De HSG Toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>UBND THàNH PHố Huế</b> <b>kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố</b>
<b>PHòNG Giáo dục và đào tạo</b> lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
<i><b> </b></i> <i><b>Môn : </b></i><b>Toán </b>

<b>§Ị chÝnh thøc</b> _{Thời gian làm bài:}<i>_{120 phút}</i>

<b>Bài 1</b>: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1. <i>_x</i>2 ₇<i>_x</i> ₆

2. <i>_x</i>4 ₂₀₀₈<i>_x</i>2 ₂₀₀₇<i>_x</i> ₂₀₀₈

<b>Bài 2</b>: (2điểm)

Giải phơng trình:
1. <i>x</i>2 3<i>x</i> 2 <i>x</i>1 0

2.



_

2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

       

       

       



<b>Bài 3</b>: (2điểm)

1. Căn bËc hai cđa 64 cã thĨ viÕt díi d¹ng nh sau: _{64 6}  ₄

Hỏi có tồn tại hay khơng các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng
dới dạng nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.

2. T×m sè d trong phÐp chia cđa biĨu thøc



<i>x</i>2

 

<i>x</i>4

 

<i>x</i>6

 

<i>x</i>8



2008 cho ®a
thøc 2

10 21

<i>x</i>  <i>x</i> .

<b>Bài 4</b>: (4 điểm)

Cho tam giỏc ABC vuụng ti A (AC > AB), đờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo <i>m</i><i>AB</i>.

2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: <i>GB</i> <i>HD</i>
<i>BC</i> <i>AH HC</i> .
HÕt

<b>UBND THµNH PHè HuÕ</b> <b>kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè</b>

<b>PHịNG Giáo dục và đào tạo</b> lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
<i><b> </b></i> <i><b>Mơn : </b></i><b>Tốn </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1</b> <b>Câu</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>1.</b> <b>2,0</b>

<b>1.1</b> <i><b>(0,75 điểm)</b></i>

2 ₇ ₆ 2 ₆ ₆ ₁ ₆ ₁

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>  <i>x</i>





<i>x</i>1

 

<i>x</i>6



0.5
0,5

<b>1.2</b> <i><b>(1,25 ®iĨm)</b></i>

4 ₂₀₀₈ 2 ₂₀₀₇ ₂₀₀₈ 4 2 ₂₀₀₇ 2 ₂₀₀₇ _{2007 1}

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  0,25



 



2





4 2 2 2 2 2

1 2007 1 1 2007 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            _0,25



<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁

 

<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁



₂₀₀₇



<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁

 

<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁

 

<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₂₀₀₈



             _0,25

<b>2.</b> <i><b>2,0</b></i>

2.1 <i>_x</i>2 ₃<i>_x</i> ₂ <i>_x</i> _{1 0}
     (1)

+ NÕu <i>x</i>1: (1) 

_

<i>x</i>1

_

2  0 <i>x</i>1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn <i>x</i>1).

+ Nếu <i>x</i>1: (1)  <i>x</i>2 4<i>x</i>  3 0 <i>x</i>2 <i>x</i> 3

_

<i>x</i>1

_

 0

_

<i>x</i>1

_{ }

<i>x</i> 3

_

0
 <i>x</i>1; <i>x</i>3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là <i>x</i>1.

0,5
0,5
2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

       

       

       

       

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: <i>x</i>0

(2)

_

_

2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 
       
 _  _  _  _{ }_  _{ }  _ _  
    _    _









2

2 2
2
2
1 1

8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 16

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _    

   

0 8

<i>x</i> <i>hay x</i>

   vµ <i>x</i>0.

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm <i>x</i>8

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>3</b> <i><b>2.0</b></i>

3.1 _{Gäi sè cần tìm là} <i>_ab</i>₁₀<i>_{a b}</i> _{(a, b là số nguyên và a khác 0)}

Theo gi thit: ₁₀<i>_{a b a}</i>_ _{ } <i>_b</i>là số nguyên, nên <i>_ab</i> và <i>b</i>là các số chính
phơng, do đó: <i>b</i> chỉ có thể là 1 hoặc4 hoặc 9

Ta cã: 10<i>a b a</i>   <i>b</i> 10<i>a b a</i>  22<i>a b b</i>  2 5<i>a</i>



 <i>b</i>



<i>a</i>2





2 5 <i>b</i> <i>a</i>

   (v× <i>a</i>0)

Do đó <i>a</i> phải là số chẵn: <i>a</i>2<i>k</i> , nên ₅_ <i>_{b k}</i>_

NÕu <i>_b</i>_{ }₁ <i>_a</i>_{ }₈ _{81 8}_{ } _{1 9}_ (tháa ®iỊu kiƯn bài toán)
Nếu <i>_b</i>₄ <i>_a</i>₆ _{64 6} _{4 8} (thỏa điều kiện bài toán)
Nếu <i>_b</i>₉ <i>_a</i>_₄ _{49 4}_{ } _{9 7}_ (tháa ®iỊu kiƯn bài toán)

0,5

0,5
3.2 Ta có:







2

 

2



( ) 2 4 6 8 2008

10 16 10 24 2008

<i>P x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

     

     

Đặt <i>t</i><i>x</i>210<i>x</i>21 (<i>t</i>3;<i>t</i>7), biểu thức P(x) đợc viết lại:



 



2

( ) 5 3 2008 2 1993

<i>P x</i>  <i>t</i> <i>t</i>   <i>t</i> <i>t</i>

Do đó khi chia <i>_t</i>2 ₂<i>_t</i> ₁₉₉₃

  cho t ta cã sè d lµ 1993

0,5

0,5

<b>4</b> <b>4,0</b>

4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc <i>_C</i> chung.

<i>CD</i> <i>CA</i>

<i>CE</i> <i>CB</i> (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).

Suy ra: <i>_BEC</i> <i>_ADC</i> ₁₃₅0

  (v× tam giác AHD vuông cân tại
H theo giả thiết).

Nên <i>_AEB</i> ₄₅0

 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:

2 2

<i>BE</i><i>AB</i> <i>m</i>

1,0

0,5
4.2

Ta cã: 1 1

2 2

<i>BM</i> <i>BE</i> <i>AD</i>

<i>BC</i>  <i>BC</i> <i>AC</i> (do <i>BEC</i><i>ADC</i>)
mà <i>_AD</i><i>_AH</i> ₂ (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên 1 1 2

2 2 2

<i>BM</i> <i>AD</i> <i>AH</i> <i>BH</i> <i>BH</i>

<i>BC</i>  <i>AC</i>   <i>AC</i> <i>AB</i> <i>BE</i> (do <i>ABH</i> <i>CBA</i>)
Do đó <i>BHM</i> <i>BEC</i> (c.g.c), suy ra: <i>_BHM</i> <i>_BEC</i> ₁₃₅0 <i>_AHM</i> ₄₅0

   

0,5
0,5
0,5
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Suy ra: <i>GB</i> <i>AB</i>

<i>GC</i> <i>AC</i> , mµ







//



<i>AB</i> <i>ED</i> <i>AH</i> <i>HD</i>

<i>ABC</i> <i>DEC</i> <i>ED AH</i>

<i>AC</i> <i>DC</i>   <i>HC</i> <i>HC</i> 0,5

Do đó: <i>GB</i> <i>HD</i> <i>GB</i> <i>HD</i> <i>GB</i> <i>HD</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>

<!--links-->