Tài liệu ôn thi Đại học: Tổ hợp và số phức - Trường THPT Cẩm Lý
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (476.52 KB, 20 trang )
THPT Cm Lý-Bc Giang-
www.VNMATH.com
T HP -S
S PHC
CHủ Đề: tổ hợp v số phức
năm học: 2010 - 2011
Họ v tên: Nguyễn Văn Loan
Tổ: Toán Tin
TrƯờng THPT Cẩm Lý
Gv: Nguyn Vn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 1
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
I> Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả i 2 = –1.
Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b
và i 2 = –1}. Ta có .
Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a
Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i
Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.
II> Số phức bằng nhau:
a a '
Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z
b b '
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1)
2 x 3 2 y 1
x y 2
x 2
(1)
3 y 1 3 x 7
x y 2
y 0
III> Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
z A = 1 + 4 i , z B = –3 + 0. i , zC = 0 –2 i , z D = 4 – i
IV> Môđun của số phức:
Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là mơđun của số
phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2
VD: z = 3 – 4 i có z 3 4i 32 (4) 2 = 5
Chú ý: z 2 a 2 b 2 2abi (a 2 b 2 ) 2 4a 2b 2 a 2 b 2 z
2
V> Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi .
z = a + bi z = a - bi ;
z z,
z = z*
Chú
ý
( Z n ) ( Z ) n ; i i;i i
Z là số thực Z Z
Z là số ảo Z Z
* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R)
Z OM a 2 b 2 z.z
Chú ý:
Z Z
z C
Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
VI> Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i
Cho z a bi và z ' a ' b ' i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức:
Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b ' i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i 2 = –1
và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i
k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z
2
z. z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a 2 + b 2 = z
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 2
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
VD: Phân tích z 2 + 4 thành nhân tử. z 2 + 4 = z 2 – (2i ) 2 = (z – 2 i )(z + 2 i ).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
VIII> Phép chia số phức:
1
a - bi
1
z
Số nghịch đảo của số phức z a bi 0 là z -1 = = 2 hay
= 2
z z
a + bi a + b 2
Cho hai số phức z a bi 0 và z ' a ' b ' i thì
z ' z '.z
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
2 hay
=
z
a + bi
a 2 + b2
z
VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i .
i
i (2 2i )
2 2i
1 1
Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i z =
z
z
z i
2 2i
44
8
4 4
IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2 2i )13
6
z (2 2i ) 2 (2 2i ) (8i )6 (2 2i ) 86.2 86.2i 219 219 i
Phần thực a = 219 , phần ảo b = 219
2.BÀI TẬP PHÉP TỐN SỐ PHỨC.
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
3
4
1 5
1 3
Hướng dẫn: a) x = , y = c) x =
,y=
b) x = 0, y = 1.
2
3
2
3
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 khơng tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2
tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1;
b) |z| 1
c) 1 < |z| 2
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2 b 2 1 , là đường trịn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a 2 b 2 1 , là hình trịn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1 a 2 b 2 2 , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 khơng
tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4)Thực hiện các phép tính sau:
(1 i ) 2 (2i )3
b) 2i(3 + i)(2 + 4i)
c)
2 i
5)Giải phương trình sau:
z
c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
c)
(2 3i ) 5 2i
4 3i
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 3
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
8 9
c) z = 15 – 5i.
i
5 5
6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. F cos ;sin nên F
6
6
3 1
3 1
biểu diễn số
i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
i . E đối xứng F qua Ox
2 2
2 2
3 1
3 1
nên E biểu diễn số
i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
i
2 2
2 2
1
3
1
7)Cho z
i . Hãy tính: ; z ; z 2 ; ( z )3 ;1 z z 2 .
z
2 2
Hướng dẫn: Ta có z 1 nên
Hướng dẫn: a) z = 1
1
1
3
iz;
z
2 2
b) z =
1
3
z2
i;
2 2
z 3 z .z 2 1 ;
1 z z2 0
8)Chứng minh rằng:
1
1
z z , phần ảo của số phức z bằng z z
2
2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z .
z' z'
d) Với mọi số phức z, z, ta có z z ' z z ', zz ' z.z ' và nếu z 0 thì
z z
Hướng dẫn: z a bi, z a bi (1)
1
a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng z z . Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức
2
1
z bằng z z .
2i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 z z 0 z z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 z z 0 z z .
