ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC

Chơng 6

ứng dụng của Tích phân và vi phân
trong tính toán hình học
6.1 ứng dụng của tích phân xác định.
1. Diện tích hình phẳng
a. Hình phẳng giới hạn bởi đờng cho trong toạ độ Đềcác
Nh đà nêu ra ở phần trớc, miền phẳng là hình thang cong giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) với f(x) là hàm liên tục, đơn trị trên [a,b] và f ( x) ≥ 0
∀x ∈ [a, b] cã diÖn tÝch tÝnh bëi công thức:
b

S = f ( x)dx
a

Do đó dễ dàng thấy, miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x)
trong đó hàm f(x) liên tục, đơn trị trên [a,b] vµ f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ [ a, b] cã diƯn tÝch
lµ:
b

S = − ∫ f ( x )dx
a

Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên
tục, đơn trị trên [a,b] cã diƯn tÝch lµ:
b

S = ∫ | f ( x ) | dx

(1)

a

Miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, y=f1(x), y=f2(x) trong đó các
hàm y=f1(x), y=f2(x) liên tục, đơn trị trên [a,b] x [ a, b] cã diƯn tÝch lµ:
b

S = ∫ f 2 ( x) f1 ( x) dx

(2)

a

Hình 18
Tơng tự, miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và x=g(y), trong đó
hàm g(y) liên tục, đơn trị trên [c,d] có diƯn tÝch lµ:
d

S = ∫ g ( y ) dy

(3)

c

DiƯn tích của miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, x=g1(y),
x=g2(y) trong đó các hàm x=g1(y), x=g2(y) liên tục, đơn trị trên [c,d] y [c, d ] lµ:
d

S = ∫ g 2 ( y ) − g1 ( y ) dy

(4)

c

Trang -1


Ví dụ 6.1: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đờng cong:
a.
{ y=2-x2 , y=x}
Ta có: 2 x 2 = x ⇔
 x =1
x2 + x − 2 = 0 ⇔ 
 x = −2
VËy
H×nh 19
1

1

S = ∫ | 2 − x 2 − x | dx = ∫ (2 − x 2 − x) dx
−2

−2


x
x 
9
=  2 x −
−  1− 2 =

3
2 
2

2
b. {y=(x+1) , x=sinπy, y=0}
Tõ y=(x+1)2 cã x= y − 1 , x≤ 1
nªn y∈[0,1] . ta cã:
3

1

[

2

]

 2 1
+ 
π 3

S= ∫ sin πy − y + 1 dy = 
0

H×nh 20

VÝ dụ 6.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip
x2 y2
+

=1
a2 b2
Do hình Elip đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính diện tích theo một phần
t của hình nằm trong góc phần t thứ nhất. Trong góc phần t thứ nhất, phần hình
b
a 2 x 2 . Vậy
phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và cung elip có phơng trình y =
a
a

b
b
S =4
a 2 − x 2 dx = 4
a
a
0

∫

a

∫

a 2 − x 2 dx

0

2

4b x
a
x a
[
a2 − x2 +
arcsin ]| = πab
a 2
2
a 0
b. Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho dới dạng tham số
Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox,
và đờng cong cho bởi phơng trình tham số:
x = x (t )
víi a=x(t1), b=x(t2), t1
 y = y (t )
Do ydx=y(t)x(t)dt nên miền phẳng có diện tích là:
=

t2

S= y (t ).x' (t ) dt

(5)

t1

Miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy,
phơng trình tham số:
x = x (t )

víi c=y(t1), d=y(t2), t1
 y = y (t )
có diện tích là:

và đờng cong cho cho bëi

t2

S= ∫ x(t ). y ' (t ) dt

(6)

t1

VÝ dô 6.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một nhịp đờng xycloit:

Trang -2


 x = a(t − sin t )

 y = a (1 − cos t )

vµ trơc Ox.

víi

t ∈ [0,2π ]

Hình 21
x

[
0
,
2
a

]
Ta có
và do y=a(1-cos t), dx=a(1-cos t)dt nên:
2

S = a 2 ∫ (1 − cos t ) 2 dt =
0

a2
2

2π

∫ (3 − 4 cos t + cos 2t )dt
0

2

2π
a
(6t − 8 sin t + sin 2t ) | = 3a 2π

0
4
VÝ dơ 6.4: TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi đờng Axtroit

