0 )

3 2 2

0 0 0

4sin 3sin s inx 4sin 3 1 os

lim lim lim 4sin 3

1 co s

1 os 1 cos

x x x

x x x c x

x
a x

c x

  

  

   



 

2
0

lim 1 cos 4sin 3 3 2

x x x

   

 Thí dụ 13. Tính giới hạn sau lim s inx

s inx
x

x
T

x






 ( ĐHGT 1998 )

Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào

s inx

s inx 1 1 s inx 1 s inx

; 0 lim 0

x

x x x x x x  x



         ( các bạn nên thuộc giới hạn này
nhé )

Vì vậy

s inx s inx

1 1

s inx

lim lim lim 1

s inx
s inx

s inx 1

x x x

x

x x x

T

x

x
x

  

  



 

  

   

    

 

 

 Thí dụ 14. Tính giới hạn sau

3 2

2 1 1

lim

s inx
x

x x

T



  

 ( ĐHQG HN 2000 )

Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay khơng?

3 2

( 2 1 1) ( 1 1)

lim

s inx
x

x x

T



    

 3 2

0 0

( 2 1 1) ( 1 1)

lim lim

s inx s inx

x x

 

   

   A B















0 0

2 1 1 2 1 1 1 2

l im l im . 1

s inx

2 1 1 s inx 2 1 1

x x

A

x x

x

 

   

  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>















3 2 3 2 2 3 2

0 3 2 2 3 2 0 3 2 2 3 2

1 1 ( 1) 1 1 1

lim lim 0

s inx

( 1) 1 1 s inx ( 1) 1 1

x x

x x x x

B

x x x x

x

 

 

       

   

         

o Vậy T 1.

 Thí dụ 15. Tính giới hạn

2
0

3 cos

lim
x

x

x
T

x





 ( ĐHSP HN 2000 )

2 2ln 3

2 2

0 0

3 cos ( 1) (1 cos )

lim lim

x x

x e x

T

x x

 

   

 



2ln 3



2
2
2

0 0

2sin

1 1

lim .ln 3 lim ln 3

.ln 3 2

4
2
x

x x

x
e

x x

 



   

 
 
 

 Thí dụ 16. Tính giới hạn sau 2

1 cos cos 2 cos 3

lim

x

x x x

T

x





Lời giải. Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tơi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe,
còn quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé!

Đs: 7

T  ( nếu bí q bạn có thể liên hệ với chúng tơi qua )

 Thí dụ 17. ( Một bài tốn cực kì quan trọng )
Tính giới hạn sau

1 ax 1
lim

n

x
T

x



 

 với n nguyên dương

Lời giải. Thực hiện phép đổi biến đê:

Đặt n1 ax

y  Khi ấy x0 thì y1vì thế em có :







1 2



1 1

lim lim

1 1 ... 1

n n n

y y

T a a

y y y  y  y

 

 

 

      1 1 2

1
lim

... 1

n n
y

a
a

y  y  y n



 

   

Làm một vài ứng dụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n:

1 0

( ) n n ...

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 Thí dụ 18. Tính giới hạn sau 3 4

1 2 1 3 1 4 1

lim

x

x x x

T

x


   



Lời giải. Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên
tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài tốn này có
chứa tích của tới ba dấu căn khác bậc.

Ta sử dụng biến đổi sau đây

3 4

1 2 x 1 3 x 1 4 x1= 3

1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 3 x

3 3 4

1 2x 1 3x 1 2x 1 3x 1 4x 1

       

Từ đây là ngon ăn quá rồi nha!

3 4

0 0 0

1 2 1 1 3 1 1 4 1

lim lim 1 2 lim 1 2 1 3

x x x

T x x x

x x x

  

 

     

       

 

3 4

0 0 0

1 2 1 1 3 1 1 4 1

lim lim lim

x x x

T

x x x

  

 

     

    

 

2 3 4

  

@ Hồn tồn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản, 
thế mới biết toán học là mn màu mn vẻ!

 Thí dụ 19. Tính giới hạn sau

lim tan 2 .tan( )

4
x

T  x  x



  ( ĐHSPHN 2000 )

Lời giải. nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế
4

x vào thì T không xác định. Để cho gọn ta đặt

a  x 2

0 0 0 0

os2 sin os2 1

lim tan 2 .t ana lim cot 2 .tan lim lim

4 sin 2 cos 2 cos 2

a a a a

c a a c a

T a a a

a a a



   

 

        

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Phần 2. Các bài tốn về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số

 Hàm số liên tục tại điểm xx0 khi và chỉ khi

 

0 0

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x f x f x

 

   

 Đạo hàm của hàm số y f x( ) tại điểm xx0 là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của
0

0
0

( ) ( )

lim
x x

f x f x

x x





 , kí hiệu là f x'( )0 . Chú ý đạo hàm tồn tại khi

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

lim lim

x x x x

f x f x f x f x

x x x x

 

 

 



  ( bạn hãy hiểu thật rõ về

đạo hàm nhé )

Định lí: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại khơng phải 
lúc nào cũng đúng )

 Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x1:

 

2 2 1

( ) 1 ; 1 1

; 1 2

x x

y f x x x

m x

   



   

 



Lời giải. Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tơi đã trình bày
trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này!

