tinh tich phan baNG PP doi bien

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề về tích phân</b>

1. Tích phân hàm phân thức
các dạng cơ bản

Các trường hợp đơn giản nhất có:

I.1 =

I.2 = với n tự nhiên khác 1

I.3 =

I.4 = với a > 0

Nguyên hàm I.1, I.2 tính được dễ dàng bằng cách áp dụng cơng thức có trong bảng Ngun hàm
của các hàm số hợp (SGK trg 116). Nguyên hàm I.3 là bài tập 3d (SGK trg 118) – cũng chỉ là

nguyên hàm dạng (với .

I.4 là bài tập 4a (SGK trg 142). Để tính tích phân này ta đổi biến: đặt x = atgt.
Trường hợp tổng quát

Nếu P có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì phân thức có thể viết thành P/Q = T + R/Q (T, R lần
lượt là thương và dư trong phép chia P : Q), tính tích phân hàm P/Q qui về tính tích phân của đa
thức T và tích phân của hàm hửu tỉ R/Q. Việc tính tích phân của đa thức T khơng có gì khó khăn.
Sau đây ta xét cách tính tích phân của phân thức R/Q trong đó R là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
đa thức Q.

Trừong hợp 1. Q là tam thức bậc hai: Q =
Có ba khả năng:

(i). Q có hai nghiệm phân biệt

Khi đó có Q = . Biến đổi:
, ở đây m, n là hai hằng số.
Bài tốn qui về tính tích phân dạng I.1

(ii). Q có nghiệm kép

Khi đó có Q = . Biến đổi:

Bài tốn qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2
(iii). Q vơ nghiệm.

Khi đó Q = (k là hằng số). Biến đổi:

trong đó Q’ là đạo hàm của Q.
Bài tốn qui về tính tích phân dạng I.3 và I.4
Trường hợp 2. Q là đa thức có bậc lớn hơn 2

Việc tính tích phân của phân thức R/Q với Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 trong trường hợp tổng
quát vượt quá kiến thức PT. Thường ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q có thể phân
tích thành nhân tử là các nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai vơ nghiệm. Từ đó ta có thể biến
đổi phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài
tốn như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4 . Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp
giúp ta đưa tích phân về dạng quen thuộc dđơn giản hơn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Các bạn hãy thử làm các bài tập sau để nắm rõ hơn phần lí thuyết nghe cịn trừu tượng trên.
Bài tập: Tính các tích phân:

A = B = với a > 0 C =

D = E = F = G =
HD

A. dạng I.3 ĐS:

B. Biến đổi: f(x) = .

Ta đã đưa về được tích phân dạng I.1.

Chú ý nguyên hàm (a khác 0) cũng là một dạng nguyên hàm thường
gặp, nên chú ý.

C. tương tự. ĐS

D. f(x) = 1 + . ĐS: 1 +
E. f(x) =

ĐS: ln2+
F. f(x) = 1 +
G. đặt t =

Thêm mấy bài trích từ đề thi TS ĐH & CĐ mấy năm gần đây để các bạn làm quen

H = I = J = K =
2.Tích phân hàm lượng giác

Các dạng thường gặp

J.1 = . J.2 = . J.3 =

J.4 =

Trên là 4 nguyên hàm lượng giác cơ bản đã học (có trong Bảng các nguyên hàm SGK).

Từ các nguyên hàm cơ bản này ta dễ dàng tính được , …
Các nguyên hàm sau cũng khá thường gặp, hơn nữa cách tính chúng rất điển hình cho cách tính
tích phân các hàm lượng giác, nên cần nắm vững:

J.5 = J.6 = J.7 = J.8 =

J.9 = J.10 = J.11 =

Tính J.5: tgx = sinx/cosx. Đặt u = cosx, đưa về tính ngun hàm hửu tỉ dạng u’/u.

Trình bày gọn: = -ln|cosx| + C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

J.6: biến đổi , đưa về tính nguyên hàm dạng J.1

Tương tự với .

( Nói chung, ta chỉ phát biểu bài tốn với sin, tang. Bài toán với cos, cotg là tương tự, từ nay sẽ
không nhắc lại

J.7: biến đổi , đưa về hai nguyên hàm cơ bản
J.8: , đặt u = cosx, đưa về nguyên hàm hàm hửu tỉ.

Cũng có thể đặt t = tg(x/2), dẫn đến = ln|t| + C = ln|tg(x/2)| + C.