=

2

2

2

x3 + y3 = a3
Phơng trình tham số của ®êng Axtroit lµ:
 x = a cos 3 t
víi t [0,2 ]

3
y = a sin t
Do hình đà cho đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta
chỉ cần tính theo một phần t diện tích của hình
nằm trong góc phần t thứ nhất:
Hình 22

2


2

0

0

S = 4 | y (t ).x' (t ) | dt = 12a 2 ∫ sin 4 t cos 2 tdt
π
2 2

=

3a
8

=

3a 
sin 2t sin 4t sin 6t  2 3a 2π
2
t
−
−
+

 =
8 
2
2
6 0
8
2

∫ (2 − cos 2t − 2 cos 4t + cos 6t )dt
0



|

b. Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong toạ độ cực
Xét miền phẳng là hình quạt cong cho trong toạ độ cực, giới hạn bởi các tia
OA, OB có phơng trình = , = và đờng cong có phơng trình r = r ( ) trong
đó hàm r = r ( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ , ] . Chia đoạn [ , ] thành n phần
bởi các điểm chia:
= 0 < 1 < ϕ 2 <  < ϕ n = β

Khi đó góc AOB đợc chia thành n góc nhỏ có sè ®o ∆ϕ i = ϕ i − ϕ i 1 , i = 1,..., n và
hình quạt đà cho đợc chia thành n hình quạt con. Goi tên và diện tích của hình
quạt con thứ i là S i , i = 1,..., n . Chän ξ i ∈ [ϕ i −1 , ϕ i ] tuú ý, Khi đó xấp xỉ S i là diện
tích của quạt tròn vẽ trên góc i với bán kính là r = r (ξ i ) , ta cã:

Trang -3


∆S i ≈

1 2
r (ξ i )∆ϕ i
2

H×nh 23
Nh vËy diện tích hình quạt cong xấp xỉ là:

n
1
S r 2 (ξ i )∆ϕ i
i =1 2
Do hµm r = r ( ) liên tục trên đoạn [ , ] nên hàm r = r 2 ( ) cũng liên tục trên
đoạn [ , ] do đó khả tích trên đoạn [ , ] . Vế phải của công thức xấp xỉ trên là
tổng tích phân cđa hµm r = r 2 (ϕ ) øng víi phân hoạch của đoạn [ , ] . Nh vËy,
khi cho n → ∞ sao cho max ∆ϕ i → 0 ta cã:
β

S=

1 2
r (ϕ )dϕ
2 α∫

(7)

VÝ dô 6.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng hình tim r = a (1 + cos ϕ )
( H×nh Cacđiôit)
Do hình phẳng đối xứng qua Ox nên ta có:
Hình 24
π

S = 2.

π

1 2
a (1 + cos ϕ ) 2 dϕ =a 2 (1 + 2 cos ϕ + cos 2 ϕ ) dϕ

20
0

∫

∫

π

3
cos 2ϕ
= a 2 ( + 2 cos ϕ +
) dϕ
2
2
0

∫

= a2(

3ϕ
sin 2ϕ π 3 2
+ 2 sin ϕ +
) = πa
0
2
4
2

|

VÝ dơ 6.6: TÝnh diƯn tÝch hình phẳng giới hạn bởi đờng Lemnitscat (Đờng hoa
hồng hai c¸nh):
(x 2 + y 2 )2 = a 2 (x2 y 2 )
Chuyển sang toạ độ cực:
x = a cos ϕ

 y = a sin ϕ
®êng cong ®· cho có phơng trình là r 2 = a 2 cos 2ϕ .

H×nh 25

Trang -4


Do hình phẳng đối xứng qua Oy nên ta tính theo nửa bên phải trục Oy, ứng với


≤ (v× cos 2ϕ ≥ 0 ). Nh vËy:
4
4
S = 2.