 Hàm số liên tục tại điểm xx0 khi và chỉ khi

 

0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x x x
x x

f x  f x  f x f x

 

   

Bài toán chúng ta đang xét ứng với x0 1, bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần

xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi x1 đồng nghĩa với x chưa bằng 1

hay x1. Với nhận xét này chúng ta bắt đầu giải như sau:

Xét giới hạn 3 3

1 1 1

2 2 1 2 1 2 1 1 4

lim ( ) lim lim

1 1 1 3

x x x

x x x x

f x

x x x

  

 

      

    

     (?) với những gì

bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ cịn là trị trẻ con!

Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ. Người ta yêu cầu “
tìm m “ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số
này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với

lim ( ) (1)

x f x  f

4
3
m

  . Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên
tục tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài tốn xét tính liên tục của một hàm số!

 Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm

3
x
t anx 3cot

( ) ;

3
;

3
x
x

y f x x

m x








 

  

 



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Xét giới hạn

3 3

t anx 3cot

lim ( ) lim

x x

x

f x a

x

  

 



 

 ( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha )

Vì hàm số liên tục tại
3
x nên :

lim ( ) ( )

x

f x f






  a m ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới
đọc rồi hãy tiếp tục nha, tốn liên quan đến lí thuyết hay lém )

Phần 3. Ứng dụng định lí lagrange trong việc giải phương trình

( Dành cho các bạn học các lớp bồi dưỡng )

I) Định lý Roll : là tr-ờng hợp riêng của định lý Lagrăng

1.Trong ch-ơng trình tốn giải tích lớp 12 có định lý Lagrăng nh- sau

: (

rất tiếc

chương trình mới định lí này đã được giảm tải )

Định lớ

:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại

một điểm c



(a; b) sao cho:

f

(c) =

a

b

)

a

(

f

)

b

(

f



ý nghĩa hình học của định lý nh- sau

: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x), với toạ độ

của điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b)).

HÖ số góc của cát tuyến AB là:

k =

a

b

)

a

(

f

)

b

(

f

Đẳng thức : f

(c) =

a

b

)

a

(

f

)

b

(

f



nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm C(c; f(c)) của cung AB bằng hệ số góc của đ-ờng

thẳng AB. Vậy nếu các điều kiện của định lý Lagrăng đ-ợc thoả mãn thì tồn tại một điểm C

của cung AB, sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.

2.

NÕu cho hµm sè y = f(x) thoả mÃn thêm điều kiện

f(b) = f(a) thì cã f

(c) = 0.

Ta có định lý sau đây có tên gọi là :

Định lý Roll

.

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm f

(x) trên (a; b) và có

f(a) = f(b) thì tồn tại điểm x

o

(

a

,

b

)

sao cho f (x

o

) = 0..

Nh- vậy định lý Roll là một tr-ờng hợp riêng của định lý Lagrăng. Tuy nhiên có thể chứng

minh định lý Roll trực tiếp nh- sau:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

x

[a,b]

x

[a,b]

Nếu m = M thì f(x) = C là hằng số nên



x

o



(

a

,

b

)

đều có f’(x

o

) = 0

Nếu m < M thì ít nhất một trong hai giá trị max, min của hàm số f(x) đạt đ-ợc tại điểm nào ú

x

(a; b).

Vậy x

o

phải là điểm tới hạn của f(x) trên khoảng (a; b)

f (x

o

) = 0.

Định lý đ-ợc chứng minh .

ý nghĩa hình học của định lý Roll

:

Trên cung AB của đồ thị hàm số

y = f(x), víi A(a; f(a)) , B(b; f(b)) và f(a) = f(b), tồn tại điểm C ( c; f(c) ) mà tiếp tuyến tại C

song song víi Ox.

Nhận xét

:

Từ định lý Roll có thể rút ra một số hệ quả quan trọng nh- sau :

Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a; b] và có đạo hàm tại



x



(

a

;

b

)

.

Hệ quả 1

:

Nều ph-ơng trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì:

phương trình f’ (x) = 0 có ít nhất n – 1 nghiệm phân biệt .

ph-ơng trình f

(k)

HƯ qu¶ 2 :

Nếu ph-ơng trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì ph-ơng

tr×nh : f(x) +



f’ (x) = 0 cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm phân biệt , với

R

mà

0 .