d) z a bi; z ' a ' b ' i; z z a 2 b 2 là số thực
a) Phần thực của số phức z bằng
z z ' ( a a ') (b b ')i ( a a ') (b b ')i ( a bi ) (a ' b ' i ) z z '
zz ' ( aa ' bb ') ( ab ' a ' b)i ( aa ' bb ') ( ab ' a ' b)i (a bi )( a ' b ' i ) z.z '
z ' z '.z z '.z z '.z z '
z. z
z
z z. z z . z
9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có i 4 m 1; i 4 m 1 i; i 4 m 2 1; i 4 m 3 i
Hướng dẫn: Ta có i 4 i 2 .i 2 1
i
4 m
1m i 4 m 1 i 4 m .i 1.i i 4 m 1 i i 4 m 1.i i.i i 4 m 2 1 i 4 m 2 .i 1.i i 4 m 3 i
10)Chứng minh
rằng:
e) Nếu u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | u | | z | và từ đó nếu hai điểm A1 , A2 theo
thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2 z2 z1 ;
f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z 0 thì
z'
z'
z
z
g) Với mọi số phức z, z, ta có z z ' z z '
Hướng dẫn:
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 4
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
a) z a bi thì z a 2 b 2 , u biểu diễn số phức z thì u = (a; b) u a 2 b 2 do đó
| u || z |
A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2 OA2 OA1 z2 z1 A1 A2 z2 z1
b) z a bi , z ' a ' b ' i , z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b i , z a 2 b 2 , z ' a '2 b '2
Ta có z . z ' a 2 b 2 a '2 b '2
2
2
Ta có z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b aa ' bb ' ab ' a ' b a 2 b 2 a '2 b '2
2
2
2
2
2
2
2
Vậy |z.z| = |z|.|z|
z'. z
z'. z
z'
z ' z '.z
Khi z 0 ta có
2
2
z
z. z
z
z
z
c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z thì u u ' biểu diễn z + z và z z ' u u '
2 2 2
2 2
Khi u , u ' 0 , ta có u u ' u u ' 2 u u ' cos u , u ' u u ' 2 u u ' u u '
u u ' u u ' do đó z z ' z z '
2
11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
z i
b)
c) z z 3 4i
h) z i 1
1
zi
Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với z x yi z i 1 x ( y 1)i 1 x 2 ( y 1)2 1 x 2 y 1 1
2
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
z i
2
2
b) Với z x yi
1 x ( y 1)i x ( y 1)i x 2 y 1 x 2 y 1 y 0
z i
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với z x yi z z 3 4i x yi ( x 3) (4 y )i x 2 y 2 ( x 3)2 (4 y )2
6 x 8 y 25 0 . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 x 8 y 25 0
12)Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có 1 z z 2 ... z 9
z10 1
z 1
Hướng dẫn:
Với z 1, 1 z z 2 ... z 9 z 1 z z 2 ... z 9 z10 1 z z 2 ... z 9 z10 1
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
zz
z 2 ( z )2
2
2
z (z )
1 zz
z 3 ( z )3
2
Hướng dẫn: Ta có z a bi, z a bi , z (a 2 b 2 ) 2abi, z 2 (a 2 b 2 ) 2abi,
Và z 3 (a 3 3ab 2 ) (3a 2b b3 )i, z 3 (a 3 3ab 2 ) (3a 2b b3 )i
Vậy z 2 ( z ) 2 2(a 2 b 2 ) là số thực;
zz
b
z 2 ( z )2
4ab
i
là
số
ảo;
i là số
3
3
3
2
z (z )
a 3ab
1 z. z
1 a 2 b2
ảo.
13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
1
i) z 2 là số thực âm;
b) z 2 là số ảo ;
c) z 2 ( z ) 2
d)
là số ảo.
z i
Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z x yi z 2 x 2 y 2 2 xyi; z 2 x 2 y 2 2 xyi
a) z 2 là số thực âm khi xy = 0 và x 2 y 2 0 x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ
O
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 5
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
b) z 2 là số ảo khi x 2 y 2 0 y = x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) z 2 ( z ) 2 khi xy = 0 x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
1
x ( y 1)i
1
2
là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
d)
=
z i x ( y 1)i x ( y 1) 2
14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j) iz 2 i 0
c) 2 i z 4 0
e) z 2 4 0
k) 2 3i z z 1
d) iz 1 z 3i z 2 3i 0
Hướng dẫn:
a) z 1 2i
b) z
1 3
i
10 10
8 4
c) z i
5 5
d) i; 3i; 2 3i
e) z 2i
2) Tìm :
15) Cho số phức z x yi (x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
zi
z i
zi
là số
z i
thực dương.
Hướng dẫn:
x2 y 2 1
2x
, phần ảo 2
2
2
x ( y 1)
x ( y 1) 2
b) Là số thực dương khi x 0 và x 2 y 2 1 0 Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm
biểu diễn hai số phức i, i .
16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số
phức z1 , z2 , z3 . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
a) Phần thực là
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa z1 z2 z3 .
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 z2 z3 0
Hướng dẫn:
1 1
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có OG OA OB OC z1 z2 z3 vậy G biểu diễn số
3
3
1
phức z z1 z2 z3
3
b) Vì OA OB OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G
trùng O hay z1 z2 z3 0 .
3. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
I> Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả z 2 = w được gọi là căn bậc hai của w.
w là số thực: w = a
a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a
a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
a .i và – a .i
w là số phức: w = a + b i (a, b , b 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi
x2 - y2 = a
z 2 w (x + yi)2 = a + bi
2xy = b
Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .
x 2 y 2 3
2
2
Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có z w ( x yi) 3 4i
2 xy 4
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 6
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
x 2 y 2 3 y 4 3 y 2 4 0
y2 4
y 2
y 2
hoặc
.
