Phan tich da thuc thanh nhan tu

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PhÇn chung</b>

<b>1. Lí do chọn ti</b>

<i>1.1. Cơ sở pháp chế</i>

o to bi dng hc sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo.
Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết
của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc. Chính vì
vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục hết
sức chú trọng.

<i>1.2. C¬ së lý ln</i>

Tốn học là mơn học giữ vai trị quan trọng trong suốt bậc học phổ thơng. Là một mơn học
khó, địi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho
mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng trình, nội dung của SGK, nắm vững
ph-ơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một cơng việc mà
bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn thờng xuyên phải làm.

Trong công tác giảng dạy bộ môn Tốn, việc đào tạo, bồi dỡng những học sinh có năng
khiếu về bộ mơn Tốn. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn tốn
là một cơng tác mũi nhọn trong cơng tác chun môn đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng.
Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp đợc tổ chức thờng xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ
điều đó.

Chơng trình Tốn bậc THCS có rất nhiều chun đề bồi dỡng học sinh giỏi, trong đó
chun đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trị
quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại
số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì khơng thể thiếu việc phân tích đa

thức thành nhân tử, hay việc giải một phơng trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học
sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi
học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài tốn về chun đề
phân tích đa thức thành nhân tử, ... Chính vì vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề về
phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.
<i>1.3. Cơ sở thực tiễn</i>

Năm học này, bản thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo
bồi dỡng học sinh giỏi mơn Giải tốn trên máy tính Casio. Đây là cơ hội để tôi đa đề tài này
áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi.

Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này.

<b>2. Nhiệm vụ của đề ti</b>

- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.

- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phơng pháp giải bài
tập thích hợp cho từng bài .

- Thực nghiệm việc sử dụng các phơng pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
trong giảng dạy.

- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cøu.

<b>3. Giới hạn của đề tài</b>

Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trờng: Trờng THCS Nguyễn Thái Học và Trờng
THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tợng là học sinh giỏi bộ mơn Tốn lp 9

<b>4. Đối tợng nghiên cứu</b>

Học sinh giỏi lớp 9 của Trờng THCS Dân tộc nội trú và Trờng THCS Nguyễn Thái Học.

<b>5. Phơng pháp nghiên cứu</b>

thc hin tài này, tôi sử dụng những phơng pháp sau đây:
a) Phng phỏp nghiờn cu lý lun.

b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn.
c) Phơng pháp quan sát.

d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiƯm.

<b>6. Thêi gian nghiªn cøu</b>

Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007

<b>7. Tµi liƯu tham kh¶o</b>

Để thực hiện đề tài này, tơi đã sử dụng một số tài liệu sau:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
- Chuyên đề bồi dỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

- “23 chuyên đề giải 1001 bài tốn sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh –
Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH).

<b>Nội dung đề tài</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>1.1. C¬ sở lí luận</i>

<i>1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử</i>
<i>a) Định nghĩa 1</i>

+ Nu mt a thc c viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa
thức đã cho đợc phân tích thnh nhõn t.

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nµo ta cịng cã thĨ biĨu diƠn thµnh tích của một nhân tử
khác 0 với một đa thức kh¸c. ThËt vËy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(

<i>c</i>
<i>a_n</i>

xn₊

<i>c</i>
<i>a_n</i>_₁

xn – 1₊…_..+

<i>c</i>
<i>a</i>₀

) ( với c



0, c



1 ).
<i>b) Định nghĩa 2</i>

Gi s P(x)

_

P

 

<i>x</i> là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên tr ờng P

nếu nó khơng thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x).
Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân tích đợc trên P.

<i>1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử</i>
<i>a)Định lý 1</i>

Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và sự
phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bc 0.

<i>b) Định lý 2</i>

Trờn trng s thc R, mt đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai
với biệt thức _ < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích đợc thành tích
của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với _< 0.

<i>c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) </i>

Giả sử f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an

0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn

tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của an nhng p là ớc của các hệ số còn lại và

p2_{không phải là ớc của các số hạng tự do a}

0. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.

<i>1.2. Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử</i>

Qua cỏc nh lý trờn, ta ó chng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thành tích các đa
thức trên trờng số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , cịn trong thực hành thì khó khăn hơn
nhiều , và địi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp”. Dới đây qua các ví

dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.

<i>1.2.1. Phơng pháp đặt nhân tử chung</i>

Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
(theo chiều ngợc).

<i>Bµi 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = 2ax3_{+ 4bx}2_{y + 2x}2_{(ax - by)}

<i>Gi¶i: Ta cã : A = 2ax</i>3_{+ 4bx}2_{y + 2x}2_{(ax –by)}

= 2x2_{(ax + 2by + ax – by)}

=2x2_{(2ax + by)}

<i>Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

P = (2a2_{– 3ax)(5y + 2b) – (6a}2_{– 4ax)(5y + 2b)}

<i>Gi¶i: Ta cã: P = (2a</i>2_{– 3ax)(5y +2b) – (6a}2_{– 4ax)(5y + 2b)}

= (5y+2b)((2a2_{– 3ax) – (6a}2_{– 4ax))}

= (5y + 2b)(- 4a2_{+ ax)}

= (5y + 2b)(x 4a)a
<i>Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

B = 3x2_{(y – 2z ) – 15x(y – 2z)}2

<i>Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z</i>
Do đó : B = 3x2_{(y – 2z) – 15x(y – 2z)}2

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
<i>Bµi 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

C = (2a2_{– 3ax)(5c + 2d) – (6a}2_{– 4ax)(5c +2d)}

<i>Gi¶i: Ta cã: C = (2a</i>2_{– 3ax)(5c + 2d) – (6a}2_{– 4ax)(5c + 2d)}

= (5c + 2d)(2a2_{– 3ax – 6a}2_{+ 4ax)}

= (5c + 2d)(ax – 4a2₎

= a(5c + 2d)(x 4a)
<i>Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

Q = 3x3_{y 6x}2_{y 3xy}3_{– 6xy}2_{z – xyz}2_{+ 3xy}

<i>Gi¶i: Ta cã: Q = 3x</i>3_{y – 6x}2_{y – 3xy}3_{– 6xy}2_{z – xyz}2_{+ 3xy}

= 3xy(x2_{– 2x –y}2_{– 2yz – z}2_{+ 1)}

= 3xy((x2_{– 2x + 1) – (y}2_{+ 2yz + z}2₎₎

= 3xy((x – 1)2_{– (y + z)}2₎

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))

= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

A = 16x2_{(y – 2z) – 10y( y – 2z)}

Gi¶i: Ta cã : A = 16x2_{(y – 2z) – 10y( y – 2z)}

= (y 2z)(16x2_10y)

<i>Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
B = x3_{+ 3x}2_{+ 2x + 6}

<i>Gi¶i: Ta cã : B = x</i>3_{+ 3x}2_{+ 2x + 6}

= x2_{(x + 3) + 2( x + 3)}

= (x2_{+ 2)(x + 3)}

<i>Bµi 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = 6z3_{+ 3z}2_{+ 2z +1}

<i>Gi¶i: Ta cã : A = 6z</i>3_{+ 3z}2_{+ 2z +1}

= 3z2_{(2z + 1) + (2z + 1)}

= (2z + 1)(3z2_{+ 1)}

<i>1.2.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử</i>

Phng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp của
phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng

tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số vớ d :

<i>Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư</i>
B = xy2_{– xz}2_{+ yz}2_{– yx}2_{+ zx}2_{– zy}2

<i>Gi¶i: Ta cã : B = xy</i>2_{– xz}2_{+ yz}2_{– yx}2_{+ zx}2_{– zy}2

= (xy2_{– xz}2_{) + (yz}2 _{- zy}2_{) + (zx}2_{– yx}2₎

= x(y2_{– z}2_{) + yz(z – y) + x}2_{(z – y)}

= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2_{(y – z)}

= (y – z)((x(y + z) – yz – x2₎₎

= (y – z)((xy – x2_{) + (xz – yz)}

= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
<i>Bµi 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

A= 4x5_+6x3_+6x2₊₉

<i>Gi¶i: Ta cã : A= 4x</i>5_+6x3_+6x2₊₉

= 2x3_(2x2 _{+ 3) + 3(2x}3_{+ 3)}

= (2x3_{+ 3)(2x}2_{+ 3)}

<i>Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

B = x6_{+ x}4_{+ x}2_{+ 1}

<i>Gi¶: Ta cã : B = x</i>6_{+ x}4_{+ x}2_{+ 1}

= x4_(x2_{+ 1) + ( x}2_{+ 1)}

= (x2_{+ 1)(x}4_{+ 1)}

<i>Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
B = x2_{+ 2x + 1 – y}2

<i>Gi¶i: Ta cã: B = x</i>2_{+ 2x + 1 – y}2

= (x2_{+ 2x + 1) – y}2

= (x + 1)2_{– y}2

=(x +1 – y)(x + 1 + y )
<i>Bµi 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

A = x2_{+ 2xy + y}2_{– xz - yz}

<i>Gi¶i: Ta cã : A = x</i>2_{+ 2xy + y}2_{– xz - yz}

= (x2_{+ 2xy + y}2_{) – (xz + yz)}

= (x + y)2_{– z(x + y)}

= (x + y)(x + y z)

<i>Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
P = 2xy + z + 2x + yz

<i>Giải: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz</i>
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)

<i>Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = xm + 4_{+ x}m + 3_{– x - 1}

<i>Gi¶i: Ta cã : A = x</i>m + 4_{+ x}m + 3_{– x – 1}

= xm + 3_{(x + 1) – ( x + 1)}

= (x + 1)(xm + 3₁₎

<i>Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
P = x2_{(y z) + y}2_{(z - x) + z}2_{(x y)}

<i>Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa sè chung y - z </i>
Ta cã : P = x2_{(y – z) + y}2_{z – xy}2_{+ xz}2_{– yz}2

= x2_{(y – z) + yz(y – z) – x(y}2_{– z}2₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

= (y – z)((x2_{+ yz – x(y + z))}

= (y – z)(x2_{+ yz – xy – xz)}

= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))

= (y – z)(x – y)(x – z)

NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)

nªn : P = x2_{(y – z) - y}2_{((y – z) + (x – y)) + z}2_{(x – y)}

=(y – z)(x2_{– y}2_{) – (x – y)(z}2_{– y}2₎

= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))

= (y – z) (x – y)(x – z)

<i>Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tö</i>
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

<i>Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc</i>

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2_{+ c}2_{a + abc – abc}

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2_{( a + b)}

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2₎

= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)

<i>Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a</i>2_{b + ab}2_{+ b}2_{c +bc}2_{+ c}2_{a + ca}2_{+ 3abc}

<i>Gi¶i: Ta cã : Q = a</i>2_{b + ab}2_{+ b}2_{c +bc}2_{+ c}2_{a + ca}2_{+ 3abc}

= (a2_{b + ab}2_{+ abc) + (b}2_{c +bc}2_{+abc) + (c}2_{a + ca}2_{+ abc)}

= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)

<i>Bµi 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

A = 2a2_{b + 4ab}2_{– a}2_{c + ac}2_{– 4b}2_{c + 2bc}2_{– 4abc}

<i>Gi¶i: Ta cã : A = 2a</i>2_{b + 4ab}2_{– a}2_{c + ac}2_{– 4b}2_{c + 2bc}2_{– 4abc}

= (2a2_{b + 4ab}2_{) – (a}2_{c + 2abc) + (ac}2_{+ 2bc}2_{) – (4b}2_{c+ 2abc)}

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2_{(a + 2b) – 2bc(a + 2b)}

= (a + 2b)(2ab – ac + c2_{– 2bc)}

= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a c)

<i>Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

P = 4x2_y2_{(2x + y) + y}2_z2_{(z y) – 4z}2_x2_{(2x + z)}

<i>Gi¶i: Ta cã : P = 4x</i>2_y2_{(2x + y) + y}2_z2_{(z – y) – 4z}2_x2_{(2x + z)}

= 4x2_y2_{(2x + y) + z}2_(y2_{(z – y) – 4x}2_{(2x + z)}

= 4x2_y2_{(2x + y) + z}2_{( y}2_{z – y}3_{– 8x}3_{– 4x}2_z)

= 4x2_y2_{(2x + y) + z}2_(z(y2_{– 4x}2_{) – (y}3_{+ 8x}3₎₎

= 4x2_y2_{(2x + y) + z}2_{(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y}2_{– 2xy + 4x}2₎₎

= (2x + y)( 4x2_y2_{+ z}3_{– 2xz}3_{– z}2_y2 _{+ 2xyz}2_{– 4x}2_z2₎

= (2x + y)(4x2_(y2_{– z}2_{) – z}2_{y (y – z) +2xz}2_{( y – z))}

= (2x + y)(y – z)(4x2_{y + 4x}2_{z – z}2_{y + 2xz}2₎

= (2x + y)( y – z)(y(4x2_{– z}2_{) + 2xz(2x + z))}

= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
<i>1.2.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ</i>

Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc
hai, bậc ba của một đa thức khác.

