Giao an phu dao hinh giai tich trong khong gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (367.55 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I> Lý thuyết .

1) Hệ trục tọa độ trong không gian: Một hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc được gọi là hệ
trục tọa độ vng góc trong khơng gian.

2) Tọa độ của véc tơ: u(x,y,z) u(x,y,z) u xiyjzk.

Tính chất: Cho các véc tơ u1(x1,y1,z1),u2 (x2,y2,z2) và số k tùy ý, ta có:
);
z
z
;
y
y
;
x
(x
u
u

)
2

;
z
z
,
y
y
,

x
x
u
u

)

1 1 2 1 2 1 2 1 2

0
2
1
2
1
2
1
2
1
0










;

z
y
x
u

)
5

;
z
z
y
y
x
x
u
u

)
4

);
kz
;
ky
;
(kx
u
k

)
3 2
1
2
1
2
1
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
0
1
1
1
1
0












; 7 ) u u u .u 0 x x y y z z 0.

z
y
x
.
z
y
x
z
z
y
y
x
x
u
,
u
cos

)

6 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2
2
2
2

2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
















3) Tọa độ của điểm: M(x,y,z) OM(x,y,z).

4) Liên hệ giữa tọa độ của véc tơ và tọa độ của hai điẻm mút:

A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) thì

.
)
z

-z
(
)
y

-(y
)
x

-(x
AB

)
2

);
z

-z
,
y

-y
,
x

-(x
AB

)
1 2
A
B
2
A
B
2
A
B
0
A
B
A
B
A
B
0






5) Tích có hướng của hai véc tơ: Tích có hướng của hai véc tơ u(a,b,c) và v(a',b',c') là một véc tơ,

ký hiệu là

















b' s'

b a

;

a' c'

a c

;

c' b'

c b

v ,u

. Tích có hướng có những tính chất và ứng dụng sau:



u,v





u,v



.v 0; 2 )



u,v



u.v.sin



u,v



; 3 )



u,v



0 u // v;

)

10 0 0






w
,
v
,
u

)

40 đồng phẳng













AB ,AC



.AD.

6
1
V

)

6

;
AC
,
AB
2
1
S

)
5

0;
w
.
v
,

u 0 ABCD

ABC
0




 

6) Phương trình mặt cầu tâm I(x0; y0; z0) bán kính R là: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2.

Ngược lại, pt x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là pt của mặt cầu tâm I(- a; - b; - c) bán kính
d

-c
b
a

R 2 2 2




 nếu a2 b2 c2-d > 0
II> Bài tập áp dụng.

VD1: Trong kg với hệ tọa độ oxyz cho tgABC với A(1;0;1) ,B(-1;1;2) , C(-1;1;0)

a) Tính độ dài AB và AC

b) Xác định góc BAC và góc giữa hai đ/t AB và AC
Giải: Ta có AB= (-2;1;1) , AC= (-2;1;-1)

a) AB = 6 AC = 6

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

  nhọn , vậy là góc giữa hai đ/t AB và AC .

Ví dụ 2 :Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A(1,0,1) , B(-1,1,2) , C(-1,1,0) vàD(2,-1,-2)
a)Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh một tứ diện.

b) Tính đường cao DK của tam giác BCD.

c)Tính góc CBD và góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

d)Tính thể tích của tứ diện ABCD và tính đường cao AH của tứ diện ABCD.

Hướng dẫn giải:

a/Chứng minh các véctơ AB, AC, AD khơng đồng phẳng
Ta có : , . 20







AB AC AD  ñpcm

b) Ta có S = ½ BC.DK  DK = 2S/BC

Maø S = BC,DK
2

= 13 , BC = 2 . Vậy : DK = 13

c/Góc BCD = (CB,CD) = 429 .Góc giữa AB và CD là  thì cos = |cos(AB,CD)|=

102
10

d) Ta có thể tích tứ diện ABCD = 1/6 thể tích hh có ba cạnh xuất phát từ A là AB,AC,AD
Vậy : V ABCD = 1/3

Ta coù AH =

13
13
3



S
VABCD

III>Bài Tập tự làm.

1. Cho ba véc tơ a(-1;0;3), b(2;2;-3), a(-2;5;-5). Tìm tọa độ của véc tơ x biết:

.
c
3
2
b

-a
x

d)

;

c
3

-b
3
1

-a
5
x

c)

;

c
3
2

-b
3
a
2
1

-x

b)

;
c
2

-b
a
x

)

a       

.
0
c
3
2

-b
x
3
1

-a
3

h)

;
0
c
2
b
3

-x
3
1

a
2
1

g)

;
0
c
3
b
2
x
5

a
2

f)

;
0
c
2

-b

-x
3

a

)

e           

2. Bộ ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng:

a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1); b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1);
c) A(0; -2; 5), B(3; 4; 4), C(2; 2; 1); d) A(1; -1; 5), B(0; -1; 6), C(3; -1; 5);
e) A(1; 2; 4), B(2; 5; 0), C(0; 1; 5); f) A(1; 1; 1), B(0; -1; 0), C(3; 5; 3);
3. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của M:

a) Trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Trên các trục tọa độ.

4. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua:
a) Gốc tọa độ; b) mp(Oxy; c) Trục Oy.

5. a) 3 điểm A(-1; 6; -5), B(7; 3; 4), C(x; y; 8). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
b) Cho A(-1; 2; 4), B(2; -5; -7). Tìm M  mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.
c) Cho A(-1; 3; 4), B(2; -5; 11). Tìm M  mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.

6. a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), D(1, -1, 1), C’(4, 5, -5). Tìm tọa độ
của các đỉnh cịn lại.

b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(x1, y1, z1), C(x3, y3, z3), B’(x’2, y’2, z’2), D’(x’4, y’4,
z’4). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.

7. CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) là các đỉnh của một hình chữ nhật. Tính độ dài các
đường chéo, tọa độ tâm và góc giữa hai véc tơ AC vàBD.

8. CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) là các đỉnh của một hình bình hành. Tính độ dài các đường
chéo và diện tích của hình bình hành đó.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

10. Cho ba véc tơ a(1;-1;1),b(4;0;-1),c(3;2;-1). Tính:

 

abc; b) a

 

bc; c) a b b c c a; d) 3a-2

 

ab b c b; e) 4ac b -5c .

)

a 2 2  2  2  2  2 2

11. Tính góc giữa hai véc tơ a và b trong mỗi trường hợp sau:

3).