2
2
2
x 1
x 1
x y
x y
x y
Vậy có 2 căn bậc hai của w là z1 = 1 + 2 i , z2 = –1 – 2 i .
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: ax 2 bx c 0 (a 0),
b 2 4ac .
b
2a
b | |.i
2a
0: Phương trình có 2 nghiệm thực x1,2
< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x1,2
VD: Giải phương trình x 3 8 0
x 2
x3 8 0 x3 23 0 ( x 2)( x 2 2 x 4) 0 2
x 2 x 4 0 (1)
(1) có = 1 – 4 = –3 =
3.i
2
nên có 2 nghiệm phức x1,2 1 3.i .
Do đó phương trình có 3 nghiệm x1 1 3.i, x2 1 3.i, x3 2
2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax 2 Bx C 0 ( A 0), B 2 4 AC , a bi
B
= 0: Phương trình có nghiệm kép x
2A
B
với là 1 căn bậc hai của .
0: Phương trình có 2 nghiệm x1,2
2A
VD: Giải phương trình: a) 2z 2 iz 1 0 ; b) z 2 (3 2i ) z 5 5i 0
a) 2z 2 iz 1 0 có = –1 – 8 = – 9 = (3i )2 .
i 3i
i 3i
1
Phương trình có 2 nghiệm phức z1
i , z2
i
4
4
2
2
2
b) z (3 2i ) z 5 5i 0 có = (3 2i ) 4(5 5i ) 9 12i 4i 2 20 20i 15 8i =
3 2i 1 4i
(1 4i ) 2 Phương trình có 2 nghiệm phức z1
1 3i ;
2
3 2i 1 4i
z2
2 i
2
4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 3 z 2 2 z 1 0
b) 7 z 2 3 z 2 0 ;
c) 5 z 2 7 z 11 0
Hướng dẫn:
1 i 2
3 i 47
7 i 171
a)
b)
c)
3
14
10
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
b) z 4 7 z 2 10 0
a) z 4 z 2 6 0
Hướng dẫn:
a) 2; i 3
b) i 2; i 5
3) Cho a, b, c R, a 0, z1 , z2 là hai nghiệm phương trình az 2 bz c 0 . Hãy tính z1 z2 và z1 z2
theo các hệ số a, b, c.
b
c
Hướng dẫn: z1 z2 = , z1 z2 =
a
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm
nghiệm.
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 7
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 x 2 ( z z ) x zz 0 .
Với z + z = 2a, z z = a 2 b 2 . Vậy phương trình đó là x 2 2ax a 2 b 2 0
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z
w
2
Hướng dẫn: z a bi là một căn bậc hai của w z 2 w z 2 w z w z
VD: 3 4i 2 i tức z 2 i là một căn bậc hai của w 3 4i thì z
2
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) z 2 z 1
b) z 2 2 z 5 0
Hướng dẫn:
w
w
c) z 2 (1 3i ) z 2(1 i ) 0
2
1 1 5
1
5
1
5
a) z 2 2.z. z z
2 4 4
2
4
2 2
b) z 2 2 z 5 0 z 1 4 z 1 2i z 1 2i z 1 2i
2
2
2
c) 1 3i 8 1 i 2i 1 i Phương trình có hai nghiệm phức là z1 2i; z2 1 i .
7) a) Hỏi cơng thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với
hệ số phức khơng? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2 Bz C 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai
số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng
khơng?
Hướng dẫn:
B
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là z1,2
2 B 2 4 AC nên
2A
B
C
z1 z2 ; z1 z2 .
A
A
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình z 2 4 i z 5 1 i 0
2
2
Có 5 12i 2 3i nên hai số cần tìm là z1 3 i; z2 1 2i .
2
c) Phương trình z 2 Bz C 0 có hai nghiệm là z a bi; z a bi thì B z z 2a là số
thực và C z.z a 2 b 2 là số thực. Điều ngược lại khơng đúng.
8) a) Giải phương trình sau: z 2 i z 2 2iz 1 0
b) Tìm số phức B để phương trình z 2 Bz 3i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Hướng dẫn:
2
2
2
2
2
a) z 2 i z i 0 có 3 nghiệm là
i;
i; i .
2
2
2
2
b) Ta có z1 z2 B; z1.z2 3i nên
z12 z22 8 z1 z2 2 z1 z2 8 B 2 6i 8 B 2 3 i B 3 i
2
2
1
k trong các trường hợp sau:
z
c) k = 2i.
a) k = 1;
b) k = 2 ;
1
k
Hướng dẫn: z k z 2 kz 1 0 có 2 nghiệm z1,2
2 k 2 4
z
2
1
3
2
2
a) k = 1 thì z1,2
b) k = 2 thì z1,2
c) k 2i z1,2 1 2 i
i
i
2 2
2
2
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a) z 3 1 0 ;
b) z 4 1 0 ;
c) z 4 4 0 ;
d) 8 z 4 8 z 3 z 1
Hướng dẫn:
9) Tìm nghiệm của phương trình z
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ơn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 8
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
a) z 3 1 0 z 1 z 2 z 1 0 z 1, z
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
1
3
1
3
i, z
i.