Các hằng đẳng thức thờng dùng là :
A2_{+ 2AB + B}2_{= (A + B)}2

A2_{- 2AB + B}2_{= (A - B)}2

A2_{- B}2_{= (A + B) (A - B)}

(A + B)3_{= A}3_{+ 3A}2_{B + 3AB}2_{+ B}3

(A - B)3_{= A}3_{- 3A}2_{B + 3AB}2_{- B}3

A3_{- B}3_{= (A - B)( A}2_{+ AB + B}2₎

A3_{+ B}3_{= (A + B)( A}2_{- AB + B}2₎

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

<i>Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = x4 _{+ x}2_y2_{+ y}4

<i>Giải: Ta cã : A = x</i>4 _{+ x}2_y2_{+ y}4

= (x4 _{+ 2x}2_y2_{+ y}4_{) - x}2_y2

= (x2_{+ y}2₎2_{- x}2_y2

= (x2_{+ y}2_{+ xy)(x}2_{+ y}2_{– xy)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>Gi¶i: Ta cã : B = a</i>6_{– b}6_{+ a}4_{+ a}2_b2_{+ b}4

= (a6_{– b}6_{) + (a}4_{+ a}2_b2_{+ b}4₎

= (a3_{+ b}3_{) (a}3_{- b}3_{) + (a}4_{+ a}2_b2_{+ b}4₎

= (a + b)( a2_{- ab + b}2_{) (a - b)( a}2_{+ ab + b}2_{) + (a}4_{+ 2a}2_b2_{+ b}4_{) – a}2_b2

= (a + b)( a2_{- ab + b}2_{) (a - b)( a}2_{+ ab + b}2_{) +(a}2_{+ b}2₎2_{– a}2_b2

= (a + b)( a2_{- ab + b}2_{) (a - b)( a}2_{+ ab + b}2_{) +(a}2_{+ab + b}2_)(a2_{- ab + b}2₎

= (a2_{+ab + b}2_)(a2_{- ab + b}2_{) ((a – b)(a + b) + 1))}

= (a2_{+ab + b}2_)(a2_{- ab + b}2_)(a2_{– b}2_{+ 1)}

<i>Bµi 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
M = x4_{+ x}2_{+ 1 + (x}2_{– x + 1)}2

<i>Gi¶i: Ta cã : M = x</i>4_{+ x}2_{+ 1 + (x}2_{– x + 1)}2

= (x4_{+ 2x}2_{+ 1) – x}2_{+ (x}2_{– x + 1)}2

= (x2_{+ 1)}2_{– x}2_{+ (x}2_{– x + 1)}2

= (x2_{– x + 1) (x}2_{+ x + 1) + (x}2_{– x + 1)}2

= (x2_{– x + 1) (x}2_{+ x + 1 + x}2_{– x + 1)}

= 2(x2_{– x + 1)(x}2_{+ 1)}

<i>Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư</i>
A = x4_{+ y}4_{+ z}4_{- 2x}2_y2_{– 2x}2_z2_{- 2y}2_z2

<i>Gi¶i: Ta cã: A = x</i>4_{+ y}4_{+ z}4_{- 2x}2_y2_{– 2x}2_z2_{- 2y}2_z2

= (x4_{+ y}4_{+ z}4_{- 2x}2_y2_{– 2x}2_z2 _{+ 2y}2_z2_{) – 4y}2_z2

= (x2_{– y}2_{– z}2₎2_{– 4y}2_z2

= (x2_{– y}2_{– z}2_{– 2yz) (x}2_{– y}2_{– z}2_{+ 2yz)}

= (x2_{– (y + z)}2_{)( x}2_{– (y - z)}2₎

= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y z)
<i>Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

A = (x + y)3_{+(x - y)}3

<i>Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải nh sau :</i>
Cách 1: A = (x + y)3_{+(x - y)}3

= ((x + y) +(x - y))3_{– 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)}

= 8x3_{– 3.2x(x}2_{– y}2₎

= 2x(4x2_{– 3(x}2_{– y}2₎₎

= 2x(x2_{+ 3y}2₎

C¸ch 2: A = (x + y)3_{+(x - y)}3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)2_{– (x + y)(x – y) + (x – y)}2

= 2x(2(x2_{+ y}2_{) - (x}2_{– y}2₎₎

= 2x(x2_{+ 3y}2₎

<i>Bµi 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = 16x2_{+ 40x + 25}

<i>Gi¶i: Ta cã: A = 16x</i>2_{+ 40x + 25}

= (4x)2_{+ 2.4.5.x + 5}2

= (4x + 5)2

<i>Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
B = (x - y)3_{+(y - z)}3_{+(z - x)}3

<i>Gi¶i: DƠ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)</i>

Từ đó ta có : (x - y)3_{= (x – z)}3_{+ (z – y)}3_{+ 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))}

= - (z - x)3_{- (y - z)}3_{+ 3(z – x)(y – z)(x – y)}

= 3(z – x)(y – z)(x y)

<i>Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = (a + b+ c) (a3_{+ b}3_{+ c}3₎

<i>Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a</i>3_{+ b}3_{+ c}3₎

= a3_{+ 3a}2_{(b + c) + 3a(b + c)}2_{+ (b + c)}3_{- (a}3_{+ b}3_{+ c}3₎

= a3_{+ 3a}2_{(b + c) + 3a(b + c)}2_{+ b}3_{+ 3b}2_{c + c}3_{- (a}3_{+ b}3_{+ c}3₎