-2;

-(1;
b
1),

-3;

-(4;
a

)
c

3);

-0;
(6;
b
4),
5;
(2;
a

)
b

3);

2;
(-1;
b
1),
3;
(4;
a

)

a      

12. a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm A = (3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).

b) Trên mp(Oxz), tìm điểm cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
13. Tính tích có hướng



u,v



.. Biết rằng: a) u1;1;-1,v3;-1;-3;

0;-1;-1,v -3;0;3; c) u 0;1;1,v 4;1;2; d) u 1;-1;1,v 4;4;0.
u

)

b      

14. Tính



u,v



.w. Biết rằng: a) u1;-1;-1,v4;1;3, w(0;3;1);

0;-1;-2,v 3;1;-3,w -2;1;-1; c) u -2;1;-1,v -4;0;4,w -4;-1;3.
u

)

b      

15. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ a,b vàc trong mỗi trường hợp sau:

1;-1;1,b 0;1;2,c 4;2;3; b) a 4;3;4,b 2;-1;2,c 1;2;1;
a

)

a      

4;2;5,b 3;1;3,c 2;0;1; d) a -3;1;-2,b 1;1;1,c -2;2;1;
a

)

c      

16. Cho ba điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 0; 1), C = (2; 1; 1).

a) CMR: ABC; b) Tính chu vi và diện tích ABC;
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành;

d) Tính độ dài đường cao AH và các góc của ABC.
e) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B.

17. Cho bốn điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (-2; 1; -1).
a)  tứ diện ABCD; b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối;
c) Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

18. Hãy chứng minh các tính chất sau đây của tích có hướng của hai véc tơ:



a,b





b,a



; b)



a,a



0; c)



ka,b





a,b

 

a,kb



;

a)    



c,a b

 

c,a

 

c,b



; e) a.



b,c

 

a,b



.c; f)



a,b



a .b



a.b



d)     2  2 2  2

19. Tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD = 5. Tìm tọa độ
đỉnh D.

20. Cho 4 điểm A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4), C(5; -1; 0), D(1; 2; 1).

a) CMR: ABC vng và tính bán kính đường trịn nội tiếp của tam giác.
b) CMR:  tứ diện ABCD và tính thể tích của tứ diện.

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

21. Cho hình lậpphương ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD, BB’.
a) CMR: A’C  (AB’D’) và A’C  MN.

b) Tính cos



MN,AC'



và VA'CMN .

22. Tứ diện ABCD có SC = CA = AB = a 2, SC  (ABC), ABC vuông tại A. Các điêm M  SA, N 
BCAM = CN = t (0 < t < 2a).

a) Tính độ dài MN và tìm t để MN ngắn nhất.

b) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

$

2 :PH

ƯƠNG TRÌNH

M

ẶT CẦU

1. Phương trình mặt cầu

* Giả Sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0

Điểm M(x;y;z)  (S)  IM2 = R2  (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1)

Phương trình (1) gọi là phương trình mặt cầu y
I(a;b;c)

(x;y;z)
M

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Đặc biệt khi I  O (góc tọa độ)

Phương trình (1) trở thành :
x2 + y2 + z2 = R2

* Ngược lại phương trình dạng :

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2)

với A2+B2+C-D>0

là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) và bán kính R= A2 B2 C2 D

  

2. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp (



) và mặt cầu (s) có phương trình :
(



) : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a,b,c) của (S) treân mp



 IH = d(I,(



))

Ta xét các trường hợp :

a) Nếu IH<R : thì giao của (



)



(S) là một đưong tròn tâm H và có bk r =  

 IH

R ; xác định bởi

heä pt :































y(

)b

z(

)c

R

)a

x(

D

Cz

By

Ax

với đk : d(I, (



)) <R

b) Nếu IH = R thì (



)



(S)=

*Tìm bán kính r và tâm H của đường trịn:

+ bán kính 2 2( , )

I

d
R

r 

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp())

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp() : ta có ad n

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu























ta

z

ta

y

ta

x

d

3
o

1
o

:

(1) vaø (S):



x a





y b





z c



2 R2







 (2)

+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A

ª S(I,R):



x a





y b





z c



2 R2






 (1)

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I là trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2
2
2

.
.

)
(

C
B
A

D
I
z
C
I
y

B

S









 I

A.x
)
d(I,
R

I
tâm
cầu
mặt
Pt



Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Duøng (2) S(I,R): x2 y2 z2  2ax 2by 2czd0 A,B,C,D  mc(S) 

hệ pt, giải tìm a, b, c, d

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

S(I,R): x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0








 (2)

 A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).
 I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α).

 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.

Tiếp diện () của mc(S) tại A : () qua A,vtpt nIA

3 .Bài t ập áp dụng.

Ví dụ1 : Lập pt mặt cầu tâm I(-2,1,1) và tiếp xúc với mp (



) có phương trình : x+2y-2z+5=0

Giải :Bán kính R của mặt cầu : R = 






















 ( )

)
(
)
(
)
(

Phương trình mặt cầu cần tìm : (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1

Trong kg (Oxyz) cho mặt cầu (S) & mp (



) có pt

Ví duï2 : (S) : x2+y2+z2-6x-2y+4z+5=0 (



) : 2x+y-2z-8=0

a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).

b. Viết pt tiếp diện mặt cầu (S) tại M(4;3;0)

c. C/m (



) cắt (S). Viết phương trình đường trịn giao tuyến. Tìm tâm & bán kính đường trịn giao

tuyến

Giải :

a. Đưa về phương trình : (x-3)2+(y-1)2+(z+2)2=9

 Taâm I (3;1;-2) ; bk R=3

b. M0 (S) ; IM = (1;2;2). Phương trình tiếp diện : x+2y+2z-10=0

c/ d(I;(



) =1<R=3  (



) cắt (S) phương trình đường trịn giao tuyến














































y(

)

z(

)

x(

z

y

x

* Đường thẳng 



I,  



có pt tham số ;



































t

z

t

y

t

x

; (t  R tham là số) tham số giao điểm  và (



) : t=




toạ độ tâm đường tròn ; H 













; ;

.BK: r =  

 IH

R = 2 

Ví d

ụ 3 : Lập pt mặt cầu tâm I(2;3;-1) và cắt đt (d)là giao tuyến của hai mp : 5x–4y+3z+20=0 và 3x –

4y + z –8 = 0 taïi hai điểm A và B sao cho AB=16

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Từ đó R2 = IA2 = IH2 + AH2 = IH2 +





Gọi (P) là mp qua I & vng góc với (d) (nhận vtcp của (d) làa =(2,1,-2) làm 1 vtpt) có phương trình :
2x+y-2z-9=0 . Ta có H là giao điểm của d và (P)  H (-3,-7,-11)  IH =15 suy ra R2 =289.

Vậy phương trình mặt cầu lập là :(x-2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 289

4)

t Bài ập về nhà.

Bài 1: Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

1. 2 2 2 8 2 1 0







y z x y

x 2. 2 2 2 4 8 2 4 0








y z x y z

x

3. 2 2 2 4 2 5 7 0









 x y z x y z 4.3x2 3y23z2  6x3y 9z30
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu:

1.Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4. 2.Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
3.Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)

4.Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
5.Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.

Bài 3.