2 2
2 2
b) z 4 1 0 z 4 1 z 2 1 z 1, z i
c) z 4 4 0 z 4 4 z 2 2i z 1 i , z 1 i
1
1
3
d) z 1 8 z 3 1 0 z 1 2 z 1 4 z 2 2 z 1 0 z 1, z , z
i
2
4 4
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z 2 bz c 0 nhận z 1 i làm nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình z 3 az 2 bz c 0 nhận z 1 i và z = 2 làm nghiệm.
Hướng dẫn:
2
a) 1 i b 1 i c 0 b c 2 b i 0 b c 0 vaø 2 b 0 b 2, c 2
b) Lần lượt thay z 1 i và z = 2 vào phương trình, ta được
b c 2
a 4
b c 2 (2 2a b)i 0
b 6
2a b 2
8 4a 2b c 0
4a 2b c 8 c 4
5. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo)
I> Số phức dưới dạng lượng giác:
1) Acgumen của số phức z 0:
Cho số phức z = a + b i 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)
của góc (Ox, OM ) được gọi là một acgumen của z.
Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng + k2 (k )
(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).
1
VD: Biết z 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; .
z
z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi – OM nên có acgumen là + (2k + 1)
z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2
– z biểu diễn bởi – OM ' nên có acgumen là – + (2k + 1)
z
1
1
là một số thực nên z 1 có cùng acgumen với z là – + k2.
= z 1 2 , vì
2
|z|
|z|
z
2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :
Dạng lượng giác của số phức z 0 là z = r (cos + i sin ) với là một acgumen của z.
a
b
z = a + bi z = r cosφ + isinφ Với r = a 2 + b 2 ; cosφ = ; sinφ =
r
r
VD:
Số –1 có mơđun là 1 và một acgumen bằng nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin
1
3
Số 1 + 3 i có mơđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = và sin =
. Lấy =
2
2
thì 1 + 3 i = 2(cos + i sin )
3
3
3
Số 0 có mơđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos + i sin )
Chú ý:
Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + )
Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– )
Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – )
II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r (cos + i sin ) và z = r (cos ’ + i sin ’) với r , r 0
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 9
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
z r
= [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] ( r 0)
z' r'
1
1 1
Ta có
và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên
[cos( ') i sin( ')] .
z'
z' r'
z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và
Do đó
z r
[cos( - ') i sin( - ')] ( r ’ 0)
z' r'
3
3
5
z1
5
VD: z1 2 cos
i sin
i cos
và z2 2 sin
. Tính z1.z2 và
4
4
12
12
z2
5
5
3 1
Với z2 2 cos i sin ; z1.z2 = 2 2 cos
i sin
i 6 2.i
2 2
12
12
6
6
2
2
1
z
2
2
2
3
2
6
và 1 =
i sin
i
i
cos
2
z2
3
3
2
2
2
2 2
III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos + i sin )
r(cosφ + isinφ) = r n (cosnφ + isinnφ) (n
n
*
)
2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
Mọi số phức z = r (cos + i sin ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là
φ
φ
φ
φ
r cos + isin và 2 r cos i sin 2 r cos + π + isin + π
2
2
2
2
2
2
100
VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 1 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i
1
1
2
i 2 cos i sin .
4
4
2
2
Ta có 1 + i =
100
Do đó 1 i = 2 cos i sin 250 cos 25 i sin 25
4
4
w = 1 + 3.i = 2 cos i sin có 2 căn bậc hai là 2 cos i sin và
3
3
6
6
7
7
i sin
2 cos
.
6
6
19
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1 i và cơng thức Moavrơ để tính
100
ð190 ð192 ð194 ... ð1916 ð1918 .
Hướng dẫn: 1 i 2 cos i sin
4
4
Ta có 1 i
19
n 19
ð i
k 0
k k
n
ð190 i 0 ð191 i1 ð192 i 2 ... ð1918i18 ð1919i19 với phần thực là
ð ð ð ... ð1916 ð1918
0
19
2
19
1 i
19
4
19
19
2
2
9
9
9
i
2 2 i có phần thực 2 512
2
2
2
= –512.
19
19
19
2 cos
i sin
4
4
Vậy ð190 ð192 ð194 ... ð1916 ð1918
2004
i
2) Tính:
1 i
Hướng dẫn:
Gv: Nguyễn Văn Loan –
5 3 3i
;
1 2 3i
21
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 10
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
i
1 i
2004
1 i
2
21
www.VNMATH.com
2004
2
cos i sin
4
4
2
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
2004
1
1002
2
cos i sin
1
1002
2
21
21
5 3 3i
2
2
21
21
i sin
1 3i 2 cos
2 cos14 i sin14 2
3
3
1 2 3i
1
3) Cho số phức w 1 3i . Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có số nguyên
2
m
dương m để w là số ảo?
1
4
4
4n
4n
Hướng dẫn: w 1 3i cos
i sin
wn cos
i sin
2
3
3
3
3
4n
W là số thực khi sin
0 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
3
Khơng có m nào để w m là số ảo.
6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
2
1
1 i
10
1 i 2 3i 2 3i
i
1 i
2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
a.