1
2

π
4

∫π

−

r 2 dϕ = a 2

π
4

∫π

−

4

cos 2ϕdϕ = a 2

sin 2
2


4


4

|

= a2

4

2. Độ dài đờng cong phẳng
a. Đờng cong trong toạ độ Đềcác
Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Giả sử rằng đồ
thị hàm y=f(x) là cung AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia
A = A0 ( x 0 , y 0 ), A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x 2 , y 2 ),..., An ( x n , y n ) = B
a = x 0 < x1 < x 2 <  < x n = b .
sao cho:

Khi đó độ dài AB xấp xỉ bằng độ dài của đờng gấp khúc A0 A1 An . Khi cho số
cạnh của đờng gấp khúc A0 A1 An tăng lên vô hạn sao cho độ dài của cạnh lớn nhất
của nó dần tới 0 thì độ dài đờng gấp khúc A0 A1 An dần tới độ dài s của cung
AB, do đó độ dài s của cung AB là giới hạn:
n

s = lim ∑ Ai −1 Ai
λ →0

trong ®ã

λ = max Ai −1 Ai .
1≤i ≤ n

i =1

víi Ai −1 Ai là độ dài của đoạn thẳng Ai 1 Ai .

Hình 26
Gäi ∆xi = xi − xi −1 ; ∆y i = f ( xi ) − f ( xi −1 ) là chiếu của các đoạn thẳng Ai 1 Ai xuống

các trục toạ độ, theo công thức Pitago ta có:
Ai −1 Ai = (∆xi ) 2 + (∆y i ) 2
áp dụng định lý Largange cho hàm f(x) trên đoạn [ xi −1 , xi ] ta cã:
∆y i = f ( xi ) − f ( xi −1 ) = f ' (ξ i )∆xi , ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]
Suy ra

Ai −1 Ai = 1 + f ' 2 (ξ i ) ∆xi . Do ®ã
n

s = lim ∑ 1 + f ' 2 ( i )xi
0

i =1

Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên
cong đợc cho bởi công thức:

1 + f ' 2 ( x) khả tích trên [a,b], do đó độ dài ®êng

b

s = ∫ 1 + f ' 2 ( x) dx

(8)

a

Giả sử M(x,f(x)) là điểm bất kỳ trên đờng cong, khi đó độ dài cung AM là:
x

s ( x ) = ∫ 1 + f ' 2 (u ) du

(9)

a

LÊy vi phân hai vế ta đợc:

Trang -5


ds= 1 + f ' 2 ( x) dx
C«ng thøc trên gọi là công thức vi phân cung trong toạ độ Đềcác.
Nếu đờng cong cho bởi phơng trình x=(y), c y d thì độ dài đờng cong
là:
d

2
s= 1 + ' ( y) dy
c

Ví dụ 6.7: Tính độ dài cung cho bëi
a.

y=a ln
b

s= ∫
0

a2
(0 ≤ x ≤ b < a )
a2 − x2
b

a2 + x2
4a 2 x 2
a+b
dx = a ln
1+ 2
dx
−b
=
2
2
2 2
a −x
a−b
(a − x )
0

∫

b. x = y 2 víi x ∈ [−1,1]
Ta cã x' = 2 y , và đờng cong đối xứng qua Ox nên ®é dµi cđa ®êng cong lµ:
1

s=2

∫

0

= 5+

1

1
1 + 4 y 2 dy =  y 1 + 4 y 2 + ln 2 y + 1 + 4 y 2
2

0

|

1
ln(2 + 5 )
2

b. Đờng cong cho bởi phơng trình tham số
Giả sử đờng cong có phơng trình tham số
x = x (t )
t ∈ [α , β ]

 y = y (t )
dy y ' (t )
=
Do dx=x'(t)dt và f ' ( x) =
, ta có công thức:
dx x' (t )
β

s = ∫ x ' 2 (t ) + y ' 2 (t ) dt

(10)



Công thức vi phân cung khi đó là:
ds= x' 2 (t ) + y ' 2 (t ) dt
Ví dụ 6.8: Tính độ dài cung giới hạn bởi
a. Đờng Axtroit

2

2

2

x 3 + y 3 = a 3 (Xem hình 22)
Tham số hoá ta đợc
x = a cos 3 t
víi t ∈ [0,2π ]

3
y
=
a
sin
t


Ta cã x' (t ) = −3a cos 2 t sin t , y ' (t ) = 3 sin 2 t cos t . Suy ra
xt ' 2 + y t ' 2 = 9a 2 cos 4 t sin 2 t + 9a 2 sin 4 t cos 2 t
3a sin 2t

(vì t [0, ] ).
2
2
Do Axtroit là đờng cong đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tÝnh theo gãc
phÇn t thø nhÊt. Nh vËy:
=| 3a sin t cos t |=

s=4

π
2

∫
0

3a sin 2t
dt = −3a cos 2t
2


2
0

|

= 6a

b. Một nhịp đờng Xycloit (Xem hình 21)