1.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R cho trong các trường hợp sau:
a) I(1; 0; -1), 2R = 8; b) 2R = AB với A(-1; 2; 1), B(0; 2; 3);
c) I  O và tiếp xúc với S1(I1, r). Với I1(3; -2; 4), r = 1;

d) I(3; -2; 4) và đi qua A(7; 2; 1); e) I(2; -1; 3) và tiếp xúc mp(Oxy);
f) I(2; -1; 3) và tiếp xúc mp(Oxz); g) I(2; -1; 3) và tiếp xúc mp(Oyz).
2. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu mà ta phải tìm I và R.

a) x2 + y2 + z2 - 2x - 6y - 8z + 1 = 0; b) x2 + y2 + z2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0;
c) x2 + y2 + z2 - y = 0; d) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2x - 3y + 5z - 2 = 0;

e) x2 + y2 + z2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0; f) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 3x + 4y - 2z - 4 = 0;
3. Viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm thuộc mp(Oxy);
b) Đi qua A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz;

c) Đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).

4. Cho 6 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A’(a’; 0; 0), B’(0; b’; 0),
C’(0; 0; c’) với aa’ = bb’ = cc’ ≠ 0; a ≠ a’, b ≠ b’, c ≠ c’.

a) CMR: có một mặt cầu đi qua 6 điểm nói trên;

b) CMR: đ.thẳng đi qua gốc O và trọng tâm ABC vuông góc với mp(A’B’C’).

5. a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua điểm A(a; b; c) cho trước và có bán kính R khơng đổi.
b) Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tìm tập hợp các điểm M trong khơng
gian sao cho MAMBMCMD4.

c) Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho
MA2 + MB2 + MC2 = MO2 (O là gốc tọa độ).

Bµi 4 : Cho hä mỈt cong (Sm) có phơng trình:

Sm

:x2y2 z2 4mx 2my 6zm24m0

a) Tỡm iu kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

b) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.

Bµi 5 : Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình:

Sm

:x2 y2z2 4mx 2m2y8m2 50

a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) ln đi qua.

Bµi 6 : Cho hä mỈt cong (Sm) có phơng trình:

Sm

:x2y2z2 2xsinm 2ycosm 30

a) Tỡm iu kin của m để (Sm) là một họ mặt cầu .

b) CMR tâm của (Sm) ln chạy trên một đờng trịn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.

c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m0) ,cắt (C) tại T, S , đờng
thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .

Bµi 7 : Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.

b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).

c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)

Bµi 8 . Tìm tâm và bán kính của các đường trịn sau:

.

0 1 z

2y 2x

0 24 6z

-4y 12x

- z y

x

a)

;

0 1 2z

-2y x

0 10 2z

2y 6x

z y

x

a)

22

2

22

2 































Bµi 9 . Lập phương trình tiếp diện () của mặt cầu (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 biết () song song
với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0.

Bµi 10 b) Viết p.trình mặt cầu tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mp x + 2y – 2z + 5 = 0.

c) Cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A,
tiếp xúc với mp(BCD).

d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và có tâm I nằm trên
mp(): x + y + z – 3 = 0.

§3PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
HĐ

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.

Vectơ pháp tuyến của mp :

n≠0 là véctơ pháp tuyến của   n

2.

Cặp véctơ chỉ phương của mp :  a b là cặp vtcp của   a,b cuøng // 

3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a,b: n = [a,b]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C)

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C)

5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : axbycz 1

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến

6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

7. Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :

° caét A1:B1:C1 A2 :B2:C2 °

2
1

D
D
C
C
B
B
A

A








2
1
2
1
2
1
2
1

D
D
C
C
B
B
A
A







 ª   A1A2 B1B2 C1C2 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (  ) : Ax + By + Cz + D = 0

o 2 o 2 o2
C
B
A

D
Cz
By
Ax









)
d(M,

10.Goùc giữa hai mặt phẳng:

2
1

.
.

n
n








)
,
cos( 
HĐ

2.CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1:Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :

°

]
)
(



[AB ,AC

n
vtpt
qua



C
hay
B
hay
A



Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :





AB

vtpt

AB

điểm

trung

M

qua

n





Dạng 3:Mặt phẳng ( ) qua M và d (hoặc AB)

)

....(

AB

n







d

a

vtpt

nên

(d)

Vì

M

qua





Dạng 4: Mp qua M vaø // ( ): Ax + By + Cz + D = 0









Vì

//

neân

vtpt

n

n

M

qua





Dạng 5: Mp( ) chứa (d) và song song (d/ )

 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mp() chứa (d) nên ad a

Mp() song song (d/) neân ad/ b

■ Vtpt n



ad,ad/



Daïng 6Mp(  ) qua M,N vaø   :

■ Mp () qua M,N neân MN a

■ Mp ()  mp () neân n b

]
,
[





n
n

vtpt

N)
(hay
M
qua



 

 MN

Dạng 7Mp(  ) chứa (d) và đi qua M

■ Mp() chứa d nên ad a

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

°

]
,
[ AM

n
vtpt

A
qua




d
a





HĐ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Ví dụ 1 .

Viết PT mp(



)đi qua điểm P(1,-2,3)và song song với mặt phẳng()có PT :2x + y–z +1= 0 ø

Giải : Vì mp() có PT 2x + y – z +1 = 0 neân nó có VTPT là n1(2,1,-1) .

Do mp(



) song song với ømp() nên mp(



)cũng nhận n1(2,1,-1) làm VTPT.Do đó mp(



) có PT

là:2(x-1) + y+2 –(z-3) = 0 hay 2x+y-z+3= 0

Ví dụ 2 .Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1,3,-2) và B(1,2,1)

Giải : HD: Mp trung trực của AB qua trung điểm của AB và nhận ABlàm véc tơ pháp tuyến

Ví dụ 3.Viết PT mp(



) đi qua các hình chiếu của điểmM(2,-2,1) lên các trục tọa độ

Giải:Hình chiếu của M trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là

M1(2,0,0) ,M2(0,-2,0), M3(0,0,1) . Vậy PT mp cần tìm là : 2 211



 y z

x

Ví dụ 4 : Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau :

a. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vng góc với Oy

b. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vng góc với đường thẳng MN với M=(0,2,-3) ; N=(1,-4,1)
c. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và song song với mặt phẳng 2x –y +3z +4=0

Giaûi :

a. Mặt phẳng đi qua điểm M0=(1,3,-2) và vng góc với Oy là mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3,-2) và
nhận n =(0,1,0) làm VTPT nên có phương trình là : y=3

b. Mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3-2) và vuông góc với đường thẳng MN là mặt phẳng đi qua điểm
M=(1,3-2) và nhận

MN



=(1,-6,4) VTPT nên có phương trình là : x-6y+4z +25=0
c. Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 2x-y+3z+7 =0

Ví dụ 5: Cho hai điểm M=(2,3,-4) , N=(4,-1,0) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn

thaúng MN

Giải :Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I=(3,1,-2) của MN và nhận

MN



làm VTPT Do đó
phương trình mặt phẳng là x-2y+2z + 3=0

Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC với A=(-1,2,3) ; B=(2,-4,3) ; C=(4,5,6) . Hãy viết phương trình mặt phẳng

(ABC).