2i
1 3i
z
;
1 i
2i
b. 2 i z 3 i . iz
1
0;
2i
2
d. z 2 z 0 ;
c. z 2 | z | 0;
3.Tính :
a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20
b. 1+i+i2+i3++……+i2011
4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện
sau:
b. | z z 1 i | 2;
a. | z z 3 | 4;
c. 2 z i z là số ảo tùy ý;
d. 2 | z i || z z 2i |;
5. Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vơ hướng u . u '
1
z.z ' z.z ' ;
2
b. Chứng minh rằng u ,u ' vng góc khi và chỉ khi | z z '|| z z '| .
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z
k,
z i
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
z 1
1 và
z i
z 3i
1.
zi
8. Tìm số phức z thỏa mãn
4
z i
1
z i
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
1 i tan
1 i tan
10. Giải các phương trình sau trên C :
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 11
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
1
z2
z 1 0 bằng cách đặt ẩn số phụ w z ;
z
2
a. z 4 z 3
b. z 2 3z 6 2 z z 2 3z 6 3z 2 0
2
c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. z i z 2 1z 3 i 0
d. z 2 z 4z 2 z 12 0.
2
11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :
z1 z 2 4 i
a/
z1 z 2 5 5i
b/
z z 5 2i
2
1
2
2
z1 z 2 5 2i
2
2
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
cos i sin
;
a.-1-i 3 ; b.
4
sin
c.
4
i cos ;
8
8
d.
1 sin i cos
0 ;
2
13.
Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2
14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện sau :
z 2z 1 i z 3
15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
7
1 i 10 ; c. z 2000 1 biết rằng z 1 1.
a. cos i sin i 5 1 3i ;
b.
2000
9
3
3
2011
18. CMR:3(1+i)
2009
= 4i(1+i)
2007
3 i
z
- 4(1+i)
3 3i
19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
3 3i
1
2
z
20.Viết dạng lượng giác số z=
n
là số thực, là số ảo?
3
i .Suy ra căn bậc hai số phức z
2
BÀI TẬP TỰ RÈN
1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i;
b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1
b) x = –1, y = 3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta ln có phần thực và phần ảo khơng vượt q mơđun của nó.
Hướng dẫn: z = a + bi |z| = a 2 b 2 . Ta có |z| a 2 = a và |z| b 2 = b
3) Giải phương trình sau trên tập phức:
a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i;
b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.
Hướng dẫn:
7 4
18 13
a) i
b)
i
5 5
7 7
4) Giải phương trình sau trên tập phức:
b) z 4 8 0
c) z 4 1 0
a) 3 z 2 7 z 8 0
Hướng dẫn:
7 i 47
b) 4 8 , i 4 8
c) 1, i
a)
6
5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 12
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
Hướng dẫn: z1 z2 3, z1 z2 4 z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2 3 z 4 0 với = ( 7i ) 2
3i 7
2
6) Cho hai số phức z1 , z2 . Biết rằng z1 z2 , z1 z2 là hai số thực. Chứng tỏ z1 , z2 là hai nghiệm một
phương trình bậc hai với hệ số thực.
Hướng dẫn:
Đặt z1 z2 a, z1 z2 b với a, b R. Khi z1 , z2 là hai nghiệm phương trình ( z z1 )( z z2 ) 0 hay
z1,2
z 2 ( z1 z2 ) z z1 z2 0 z 2 az b 0
zw
7) Chứng minh rằng nếu z w 1 thì số
1 zw 0 là số thực.
1 zw
2
Hướng dẫn: Ta có z.z z 1
1 1
z
w
z
w
z
w
z w z w nên z w 1 zw 0 là số thực.
1 zw
1 zw 1 zw 1 zw 1 1 1 zw
zw
8) Giải phương trình:
2
iz 3
2
iz 3
b)
c)
a) z 3 i 6 z 3 i 13 0
40
3
z 2i
z 2i
z
2
1 z 3 0
2
2
Hướng dẫn:
z 3 i 3 2i
z i
2
a) z 3 i 6 z 3 i 13 0
z 3 i 3 2i
z 3i
1 5
iz 3
1
z i
2
(1 i ) z 3 2i
iz 3
iz 3
z 2i
2 2
40
b)
3
4
iz
i
z
i
3
(4
)
3
8
z
i
z
i
2
2
z 35 i
4
z 2i
17 17
c) z 2 1 z 3 i 0 z 2 1 ( z 3)i z 2 1 ( z 3)i 0
Phương trình z 2 iz 1 3i 0 có nghiệm z1 1 2i; z2 1 i
2
2
Phương trình z 2 iz 1 3i 0 có nghiệm z3 1 2i; z4 1 i
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( x yi ) 2 2( x yi ) 5 . Với giá trị nào của x, y thì số
phức trên là số thực.
Hướng dẫn: Phần thực là x 2 y 2 2 x 5 , phần ảo là 2( xy y ) . Số phức trên là số thực khi y =
0 hoặc x = 1.