= 3a2_{(b + c) + 3a(b + c)}2_{+ 3bc(b + c)}

= 3(b + c)(a2_{+ ab + ac + bc)}

= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)

= 3(b + c)(a + b)(a + c)
<i>Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tư</i>

P = x8_{– 2}8

<i>Gi¶i: Ta cã : P = x</i>8_{– 2}8

= (x4_{+ 2}4_{) (x}4_{- 2}4₎

= (x4_{+ 2}4_)((x2₎2_{– (2}2₎2₎

= (x4_{+ 2}4_)(x2_{– 2}2_)(x2_{+ 2}2₎

= (x4_{+ 2}4_)(x2_{+ 2}2_{)(x – 2)(x + 2)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>Gi¶i: Ta cã: Q = (x</i>3_{– 1) + (5x}2_{– 5) + (3x – 3)}

= (x – 1)(x2_{+ x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)}

= (x – 1)( x2_{+ x + 1 + 5x + 5 + 3)}

= (x – 1)( x2_{+ 6x + 9)}

= (x – 1)(x + 3)2

<i>1.2.4. Ph¬ng ph¸p thùc hiƯn phÐp chia:</i>

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một
đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phõn tớch tip g(x).

Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

<i>Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư</i>
f(x) = x5_{+ 6x}4_{+ 13x}3_{+ 14x}2_{+ 12x + 8}

<i>Gi¶i: </i>

DƠ thÊy: f(-2) = (-2)5_{+ 6(-2)}4_{+ 13(-2)}3_{+ 14(-2)}2_{+ 12(-2) + 8 = 0}

Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:

f(x) = (x + 2)(x4_{+ 4x}3_{+ 5x}2_{+ 4x + 4) = (x + 2).g(x)}

DÔ thÊy: g(x) = x4_{+ 4x}3_{+ 5x}2_{+ 4x + 4 cã g(-2) = 0}

Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc:
g(x) = (x + 2)(x3_{+ 2x}2_{+ 2x + 2)}

Đặt h(x) = x3_{+ 2x}2_{+ 2x + 2. Ta cã: h(-2) = 0}

Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 _{+ 1)}

VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 _{+ 1)}

= (x + 2)3_(x2 _{+ 1)}

Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để
thực hiện phép chia đợc nhanh hơn.

VÝ dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau :

1 6 13 14 12 8

-2 1 4 5 4 4 0

VËy f(x) = (x + 2)(x4_{+ 4x}3_{+ 5x}2_{+ 4x + 4)}

Chia x4_{+ 4x}3_{+ 5x}2_{+ 4x + 4 cho (x + 2) nh sau :}

1 4 5 4 4

-2 1 2 2 2 0

VËy x4_{+ 4x}3_{+ 5x}2_{+ 4x + 4 = (x + 2)(x}3_{+ 2x}2_{+ 2x + 2)}

Chia x3_{+ 2x}2_{+ 2x + 2 cho (x + 2) nh sau :}

1 2 2 2

-2 1 0 1 0

VËy x3_{+ 2x}2_{+ 2x + 2 = (x + 2)(x}2 _{+ 1)}

VËy h(x) = (x + 2)3_(x2 _{+ 1)}

<i>Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
P = x4_2x3_11x2_{+ 12x + 36}

<i>Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nÕu cã) trong c¸c íc cđa 36 : </i>_1; _2; _3; _4;

6 ; _9; _12; _18; _36.
Ta thÊy : x = -2

P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta cã: P = x4_{+ 2x}3_{– 4x}3_{– 8x}2_{– 3x}2_{– 6x + 18x + 36}

= x3_{(x + 2) – 4x}2_{(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)}

= (x + 2)(x3_{– 4x}2_{– 3x + 18)}

L¹i ph©n tÝch Q = x3_{– 4x}2_{– 3x + 18 thành nhân tử}

Ta thấy: Q(-2) = (-2)3_4(-2)2_{– 3(-2) + 18 = 0}

Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc :
Q = (x + 2)(x2_{– 6x + 9)}

= (x + 2)(x – 3)2

VËy: P = (x + 2)2_{(x – 3)}2

<i>1.2.5. Phơng pháp đặt ẩn phụ</i>

Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một đa thức với ẩn số
cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích đợc
thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phơng pháp đặt n ph.

<i>Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư</i>
A = (x2_{+ x) + 4(x}2_{+ x) - 12}

<i>Giải: Đặt : y = x</i>2_{+ x , đa thức đã cho trở thành :}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

= y2_{– 2y + 6y – 12}

= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2_{+ x vào (1) ta đợc :}

A = (x2_{+ x – 2)(x}2_{+ x – 6)}

= (x – 1)(x + 2)(x2_{+ x – 6)}

<i>Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tö</i>
A = (x2_{+ x + 1)( x}2_{+ x + 2) - 12}

<i>Gi¶i: A = (x</i>2_{+ x + 1)( x}2_{+ x + 2) - 12}

Đặt y = (x2_{+ x + 1). Đa thức đã cho trở thành :}

A = y(y + 1) – 12
= y2_{+ y – 12}

= y2_{– 3y + 4y – 12}

= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x2_{+ x + 1) vào (*) ta đợc :}

A = (x2_{+ x + 1 - 3)(x}2_{+ x + 1 + 4)}

= (x2_{+ x – 2) (x}2_{+ x + 6)}

= (x – 1)(x + 2)(x2_{+ x + 6)}

<i>Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
B = x12_3x6 _{+ 1}

<i>Giải: B = x</i>12_3x6 _{+ 1}

Đặt y = x6_(y_₀₎

Đa thức đã cho trở thành :
B = y2_{– 3y + 1}

= y2_{– 2y + 1 – y}

= (y – 1)2_{– y}

= (y – 1 - <i>y</i> )(y + 1 + <i>y</i> ) (*)
Thay : y = x6_{vào (*) đợc :}

B = (x6_{– 1 -} <i>_x</i>6₎₍<i>_y</i> ₁ <i>_x</i>6₎



= (x6_{– 1 – x}3_)(x6_{+ 1 + x}3₎

<i>Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư</i>
A = x3_{- 3} ₂ _x2_{+ 3x +} ₂_{- 2}

<i>Giải: Đặt : y = x - </i> ₂ , ta cã x = y + ₂

A = (y + 2 )3_{- 3} ₂_{(y +} ₂₎2_{+ 3(y +} ₂_{) +} ₂_{- 2}

= y3 _{+ 3y}2 ₂_{+ 3y.2 + 2} ₂_{- 3} ₂ _(y2_{+ 2} ₂_{y + 2) + 3(y +} ₂_{) +} ₂_{- 2}

= y3_{- 3y – 2}

= y3_{- y – 2y – 2}

= y(y2_{– 1) – 2(y + 1)}

= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)
= (y + 1)(y2_{– y – 2)}

= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)2_{(y – 2) (*)}

Thay : y = x - ₂ vào (*), đợc :
A = (x - ₂ + 1)2_{(x -} ₂_{- 2)}

<i>Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
<i>Gi¶i: Ta cã: </i>

M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x2_{+ 8x + 7)( x}2_{+ 8x + 15) + 15}

Đặt : y = (x2_{+ 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :}

M = y(y + 8) + 15
= y2_{+ 8y + 15}

= y2_{+ 3y + 5y + 15}

= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)

Thay : y = (x2_{+ 8x + 7), ta đợc :}

M = (x2_{+ 8x + 10)(x}2_{+ 8x + 12)}

= (x2_{+ 8x + 10)( x}2_{+ 2x + 6x + 12)}

= (x2_{+ 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>NhËn xÐt: Tõ lêi giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau</i>
thành nhân tö :

A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :

A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)

Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân
tích đợc đa thức A thành tích cỏc nhõn t.

<i>Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

A = x4_{+ 6x}3_{+ 7x}2 _{- 6x + 1}

<i>Gi¶i: Gi¶ sư x </i>0, ta viÕt ®a thøc díi d¹ng :
A = x2_((x2 ₊

2

x
1

) + 6( x -

<i>x</i>

1

) + 7 )
Đặt y = x -

<i>x</i>

1

th× x2 ₊

2

x
1

= y2_{+ 2}

Do đó : A = x2_(y2_{+ 2 + 6y + 7)}

= x2_{( y + 3)}2

= (xy + 3x) 2

Thay y = x -

<i>x</i>

1

, ta đợc
A =

2

3
)
1

( _











 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

= (x2_{+ 3x – 1)}2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
<i>Nhn xột : </i>

Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành
nhân tử :

A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0

Bằng cách đa xn_{làm nhân tử cña A, hay :}

A = xn_(a

0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +

<i>x</i>
<i>a_n</i>_₁

+…..+

1
1



<i>n</i>

<i>x</i>
<i>a</i>

+

<i>n</i>

<i>x</i>
<i>a</i>₀

Sau đó đặt y = x +

<i>x</i>

1

ta sẽ phân tích đợc A thành nhân tử một cỏch d dng nh bi tp
trờn.

<i>Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = x2_{+ 2xy + y}2_{– x – y - 12}

<i>Gi¶i: Ta cã: A = x</i>2_{+ 2xy + y}2_{– x – y – 12}

= (x + y)2_{– (x + y) – 12}

- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X2_{– X – 12}

= X2 _{- 16 – X + 4}

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)

- Thay X = x + y vào (1) ta đợc :
A = (x + y – 4)( x + y + 3)

<i>Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

A = (x2 _{+ y}2_{+ z}2_{)( x + y + z)}2_{+ (xy + yz + zx)}2

<i>Gi¶i: A = (x</i>2 _{+ y}2_{+ z}2_{)( x + y + z)}2_{+ (xy + yz + zx)}2

Đặt : x2 _{+ y}2_{+ z}2_{= a}

xy + yz + zx = b

 ( x + y + z)2_{= x}2 _{+ y}2_{+ z}2_{+ 2(xy + yz + zx) = a + 2b}

§a thøc A trë thµnh :
A = a(a + 2b) + b2

= a2 _{+ 2ab + b}2

= (a + b)2_(*)

Thay : a = x2 _{+ y}2_{+ z}2

b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc :
A = (x2 _{+ y}2_{+ z}2 ₊ _{xy + yz + zx)}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x</i>
Ta cã : A + B + C = 0. Nªn

A + B = - C
LËp ph¬ng hai vÕ :

(A + B)3_{= - C}3



A3_{+ 3AB(A + B) + B}3_{= - C}3



A3_{+ B}3_{+ C}3_{= - 3AB(A + B)}



A3_{+ B}3_{+ C}3_{= 3ABC}

Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc :

(x – y)3_{+ (y – z)}3_{+ (z – x)}3_{= 3(x – y)(y – z)(z – x)}

<i>1.2.6. Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)</i>

Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để
làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng đẳng thc ỏng nh.

Sau đây là một số ví dụ :

<i>Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = x2_{– 6x + 5}

<i>Gi¶i: Ta cã thĨ gi¶i bài toán trên đây bằng một số cách nh sau:</i>
Cách 1: A = x2_{– 6x + 5}

= x2_{– x – 5x + 5}

= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 2 : A = x2_{– 6x + 5}

= (x2_{- 2x + 1) – 4x + 4}

= (x – 1)2_{– 4(x – 1)}

= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 3 : A = x2_{– 6x + 5}

= (x2_{– 6x + 9) – 4}

= (x – 3)2_{– 4}

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)

C¸ch 4 : A = x2_{– 6x + 5}

= (x2_{– 1) – 6x + 6}

= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)

= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 5 : A = x2_{– 6x + 5}

= (3x2_{– 6x + 3) – 2x}2_{+ 2}

= 3(x – 1)2_{- 2(x}2_{– 1)}

= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)

C¸ch 6 : A = x2_{– 6x + 5}

= (5x2_{– 10x + 5) – 4x}2_{+ 4}

= (x – 1)2_{– 4x(x – 1)}

= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)

C¸ch 7 : A = x2_{– 6x + 5}

= (6x2_{– 6x) – 5x}2_{+ 5}

= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)

C¸ch 8 : A = x2_{6x + 5}

Đặt f(x) = x2_{– 6x + 5}

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng là (x – 5). Vậy

A = (x 1)(x 5)

<i>Chú ý: Để phân tích đa thức ax</i>2_{+ bx + c (c}



_{0) bằng phơng pháp tách số hạng ta làm nh sau :}

Bớc 1 : lÊy tÝch a.c = t

Bíc 2 : ph©n tÝch t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng hợp) t = pi.qi

Bơc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b

Bíc 4 : viÕt ax2_{+ bx + c = ax}2_{+ p}

ax + qax + c

Bớc 5 : từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
<i>Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>Giải:</i>

Cách 1: B = x4_{+ 2x}2_{- 3}

= x4_{– x}2_{+ 3x}2_{– 3}

= x2_(x2_{– 1) + 3(x}2_{– 1)}

= (x2_{– 1) (x}2_{+ 3)}

= (x – 1)(x + 1)(x2_{+ 3)}

C¸ch 2: B = x4_{+ 2x}2_{- 3}

= x4_{+ 3x}2_{– x}2_{– 3}

= x2_(x2_{+ 3) - (x}2_{+ 3)}

= (x2_{+ 3)(x}2_{– 1)}

= (x2_{+ 3)(x – 1)(x + 1)}

C¸ch 3 : B = x4_{+ 2x}2_{- 3}

= (x4_{) + 2x}2_{– 1 – 2}

= (x4_{– 1) + 2x}2_{– 2}

= (x2_{– 1)(x}2_{+ 1) + 2(x}2_{– 1)}

= (x2_{– 1)(x}2_{+ 3)}

= (x – 1)(x + 1)(x2_{+ 3)}

C¸ch 4 : B = x4_{+ 2x}2_{- 3}

= (x4_{+ 2x}2_{+ 1) - 4}

= (x2_{+ 1)}2_{– 4}

= (x2_{+ 1)}2_{– 2}2

= (x2_{+ 1 – 2)(x}2_{+ 1 + 2)}

= (x2_{– 1) (x}2_{+ 3)}

= (x – 1)(x + 1)(x2_{+ 3)}

C¸ch 5 : B = x4_{+ 2x}2_{- 3}

= (x4_{– 9) + 2x}2_{+ 6}

= (x2_{+ 3)(x}2_{- 3) + 2(x}2_{+ 3)}

= (x2_{+ 3)( x}2_{- 3 + 2)}

= (x2_{+ 3)(x}2_{– 1)}

= (x2_{+ 3)(x – 1)(x + 1)}

C¸ch 6 : B = x4_{+ 2x}2_{- 3}

= (3x4_{– 3) – 2x}4_{+ 2x}2

= 3(x4_{– 1) – 2x}2_(x2_{– 1)}

= 3(x2_{– 1)(x}2_{+ 1) - 2x}2_(x2_{– 1)}

= (x2_{– 1)(3( x}2_{+ 1) - 2x}2₎

= (x2_{– 1) (x}2_{+ 3)}

= (x – 1)(x + 1)(x2_{+ 3)}

<i>Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = x4_{+ x}2_{+ 1}

<i>Giải:</i>

Cách 1 : A = x4_{+ x}2_{+ 1}

= (x4_{+ 2x}2_{+ 1) - x}2

= (x2_{+ 1)}2_{- x}2

= (x2_{+ 1 - x)(x}2_{+ 1 + x)}

C¸ch 2 : A = x4_{+ x}2_{+ 1}

= (x4_{+ x}3_{+ x}2_{) – (x}3_{+ x}2_{+ x) + (x}2_{+ x + 1)}

= (x2_{+ 1 - x)(x}2_{+ 1 + x)}

C¸ch 3 : A = x4_{+ x}2_{+ 1}

= (x4_{- x}3_{+ x}2_{) + (x}3_{- x}2_{+ x) + (x}2_{- x + 1)}

= x2_(x2_{- x + 1) + x(x}2_{- x + 1) + (x}2_{- x + 1)}

= (x2_{- x + 1)(x}2_{+ x + 1)}

<i>Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
F = 5x2_{+ 6xy + y}2

<i>Giải: </i>

Cách 1 : F = 5x2_{+ 6xy + y}2

= (5x2_{+ 5xy) + (xy + y}2₎

= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 2 : F = 5x2_{+ 6xy + y}2

= (6x2_{+ 6xy) – (x}2_{- y}2₎

= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
= (x + y)(6x – x + y)

= (x + y)(5x + y)
C¸ch 3 : F = 5x2_{+ 6xy + y}2

= (4x2_{+ 4xy) +(x}2_{+ 2xy + y}2₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
C¸ch 4 : F = 5x2_{+ 6xy + y}2

= (3x2_{+ 6xy + 3y}2_{) + (2x}2_{– 2y}2₎

= 3(x + y)2_{+ 2(x}2_{– y}2₎

= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
= (x + y)(5x + y)

C¸ch 5 : F = 5x2_{+ 6xy + y}2

= (5x2_{+ 10xy + y}2_{) – (4xy + 4y}2₎

= 5(x + y)2_{– 4y(x + y)}

= (x + y)(5(x + y) – 4y))
= (x + y)(5x + y)

C¸ch 6 : F = 5x2_{+ 6xy + y}2

= (5x2_{- 5y}2_{) + (6xy + y}2₎

= 5(x2_{– y}2_{) + 6y(x + y)}

= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x – 5y + 6y)

= (x + y)(5x + y)

C¸ch 7 : F = 5x2_{+ 6xy + y}2

= (9x2_{+ 6xy + y}2_{) – 4x}2

=(3x + y)2_{– 4x}2

= (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)

<i>Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
P = x4_{+ x}2_y2_{+ y}4

<i>Giải:</i>

Ta cã : P = x4_{+ x}2_y2_{+ y}4

= (x4_{+ 2x}2_y2_{+ y}4_{) – x}2_y2

= (x2_{+ y}2₎2_{– (xy)}2

= (x2_{+ y}2_{– xy)(x}2_{+ y}2_{+ xy)}

<i>Bµi 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = x4_{+ x}2_{+ 1 + (x}2_{– x + 1)}2

<i>Gi¶i: Ta cã : A = x</i>4_{+ x}2_{+ 1 + (x}2_{– x + 1)}2

= x4_{+ (x}2_{– x + 1) + (x}2_{– x + 1)}2_{+ x}

= (x2_{– x + 1)(x}2_{– x + 2) + x(x + 1)(x}2_{– x + 1)}

= (x2_{– x + 1)((x}2_{– x + 2) + x(x + 1))}

= (x2_{– x + 1)(2x}2_{+ 2)}

<i>Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
P = 4x4_{+ 81}

<i>Giải: Ta có : P = 4x</i>4_{+ 81}

= 4x4_{+ 36x}2_{+ 81 – 36x}2

= (2x2_{+ 9)}2_{– (6x)}2

=(2x2_{+ 9 6x)(2x}2_{+ 9 + 6x)}

<i>Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
Q = 3x3_7x2_{+ 17x - 5}

<i>Gi¶i: Ta cã : Q = 3x</i>3_{– 7x}2_{+ 17x - 5}

= 3x3_{– x}2_{– 6x}2_{+ 2x + 15x – 5}

= x2_{(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)}

= (3x – 1)(x2_{– 2x + 5)}

Bµi 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x3_{– x}2_{– x - 2}

<i>Gi¶i: Ta cã : A = x</i>3_{– x}2_{– x - 2}

= x3_{– 1 – (x}2_{+ x + 1)}

= (x – 1)(x2_{+ x + 1) - (x}2_{+ x + 1)}

= (x2_{+ x + 1)(x – 1 – 1)}

= (x2_{+ x + 1)(x 2)}

<i>Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
B = x3_{+ x}2_{x + 2}

<i>Gi¶i: Ta cã : B = x</i>3_{+ x}2_{– x + 2}

= (x3_{+ 1) + (x}2_{- x + 1)}

= (x + 1)(x2_{- x + 1) + (x}2_{- x + 1)}

= (x2_{- x + 1)(x + 1+ 1)}

= (x2_{- x + 1)(x + 2)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<i>Gi¶i: Ta cã : C = x</i>3_{– 6x}2_{– x + 30}

= x3_{+ 2x}2_{– 8x}2_{– 16x + 15x + 30}

= x2_{(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)}

= (x + 2)(x2_{– 8x + 16 – 1)}

= (x + 2)((x – 4)2_{– 1))}

= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)

<i>1.2.7. Phơng pháp hệ số bất định</i>

Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính đợc các hệ số
của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phơng trỡnh s cp.

Sau đây là một số ví dụ :

<i>Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tö</i>
M = x4_{– 6x}3_{+ 12x}2_{– 14x + 3}

<i>Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng :</i>

x4_6x3_{+ 12x}2_{– 14x + 3 = (x}2_{+ ax + b)(x}2_{+ cx + d)}

x4_{– 6x}3_{+ 12x}2_{– 14x + 3 = x}4_{+ (a+c )x}3_{+ (ac + b + d)x}2_{+ (ad + bc)x + bd}

Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :



































3

14

12

16

<i>bd</i>

<i>bc</i>

<i>ad</i>

<i>d</i>

<i>b</i>

<i>ac</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

XÐt bd = 3 víi b, d _<i>_Z</i> , b

_



1;3



víi b = 3; d = 1
HƯ ®iỊu kiƯn trë thµnh :

























14

3

8

6

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>ac</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x4_{– 6x}3_{+ 12x}2_{– 14x + 3}

= (x2_{– 2x + 3)(x}2_{4x + 1)}

<i>Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = 3x2_{+ 22xy + 11x + 37y + 7y}2_{+ 10}

<i>Gi¶i: Biểu diễn đa thức dới dạng :</i>
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )

= adx2_{+ aexy + agx + bdxy + bey}2_{+ bgy + cdx + cey + cg}

= adx2_{+ ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey}2_{+ ( bg + ce )y + cg}

= 3x2_{+ 22xy + 11x + 37y + 7y}2_{+ 10}

Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :





















10
37
7
11
22
3
<i>cg</i>
<i>ce</i>
<i>bg</i>
<i>be</i>
<i>cd</i>
<i>ag</i>
<i>bd</i>
<i>ae</i>
<i>ad</i>



















2
7
1
5
1
3
<i>g</i>
<i>e</i>
<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

VËy A = 3x2_{+ 22xy + 11x + 37y + 7y}2_{+ 10}

= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
<i>Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

B = x4_{8x + 63}

<i>Giải: Ta có thể biểu diễn B dới dạng :</i>
B = x4_{– 8x + 63}

= (x2_{+ ax + b)(x}2_{+ cx + d)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Đồng nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:

































63

8

0

0

<i>bd</i>

<i>bc</i>

<i>ad</i>

<i>d</i>

<i>b</i>

<i>ac</i>

<i>c</i>

<i>a</i>



























9

4

7

4

<i>d</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

VËy : B = x4_{– 8x + 63 = (x}2_{- 4x + 7)(x}2_{+ 4x + 9)}

<i>1.2.8. Phơng pháp xét giá trị riêng</i>

õy l một phơng pháp khó, nhng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể phân
tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phơng pháp này ta xác định dạng các thừa số
chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể xỏc nh tha s cũn li.

Sau đây là một số ví dụ :

<i>Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
P = x2_{(y z) + y}2_{(z – x) + z}2_{(x – y)}

<i>Gi¶i: Thư thay x bëi y th× P = y</i>2_{(y – z) + y}2_{(z – y) = 0}

Nh vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi ( ta nói đa thức P
có thể hốn vị vịng quanh x



y



z



x . Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì cũng chứa
thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, cịn các tích (x –
y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.

Vì đẳng thức x2_{(y – z) + y}2_{(z – x) + z}2_{(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với}

mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta
đợc:

4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)

= (x – y)(y – z)(x – z)

<i>Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để (x –</i>
y)(y – z)(z x)



0.

<i>Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>

P = x2_y2_{(y x) + y}2_z2_{(z y) + z}2_x2_{(y – z)}

<i>Gi¶i: Thay x = y th× P = y</i>2_z2_{(z – y) + z}2_x2_{(y – z) = 0}

Nh vËy P chøa thõa sè x – y.