Giải :Ta có mặt phẳng qua A,B,C đi qua A và nhận n =[

AB



AC



] =(-18,-9,-39) làm vectơ
pháp tuyến . Vậy phương trình mp là : 6x +3y +13z –39 = 0

Ví dụ7 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm P=(3,1,-1) , Q=(2,-1,4) và vng góc với mặt

phẳng 2x-y+3z –1=0 .

Giải :Ta có n =(2,-1,3) ;

PQ



=(-1,-2,5) làm cặp vectơ chỉ phương . Nên có vectơ pháp tuyến là



n =(-1,13,5) và đi qua P nên có phương trình là : -x+13y +5z 5=0

Bi tp v nh.

Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n biÕt

a, M 3;1;1 , n





 



1;1;2





b, M



2;7; 0 , n







3; 0;1



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c, M 4; 1; 2 , n



 







0;1;3



d, M 2;1; 2 , n











1; 0; 0



e, M 3; 4;5 , n









1; 3; 7 





f, M 10;1;9 , n





 



7;10;1





Bµi 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết:

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)

c, A 1; 1; 0 , B 1; 1;5

2 2

   

 

   

    c,

2 1 1

A 1; ; , B 3; ;1

3 2 3

  

Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng

đi qua điểm M và song song với mặt phẳng

biết:

a, M 2;1;5 ,



   

  Oxy



b, M



1;1; 0 ,

  

 :x 2y  z 100

c, M 1; 2;1 ,





  

 : 2x y 3  0 d, M 3;6; 5 ,





: x z 10

Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là a(2;1;2); (3;2; 1)b .

Bài 5: Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và:

a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.

c) Song song với các trục 0y, 0z.

Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và:

a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.

c) Cùng phơng với trục 0z.

Bài 7: Cho t diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .

a. Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói CD.
C.ViẾT PTTQ của MP trung trực cạnh AB

Bµi 8:Cho hai đt d và d’ lần lượt có PTTS là

 



 

  


x 7 3t

d : y 4 2t

z 4 3t

 



 


  



x 1 t '
;d ' y 9 2t '

z 12 t '

Viết PT mp chứa d v song song vi d

Bài 9: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :

a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận n(2,3,4); làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song víi (Q): x+2y+z+4=0.

Bài 10: Lập PTTQ của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng to .

Bài11: (ĐHL-99):Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0.
Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q).

Bài 12. Vit phng trỡnh cỏc mặt phẳng () trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua M(-1; 3; 2) và ()  Oy; b) Đi qua M(1; 3; 2) và () // mp(Oxz);
c) Đi qua M(1; -2; -3) và vng góc với đường thẳng AB với A(5; -4; 1), B(2; 0; 3)
d) Đi qua M(0; 4; -1) và vng góc với mp(): 2x – y + 3z + 5 = 0.

Bµi 13. Cho A(2; 0; 7), B(-2; 1; 4), C(1; -1; 2). Viết phương trình mp(ABC).

Bµi 14. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua hai điểm P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vng góc với mp():
2x – y + 3z – 1 = 0.

Bµi15. Cho điểm A(2; 3; -4). Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu của điểm A trên các

trục tọa độ.

Bµi16. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M0(2; -1; 2), song song với trục Oy và vng góc với
mặt phẳng (): 2x – y + 3x + 4 = 0.

Bµi 17. Cho hai đt d và d’ lần lượt có PTTS là

 



 

  


x 7 3t

d : y 5 t

z 9 4t





 


  


x 3t '
;d ' y 4 t '

z 18 4t '

Viết PT mp chứa d và d’.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) x + 2y - z + 5 = 0 và 2x + 3y – 7z - 4 = 0;
b) x – 2y + z + 3 = 0 và 2x – y + 4z – 2 = 0;
c) x + y + z – 1 = 0 và 2x + 2y – 2z + 3 = 0;

Bµi 19 . Xác định l và m để () // (), biết:

a) (): 2x + ly + 2z + 5 = 0 và (): mx + 2y – 4z + 8 = 0;
b) (): 2x + y + mz – 3 = 0 và (): x + ly + 2z + 9 = 0.

Bµi 20 . Hai mp (): 2x - my + 3z - 6 + m = 0; (): (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z - 10 = 0. Với giá trị nào của
m thì: a) () // (); b) ()  (); c) () cắt ();()  ().

Bµi 21 . Trong không gian 0xyz cho đt d :x 1 y 2 z 3

2 1 3 và mp (P) có PT :3x+y+2z+2=0
Viết PT mp chứa đt d và vng góc với mp (P).

Bµi 22 .Cho hai đt d và d’ lần lượt có PTTS là

 



 


  


x 5 2t

d : y 1 3t

z 13 2t

 




 


 


x 7 3t '

;d ' y 1 2t '

z 8

Viết PT mp tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2+y2+z2-10x+2y+26z+170=0 và song song với hai đường thẳng
trên.

Bµi 23 .Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết A(6;2;-5) và B(-4;0;7).Viết PTMP tiết xúc với mặt cầu

(S) tại A.

Bµi 24 a) Cho mặt cầu có phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M0(4; 3; 0). Viết
phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M0.

Bµi 25 a) Cho mp(): 2x + y - 7z = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mp()
một góc 600.

b) Viêt phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; 0; 0), B(0; 0; 1) và tạo với mp(Oxy) một góc 600.

Bµi 26 a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng: (): x + y - z + 1 = 0 và (): x – y + z – 5 = 0.
b) Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số thực dương thay đổi thỏa a2
+ b2 + c2 = 3. Tìm a, b, c để d(O, (ABC)) lớn nhất.

Bµi 27 Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vng cạnh a, chiều cao AA’ = b, M là

trung điểm của CC’. Bằng phương pháp tọa độ, hãy:
a) Tính thể tích tứ diện BDA’M; b) Tìm tỷ số

b
a

để mp(A’BD)  mp(MBD).

Bµi 28 Viết PT mp đi qua điểm M(1;2:4) và cắt các trục tọa độ 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao

cho OA=OB=OC ≠0. ( Chia làm 4 trường hợp cùng dấu và khác dấu)

Bµi 29 . Cho 4 điểm A(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3). CMR: ABCD là một tứ diện và lập

phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó.

Bµi 30 . Viết PT mp đi qua điểm M(1;1:1) và cắt các tia 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho thể

tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.(x+y+z-3=0)

Bµi 31 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a à chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm

của SC. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).

Bµi 32 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’,

BC, DD’.

a) Tính góc (AC’, A’B); b) CMR: AC’  mp(MNP); c) Tính VAMNP.

Bµi 33 . Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O; OA =

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bµi34 . Cho các điểm A(1; 1; -1), B 3; 4; 5) và mp(): x + y – 2z + 5 = 0. Tìm trên mp() điểm M sao cho
MA + MB nhỏ nhất.

§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I>Lý thuyết .

1) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng:

 Đường thẳng  đi qua M0(x0; y0; z0) với véc tơ chỉ phương u(a;b;c)có phương trình tham số là























ct

z

bt

y

at

x

0
0
0

và phương trình chính tắc là .

c
z
z
b
y
y
a
x

x 0 0  0






2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: Hai mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0 có véc tơ
pháp tuyến n(A;B;C)và (): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 có véc tơ pháp tuyến n'(A';B';C') với A:

B: C ≠ A’: B’: C’  () cắt () theo giao tuyến  có phương trình tổng quát là















0 D'

z

C'

y

B'

x

A'

0 D

Cz

By

Ax

. Khi đó u 



n, n'



. là một véc tơ chỉ phương của .

3) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Hai đường thẳng d (đi qua M0 và có véc tơ chỉ phương u ) và
d’ (đi qua M’0 và có véc tơ chỉ phương u'). Khi đó:

 d và d’ đồng phẳng 



u, u'



.M M' 0

0  . Trong trường hợp này có 3 khả năng xảy ra:

 

u

M ,

M

0 3 ;

)

0 'u ,

u

'd

// d

)

2 0;

M

M ,

u

'u ,

u

d'

d )

1

0 '

0 

















d cắt d’

 















0 '

u

,u

0 M

.'

u

,u

'
0
0
.

 d và d’ chéo nhau 



u, u'



.M M' 0.

0 

4) Góc: Xét hai đường thẳng d, d’ và mp() có phương trình như trên. Ta có:

    .
c
b
a
.
C
B
A
Cc
Bb
Aa
n

.
u
n
.
u
)
(
d,
sin

;
'
c
'
b
'
a
.
c
b
a
'
cc
'
bb
'
aa
'
u
.

u
'
u
.
u
'
d
d,
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



















5) Khoảng cách: Vẫn xét hai đường thẳng d, d’ và mp() có phương trình như trên. Ta có:
 Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d là  





.
u
u
,
M
M

d
,
M

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 Khoảng cách cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ là  







u,u'



M
M

.
'
u
,
u

'
d
d,
d

'
0
0


II>CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B





AB

a
Vtcp

hayB
quaA

d

)
(
)

(

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( )







a

d

a

vtcp

nên

)

(

//

(d)

Vì

qua



A

d

)

(

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vng góc mp( )



)

nên

vtcp

a

d

n

(

(d)

Vì

qua







A

d

)

(

Dạng4:PT d’ hình chiếu của d lên  : d = /   

 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp

 

   























]
;
[
)
(
)
(

)
(











n
a
n

b
n

a
a
d

d
quaM

d
d





)
(

)
(
)
( /




d

Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A và vng góc (d1),(d2)

]

d

a ,

d

a [

a

vtcp

qua

1

2 )

(





A

d

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :

+ Tìm ad = [a



d1, a



d2]

+ Mp () chứa d1, (d); mp() chứa d2 , (d)  d = 

Daïng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = ( )  (   )

với mp() = (A,d1) ; mp() = (A,d2)

Daïng 8: PT d // và cắt d 1,d2 : d = ( 1)  (  2)

với mp (1) chứa d1 //  ; mp (2) chứa d2 // 

Daïng 9: PT d qua A vaø  d 1, caét d2 : d = AB

với mp () qua A,  d1 ; B = d2  ()

Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d = ( )  (  ) với mp() chứa d1 ,(P) ; mp() chứa d2 ,  (P)

Dạng 11:Hình chiếu của điểm M

1. H là hình chiếu của M trên mp :

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tọa độ H(x ;y ;z) thỏa hpt : Ptr d

 

Ptr ( )







.

2.H là hình chiếu của M(M x y z( ; ; )1 1 1 trên đường thẳng d :

0
0
0

x x at

y y bt

z z ct

 


 

  

.
B1

:Tìm VTCP của d.

B2 : Lấy H x( 0at y, 0bt z; 0ct)d. ; Tính MH



.

B3 : H là hình chiếu của M lên d  MH ud

 

. d 0

MH u

    .Giải pt tìm t thay vào H ta được hình

chiếu H .

Dạng 12 : Điểm đối xứng

a/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :

 Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
 Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .

 A/ đối xứng với A qua (P)  H là trung điểm của MM/ nên :

/

/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M

x x x

y y y

z z z

  

 


 


b/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua đt(d) :

 Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .

 A/ đối xứng với A qua (d)  H là trung điểm của MM/ nên :

/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M

x x x

y y y

z z z

  

 


 


Dạng 13: Xét sự tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình :
d:

1 1

1 2

1 3

x x ta

y y ta

x z ta

 


 

  


, d’:

2 1
2 2
2 3

' '
' '
' '

x x t a

y y t a

x z t a

 


 

  


Ta có :

1( ; ; )1 1 1
:

d

qua M x y z
d
VTCP u







 d’: 2



2 2 2



M x , y , z

VTCP d

Qua
u





TH1 : d//d’ '
2
d d
u ku
M d
 

 



 

.
TH2 : : dd’ '

2
d d
u ku
M d
 

 



 
.
TH3: d cắt d’ ud kud'

 

và hệ pt sau có nghiệm duy nhất:

1 1 2 1

1 2 2 2

1 3 2 3

' '
' '
' '

x ta x t a

y ta y t a

z ta z t a

  


  

   

.
TH4: d vaø d’chéo nhau ud kud'

 

và hệ pt sau vô nghiệm:

1 1 2 1

1 2 2 2

1 3 2 3

' '
' '
' '

x ta x t a

y ta y t a

z ta z t a

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Cách CM hai đường cắt nhau và chéo nhau:

B1: Tìm VTCP của d và d’: Nếu vàu d  ud' không cùng phương.

B2: Xét hệ :

1 1 2 1

1 2 2 2

1 3 2 3

' '
' '
' '

x ta x t a

y ta y t a

z ta z t a

  




  



   



-Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì d cắt d’.Tìm giao điểm của d và d’ thì ta thay t vào pt của d hoặc thay
t’ vào pt của d’.

-Nếu hệ vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau .
b/ Cm ñt(d) // mp(P) :

 ñt(d) ñi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP a( , , )a a a1 2 3


 mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù VTPT n( , , )A B C .
 ñt(d) // mp(P)

1 1 1

. 0

0
a n

Ax By Cz D

 


 

   




 

Dạng 14 : CM sự vng góc :

a/ Cm ñt(d)  ñt(d/ ) :

 đt(d) có VTCP a( , , )a a a1 2 3


 đt(d/) có VTCP b( , , )b b b1 2 3


 ñt(d)  ñt(d/)  a b1 1a b2 2a b3 3 0

b/ Cm đt(d)  mp(P) :

 đt(d) có VTCP a( , , )a a a1 2 3


 mp(P) coù VTPT n( , , )A B C .

 ñt(d)  mp(P)  a a a1: 2: 3A B C: :

III

.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1,0,-1); B(2,-1,3) Viết pt t/số đường thẳng AB.

Giải : pttsố đường thẳng AB :
















R
t
t
z

t
y

t
x

(
;
4
1
1

tham số)

Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số,chính tắc,của đường thẳng d đi qua điểm A(2,0,-1) và có vectơ chỉ
phương u= (-1;3;5)

Giải : pttsố :































t

z

t

y

t

x

; t  R tham số

pt chính tắc :












 y z

Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng có phương trình tổng

quát :( )2 x y z   3 0;

 

 x y z  1 0

Haõy viết phương trình tham số và tìm vectơ chỉ phương cuûa d.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

































)

(

z

y

t

)(

z

y

t

cộng (1) và (2) ta được y= 




 t thay vào (2) ta được z=  

t

Phương trình tham soá d :


























t
z

t
y

t
x

(t  R tham số)

Vectơ chỉ phương : u = (1;
-


;

) hay a = (2,3,1)

Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ M(2,3,1) đến đường thẳng


















:x y z

Giải: Ta có ĐT

















:x y z đi qua Mo(-2,1,-1);và có VTCP u=(1,2,-2)) có MM0



=(4,2,2)

=> d(M,)=
3

2
10

Ví dụ 5:Tính khoảng cách giữa hai đt chéo nhau : x11 y 11 z01; :'x 32y32 z3












Giaûi: Đường thẳng đi qua điểm ù Mo(1,1,1) và có VTCP u=(1,-1,0)
Đường thẳng ’ đi qua điểm M’o(2,-2,0) và có VTCPu’=(-3,3,3)
 Ta có: MoM’o=(1,-3,-1)

2 2 2

1 0 0 1 1 1

( 1) (3) (1)

3 3 3 3 3 3 2

( , ') 2

1 0 0 1 1 1

3 3 3 3 3 3

d

 

  

 

    

 

 

 

IV.BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận a(3; 2;3)làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)

Bµi 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng

( ) : - 3P x y2 - 6 0 z  và các mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng

tr×nh:

 

t,

R

21

22 :























t

z

t

y

t

x

d

Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :

 

t,

R

21

22 :























t

z

t

y

t

x

d

vµ

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.

Bài6: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vng góc với mặt
phẳng (P) trong các trờng hợp sau:

a) ( ) : P x2y3 - 4 0z  b)

 

P x: 2y3z1 0 .

Bài 7 : (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 

3

4

2

4

3

7 :























t

z

t

y

t

x

d

 

R

t

z

t

y

t

x

d























1
1
1
1
2

tt,

12

29

1 :

a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

b) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung của (d1),(d2) .

Bµ

i8 : Cho hai đường thẳng d:

1
1
1
1
2 





 y z

x
và d’:





















t

z

t

y

t

x

2

4

a.Tìm phương trình tổng quát của mp(P) qua điểm M (1; 2; 3) và vng góc với d.
b.Tìm phương trình tổng qt của mp(Q) chứa d và song song với d’.

c.Chứng minh rằng d chéo d’.Tính độ dài đoạn vng góc chung của d và d’.
d.Tìm phương trình tổng qt của đường vng góc chung d và d’.

Bµi 9 : : Cho đường thẳng (d) :

2
3
1
2
1
1 





 y z

x

và hai mặt phẳng (P): x + 2y - z + 4 = 0,
(Q): 2x + y + z + 2 = 0.

a.Chứng tỏ (P) và (Q) cắt nhau.Tính góc giữa (P) và (Q).

b.Tính góc giữa d và (Q).

c.Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q).Chứng minh rằng d và  vng góc và chéo nhau.
d.Tìm giao điểm A, B của d lần lượt với (P) và (Q).Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Bµi 10 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz mp(



): x + 2y + z + 1 = 0 và đường thẳng d:















0

3

0

2 z

y

x

a.Tính góc giữa d và (



b.Viết phương trình hình chiếu d’ của d trên mp(



).
c.Tìm tọa độ giao điểm của d và d’.

Bµi 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d:



















0

1

0

1

2 z

y

x

y

x

d’:





















0

1

2

0

3 y

x

z

y

x

a.Chứng tỏ rằng d cắt d’ tại I.Tìm tọa độ điểm I.
b.Viết phương trình mp(



) chứa d và d’.

c.Tính thể tích phần khơng gian giới hạn bởi mp(



) và các mặt phẳng tọa độ.

Bµi 12 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết PT mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d:



















0

14

5

4

0

7

4

2 z

y

x

z

y

x

đồng thời tiếp xúc với (



): x + 2y - 2z - 2 = 0 và(): x + 2y - 2z + 4 = 0.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

















0

2

0

3

2 z

y

z

x

d’:



















0

10

4

0

23

8 z

y

x

a.Tính khoảng cách giữa d và d’.

b.Viết phương trình mp(



) chứa d và song song với d’.

c.Viết PT đường thẳng  vng góc với mp(Oxy) và cắt cả hai đường thẳng d, d’.

Bài 14 : Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với

®-êng th¼ng () cho bëi :

 

2 2

: 3 t

x t

y t R

z t

 



   

  


Bài 15 : Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:

 

t,

R

2

3

1 :

























t

z

t

y

t

x

d

(P): x-y+z+3=0 b)

 

t,

R

1

9

4

12 :

























t

z

t

y

t

x

d

(P): y+4z+17=0

Bài 16 : (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và

 

3
2
1

2
1
:






 y z

x

d .

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .

b) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) qua A vng góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .

Bài 1 7 : Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 

1
1
2

1
1

2
:






 y z

x

d

 

t

31

2

21 :

R

t

z

ty

t

x

d

























a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).

Bµi 18 . Viết p.trình tham số, p.trình chính tắc và p.trình tổng quát của mỗi đ.thẳng sau:

a) Đi qua điểm M(2; 0; -1) và có véc tơ chỉ phương u(-1;3;5);

b) Đi qua điểm M(-2; 1; 2) và vuông góc với mp(): 2x – y – x + 3 = 0;
c) Đi qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; -2; 4).

Bµi 19.Viết phương trình đường thẳng () trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M(4; 3; 1) và song song với đường thẳng

;

2t

- 3

z

3t

-

y

2t

1 x

:

(d)

















b) Đi qua điểm M(-2; 3; 1) và song song với đ.thẳng ;

1
2
z
4

-1
y
2

2

-x

:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

c) Đi qua điểm M(2; -3; 3) và song song với đ.thẳng

.

0

4 5z

y

-2x

0

3 z

-y

x

:)

d(















d) Đi qua M(2; -3; 3) và v.góc với 2 đ.thẳng:

.

0 1 - z y

x

0 1 z y

-x

:)d( ;

0 4 - z y

-x

0 3 z -y

x

:)d(

2

1 





















Bµi20.Viết phương trình tham số của mỗi đường thẳng sau:

.

