De HSG Toan 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.15 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008

Bài 1: (4 đ)

1) Cho biểu thức 4 3

10

2

9

10 x

B

x













a) Tìm điều kiện có nghĩa của B
b) Rút gọn B

2) Chứng minh rằng

A n

4

n

6

n

4

n





chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.

Bài 2: (4 đ)

1) Cho đa thức bậc hai

P x

( )



ax



bx c



. Tìm a, b, c biết P(0)=33; P(1)=10; P(2)=2007
2) Chứng minh rằng:



a b c a b c

 

 





 



a b c

 





abc

với a, b, c là độ dài 3 cạnh của
một tam giác.

Bài 3: (2 đ)

Cho













2

13

1

2

1

2

1 x

A

B x C

D x E

x















. Tìm các số A, B, C, D, E để đẳng
thức trên là đẳng thức đúng với mọi x>0 và x



Bài 4: (6 đ)

Cho đoạn thẳng AC=m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (B



A, B



C). Tia Bx vng góc với AC.
Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD=BA và BE=BC.

a) Chứng minh rằng CD=AE và CD



b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng
khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC.

c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị
lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m.

Bài 5: (4 đ)

Cho hình vng ABCD. trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ BH vng góc với CM. Nối DH, vẽ HN vng
góc DH (N thuộc BC).

a) Chứng minh rẳng



DHC

đồng dạng với



NHB

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008
Bài 1:

1) 4 3

10

2

9

10 x

B

x













a) Giải phương trình

x

9

x

9

x

9

x

10









1 9

9

9 0

x



 











x

1

 

x

1



9

x x



1



9



x

1



0

















x

1  

x

1 



x

1 

9 x x



1 

9 

x

1 

0 















x

1





x

10

x

10



0







 





x

1

 

x

10





x

1



0









1 0

1 10 0

10 1 0

x

 

















 



 









 

 





Vậy biểu thức B có nghĩa khi x



1 và x



-10

b) ta có:





4 3 2

10 1 à

10

9

10 x

B

x

v x

x



















 













 







2
2

10

1

10

1

10

1

10

1 x











































2
2

1 x



























4

6

4

5 4 4 4

4

6

4

1

A n





n



n



n



n



n n



n



n



n







4 4 3

3

1

n n

n

n n





 











 



4 3

1

3

1

3

1

n n n



n n

n











Với x > -10 và x 1

Với x < -10 và x 1

Với x > -10 và x 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>









1

n n

















Vì n(n+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.
Do đó



n n





1





2



16



 

. Vậy

A



16

Bài 2:

P x

( )



ax



bx c



P(0)=33



a

.0



b

.0

 

c

33



c



33

P(1)=10



a

.1



b

.1

 

c

10 

a b

 

33 10





a b

 

23 (1)

P(2)=2007



a

.2



b

.2

 

c

2007



4 a



2 b



33 2007





4 a



2 b



1974



2 a b

 

987 (2)

Trừ vế theo vế của (2) và (1) ta được a = 1000
Thay a = 1000 vào (1) ta được b = - 1023
2)



a b c a b c

 

 





 



a b c

 





abc

Ta có:







 



2 2 2

(1)











 



a

b c

a

a b c a b c

a







 



2 2 2

(2)











 



b

a c

b

b a c b a c

b







 



2 2 2

(3)











 



c

a b

c

c a b c a b

c

Lấy (1), (2) và (3) nhân vế theo vế ta được:







 

 

 



 















a b c a b c

a b c



abc



a b c a b c

 

a b c



abc



 







 



(đpcm)

Bài 3:

Đặt

x m





0 

m



2 

. Đẳng thức đã cho có dạng:













2 2 2

2 2

2

13

2

1

2

1 m

A

Bm C

Dm E

m















(*)

VP(*)=







 









 











2 2

2
2

1

2

1

2

1 A m

Bm C m

m

Dm E m

m







































4 3 2

2
2

2

1 A B m

C

B m

A

C B D m

C

B E

D m A

C

E

m























</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

0

2

0

2

0

2

0

2

0 A B

C

B

A

C B D

C

B E

D

A

C

E























 

















, giải ta tìm được A=1, B=-1; C=-2; D=-3; E=-4

Bài 4: (6 đ)

a) xét hai tam giác ABE và DBC, ta có:
AB=BD (gt)

BE=BC (gt)



ABE DBC 90



Vậy



ABE



DBC c g c

(



)



CD AE



Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:



EDF BDC



(đối đỉnh)



AEB BCD do ABE



(





DBC

)



EDF AEB BDC BCD









mà



BDC BCD 90







nên

EDF AEB 90











DFE 90





0 hay CD



b) Gọi M’, I’, N’ lần lượt là hình chiếu của M, I, N xuống AC.

ABE



có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vng góc với AC)

Nên MM’ là đường trung bình của



ABE

MM

1 BE

2 '





hay

MM

1 BC

2 '



Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của



DBC

NN

1 BD

2 '





hay

NN

1 AB

2 '



Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vng góc với AC) nên MNM’N’ là hình thang.

I là trung điểm của MN, II’//MM’//NN’ (cùng vng góc với AC) nên II’ là đường trung bình của hình
thang MNM’N’

MM NN

BC AB

AC

m

II

2

4 '







(khơng đổi)
c) Vì



ABE



DBC

nên

S

ABE



S

DBC



S

ABE



S

DBC



2S

ABE

mà

2S

ABE

2

1 AB BE AB BE AB BC

2 . .

.



Ta có:



AB BC



0

AB

2 AB BC BC

.

0

AB

BC

2 AB BC

.



 





 









2 2

AB

2 AB BC BC

.

4 AB BC

.

AB BC

4 AB BC

.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

De HSG Toan 9

10

9

9

9

10

<i>x</i>

<i>B</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>













<i><sub>A n</sub></i>

<sub>4</sub>

<i><sub>n</sub></i>

<sub>6</sub>

<i><sub>n</sub></i>

<sub>4</sub>

<i><sub>n</sub></i>

<i><sub>n</sub></i>











<i>P x</i>

( )



<i>ax</i>



<i>bx c</i>





<i>a b c a b c</i>

 

 





 



<i>a b c</i>

 





<i>abc</i>













2

2

13

1

2

1

2

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>B x C</i>

<i>D x E</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>