J.9: , đưa về tính hai ngun hàm

cơ bản

Cũng có thể biến đổi: , cũng đưa về hai nguyên hàm cơ bản
J.10:

, đựoc nguyên hàm cơ bản và I.5

J.11: đặt u = 1/sinx, dv = , qui về tính

I = = J.11 + J.8

Từ các bài tốn trên, ta thấy để tính tích phân hàm lượng giác các cách thường dùng là
1. Biến đổi đưa về tích phân cơ bản

Ví dụ ở I.6, I.7, I.9. Ta xét thêm vài thí dụ:

J.12 J.13 J.14

J.15 Giải phương trinh f(t) = = 0
2. Đổi biến đưa về tích phân cơ bản

Ví dụ ở J.5, J.8, J.10. Sau đây là một số ví dụ khác:

J.16 = J.17 = J.18 =

J.19 =

3. Phương pháp tích phân từng phần

ví dụ với J.11. Một số ví dụ khác:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Hướng dẫn giải các ví dụ

J.12: Mẫu = 1+cosx =

Chú ý dạng tổng quát cũng thường gặp:

J.13: f(x) =

J.14: f(x) =

J.15: biến đổi hàm dưới dấu tích phân g(x) = – 2cos2x.

Suy ra f(t) = sin2t = 0.

J.16: đặt t = tg(x/2).

Tổng quát: nguyên hàm dạng có thể hửu tỉ hóa bằng cách đặt t = tg(x/2).
Tuy nhiên khi tính tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] phải chú ý t = tg(x/2) có được xác định trên
đoạn ấy? nếu khơng, phải tìm cách đổi biến khác.

J.17: Gọi M = mẫu thức, M’ = đạo hàm của M. Biến đổi:
f(x) =

Tổng quát: : tính tương tự

J.18: f(x) =

Tổng quát: với

ta làm tương tự để biến đổi, đưa về tính hai tích phân cơ bản:

f(x) = =

Tương tự với f(x) = 1/cos(x+a)cos(x+b), 1/sin(x+a)cos(x+b)...

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

J.19: mẫu = sin(x+pi/6), được dạng tích phân cơ bản.

Tổng quát: .

Cách khác: đặt t = tg(x/2) đưa về tích phân hữu tỉ.

J.20: đặt u = x, dv = dx/cos^2x.

J21:

---Một số đề thi TS ĐH&CĐ những năm gần đây để các bạn thực tập

D1 = D2 = D3 = D4 =

D5 = D6 = D7 =

D8 = D9 = D10 =
3.Tích phân hàm vơ tỉ đổi biến

Trong nhiều trường hợp để tính tích phân ta chỉ cần đơn giản đặt t = . Nhớ
đổi biến thì cũng phải đổi cận lấy tích phân.

Ví dụ 1: I = (Khối A-2003)

Đặt t = , ta đưa về tính tích phân hửu tỉ đơn giản

Ví dụ 2: I = (Khối A-2004)

Đặt t = đưa về tính tíchphân hửu tỉ

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Đặt t = , được

Một số dạng tích phân vơ tỉ có cách đổi biến đặc biệt, nên nhớ:

K1 =

Đặt x = |a|sint, đưa về tích phân lượng giác quen thuộc

K2 =

Tương tự K1, đặt x = |a|sint

K3 =

Đặt x= |a|tgt, đưa về tích phân lượng giác quen thuộc.

K4 =

Đặt t = x + .

Cũng còn một số dạng khác nữa, nhưng trên đây là các dạng thường gặp nhất. Ta làm vài ví dụ để

luyện tập.

Ví dụ 4: Ví dụ 5: Ví dụ 6: Ví dụ 7:

Ví dụ 8:

Để tính tích phân các hàm vơ tỉ ta cịn dùng Phương pháp tích phân từng phần .

Trở lại ví dụ 7 trên đây:

Ta cịn có thể giải: đặt u = , dv = dx; bài tốn qui về tính tích phân dạng K4
Ngồi ra, thường thì ta cũng phải biến đổi chút ít mới đưa về các dạng quen thuộc

Ví dụ 9:

Ví dụ 10:

Hướng dẫn giải các ví dụ

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

vd5: Dạng K2, đặt x = 2sint (bài tập 3.26-e SBT)

vd6: Dạng K4, đặt t = x + . (bài tập 3.26-d SBT)

vd7: Dạng K3, đặt x = tgt, đưa về

Đây là tích phân lượng giác quen thuộc (xem phần tích phân luọng giác)
Cách khác: đặt t = x + .

Vd8: Với tích phân dạng có cách giải rất đặc trưng là đặt x = |a|/sint. Tuy nhiên có
thể làm cách khác, như với ví dụ này: đặt t = 1/x đưa về tích phân dạng K2,

hoặc đơn giản hơn, đặt t = đưa về tích phân hửu tỉ quen thuộc.
Vd9: Nhân lượng liên hiệp để khử căn ở mẫu,ta có ngay hai tích phân cơ bản
Vd10: Tương tự, nhân lương liên hiệp để khử căn ở mẫu, được

. Với tích phân thứ hai đặt t = .

Sau đây là một số bài tập tính tích phân hàm vơ tỉ trích từ một số đề thi TS ĐH&CĐ mấy năm gần
đây

BT1. BT2. BT3.

BT4. BT5. BT6. BT7.

Hướng dẫn:

BT1: đặt Cũng có thể đổi biến x = tant
BT2: đặt t =

BT3: Nhân lượng liên hiệp khử mẫu
BT4: đặt x = 2sint

</div>

<!--links-->