BÀI 2 PT QUY về PT bậc NHẤT, bậc HAI

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT - BẬC HAI
MỤC TIÊU:
Kiến thức
- Củng cố cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Nắm vững cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Nắm vững cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hàm số bậc hai
Kĩ năng
- Giải và biện luận các phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Giải các phương trình đưa phương trình về bậc nhất, bậc hai: Phương trình phân thức, phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vơ tỉ,..
- Giải các bài tốn thực tế bằng cách lập phương trình bậc nhất, bậc hai.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Giải và biện luận phương trình dạng ax  b  0 (1)
b
a  0 : (1) có nghiệm duy nhất x  .
a
Khi đó, phương trình ax  b  0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.
a  0; b  0 (1) vô nghiệm.
a  0; b  0 (1) nghiệm đúng với mọi x .

Phương trình bậc hai một ẩn ax2  bx  c  0(a  0) (2)
  b2  4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2).

  0 thì (2) có hai nghiệm phân biệt x12 
  0 thì (2) có nghiệm kép x  

b  
.
2a

b
.
2a

  0 thì (2) vơ nghiệm.
Phương trình ax2  bx  c  0(a  0) có nghiệm khi   0 hoặc '  0.
Định lí Vi-ét
b

x1  x2 


a
.
Nếu phương trình bậc hai ax2  bx  c  0(a  0) có hai nghiệm x1 , x2 thì 
c
x , x 
 1 2 a
Đảo lại: Nếu hai số u và v có tổng u  v  S và tích u.v  P thì u, v là các nghiệm của phương trình
x 2  Sx  P  0
Chú ý: Định lí Vi-ét áp dụng khi phương trình bậc hai có nghiệm.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 1


CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất
Phương pháp giải
Phương trình ax  b  0 có nghiệm duy nhất khi a  0 ; vô nghiệm khi a  0, b  0 và có vơ số nghiệm

khi a  b  0.
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m  1) x  2  m  0
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với  m 1 x  m – 2.
+) Với m 1  0  m  1 phương trình trở thành 0 x  1.
Suy ra phương trình vô nghiệm.
+) Với m  1  0  m  1, phương trình tương đương với x 

m2
.
m 1

Kết luận:
Vậy m  1 thì phương trình vơ nghiệm;

m  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 

m2
.
m 1

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình (m 1)2 x  (3m  7) x  2  m với m là tham số.
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với





(m  1)2  3m  7  x  2  m  m2  m  6 x  2  m.
m  3
.
+) Xét m2  m  6  0  
 m  2
Khi m  3 phương trình trở thành 0 x  5. Phương trình vơ nghiệm.
Khi m  2 phương trình trở thành 0x  0 .
Phương trình nghiệm đúng với mọi x .
m  3
.
+) Xét m2  m  6  0  
 m  2

Trang 2


Khi đó phương trình tương đương với x 

m2
1

.
m m6 m3
2

Kết luận:
Vậy với m  3 thì phương trình vơ nghiệm;
m  2 thì phương trình nghiệm đúng với mọi xe IR;
1
.

m  3 và m  2 thì phương trình có nghiệm x 
m3

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình  m2  m  x  2 x  m2  1 có nghiệm duy nhất.

m  1
.
A. 
m  2
Hướng dẫn giải

m  1
.
B. 
m  2

m  1
.
C. 
m  2

m  1
.
D. 
m  2

Ta có  m2  m  x  2 x  m2  1   m2  m  2  x  m2  1.

m  1
.

Phương trình có nghiệm duy nhất khivà chỉ khi a  0 hay m2  m  2  0  
m  2
Vậy với m  1 và m  2 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Chọn A.
Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hai hàm số y  (m 1) x2  3m2 x  m và y  (m 1) x2 12x  2 không cắt nhau.
A. m  2.
B. m  2.
C. m  1.
Hướng dẫn giải
Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

(m 1) x2  3m2 x  m  (m 1) x2 12x  2

vô

nghiệm

hay

D . m  1.





3 m2  4 x  2  m

vô

nghiệm

m2  4  0
m  2


 m  2.
m  2
2  m  0
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1. Cho phương trình ax  b  0 . Chọn mệnh đề đúng.
A. Nếu phương trình có nghiệm thì a khác 0.
B. Nếu phương trình vơ nghiệm thì a = 0.
C. Nếu phương trình vơ nghiệm thì b = 0.
D. Nếu phương trình có nghiệm thì b khác 0.

Câu 2. Phương trình  m2  m  x  m  3  0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi
A. m  0.
B. m  1.
C. m  0 hoặc m  1.
Câu 3. Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là
5
A. Phương trình 3x  5  0 có nghiệm là x   .
3
B. Phương trình 0 x  7  0 vơ nghiệm.
C. Phương trình 0 x  0  0 có tập nghiệm

D. m  0 và m  1.

D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx  m  0 vơ nghiệm.
A. m.