Bài 2. Thực hiện các phép tính:
2 i 2 1 i 2
g) (1 i ) 2010 (1 i ) 2009
e)
a) d) (1 2i )3 (1 2i )3 ;
1 i 2 2 i 2
Bài 3. Tìm z, biết:
z i
a) (1 5i ) z 10 2i 1 5i ;
b) (3 2i ) z 1 i 4 z
c)
1 i 3 i
1 i
2 3i
2i
1 3i
d)
e) ( 2 i 3) z i 2 3 2i 2 ; f)
z 1 3i 2 z 1 ;
z
1 i
1 i
2i
z 2i
1 i z 2 i
2iz 2i
g) z 11 i 2 2i
h) 2 z 3i
i) 1 i z 5 5i
1 i
1 i
1 i
1 i
Hướng dẫn:
1 3
1
a) z 1 2i ;
b) z i ;
c) z 2 3i ;
d) z i ;
5 5
5
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 13
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
2 4
f) i
g) z 3 i
h) z 3i
5 5
Bài 4. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 3 z 3 0 . Hãy tính:
z z
2
2
b) z13 z23 ;
c) 1 2 ;
d) z1 z2
a) z12 z22 ;
z2 z1
Hướng dẫn:
z z
2
2
a) z12 z22 = –3; b) z13 z23 = 6 3 ;
c) 1 2 = –1;
d) z1 z2 = 6.
z2 z1
Bài 5. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
3
7
3
7
Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là z1
i và z2
i
2 2
2 2
Bài 6. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z 2 8(1 i ) z 12 16i 0 ;
b) z 2 2 i z 2i 0 ;
i) z 2 3i
e) i ;
c) iz 2 2 1 i z 4 0 ;
d) z 2 5 i z 8 i 0
Hướng dẫn:
b) z1 2; z2 i ;
c) z1 2; z2 2i ;
d)
a) z 2i, z 8 6i ;
z1 2 i; z2 3 2i
Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b) x 4 16 x 2 100 0 ;
c) x 4 3 x 2 3 3i 0
a) x 4 6 x 2 25 0 ;
d) x 4 3(1 2i ) x 2 8 6i 0 ;
e) x 4 7 24i 0 ;
f) x 4 28 96i 0
Hướng dẫn:
a) x 1 2i , x 1 2i ; b) x 3 i , x 3 i ;
c) x 2 i , x 1 i
d) x 2 i , x 1 i ;
e) x 2 i , x 1 2i ;
f) x 3 i , x 1 3i
Bài 8. Tìm z biết:
a) z z 2 ;
b) z 2 z 2 4i
c) z 2 i z 1 2i và
1
10
z
10
Hướng dẫn: Gọi z = x + y i z = x – y i và z 2 x 2 y 2 2 xyi .
x 2 y 2 x (1)
a) z z 2
2 xy y (2)
(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) x = 0 hoặc x = 1
1
3
Nếu y 0 (2) có nhiệm x = – thay vào (1) y =
2
2
1 3 1
3
Vậy nghiệm của hệ là các cặp số (0;0), (1;0), ;
, ;
2
2 2 2
1
3
1
3
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =
i;z=
i
2 2
2 2
2
b) z 4i
c) z 1 3i; z 1 3i
3
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
z 3i
b)
d) (2 3i ) z 2i m 0 (m là tham số)
a) z i 2 ;
1 ; c) z z 1 i ;
z 3i
Hướng dẫn:
a) z i 2 x ( y 1)i 2 x 2 ( y 1) 2 2 x 2 ( y 1)2 4
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ơn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 14
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
z 3i
x ( y 3)i
b)
1
1
z 3i
x ( y 3)i
x 2 ( y 3) 2
x 2 ( y 3) 2
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
1 y 0
c) z z 1 i x yi ( x 1) ( y 1)i x 2 y 2 ( x 1) 2 ( y 1)2 x y 1 0
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
2m 6
x
m 2i
2m 6 3m 4
13
z
i
3x 2 y 2 0
d) (2 3i ) z 2i m 0 z
2 3i
13
13
y 3m 4
13
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
Bài 10. Dùng cơng thức Moa-vrơ để tính (1 i )5 ,
6
3 i .
Hướng dẫn: 4 1 i .
Bài 11. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
8
3 i .
3 1
3 i 2
i 2 cos i sin .
6
6
2 2
Hướng dẫn:
Bài 12. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2 4 z 11 0 . Tính giá trị của biểu thức
2
A
z1 z2
z1 z2
2
2
.
ĐS: A=11/4
Bài 14. Tìm số phức z thoả mãn: z 2 i 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS: z 2 2 1 2 i, z 2 2 1 2 i .
Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn:
z 1
1
z i
1
z 3i
1
zi
2
. HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.
4
zi
Bài 16. Giải phương trình:
1.
z i
ĐS: z{0;1;1}
Bài 17. Giải phương trình: z 2 z 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z.
ĐS: z{0;i;i}
1. Giải phương trình: z 2 z 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z.
ĐS: z=0, z=1, z
1
3
i
2 2
z2
z 1 0.
Bài 18. Giải phương trình: z 4 z 3
2
1 1
ĐS: z=1±i, z i .
2 2
Bài 19. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
1
3
1
3
i, z
i.
HD: Đặt thừa số chung ĐS: z 1, z
2 2
2 2
Bài 20. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho
phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c. Có ba nghiệm
phức.
HD: Chia hai vế phương trình cho z2.
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ơn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 15
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:
a. = 25i
b. = 2i 3
Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.
a. z3iz22iz2 = 0.
c. =
3 -i 2
Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z i z z 2i . ĐS: y
x2
.
4
3
. Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.
2
3
9
2
2
*Gọi z=x+yi. z 2 3i … x 2 y 3 .
2
4
Vẽ hình |z|min z.
Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn z 2 3i
HD:
26 3 13 78 9 13
i.
13
26
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.
ĐS: z
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Bài 1. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1 i ) 2 (2 i ) z 8 i (1 2i ) z . Tìm phần
thực và phần ảo của z.
4 z 3 7i
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
z 2i trên tập .
z i
Hướng dẫn:
a) (1 i ) 2 (2 i ) z 8 i (1 2i ) z (1 i ) 2 (2 i ) (1 2i ) z 8 i 2i(2 i) 1 2i z 8 i
8i
(8 i )(1 2i )
10 15i
z
z
2 3i . Phần thực là 2, phần ảo –3
1 2i
1 4
5
4 z 3 7i
b)
z 2i z 2 (4 3i ) z 1 7i 0
z i
Ta có = (4 3i ) 2 4(1 7i ) 3 4i (2 i ) 2 . Phương trình có 2 nghiệm:
4 3i 2 i
4 3i 2 i
z1
3 i và z2
1 2i
2
2
Bài 2. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | z (3 4i ) | 2 .
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y i (x, y ) z (3 4i ) x yi 3 4i ( x 3) ( y 4)i
z
Ta có | z (3 4i ) | 2 ( x 3) 2 ( y 4) 2 = 2 ( x 3) 2 ( y 4) 2 = 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
Bài 3. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả: | z (2 i ) | 10 và z.z = 25.
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y i (x, y ) z (2 i ) x yi 2 i ( x 2) ( y 1)i
Ta có | z (2 i ) | 10 ( x 2) 2 ( y 1) 2 10 x 2 y 2 4 x 2 y 5 0 (1)
Ta có z.z = 25 (x + y i )( x – y i ) = 25 x 2 y 2 25 (2)
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 16
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
x 2 y 2 4 x 2 y 5 0
y 10 2 x
y 10 2 x
x 3
Từ (1) và (2), ta có 2
2
2
2
2
x y 25
y 4
x 8 x 15 0
x y 25
x 5
hoặc
. Vậy z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i .
y 0
Bài 4. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm
2
2
phức của phương trình z 2 2 z 10 0 . Tính giá trị của biểu thức A z1 z2 .
Hướng dẫn:
z 2 2 z 10 0 có = 1 – 10 = –9 = (3i )2 . Nghiệm là z1 1 3i , z2 1 3i
2
2
Ta có: z1 1 9 10 và z2 1 9 10 nên A z1 z2 20
Bài 5. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
2
2 3i z 4 i z 1 3i
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình z 2 1 i z 6 3i 0
Hướng dẫn:
2
a) Gọi z = a + bi, ta có: 2 3i z 4 i z 1 3i
2 3i (a bi) 4 i (a bi) 1 3i
2
6a 4b 8
a 2
6a 4b (2a 2b)i 8 6i
2a 2b 6
b 5
Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.
b) z 2 1 i z 6 3i 0 có = (1 i ) 2 4(6 3i ) 24 10i (1 5i ) 2
1 i 1 5i
1 i 1 5i
1 2i ; z2
3i
2
2
Bài 6. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa: z 2 và z 2 là số thuần ảo
Do đó phương trình có 2 nghiệm: z1
Hướng dẫn:
z a 2 b 2
. Theo đề ta có:
Gọi z = a + bi
2
2
2
z a b 2abi
a 2 b 2 2
a 2 b 2 2
a 2 1
a 1
a 1
2 2
2 2
2
hoaëc 2
2 2
b 1
b 1
a b 0
a b 0
a b 0
a 1
a 1
a 1
a 1
hoaëc
hoaëc
hoaëc
b 1
b 1
b 1
b 1
Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.
Bài 7. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm
tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa z 1 (1 i) z
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi, ta có x ( y 1)i (1 i )( x yi) x 2 ( y 1) 2 ( x y ) 2 ( x y )2
x 2 y 2 2 y 1 0 x 2 ( y 1) 2 2 . Tập hợp là đường trịn tâm I(0; –1), bán kính R =
Bài 8. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: z ( 2 i ) 2 (1 2i )
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: z
z iz
Hướng dẫn:
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
2.
(1 3i )3
. Tìm mơđun của số phức
1 i
Năm học 2010 – 2011-
Trang 17
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
a) Gọi z = a + bi, ta có: z ( 2 i ) 2 (1 2i ) a bi 1 2 2i 1 2i a bi 5 2i .
a 5, b 2 . Vậy phần phần ảo b = – 2 .
b) Gọi z = a + bi, ta có: z
(1 3i )3 1 3 3i 9 3 3i 8 8(1 i )
4 4i
1 i
1 i
1 i
11
z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i z iz = –8 – 8i. Do đó : z iz
8 8
2
2
8 2 .
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1,
n≥0.
n!
, n≥k>0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Ank
n k !
n!
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C nk
,
n≥k≥0.
k!n k !
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton
a b n C n0 a n C n1 a n1b C n2 a n2 b 2 C nn2 a 2 b n2 C nn1ab n1 C nn b n .
a b
n
Cn0 a n Cn1 a n 1b Cn2 a n 2b 2 (1) n 2 Cnn 2 a 2b n 2 (1) n 1 Cnn 1ab n 1 (1) n Cnnb n
6. Hoán vị P n ! Ann
7. Cnk Cnn k , n k 0, n,k N
8. Cnk1 Cnk Cnk 1
n k 1 k 1
9. Cnk
Cn
k
10. Cnk Cnk11 Cnk21 Cnk31 ...... Ckk11 (k
0≤k≤n.
ak1 C
k
n
Hệ số khai triển thứ k+1:
Một số tổng cơ bản: dựa theo 1 x ...... sau đó thay x = ….
n
Cno Cn1 Cn2 ........ (1) k Cnk ...... (1) n Cnn 0,
vì (0-0)n ...
C2on C22n C24n .............. C22nn C21n C23n C25n .............. C22nn 1 =22 n 1 Dựa theo 1 x .. và
2n
1 x
2n
……… Sau đó thay x = 1 cộng trừ vế với vế
Cn1 2Cn2 3Cn3 ........ (1) k kCnk ...... (1) n nCnn 0, Sử dụng đạo hàm
Cn1 2Cn2 3Cn3 ........ kCnk ...... nCnn n2n 1 ,
Bài toán trong khai triển:
n
ax by Cn0 a n x n Cn1 a n1 x n1by ........ Cnn2 a 2 x 2bn 2 y n2 Cnn1axbn1 y n 1 Cnnbn y n (x,y là biến,
a,b là hằng só thực)
Loại 1 : Tìm số hạng Tk 1 Cnk a n k x n k b k y k
Loại 2: Tìm hệ số đa thức khai triển ak 1 Cnk a n k b k , ..đạt max, hoặc hệ số nhị thức
Cno , Cn1 , Cn2 ,........, Cnk ,......, (1) n Cnn
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 18
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
18
1
Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 2 x 5 , (x>0). ĐS: 6528
x
2. (ĐH_Khối D 2004)
7
1
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 3 x 4 với x>0. ĐS: 35
x
3. (ĐH_Khối A 2003)
n
1
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 3 x 5 , biết rằng
x
n 1
n
k
C n 4 C n 3 7n 3 , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
An41 3 An3
Tính giá trị biểu thức M
, biết rằng C n21 2C n2 2 2C n23 C n2 4 149 (n là số nguyên
n 1!
k
dương, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
3
ĐS: M
4
5. (ĐH_Khối A 2006)
8
n
1
Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 4 x 7 , biết rằng
x
n
1
2
20
k
C 2 n 1 C 2 n 1 C 2 n 1 2 1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 21n C 23n C 22nn 1 2048 . ( C nk là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
ĐS: 3320
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10.
8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n.
ĐS: n=5
Tìm n để a3n3=26n.
9. (ĐH_Khối D 2002)
26
ĐS: n=5
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0 2C1n 4Cn2 2n Cnn 243 .
10. (ĐH_Khối B 2008)
1
1
n 1 1
k k 1 k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k
Chứng minh rằng
n 2 C n 1 C n 1 C n
của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C nk là số tổ hợp chập k của
n phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2003)
2 2 1 1 23 1 2
2 n 1 1 n
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n0
Cn
Cn
C n , ( C nk là số tổ hợp
2
3
n 1
n 1
n 1
3 2
chập k của n phần tử).
ĐS:
n 1
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 19
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-
www.VNMATH.com
TỔ HỢP -S
SỐ PHỨC
13. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức
a
a
a 0 1 nn 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.
ĐS: a8=126720
2
2
14. (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
1 1
1
1
1 2n 1 22n 1
C2n C23n C25n
C2n
, ( C nk là số tổ hợp chập k của n
2
4
6
2n
2n 1
phần tử).
15. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho C 21n 1 2.2C 22n 1 3.2 2 C 23n 1 4.2 3 C 24n 1 2n 1.2 2 n C 22nn11 2005 ,
ĐS: n=1002
( C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
16. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8.
17. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
n
x
x21
x 1
x 1
2 2 3 C n0 2 2 C n1 2 2
n 1
ĐS: 238
3x
x 1 x
2 C nn 1 2 2 2 3
n 1
x
C 2 3
n
n
n
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n3 5C n1 và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
18. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+…
S2=Cn1Cn3+Cn5…
19. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100= –250.
o0o
Gv: Nguyễn Văn Loan –
Ôn thi cấp tốc –
Năm học 2010 – 2011-
Trang 20