Ta thấy đa thức P có thể hốn vị vịng quanh x



y



z



x. Do đó nếu P chứa thừa số
x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho
(x – y)(y – z)(z – x) thơng là hằng số k, nghĩa là :

P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta đợc :

12_.(-1)2_{.(-2) + (-1)}2_{.0.(0 + 1) + 0}2_.12_{.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)}

-2 = 2k
k = -1
VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)

= (x y)(y z)(x z)

<i>Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử</i>
A = ab(a b) + bc(b – c) + ca(c – a)
<i>Gi¶i: </i>

Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, thì A khơng thay đổi. Thay a=b vào A ta có:
A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0

Do đó A (a – b)

Suy ra A (b – c) và A (c – a). Từ đó :
A (a – b)(b – c)(c – a)

Mặt khác A là đa thức bậc ba đối với a, b, c, nên trong phép chia A cho
(a – b)(b – c)(c – a) thơng là hằng số k, nghĩa là :

A = k(a – b)(b – c)(c – a)

Cho a = 1; b = 0; c = 1 ta đợc 2 = -2k hay k = - 1

A = -1(a – b)(b – c)(c – a)

= (a – b)(b – c)(a – c)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

P = x(y3_{– z}3_{) + y(z}3_{– x}3_{) + z(x}3_{– y}3₎

<i>Gi¶i: </i>

Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z thì P khơng thay đổi. Thay z = y vào P ta có:
P = 0 + z(z3_{- x}3_{) + z(x}3_–z3_{) = 0}

Do đó : P  (y – z)

Suy ra P  (z – x) và P  (x – y). Từ đó :
P  (y – z)(z – x)(z – x)

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho
(y – z)(z – x)(z – x)đợc thơng là hằng số k, nghĩa là :

P = k(y – z)(z – x)(z – x)
Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc :

2.13_{+ 1.(-2)}3_{+ 0 = k.1.(-2)}

- 6 = - 2k
k = 3

VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Hay x(y3_{– z}3_{) + y(z}3_{– x}3_{) + z(x}3_{– y}3_{) = 3(y – z)(z – x)(z – x)}

<i>Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tö</i>

M = a(b +c – a)2_{+ b(c +a – b)}2_{+ c(a +b – c)}2_{+ (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)}

<i>Giải: Nếu hoán vị vịng quanh a, b, c, thì M khơng thay đổi.</i>
Thay a = 0 vào M ta có :

M = 0 + b(c – b)2 _{+ c(b – c)}2_{+ (b – c)(b + c)(c – b) = 0}

Do đó M  a

Suy ra M  b và M  c. Từ đó :
M  abc

Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc th ơng là hằng số
k, nghĩa là :

M = k.abc

Cho a = b = c = 1, ta đợc :

1.12_{+ 1.1}2_{+ 1.1}2_{+ 1.1.1 = k.1.1.1}

k = 4
VËy M = 4.abc

Hay: a(b +c – a)2_{+ b(c +a – b)}2_{+ c(a +b – c)}2_{+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc}

<b>2. KÕt qu¶</b>

Tơi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dỡng học sinh giỏi mơn Giải tốn trên
máy tính tại Trờng THCS Nguyễn Thái Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú. Kết quả mà tơi
đã thu đợc nh sau:

- CÊp Hun: Cã 11 häc sinh tham dù. KÕt qu¶: 1 gi¶i nhÊt, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải
khuyến khích

- Cấp TØnh: Cã 9 häc sinh tham dù. KÕt qu¶: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải
khuyến khÝch

- CÊp Quèc gia: Cã 3 häc sinh tham dù. Kết quả: 1 giải khuyến khích

<b>3. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện</b>

Trong quỏ trỡnh thc hin tài và bản thân tôi là ngời trực tiếp thực hiện việc bồi dỡng
học sinh giỏi. Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện nh sau:

- Để thực hiện tốt công tác bồi dỡng học sinh giỏi, trớc hết giáo viên cần phải có một trình
độ chun mơn vững vàng, nắm vững các thuật tốn, giải đợc các bài tốn khó một cách thành
thạo. Cần phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc sự tị mị, năng động,
sáng tạo, tích cực của học sinh.

- Tốn học là một bộ mơn khó, các vấn đề của tốn là rất rộng. Chính vì vậy, giáo viên cần
phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ơn tập cơ bản bao gồm tất cả các chuyên đề.
Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài tốn điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ
đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài tốn khác
cùng thể loại.

- Trong q trình bồi dỡng học sinh giỏi cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo

dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời, kích thích các em
phát huy tối đa khả năng của mình trong q trình ơn luyện, học tập. Bên cạnh đó, cần theo
dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm
tin, nghị lực và quyết tâm vợt qua những khó khăn bớc đầu khi học tập các chuyên đề bồi
d-ỡng học sinh giỏi mà giáo viên đa ra.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Tuy nhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục khơng giải đợc các bài tốn khó sẽ
gây ra cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năng của mình.

<b>4. KÕt luËn</b>

Bồi dỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ. Bởi vì
các em đã có cả một q trình 9 năm học tốn. Để có đợc những học sinh giỏi, chúng ta cần
phải tập trung bồi dỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6. Với 4 năm liên tục, cùng với sự nỗ
lực của cả thầy lẫn trị, chắc chắn chúng ta sẽ có đợc những học sinh giỏi thực sự về bộ mơn
Tốn.

Do năng lực còn hạn chế, và năm học này cũng là năm học thứ hai bản thân tôi tham gia
việc bồi dỡng học sinh giỏi, nên đề tài của tôi không thể tránh đợc những thiếu sót, bản thân
tơi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục để
đề tài của tơi có thể hồn thiện hơn.

Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi dỡng
học sinh giỏi – Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất trọng tâm
của chơng trình tốn.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp của Trờng THCS Nguyễn
Thái Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú đã có những ý kiến đóng góp, chỉ đạo thực hiện
giúp tơi hồn thành đề tài này.

<b>5. Kiến nghị đề xuất</b>

- Tăng thêm thời gian bồi dỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn 9 vì thời gian một tuần 2 buổi
không đủ thời gian để thực hiện cơng tác bồi dỡng.

- NÕu cã thĨ khi chän läc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về các môn tự
nhiên và một lớp chuyên về các môn xà hội.

</div>

<!--links-->