0 5 3z y 3x

0 7 2z -4y -x

:)d( ;

0 1 - 2z 3y x

0 5 z -2y -3x

:)d( ;

0 4 - z y -2x

0 3 3z -2y x

:)d(

2

3

1 





























Bµi 21 . Viết phương trình hình chiếu vng góc lần lượt trên các mặt phẳng tọa độ của mỗi đường thẳng

0 1

z

-2y

2x

0 3

2z

y

-x

:)d

( ;

1-3 - z

3 2 y

2 1 -x

:)d

(

1

2





















Bµi 22.Viết phương trình hình chiếu vng góc trên mặt phẳng (): x + y + z – 7 = 0 của mỗi đường thẳng

0 3

z

-2x

0 5

z

y

-2x

:)d

( ;

1 3 - z

3 -2

y

2 1 x

:)d

(

1

2

















</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bµi 23.Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3; -2; 1) và vng góc với một trong hai đường thẳng

.

0 9 - z y

x

0 10 z

-2y -3x

:)d( ;

0 7 - 2z

2y -3x

0 5 z -3y

x

:)d(

2

1 























Bµi 24.Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng d và d’ sau đây:

;

1
2
z
2

-1
y
3
6

-x

:
)
'
(d

,
4
3
z
1
7
y
2
1

-x

:
(d)

a)        

;
0
4
z
3
5
y
2

-x

:
)
'
(d

,
1
z
2

-2

-y
2
1

-x

:
(d)

b)      

;
12
z
9
2
y
6

-7

-x

:
)
'
(d

,
8

-1
z
6

-y
4
2

-x

:
(d)

c)      

Bµi 25 . Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng () sau đây:

;
0

2
z

-5y
3x
:
)
(

,
1
1
z
3
9
y
4
12

-x

:
(d)

a)        

;
0

5

2z
3y
3x
:
)
(

,
3
z
4
3
y
2
1
x

:
(d)

b)         

Bµi 26.Tìm giao điểm của đ.thẳng: x = 2t, y = 1 - t, z = 5 + 2t và mp: x + y + z - 10 = 0.

Bµi 27 . Viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng

















0

2 -

5z

y

-2x

0

4 z

y

x

:)

d(

và song song với đường

thẳng (d’): x = 2 – t, y = 1 + 2t, z = 5 + 2t.

Bµi 28 . Viết p.trình của đ.thẳng  song song với đ.thẳng (d): x = 3t, y = 1 – t, z = 5 + t và cắt hai đường

thẳng

.

0 1 z

y

x2

0

3 4z

y

x

:)

d(

,

3

2 z

4

2 y

1 1 -x

:)

(d

1

2

























Bµi 29 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bµi 30 . Viết phương trình đường thẳng  mp(): y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng

.

1 z

2t 4 y

t 2 x

:)'(d và

4t z

ty

t 1 x

:(d)































Bµi 31.Cho hai đường thẳng .

-z
5

2
y
1

2

-x

:
)
'
(d

,
1

2

-z
3

1

-y
2

1
x

:

(d)       CMR: d và d’

chéo nhau rồi viết phương trình đường vng góc chung của d và d’.

Bµi 32 . Với giá trị nào của k thì đ.thẳng

.

0 1 -

z

ky

-x

0

1 z

-y

2kx

:)

d(















nằm trong mp(Oyz).

Bµi33.Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng:

a) (): 2x – y + 4z + 5 = 0 và (): x + 2y + 2z – 10 = 0;

b) (): x + 2y - 3z + 15 = 0 và (): 2x + 4y - 6z – 50 = 0.

Bµi 34 . Tính khoảng cách từ các điểm M(2; 3; 1), N(1; -1; 1), P(1; 1; 1) đến đường thẳng

.
2

-1
z
2

1
y
1

2
x

:

(d)     

Bµi 35 Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 3; -1), N(1; -4; 1), P(-1; 5; 1) đến đường thẳng

.

0

2 2z

3y

x

0 1 -

2z

-y

x

:

(d)















</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

;

3t - 5 z

t 2 - y

3t 2 x

:)'(d và

2t - 1 z

t 1 - y

4t 1 x

:(d) b) ;

3t z

3t 2 - y

3t 2 x

:)'(d và

1 z

t- 1 - y

t 1 x

:(d) a)



























































Bµi 37 . Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương cạnh a

và đường chéo của một mặt bên (nếu chúng khơng cắt nhau).

Bµi 38 . Tìm góc tạo bởi đường thẳng

1
2
z
1

1
y
2

3
x
:
)

(      với các trục tọa độ.

Bµi 39 . Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD với A(3; -1; 0,),

B(0; -7; 3), C(-2; 1; -1), D(3; 2; 6).

Bµi40 .Tìm góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng () sau đây:



x 1 2t,y -1 3t,z 2- t, ( ):2x -y 2z-1 0;
:

(d)

a)        

;
0
2
z

y
x
:
)
(

,
2

-3
z
1

1
y
4

2
x

:
(d)

b)          

; 0

1 - z

y

-3x :

)(

;

0 2

z

y

x

0 1

- 3z

y

2x

:(d)

c)

























Bµi41. Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng d trên mp (), với



x 1 3t,y -1 3t,z 2-2t, ( ):2x -y -2z-10 0;

:
(d)

a)       

;
0
3
z

-y
x

:
)
(

,
2

-3
z
1

-1

-y
4

2
x

:
(d)

b)        

; 0

4 -

2z

y

-3x :

)(

;

0 2

z

2y

x

0 1

- 3z

y

2x

:(d)

c)



















</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bµi42 . Viết pt đường thẳng () đi qua M(0; 1; 1), vng góc với đ.thẳng (d) và cắt đ.thẳng (d’), biết

.

0 z

x

0 2

z

-y

x

:)'

(d ,

1 z

1 2 y

3 1 -x

:(d)





















Bµi43 . Viết pt đường thẳng () đi qua M(0; 1; -1), v.góc và cắt đ.thẳng

.

0 z

x

0

1 -4y

x















Bµi44 . Viết pt đường thẳng () đi qua giao điểm của đ.thẳng d và mp(), nằm trong () và v.góc với d,
biết (): x + y + z – 1 = 0,

.

z

1 y









Bµi45. Lập phương trình đường thẳng () vng góc với mp(Oxz) và cắt cả hai đường thẳng (d): x = t, y =

- 4 + t, z = 3 – t và (d’): x = 1 – 2y, y = - 3 + t, z = 4 – 5t.

BÀI TẬP ƠN TỔNG HỢP

Bài 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).

1. Chứng minh tam giác ABC vng. Viết phương trình tham số của đương thẳng AB.

2. Gọi M là điểm sao cho MB2MC . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vng góc với
đường thẳng BC. (Đề thi tốt nghiệp 2006)

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng ()có phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng ().

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm E và vng góc mặt phẳng (). (Đề thi
tốt nghiệp 2007 Lần 1)

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và đường thẳng (d) có phương trình

























t

z

t

y

t

x

6

3

2

1

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng (d).
2. Viết phương trình tham số của đương thẳng đi qua hai điểm M và N.

(Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2)

Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với đường thẳng BC.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):













2 36







 y z

x và (P): x + 2y + 2z +18 = 0.

1. Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của
d và (P). (Đề thi tốt nghiệp 2009)

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình
6y+8z+1=0

1.Viết phương trình tham số của đường thằng d đi qua hai điềm M và N.