B. m  0.

C. m  R  .

D. m .

Câu 5. Khẳng định nào sau đây sai?
Trang 3


A. Khi m  2 thì phương trình (m  2) x  m2  3m  2  0 vơ nghiệm
B. Khi m  1 thì phương trình  m  1 x  3m  2  0 có nghiệm duy nhất.
C. Khi m  2 thì phương trình

x m x 3

 3 có nghiệm.
x2
x

D. Khi m  2 và m  0 thì phương trình  m2  2m  x  m  3  0 có nghiệm.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  m2  4  x  3m  6 vô nghiệm.
A. m  1.
B. m  2 .
C. m  2.
Câu 7. Phương trình (a  3) x  b  2 vô nghiệm với giá trị a, b là

A. a  3, b tuỳ ý.

B. a tuỳ ý, b  2.

D. m  2.

C. a  3, b  2.

D. a  3, b  2.

Câu 8. Phương trình  m2  4m  3 x  m2  3m  2 có nghiệm duy nhất khi
A. m  1.
B. m  3.
C. m  1và m  3.
D. m  1 và m  3.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình

m

2



 9 x  3m(m  3) có nghiệm duy nhất?

A. 2.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;10] để phương trình





(m  1) x  3m2  1 x  m  1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng

A. 15.
B. 16.
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
1-B

2-D

3-D

4-A

C. 39.

5-A

6-B

D. 40.

7-D

8-C

9-B

10-C

Câu 6. Chọn B.

m 2  4  0
m  2

 m  2.
Phương trình đã cho vơ nghiệm khi 
m


2
3
m

6

0


Câu 7. Chọn D.
a  3  0
a  3

.
Phương trình đã cho vô nghiệm khi 
2


b

0
b

2


Câu 8. Chọn C.

m  1
.
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2  4m  3  0  
m  3
Câu 9. Chọn B.
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2  9  0  m  3
m 10;10

 có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn u cầu bài tốn.
m

Câu 10. Chọn C.

Phương trình viết lại  3m2  m  2  x  1  m

m  1

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m  m  2  0  
2

m   3
2

Trang 4






5; 4; 3; 2; 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10.
m
m 5;10

Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39.

Dạng 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp giải
Bước 1. Tìm biệt thức   b 2  4ac.
Bước 2.   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt   0 phương trình có nghiệm kép,   0
phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình x 2  x  m  0 với m là tham số.
Hướng dẫn giải
Ta có   1  4m.
1
1  1  4m
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 
.
4
2

1
1
Với   0  1  4m  0  m  thì phương trình có nghiệm kép x  .
4
2
1
Với   0  1  4m  0  m  thì phương trình vơ nghiệm.
4
Kết luận

Với   0  1  4m  0  m 

1
1  1  4m
1
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 
;m 
4
2
4
1
1
thì phương trình có nghiệm kép là x  ; m  thì phương trình vơ nghiệm.
2
4
Ví dụ mẫu

Vậy với m 

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình  2m2  5m  2  x 2  4mx  2  0 với m là tham số.

Hướng dẫn giải

Phương trình  2m2  5m  2  x 2  4mx  2  0

 m  2
.
+) Trường hợp 1: 2m  5m  2  0  
m   1
2

2

1
Khi m  2, phương trình trở thành 8 x  2  0  x   .
4
1
Khi m   , phương trình trở thành 2x  2  0  x  1.
2

m  2

+) Trường hợp 2: 2m  5m  2  0  
1.
m   2
khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai
2

Ta có   4m2  2  2m2  5m  2   2(5m  2).
2
Khi   0  2(5m  2)  0  m   .

5

Trang 5


Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x 

2m  2(5m  2)
.
2m2  5m  2

2
Khi   0  m   , phương trình có nghiệm kép x  5.
5
2
Khi   0  m   , phương trình vơ nghiệm.
5
Kết luận:
+) m  2 thì phương trình có nghiệm x =
1
+) m   thì phương trình có nghiệm x = -1;
2
2
+) m   thì phương trình có nghiệm kép x=-5;
5
2
1
+ m   , m  2 và m   thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
5
2

x

2m  2(5m  2)
.
2m2  5m  2

2
thì phương trình vơ nghiệm
5
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình mx 2  x  m  1  0 có nghiệm kép?
1
1
A. m  0.
B. m  .
C. m   .
D. m  1.
2
2
Hướng dẫn giải
Với m  0, phương trình trở thành phương trình bậc nhất x  1  0  m  0 không thỏa mãn yêu cầu bài

+) m  

tốn.
Với m  0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi
1
  0  1  4m(m  1)  0  4m 2  4m  1  0  m  .
2
1

Vậy m 
thì phương trình có nghiệm kép.
2
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1. Chọn khẳng định đúng. Phương trình x2  (2  3) x  2 3  0
A. Có hai nghiệm trái dấu.
B. Có hai nghiệm âm phân biệt.
C. Có hai nghiệm dượng phân biệt.
D. Vơ nghiệm.
2
Câu 2. Phương trình ax  bx  c  0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
a  0
a  0
.
A. a  0.
B. 
hoặc 
2
  b  4ac  0
b  0
a  0
.
C. a  b  0.
D. 
2
  b  4ac  0

2 và 3 là hai nghiệm của phương trình

Câu 3.

A. x  ( 2  3) x  6  0.

B. x2  ( 2  3) x  6  0.

C. x2  ( 2  3) x  6  0.

D. x2  ( 2  3) x  6  0.

2

Trang 6


Câu 4. Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3x  10  0. Giá trị của tổng
A.

10
.
3

B. 

3
.
10

C.

3
.
10

D.

1 1
là

x1 x2

10
.
3

Câu 5. Cho phương trình ax2  bx  c  0(a  0) (1).
Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. Nếu P < 0 thì (1) có hai nghiệm trái dấu.
B. Nếu P  0; S  0 thì (1) có hai nghiệm.
C. Nếu P  0; S  0 và   0 thì (1) có hai nghiệm âm.
D. Nếu P  0;S  0 và   0 thì (1) có hai nghiệm dương.
Câu 6. Cho phương trình mx2  2(m  2) x  m  3  0. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu m > 4 thì phương trình vơ nghiệm.
B. Nếu 0  m  4 thì phương trình có hai nghiệm x 

m2 4m
m2 4m
;x 
.
m

m

3
C. Nếu m  0 thì phương trình có nghiệm x  .
4
3
D. Nếu m = 4 thì phương trình có nghiệm kép x  .
4

Câu 7. Với giá trị nào của m thì phương trình mx2  2(m  2) x  m  3  0 có hai nghiệm phân biệt?
A. m  4.

B. m  4.

Câu 8. Cho phương trình (m 1) x
trình (1) có nghiệm kép?
7
A. m  .
B. m 
6

2

C. m  4 và m  0.

D. m  0.

 6(m 1) x  2m  3  0 (1). Với giá trị nào sau đây của m thì phương
6
.

7

6
C. m   .
7

D. m  1.

Câu 9. Cho phương trình ( x  1)  x 2  4mx  4   0. Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi
A. m .

B. m  0.

C. m 

3
.
4

3
D. m   .
4

Câu 10. Nếu biết các nghiệm của phương trình x2  px  q  0 là lập phương các nghiệm của phương
trình x 2  mx  n  0 thì
A. p  q  m3.

B. p  m3  3mn.

C. p  m3  3mn.

D. Một đáp số khác.

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x2  (m  2) x  m 1  0 có hai
nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp đơi nghiệm còn lại.
1

 2
 3 
5 
A. m   ;7  .
B. m  2;   .
C. m  0;  .
D. m   ;1 .
2

 5
 4 
2 
Câu 12. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y  2 x  m tiếp xúc với parabol

(P) : y  (m 1) x2  2mx  3m 1 với m  1.
A. m  0.
B. m  1.
C . m  1.
D. m  2.
Câu 13. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2  2(m 1) x  m2  2  0 (m là tham số). Tìm m để
biểu thức P  x1 x2  2  x1  x2   6 đạt giá trị nhỏ nhất.
1
A. m  .

2

B. m  1.

C. m  2.

D. m  12.
Trang 7


Câu 14. Phương trình x4  ( 65  3) x2  2(8  63)  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 0.
Câu 15. Cho phương trình  x 2  2 x  3  2(3  m)  x 2  2 x  3  m 2  6m  0 .
2

Tìm m để phương trình có nghiệm.
A. m.
B. m  4.

C. m  2.

D. m  2.

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-C

2-B

3-B

4-C

5-B

11-A

12-A

13-C

14-D

15-D

6-D

7-C

8-C

9-D

10-C

Câu 9. Chọn D.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi x 2  4mx  4  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

 4m 2  4  0
3

m .
4
4m  3  0
Câu 10. Chọn C.
Gọi x1 , x2 là nghiệm của x2  px  q  0.
Gọi x1 , x2 là nghiệm của x 2  mx  n  0.
Khi đó x1  x2   p, x3  x4  m, x3.x4  n.

 x  x33
3
 x1  x2  x33  x43  x1  x2   x3  x4   3x3 x4  x3  x4 
Theo yêu cầu ta có  1
3
 x2  x4

  p  m3  3mn  p  m3  3mn.
Câu 11. Chọn A.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  m2  8m 16  0  (m  4)2  0  m  4.
heo định lí Vi-ét, ta có
m 1
2


 x1.x2  3
 x1  9 (m  2)



m2 
1

  x2  (m  2)
 x1  x2 
3
9


m 1
 x1  2 x2


 x1.x2  3


5

m
2
m 1
2
2

 (m  2) 
 2m  19m  35  0 
2 (thỏa mãn).

81

3
m  7
Câu 12. Chọn A.
Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
(m 1) x2  2mx  3m 1  2x  m  (m 1) x2  2(m 1) x  2m 1  0. *
Để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

Trang 8


m  1
m  1  0


 m  0  m  0.
2
 '  (m  1)  (m  1)(2m  1)  m(m  1)  0
m  1

Câu 13. Chọn C.
Ta có  '  (m  1)2   m2  2   2m  1.