Trang -6


 x = a(t − sin t )
víi t ∈ [0,2π ]

 y = a (1 − cos t )
Ta cã xt ' = a (1 − cos t ) , y t ' = −a sin t nªn
s=

2π

2π

a 2 (1 − cos t ) 2 + a 2 sin 2 t dt = a ∫ 2 − 2 cos t dt

∫
0

0

2π

t
t 2π
= a ∫ 2 sin dt = − 4a cos | = 8a
2

20
0
c. Đờng cong cho trong toạ độ cực
Nếu đờng cong có phơng trình:
r = r ( ), ϕ ∈ [α , β ]
Dïng phÐp chun to¹ ®é:
 x = r (ϕ ) cos ϕ

 y = r ( ) sin
ta đa phơng trình đờng cong vỊ d¹ng tham sè. Do:
x ' (ϕ ) = r ' (ϕ ) cos ϕ − r (ϕ ) sin ϕ
y ' (ϕ ) = r ' (ϕ ) sin ϕ + r (ϕ ) cos ϕ
Khi ®ã:
x' 2 (ϕ ) + y ' 2 (ϕ ) = r 2 (ϕ ) + r ' 2 (ϕ )
cho nªn ta cã c«ng thøc:
β

s = ∫ r 2 (ϕ ) + r ' 2 ( ) d

(11)



Công thức vi phân cung khi đó là:
ds= r 2 + r ' 2 d
Ví dụ 6.9: Tính độ dài đờng Cácđiôit (Xem hình 24)
r = a(1 + cos )
Vì đờng Cácđiôit đối xứng qua trục Ox nên ta tính theo độ dài của nưa bªn
trªn trơc Ox
π

π

s = 2 ∫ r + r ' dϕ = 2 ∫ a 2 (1 + cos ϕ ) 2 + a 2 sin 2 ϕ dϕ
2

0

2

0

π

π

0

0

= 2a ∫ 2 + 2 cos ϕ dϕ = 4a ∫ cos

ϕ
ϕπ
dϕ = 8a sin | = 8a
2
2 0

3. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ
Cho mét vËt thĨ giíi h¹n bëi các mặt x=a, x=b(a

Gọi S =S(x) là diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox
tại x [ a, b] và vật thể đà cho. Giả thiết rằng S(x) là hàm liên tục trên [a,b].

Hình 27

Trang -7


Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
a = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = b

Đặt xi = xi xi 1 và d = max xi . Khi đó, vật thể ban đầu đợc chia thành n
phần nhỏ, gọi tên và thể tích của các phần nhỏ này là V 1, V2,…,Vn. PhÇn nhá thø
i øng víi x n»m trong đoạn [ xi 1 , xi ] . Do S(x) liªn tơc nªn khi ∆xi = xi − xi 1 đủ nhỏ,
x [ xi 1 , xi ] hàm S(x) có giá trị thay đổi không đáng kể. Lấy ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] tuú ý, cã
thÓ coi S ( x) ≈ S (ξ i ) , ∀x ∈ [ xi −1 , xi ] . XÊp xØ Vi (i= 1, n ) víi h×nh tru đứng có đáy là
S ( i ) và chiều cao lµ ∆xi = xi − xi −1 : Vi S ( i )xi Khi đó hình trụ ban ®Çu cã thĨ
tÝch xÊp xØ :
n

V ≈ ∑ S (ξ i ) ∆xi
i =1

Cho n → ∞ sao cho d 0 , nếu nh vế phải dần tới một giới hạn hữu hạn thì ta gọi
giới hạn đó là thĨ tÝch cđa vËt thĨ ®· cho:
n

V = lim ∑ S ( i )xi
n
i =1

d 0

Do hàm S(x) đợc giả thiết là liên tục trên [a,b] nên cũng khả tích trên đó vì
vậy ta có công thức
b

V = S ( x )dx

(12)

a

VÝ dơ 6.10:
a.TÝnh thĨ tÝch cđa elipxoit:
x2 y2 z 2
+
+
1.
a2 b2 c2
Cắt elipxoit bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
thuộc đoạn [-a,a]. Khi đó ta thu đợc thiết diện giới hạn bởi elip có phơng trình
y2 z2
x2

+
=
1

b2 c2
a2

y2
z2
+
=1
x2
x2
2
2
b (1 − 2 ) c (1 − 2 )
a
a
 x2 
diÖn tÝch thiÕt diