ON TAP NGUYEN HAM TICH PHAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (146.39 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tl ơn tập khối 12 – 2010-2011
ƠN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I. NGUYÊN HÀM
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa:

Hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu F x'( )f x( ), x K.
2. Định lý:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì CR, F(x) + C cũng là một nguyên hàm
của f(x). Ta ký hiệu:



f x dx F x( )  ( )C và gọi là họ nguyên hàm của f trên K.

3. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của những

hàm số hợp Nguyên hàm của những hàm sốhợp đơn giản

C
x
dx 





duuC kdx kx C 




















dx x C

x


















du u C

u













1 1
















 ax b C

a
dx
b
ax





ln  




x C x

x

dx





0
ln  




u C u

u

du





0
ln











ax b C x

a
b
ax

dx

C
e
dx
ex x






eudu eu C






e C

a
dx

eax b ax b



 







0 1



ln   





a dx aa C a

x



0 1



ln   





a dx aa C a

u
u

(

0 1

)

mx n

mx n a

a dx C a

m a

+ = + < ¹

ị

C

x
xdx 



cos sin



cosudusinuC







ax b



C
a

dx
b

ax   



cos 1sin

C
x
xdx 



sin cos



sinudu cosuC









C
b
ax
a

dx
b

ax   



sin 1cos

C
x
dx

x  



cos12 tan



cos udutanuC





axb



dxatan



axb



C

1
cos

C
x
dx

x  



sin12 cot



sin udu cotuC





axb



dx acot



axb



C

1
sin

tanxdx ln cosx c



cotxdxln sinx c



3.

Các tính chất nguyên hàm:

Cho các hàm số f(x) và g(x) có nguyên hàm. Khi đó:





k f x dx. ( ) k f x dx



( )

( k là hằng số)





[ ( )f x g x dx( )] 



f x dx( ) 



g x dx( )

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011
4.

Các phương pháp tìm nguyên hàm:

a) Nguyên hàm từng phần

udv uv= - vdu

ò

b) Phương pháp đổi biến

[ ( )] '( ) ( )

f u x u x dx= f u du

ò

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1. f x( ) x3 2x2 3x 2

    2. f x( ) x x 23x3 3. f x( ) sin x2 cos(x1) 3

4. 2

2 1

( )

x
f x

x x




  5.

3 2

( ) (2 1) 5

f x  x x  x 6. f x( ) sin .cos 5x x

7. f x( )x.sinx 8. f x( )x.sin2 x 9. f x( )x.cos2x

10. f x( ) (2 x1).cos(3x 2) 11. f x( ) ex.cosx

 12. f x( ) ln 2x.

II. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa

( ) ( ) ( )

b

a f x dx F b  F a



trong đó, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K chứa [a; b]

2. Tính chất

Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c

là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:

1) a ( ) 0

a f x dx=

ò

2) a ( ) a ( )

b f x dx=- b f x dx

ò



b ( ) 



c ( ) 



c ( )

a f x dx b f x dx a f x dx 4) [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a f x ±g x dx= a f x dx± a g x dx

ò

5) b . ( ) b ( )

a k f x dx k= a f x dx

ò

; kR

3. Các phương pháp tính tích phân

a. Phương pháp đổi biến:





( )

( ) '( ) ( )

u b
b

a

u a

f u x u x dx f u du



b. Phương pháp tích phân từng phần: ( ) '( )



( ) ( ) |



( ) '( )

b b

b
a

a a

u x v x dx u x v x  v x u x dx



B. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1.
1

3
0

( 1)



x dx 2.

2 2

(2 - 3)( - 3 1)



x x x dx

3.

3
0

(3 -1)



ex ex dx ;

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011

4. 

13(3x4)dx

5.

-2 ( -1)



x x dx 6.



01( - 2 )2

x

x e dx
7.

2
2

3 



xx xdx 8.

2
3
1

4




x x xdx

9.

1 3
0( - )



x e dx .x

Bài 2: Tính các tích phân sau:

- (2sin - cos )



 x x dx 2.

2
0

(sin )

cos




x x dx



3. 4

0 cos (1 2 tan )



x x dx



3
4

2
6

1- sin
sin



xxdx



 5. 2

cos 2
sin cos



x x xdx



6.

4 2

0 cos 2



xdx



7. 4 2
0 tan



xdx



8. 4

2 2

6 cos sin



dxx x



 9.

2
5
0

sin cos



x xdx



10. 2 3

0 (1 sin ) cos



x xdx



11.

2
6

cot (1 )

sin




x x dx



12.

3
2

2
6

cos

sin



xxdx



 .

Bài 3. Tính các tích phân sau

1.
3

2
0

2 1



x x dx 2. 2 3

5 -1



2

x x dx 3.

1 2
3
0

3 1

2

 



x x x dx

4. 4 22





3

1

x

dx

x x

5.

3 3

3
1



02

x
dx

x 6.

2
2
1

2 -1
- 6



x xx dx

Bài 4. Tính các tích phân sau
1.

0 sin



x xdx 2.



0 xcosxdx



1 ln



ex xdx

4. 2



xe dxx 5. 2

0 ( 1)sin 3



x xdx



6. 2

0 sin



x xdx

7.

0 cos



x xdx; 8. 3

2
4 sin



xdxx



9.

4 2

0 cos



xdxx



10. 2 2 2
0 cos



x xdx



11. 2 2 2
0 sin



x xdx



12.

1 ln



e xdx.

Bài 5: Tính các tích phân sau:

a)

1
x dx

-ị

b)

3
2
0

x - dx

ị

c)

1 1

x x dx

-é - + + ù

ë û

ò

d)

3
2
0

4 4

x - x+ dx

ị

e)

1 sin2xdx
p

-ị

f)

e

x dx

ị

Bài 6: Tính các tích phân:

a)

2
1

1 x dx

-ị

b)

2 2

x x dx

-ị

c)

0 2
2
1 4

x dx
x

-ị

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tl ơn tập khối 12 – 2010-2011

d)

2
0

1
1+x dx

ò

e)

0 2
2
13

x dx
x

- +

ò

f)

0
2
1

2 2dx

x x

- + +

ị

Bài 7: Tính các tích phân sau:

a)

1 1 1
x

I dx

x

-ò

b)

4 2

1 2sin
1 sin2

x

I dx

x
p

ò

c)

1 3ln ln

e

x x

I dx

x

ò

d)

(

)

2
0

sin 2cos

I dx

x x

p

ò

e)

sin2 sin

1 3cos

x x

I dx

x
p

+
=

ò

f)

2 3
2

5 4

dx
I

x x

ò

g)

6 4

tan
cos2

x

I dx

x
p

ò

h)

4
0

sin( )

sin2 2(1 sin cos )

x

I dx

x x x

p p

+ + +

ò

i)

2
0

(x- 2)e dxx

ò

j) I =

3
2
2

ln(x - x dx)

ò

k) I =

2
3
1

lnx dx

x

ò

l) I =

2 sin

(e x cos )cosx xdx

p

-ò

m) I =

2
1

(x 1) x

e dx
x

-ò

n)

sin

sin cos

x

I dx

x x

p

ò

</div>

ON TAP NGUYEN HAM TICH PHAN

<sub></sub>



<sub></sub>



































<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>















<sub></sub>

<sub></sub>



(

)

ị



<sub></sub>













<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>

<sub></sub>











<sub></sub>

<sub></sub>











<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

a) Nguyên hàm từng phần

ò

ò

b) Phương pháp đổi biến