1
Để phương trình có hai nghiệm thì  '  0  m  . (*)
2
 x  x  2m  2
.
Theo định lý Vi-ét, ta có  1 2 2
 x1.x2  m  2
Khi đó P  m2  2  2(2m  2)  6  m2  4m  8  (m  2)2 12  12.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m  2 (thỏa mãn (*)).
Câu 15. Chọn D.
Đặt t  x2  2x  3(t  2). Ta được phương trình t 2  2(3  m)t  m2  6m  0 1 .

 '  m2  6m  9  m2  6m  9.
Suy ra phương trình (1) ln có hai nghiệm là t1  m – 6 và t2  m.
m  6  2
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình (1) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2  
m  2
m  8

 m  2.
m  2

Dạng 3. Phương trình chứa ẩn trong đấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong đấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dầu GTTĐ, bằng
cách dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ, bình phương hai vế hoặc đặt ẩn phụ.
Phương trình dạng |f(x)|=|g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau

 f ( x)  g ( x)
f ( x) | g ( x) | 
x-5145
 f ( x)   g ( x)
hoặc | f ( x) || g( x) | f 2 ( x)  g 2 ( x).
Ví dụ: Giải phương trình | 2 x  1| x 2  3x  4
Hướng dẫn giải

 2 x  1  x 2  3x  4
| 2 x  1| x  3x  4  

2
 2 x  1   x  3x  4
2







5  45
x
 2

x  5x  5  0
2
 2

[ 2x+1= x2 – 3x - 4
x  x  3  0

1  13

x 
2


Vậy tập nghiệm của phương trình là

Trang 9


 5  45 1  13 

S 
;

2 

 2

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình x 2  4 x  5  4 x  17.
Hướng dẫn giải
17
ta có VT  0,VP  0 suy ra phương trình vơ nghiệm.
4
17
Với 4 x  17  0  x  , khi đó hai vế của phương trình khơng âm nên phương trình đã cho tương
4

Với 4 x  17  0  x 

đương với phương trình x 2  4 x  5  (4 x  17) 2   x 2  4 x  5   (4 x  17) 2
2

2



 x2
 x 2  8 x  12  0 
 x  8 x  12 x  22  0   2
 x6
 x  22  0
 x   22


17
Đối chiếu với điều kiện x 
thấy chỉ có x  6 và x  22 thỏa mãn.
4



2



2



Vậy phương trình có nghiệm là x  6 và x  22 .
Ví dụ 2. Giải phương trình | 2 x  5 |  2 x 2  7 x  5  0.
Hướng dẫn giải
Ta có | 2 x  5 | 0, 2 x 2  7 x  5  0 | 2 x  5 |  2 x 2  7 x  5  0.

5


x  2
2 x  5  0

5
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  2
 x  1  x  .
2
2 x  7 x  5  0 
5
x 
2

5
Vậy phương trình có nghiệm là x  .
2
Ví dụ 3*. Giải và biện luận phương trình mx  2m  mx  x  1 .
Hướng dẫn giải

 mx  2m  mx  x  1
Ta có | mx  2m || mx  x  1| 
 mx  2m  (mx  x  1)
x  2m  1


.
(2m  1) x  2m  1
* Giải (1).
1
Với 2m  1  0  m   , phương trình trở thành 0x  0 nên phương trình nghiệm đúng với mọi x .
2

1
Với 2m  1  0  m   , phương trình tương đương với x  1.
2
Kết luận:
1
+) m   thì phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x .
2
Trang 10


+) m  

1
thì phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1 và x  2m 1.
2

Ví dụ 4*. Tìm m để phương trình x 2  x  mx 2  (m  1) x  2m  1 x 2  x  mx 2  (m  1) x  2m  1 có ba
nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với x  x  1   x  1 mx  2m  1

 x  1
 x  1 (| x |  | mx  2m  1|)  0  
 x  mx  2m  1 *
 mx  2m  1  x
 (m  1) x  1  2m 1
Ta có (*)  

 mx  2m  1   x
(m  1) x  1  2m  2 

Nếu m = 1 thì phương trình (1) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân
biệt. Nếu m  1 thì phương trình (2) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm
phân biệt.
1  2m

 x  m 1
.
Nếu m  1 thì (*)  
 x  1  2m

m 1
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
khác 1.
1  2m

 m  1  1
m  0


2
1  2m

Do đó: 
 1
 m   .
3
 m 1

1
1  2m 1  2m


 m 1  m 1
m   2


2 1


Vậy với m  1,  ;  ;0;1 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
3 2


Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Tập nghiệm S của phương trình x  2  3x  5 là
 3 7
 7 3
3 7
A. S   ;  .
B. S   ;  .
C. S   ;   .
 2 4
 4 2
2 4
Câu 2. Tổng các nghiệm của phương trình |x+2|=2|x-2| bằng
A.

1
.
2

B.

2
.
3

C. 6.

 7 3
D. S   ;  .
 4 2

D.

20
.
3

Câu 3. Phương trình 2 x – 4  x –1  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 4. Phương trình | 2 x  1| x 2  3x  4 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 5. Tổng các nghiệm của phương trình | 2 x  5 |  2 x  7 x  5  0 bằng
2

A. 6.

B.

5
.
2

C.

7
.
2

D.

3
.
2

Trang 11

Câu 6. Phương trình 2x – 4  2 x  4  0 có bao nhiêu nghiệm?
D. Vơ số.

A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 7. Tập nghiệm S của phương trình 3x  2  3 – 2 x là
A. S  1;1.

B. S  1.

C. S  1.

D. S  0.

C. Vơ nghiệm.

2
D. x  .
3

Câu 8. Phương trình 3 – x  2 x  4  3 có nghiệm là
4
A. x   .
3

B. x  4.

Câu 9. Tổng các nghiệm của phương trình x 2  5x  4  x  4 bằng
A. 12.

B. 6.

C. 6.

D. 12.

Câu 10. Gọi x1 , x2  x1  x2  là hai nghiệm của phương trình x  4 x  5  4 x  17
2

Giá trị biểu thức P  x12  x2 là
A. P  16.

B. P  58.

C. P  28.

D. P  22.

Câu 11. Phương trình ( x 1)  3| x 1| 2  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 4.
Câu 12. Tổng các nghiệm của phương trình 4 x  x 1  2 x  1  1 bằng
2

A. 0.

B. 1.

D. 2.
D. 2.

C. 2.

Câu 13. Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x  2ax  1 có nghiệm duy nhất?
3
.
2
3
3
D. a 
hoặc a  .
2
2

3
A. a  .
2
3
3
C. a  và a  .
2
2

B. a 

Câu 14. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình | x | 1  x2  m có nghiệm duy nhất.

A. m  0.
B. m  1.
C. m  1.
D. Khơng có m.
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình
mx  2x 1  x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 8.
B. 9.
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

D. 11.

C. 10.

1-A

2-D

3-A

4-D

5-B

11-C

12-B

13-D

14-D

15-B

6-D

7-A

8-C

9-B

10-C

Câu 5. Chọn B.

| 2 x  5 | 0
| 2 x  5 |  2 x 2  7 x  5  0.
Ta có  2

 2x  7 x  5  0

Trang 12


5

x  2

2 x  5  0


5
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  2
   x  1  x  .
2
2 x  7 x  5  0  

5
  x  2

Câu 8. Chọn C.
Trường hợp 1: x  2.
4
Phương trình trở thành 3  x  2 x  4  3  3x  4  x 
(loại).
3
Trường hợp 2: 2  x  3.
Phương trình trở thành: 3  x  2x  4  3  x  4 (loại).
Trường hợp 3: x  3.
2
Phương trình trở thành x  3  2 x  4  3  3x  2  x  (loại).
3
Vậy S  .
Câu 9. Chọn B.
 x  4  0
 x  4
 2
Phương trình   2
2
2

2
2
 x  5 x  4   ( x  4)
 x  5 x  4   ( x  4)  0
 x  4

 x  4
x  0
 x  2
x


4

 2
 
 2
   x  6 x  8  0   x  4   x  2.
2

 x2  4 x  0
 x  0
 x  6 x  8 x  4 x   0
 x  4


  x  4
Vậy tổng các nghiệm là 0   2   4  6.
Câu 10. Chọn C.

 17
4 x  17  0
x  4

Phương trình   2
2

2
 x  4 x  5  (4 x  17)
 x 2  4 x  52  (4 x  17) 2

 17
 17
x  4
x

 17


4
x  6
x  4

 x  2

 2


.


 x  22
 x 2  8 x  12  x 2  22   0   x  8 x  12  0
 x  6

  x 2  22  0

  x   22
Vậy P 





2

22  6  28.

Câu 11. Chọn C.
Đặt t  x  1 (t  0) .
Phương trình trở thành t 2  3t  2  0  t  1 hoặc t  2.
• Với t  1 ta có | x  1| 1  x  1  1  x  2 hoặc x  0.
• Với t  2 ta có | x  1| 2  x  1  2  x  3 hoặc x  1 .
Trang 13


Vậy phương trình có bốn nghiệm là x  3, x  2, x  0, x  1.
Câu 12. Chọn B.
Phương trình tương đương với 4x2  4x | 2x 1| 1  0.
Đặt t | 2 x  1|,(t  0) .Suy ra t 2  4 x 2  4 x  1  4 x 2  4 x  t 2  1.

t  1
Phương trình trở thành t 2  1  t  1  0  t 2  t  2  0  
.
t  2
Kết hợp với điều kiện t  0 chỉ có t  2 thỏa mãn.
3

x

 2x 1  2
2 .

Với t  2 , ta có | 2 x  1| 2  
 2 x  1  2
x   1

2
Vậy tổng các nghiệm là

3  1
     1.
2  2

Câu 13. Chọn D.

2ax  1
1  2ax  0


Ta có 3 | x | 2ax  1  3 | x | 1  2ax   3x  1  2ax   (3  2a) x  1 (2) .

 3x  1  2ax
 (3  2a) x  1  3




a 
Giải hệ này ta được 
a 


3
2 .
3
2


a 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 
a 

Câu 14. Chọn D.

3
2 .
3
2

Phương trình | x |2  | x | (m 1)  0
Đặt t | x | (t  0) , phương trình trở thành t 2  t  m  1  0. *

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  (*) có nghiệm duy nhất t  0 hoặc (*) có hai nghiệm

t1  0; t2  0.
Với t  0 là nghiệm của phương trình (*)  02  0  m  1  0  m  1.
Thử lại, thay m  1 vào phương trình (*), thấy phương trình có 2 nghiệm t  0 và t  1 (không thỏa
mãn).
Vậy khơng có giá trị của m thỏa mãn u cầu đề bài.
Câu 15. Chọn B.

(m  1) x  0 1
mx  2 x  1  x  1
Ta có | mx  2 x  1|| x  1| 

.
mx  2 x  1  ( x  1)
(m  3) x  2  2
Xét (1), ta có
• m  1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x  .
• m  1 thì phương trình có nghiệm x  0.
Xét (2), ta có
• m  3 thì phương trình vơ nghiệm.
Trang 14


• m  3 thì phương trình có nghiệm x 

2
.
m3

2
2
 0m  3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x  0, x 
khi m  1 và
m3
m3
m  3.
Mà m  [5;5] và m   m {5; 4; 2;0;1; 2;3; 4;5}  có 9 giá trị m.
Vì

Dạng 4. Phương trình phân thức
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường
- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác khơng).
- Đặt ẩn phụ.
2x 1 x 1

.
Ví dụ: Giải phương trình
3x  2 x  2
Hướng dẫn giải
2

x  
Điều kiện xác định: 
3
 x  2
Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được
(2 x  1)( x  2)  ( x  1)(3x  2)

 2 x 2  4 x  x  2  3x 2  2 x  3x  2
 x 2  8 x  4  0  x  4  2 3
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm là x  4  2 3.
Ví dụ mẫu
2
10
50
Ví dụ 1. Giải phương trình 1 


.
x  2 x  3 (2  x)( x  3)
Hướng dẫn giải
 x  3
.
Điều kiện xác định: 
x  2
Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

 x  10
(2  x)( x  3)  2( x  3)  10(2  x)  50  x 2  7 x  30  0  
.
 x  3
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10.
x 1 x 1 2x 1


.
Ví dụ 2. Giải phương trình

x  2 x  2 x 1
Hướng dẫn giải
 x  2
.
Điều kiện xác định: 
 x  1
Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

Trang 15


( x  1) 2 ( x  2)  ( x  1)( x  1)( x  2)  (2 x  1)( x  2)( x  2)











 x 2  2 x  1 ( x  2)  x 2  1 ( x  2)  (2 x  1) x 2  4



 x3  2 x 2  2 x 2  4 x  x  2  x3  2 x 2  x  2  2 x3  8 x  x 2  4

x  0

 x2  4x  0  
(thỏa mãn điều kiện).
 x  4
Vậy phương trình có nghiệm là x  4 và x = 0.
4
3
2
1



.
Ví dụ 3. Giải phương trình
2x 1 2x  2 2x  3 2x  4
Hướng dẫn giải
3
1

Điều kiện xác định: x  2;  ; 1;  .
2
2

Phương trình tương đương với
4
2
1
3
4 x  10
4 x  10




 2
 2
2x 1 2x  3 2x  4 2x  2
4 x  8 x  3 4 x  12 x  8
1
1


 (4 x  10)  2
 2
0
 4 x  8 x  3 4 x  12 x  8 





 (4 x  10) 4 x 2  8 x  3  4 x 2  12 x  8  0
4 x  10  0

 (4 x  10) 8 x 2  20 x  11  0   2
8 x  20 x  11  0
5

 x2
(thỏa mãn điều kiện).

5  3


 x 
4





5  3
5
và x   .
4
2
2
x  mx  2
Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình
 2m  6.
3 x
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x  3.
Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được
x 2  mx  2  (3  x)(2m  6)
 x 2  (3m  6) x  6m  16  0(1)
Vậy phương trình có nghiệm là x 

 x2
 ( x  2)( x  3m  8)  0  
 x  3m  8
10
Nếu 3m  8  2  m  

thì phương trình có nghiệm kép x = 2 (thỏa mãn).
3
10
11
Nếu m   , ta xét điều kiện x  3 : 3m  8  3  m  
thì phương trình đã cho có hai nghiệm
3
3
phân biệt x = 2 và x  3m – 8.
Kết luận:
10
11
+) m  
hoặc m   , phương trình có một nghiệm là x = 2.
3
3
Trang 16


11
10
và m   , phương trình có hai nghiệm là x  2 và x  3m – 8.
3
3
Bài tập tự luyện dạng 4
3
3x

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình 2 x 
x 1 x 1

3
 3
A. S  1;  .
B. S  {1}.
C. S    .
D. S  Ø.
2
 2

+) m  

2 x2  10 x
 x  3 có bao nhiêu nghiệm?
x2  5x
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
10
50
Câu 3. Gọi x0 là nghiệm của phương trình 1 


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x  2 x  3 (2  x)( x  3)
Câu 2. Phương trình

A. x0  (5; 3).

B. x0 [3; 1].

m
Câu 4. Tập hợp nghiệm của phương trình
 2
A. T    .
 m

B. T  .

C. x0  (1;4).
2



 2 x  2m
x

D. x0 [4; ).

 2(m  0) là

C. T  .

D. T 

\{0}.

2mx  1
 3 có nghiệm duy nhất khi

x 1
1
3
A. m   và m  .
B. m  0.
2
2
3
3
C. m  0 và m  .
D. m  .
2
2

Câu 5. Phương trình

x 2  mx  2
 1 vô nghiệm?
x2 1
C. 2.
D. 3.

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
A. 0.

B. 1.

Câu 7. Biết phương trình x  2 

xa

 a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. Vậy
x 1

nghiệm đó là
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Câu 8. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-3;5] để phương trình
xm x2

x 1 x 1
có nghiệm. Tổng giá trị các phần tử của tập S bằng
A. 1.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [1;20] để phương trình
x 1
m
x3


có nghiệm?
2
x2 4 x
x2
A. 4.
B. 18.
C. 19.

D. 20.
4
2

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2  2  4  x    m  1  0 có đúng
x
x

hai nghiệm lớn hơn 1.
A. m  8.
B. 8  m  1.
C. 0  m  1.
D. m  8.
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Trang 17


1-C

2-A

3-D

4-A

5-A

6-D

7-D

8-D

9-D

10-B

Câu 7. Chọn D.
Điều kiện: x  1.
Phương trình trở thành x  2 

xa
 a  x 2  3x  2  x  a  ax  a
x 1

 x2  (2  a) x  2a  2  0 (1).
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc
phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1.
  a 2  4a  4  0
a  2  2 2


a

1

0


 a  2  2 2 .

Do đó  2
 a  4a  4  0  a  1

 a  1  0
• Với a  2  2 2 phương trình có nghiệm là x  2  2.
• Với a  2  2 2 phương trình có nghiệm là x  2  2.
•Với a  1 phương trình có nghiệm là x  0; x  1
Kết hợp điều kiện x  1 và x 
Câu 8. Chọn D.

thì x  0 là nghiệm duy nhất cần tìm của phương trình.

m  0
m  0
 x  1
xm x2


.


. Phương trình đã cho có nghiệm  
2
m


1
x  1 x 1
x


1



1

mx  m  2

m
Vì m  , m  [3;5] nên m  S  {3; 2;1;2;3;4;5}.
Vậy tổng các giá trị của m là 10.
Câu 9. Chọn D.
 x  2
x 1
m
x3



.
2
x2 4 x
x2
2 x  m  8
Phương trình đã cho có nghiệm  x  

m  12
m
 4  2  
.

2
m  4

Suy ra có tất cả 20 số nguyên m thuộc đoạn 1; 20 thỏa mãn yêu cầu.
Câu 10. Chọn B.
 g ( x)  x 2  tx  2  0 (*)
2

.
Đặt x   t   2 4
2
x
x  2  t  4
x

Phương trình (*) có ac  0 nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi t  . . Do đó (*) nếu có
nghiệm lớn hơn 1 thì có duy nhất một nghiệm như thế.
Ta có x1  1  x2  g(1)  0  t 1  0  t  1.
Mặt khác phương trình đã cho trở thành f (t )  t 2  4t  m  3  0 (**). Phương trình đã cho có đúng hai
nghiệm x1 , x2 , lớn hơn 1 khi và chỉ khi (**) có hại nghiệm phân biệt t1, t2 lớn hơn 1 , hay

Trang 18


 '  4  m  3  0

m  1

.
 t1  1 t2  1  t1t2   t1  t2   1  0  

m  8

t  t  4  2
1 2
Dạng 5. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng các cách sau:
- Nâng luỹ thừa hai vế.
- Phân tích thành tích.
- Đặt ẩn phụ.
Ví dụ: Giải phương trình x2  2x  4  2  x.
Hướng dẫn giải
 x2  2 x  4  0
 x  2.
Điều kiện xác định: 
 2 x  0
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
 x  1
x 2  2 x  4  2  x  x 2  3x  2  0  
.
 x  2
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x  1 và x  2.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình x  2x  5  4.
Hướng dẫn giải
5
Điều kiện xác định: 2 x  5  0  x  .
2

x  2 x  5  4  2 x  5  x  4 *

Trường hợp 1: Với x  4  0  x  4, ta có phương trình (*) vơ nghiệm vì VT khơng âm và VP âm.
Trường hợp 2: Với x  4  0  x  4, ta có hai vế khơng âm nên phương trình (*) tương đương với

x  3
2 x  5  ( x  4)2  x 2  10 x  21  0  
.
x  7
Đối chiếu với điều kiện x  4 và điều kiện xác định, suy ra chỉ có x = 7 thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm là x =7.
Ghi nhớ: Cách giải phương trình dạng

f ( x)  g ( x) :

f ( x)  g ( x)
 g ( x)  0

2
 f ( x)  [ g ( x)]

Ví dụ 2. Giải phương trình
Hướng dẫn giải

2x 1  x2  3x 1  0.

1
Điều kiện xác định của phương trình là 2 x  1  0  x  .
2

Ta có

2x 1  x2  3x 1  0  2x 1  x2  3x 1.

Trang 19


  x 2  3x  1  0

 x 2  3x  1  0


2
2
2
2 x  1   x 2  3 x  1
( x  1) x  4 x  2  0
 x 1


2
2



.



x

3

x

1

0
 x  3x  1  0
x

2

2



x 1


x 1


x  2 2
x2  4 x  2  0













1
Đối chiếu với điều kiện x  , ta được x  1 và x  2  2 là nghiệm của phương trình.
2

Vậy phương trình có nghiệm là x  1 và x  2  2
Ví dụ 3. Giải phương trình x 

3x 2  1  1.

Hướng dẫn giải
2

3x  1  0
Điều kiện xác định 
 x  .
2
3
x

1

1

0




 x  0
 x  0

.
Phương trình tương đương với  2

2
2
2
x

3
x

1

1
3
x

1

x

1







x  0
x  0
x  0
x  0
x  0

 2
 2 2
  x  0  
2  4
2
2
3x  1  x  1
 x  x  0  x x  1  0  x  1  x  1




Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1.
Bài tập tự luyện dạng 5







Câu 1. Số nghiệm của phương trình
A. 0.



B. 1.

C. 2.

B. S  6.

Câu 3. Tập nghiệm S của phương trình
A. S  6;2.

B. S  2.

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình
A. S  1; 4.

A. S  2.

A. 1.

B. 0.

x2  3x  7  5 là
C. S  {3; 6).

2x  3  x  3 là
C. S  6.

D. S  .

D. S  4.

C. S  .

C. S  0;1.

x 2  4 x  12
 x2
x 1
C. 2.



Câu 7. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình x  5x  4
A. a  1.

D. S  .

x2  4x  2
 x2
x2

B. S  1.

Câu 6. Số nghiệm của phương trình

D. 3.

x2  5x
4

x 2
x2

B. S  1.

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình



x  4 x 2  3x  2  0 là

Câu 2. Tập nghiệm S của phương trình
A. S  3.



B. 1  a  4.

2

C. a  4.



D. S  5.

D. 3.
x  a  0 có hai nghiệm phân biệt?

D. Khơng có a.

Trang 20


x 2  2(m  1) x  6m  2
 x  2 (1). Giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
x2
A. m  1.
B. m  1.
C. m  1.
D. m  1 hoặc m  1.

Câu 8. Cho

Câu 9. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình m 2  x 

x 2  mx  2
có nghiệm dương.
2 x

A. 1  m  3.

B. 0  m  2 6  4.
C. 4  2 6  m  1.
3mx  1
2 x  5m  3

Câu 10. Cho phương trình
(1).
 x 1 
x 1
x 1
Để phương trình (1) có nghiệm, điều kiện của tham số m là
m  0
1
1
.
A. 0  m  .
B. 
C.   m  0.
1
m 
3
3
3


D. 2 6  4  m  1.

m  0
.
D. 
m   1
3


HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-B

2-C

3-C

4-D

5-D

6-A

7-B

8-D

9-A

10-B

Câu 7. Chọn B.
Điều kiện: x  a.

(1)  x2  (2m  3) x  6m  0(2).
x  4
 x2  5x  4  0 
Phương trình tương đương với 
 x  1 .
x  a  0
 x  a

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1  a  4.
Câu 8. Chọn D.
Điều kiện x  2  0  x  2.

(1)  x2  (2m  3) x  6m  0 (2). Phương trình ln có nghiệm là x  3 và x  2m.
3
Để phương trình (1) có duy nhất một nghiệm thì 2m  2 hoặc 2m  3  m  1 hoặc m  .
2
Câu 10. Chọn B.
Điều kiện x  1.
Phương trình trở thành 3mx  1  x  1  2x  5m  3  (3m 1) x  5m  1 2  .
Phương trình (1) vơ nghiệm  Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất
nhỏ hơn hoặc bằng 1.
1
1


 3m  1  0
m
m



3
3


 5m  1  0
1
1

1
 3m  1  0   m 
  m 
0m .


3
3
3


  5m  1  1  8m

0  m  1
0
  3m  1
  3m  1
 
3

Trang 21


m  0
.
Vậy phương trình có nghiệm khi 
m  1
3


Trang 22