2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện.

Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
1. Viết phương trình mặt phẳng () đi qua ba điểm A,B,C

2.. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và có đường kính bằng 4

Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A



2; 1;0



và đường thẳng d:

1 2

1
2 3

x t

y t

z t

 



 


  

1. Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua A và vng góc với d.
2. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2 ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).

1. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết phương trình mp(ABC).

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.

Bài 10: Trong không gian Oxyz cho các điểm A( 1 ; -3 ; -1), B( -2; 1 ; 3)
1/ Viết phương trình đường thẳng AB

2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ và vng góc AB

Bài 11: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có phương trình x21y11z21.
1) Viết phương trình mặt phẳng  qua A và vng góc d.

2) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng  .

Bài 12: Trong không gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) và mp (Q) : x + 3y - z + 2 = 0 .
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A và vng góc với (Q).

2. Tìm tọa độ H hình chiếu của A trên (Q).Suy ra tọa độ A' đối xứng của A qua (Q).

Bài 13: Trong không gian

Oxyz

, cho 4 điểm

A



3;2;0 ,



B



0;2;1 ,



C





1;1;2 , (3; 2; 2)



D



.
1. Viết phương trình mặt phẳng

(

ABC

)

. Suy ra

DABC

là một tứ diện.

2. Viết phương trình mặt cầu

( )

S

tâm

D

và tiếp xúc mặt phẳng

(

ABC

)

Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ).

Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm A



2; 1;0



và đường thẳng d:

1 2
1
2 3

x t

y t

z t

 



 


  

1.Viết phương trình mặt phẳng

 

P đi qua A và vng góc với d.
2.Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

Bài 16: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :x 1 y 3 z 2

1 2 2

  

  và điểm A(3;2;0)
1. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của A lên d

2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d.

Bài 17: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C

2. Gọi (d) là đường thẳng qua C và vng góc mặt phẳng (ABC). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

(d) và mặt phẳng (Oxy).

Bài 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x + y + z – 9 = 0 và đường thẳng  :

2 4
1

x t

y t

z t

 




 


 


( t là tham số)

1. Tìm giao điểm I của  và ().

2. Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với ().

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng (d) có

phương trình

x 1 2t

y 3 t

z 6 t
 



 


  


1. Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng (d).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm hai điểm M và N.

B i 20.à

1. Cho bốn điểm A(0; 0; 3), B(1; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0).

a) Tính



AB.BC



.CACD2.AB; b) Tính diện tích tam giác ABC;
c) CMR: bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

2. Giả sử A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4) là ba đỉnh của hình bình hành ABCD. Tìm: a) Tọa độ điểm

D; b) Tọa độ giao điểm của hai đường chéo;

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

3. Trong k.gian tọa độ Oxyz cho hai đ.thẳng





























0 4

z -y

x

0 z

3y x

:)(D'

;

4 z

2t 1 -

y

t 3

x

:(d)

.
a) Xét vị trí tương đối giữa (d) và (d’);

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua (d’) và song song với (d);

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 1; 0) và vng góc với (d)
d) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’);

e) Viết phương trình đường vng góc chung của (d) và (d’).
4. Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng () lần lượt có phương trình:

0.
2

-z

-5y

3x

:
)
(

;
1

1

-x
3

9

-x
4

12

-x

:

(d)     

a) CMR: đường thẳng (d) cắt mặt phẳng () và tìm giao điểm của chúng;
b) Viết p.trình mặt phẳng () đi qua điểm M(1; 2; -1) và vng góc với (d);
c) Viết phương trình hình chiếu của (d) trên mặt phẳng ();

d) Cho điểm A(1; 0; -1). Hãy tìm tọa độ của điểm A’ sao cho () là mặt phẳng trung trực của AA’;
e) Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc chứa điểm M1(1; 2; 1) tạo bởi hai mặt phẳng ()
và ().

5. Cho hai điểm M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) và mp (): Ax + By + Cz + D = 0. CMR: M1, M2 ở về hai
phía của mặt phẳng () khi và chỉ khi:

(Ax1 + By1 + Cz1 + D)( Ax2 + By2 + Cz2 + D) < 0.
6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) CMR: đường chéo A’C vng góc với mặt phẳng (A’B’D’);
b) CMR: giao điểm của A’C và mp(AB’D’) là trọng tâm AB’D’;
c) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD);
d) Tìm góc giữa hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’).

7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm M  AD’, N  BD sao cho AM = DN = k



0k a 2



a) Tìm k để độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất;

b) CMR: MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k thay đổi;

c) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vng góc chung của AD’ và BD và MN // A’C.
8. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:

x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0

a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S);

b) Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(): x + y – z + k = 0 theo k;

c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) và đ.thẳng  đi qua hai điểm M(1; 1; 1) và N(2; -1; 5) và viết
p.trình các mặt phẳng tiếp xúc của (S) tại các giao điểm đó.

9. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)
a) CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện và tính VABCD.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

a) CMR: IJ  AC’ và tính độ dài đoạn IJ;

b) CMR: D’B  mp(A’C’D), D’B  mp(ACB’);
c) Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D.

11. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(5; -4, 3) và cắt ba trục tọa độ tại ba điểm cách đều gốc tọa
độ.

12. Ba điểm A(2; -1; -1), B(-1; 3; -1), M(-2; 0; 1). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng
AB.

13. Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thnẳng (d): .
2

2

-z
2

-2

-y
3

1
x






Tìm điểm I  AB
sao cho IA + IB nhỏ nhất.

14. Trong không gian Oxyz, xét điểm S(2; 0; -1) và véc tơ u (1;0;1). Gọi  là đường thẳng đi qua S
và có véc tơ chỉ phương u.

a) CMR: tập hợp những điểm M  mp(Oxy) mà góc giữa  và đường thẳng SM bằng 600 là
hypebol (H). Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H);

b) Gọi (), () là các mặt phẳng đi qua S và chứa một trong hai đường tiệm cận của (H). CMR:
tích các khoảng cách từ một điểm thuộc (H) đến hai mặt phẳng (), () là một đại lượng không đổi.

15. Cho hai điểm A(1; 0; 0), A’(-1; 0; 0),  là đường thẳng đi qua A và song song với Oz, ’ là đường
thẳng đi qua A’ và song song với Oy.

a) Tìm tập hợp các điểm M  mp(Oxy) cách đều  và ’;
b) Tìm tập hợp các điểm M  mp(Oyz) cách đều  và ’

16. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của

AB, B’C’, C’D’, D’D.

a) CMR: M, N, P, Q đồng phẳng và viết p.trình mặt phẳng () chứa chúng;

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

</div>

Giao an phu dao hinh giai tich trong khong gian

























b' s'

b a

;

a' c'

a c

;

c' b'

c b

v ,u

































 

 

 



























 





 

 





 















$

<b>2 :PH</b>

<b>ƯƠNG TRÌNH </b>

<b>M</b>

<b>ẶT CẦU</b>