Thớ dụ 29. Chứng minh rằng với mọi số thực a b c, , thì phương trình

cos3 cos 2 cos sinx 0

a x b x c x  (1) ln có nghiệm trong khoảng



0; 2



Lời giải. Lần đầu tiên tơi gặp bài tốn này vào năm lớp 10, thật sự lời giải làm cho tơi thích nhất
của bài tốn này là dùng định lí lagrange

Xét hàm số 1 1

( ) 3 a sin 3 2 sin 2 sin cos

f x   x  b x c x x trên đoạn [0; 2 ] . Rõ ràng hàm số này

xác định và liên tục trên [0; 2 ] , có đạo hàm tại mọi điểm thuộc



0; 2



. Ngoài ra

(0) (2 ) 1

f  f    . Theo định lí lagrange, tồn tại d



0; 2



sao cho

 

0 1 ( 1)

' 0

2 0 2

f f

f d 

 

   

  

 acos3dbcos 2dccosdsind0 điều này có

nghĩa d là một nghiệm của phương trình (1) suy ra đpcm. ( chú ý bài toán này cịn có cách giải
khác )

 Thí dụ 30. Giải phương trình



1 cos x





2 4 cosx



3.4cosx

Lời giải. Về bài toán này trước hết ta phải thực hiện đặt ẩn phụ cosx  y



1;1



Khi đó pt đã

cho có dạng





2 4



4.4

1 1

y y

y
y

   




  

 (1) tới đây công việc cũng chưa hẳng là đã đơn giản hơn.
Chúng ta sẽ dùng ý tưởng của định lí lagrange để giải phương trình này, từ định lí lagrange chúng
ta thấy rằng phương trình đạo hàm cấp 1 f '0 có khơng q k nghiệm thì phương trình f 0

có khơng qua k+1 nghiệm, rồi từ đó bằng cách đoán nghiệm ta suy ra các nghiệm của phương
trình. Những phương trình dùng tới định lí này thường có mặt trong các kì thi hsg!

Ta có





6.4 ln 4

'( ) 1

2 4
y

y

f y  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>





'( ) 0 2 4y 6.4 ln 4y 0

f y      nếu ta coi phương trình này là phương trình với biến là 4y

thì rõ ràng nó là một pt bậc hai nên nó sẽ có khơng q 2 nghiệm. Từ đó (1) sẽ có khơng q 3

nghiệm, ta đốn được 1 2 3

0; ; 1

y  y  y  là ba nghiệm của (1). Rồi từ đấy giải các pt lượng giác

cơ bản cos 0;cos 1;cos 1

x x x suy ra kết quả!

Thí dụ 31.

Cho n là số nguyên d-ơng , còn a, b, c là các số thực tuỳ ý thoả mÃn hÖ thøc :

2 n

a



n

1 b



n

c

= 0 (1)
CMR ph-ơng trình :

x

2 + bx + c = 0
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong ( 0; 1) .

Giải :

Xét hàm số: f(x) =

2 n

ax

n 2



1 n

bx

n 1



n

cx

.
Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm tại xR .

Theo gi¶ thiÕt (1) cã f(0) = 0 , f(1) =

0 n

c

1 n

b

2 n

a







Theo định lý Roll tồn tại xo (0; 1) sao cho f’(xo ) = 0 mà:
f’(x) = a

x

n1



bx



cx

n2

f’(x0) = 0

ax

bx

cx

no 1

0

n
o
1







 



x

no1

(

ax

o2



bx

o+c) = 0 (

x



0

)

ax

bx

o

c

0

Vậy ph-ơng trình a

x

bx

c

0

cã nghiƯm

x

o



(

0 ;

1 )

. (®pcm) .

Thớ d 32.

Giải ph-ơng trình :

3 

6 

4 

5

Gi¶i :

Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với :

6 

5 

4 

3

x (2).
Râ rµng

x

o



0

lµ mét nghiƯm cđa ph-ơng trình (2) .

Ta phõn tớch nh sau, phương trình tương đương với



5 1



x5x 



3 1



x3x, vì phương trình

có bậc là biến nên chúng ta sẽ dùng một thủ thuật để xử lí như sau:

Ta gäi



lµ nghiƯm bÊt kỳ của ph-ơng trình (2). Xét hàm số :

f(x) =

(

x



1 )





x

 , với x > 0, chỳ ý X này là X lớn nhen!
Hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( 0; +) và có đạo hàm :

f’ (x) =



(

x



1 )

1 -



x

1



[

(

x



1 )

1



x

1 ]

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Gioi han

<i><b>Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số </b></i>

<i><b>@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn </b></i>































 



 

 

 









































<i><b>Phần 2. Các bài tốn về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số </b></i>

 

 

 

 

<b>I) Định lý Roll : là tr-ờng hợp riêng của định lý Lagrăng </b>

<b>1.Trong ch-ơng trình tốn giải tích lớp 12 có định lý Lagrăng nh- sau</b>

: (

rất tiếc

chương trình mới định lí này đã được giảm tải )

<i><b>Định lớ</b></i>

<i><b> :</b></i>

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại

một điểm c

(a; b) sao cho:

f

(c) =

a

b

)

a

(

f

)

b

(

f





<b> ý nghĩa hình học của định lý nh- sau</b>

: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x), với toạ độ

của điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b)).

HÖ số góc của cát tuyến AB là:

k =

a

b

)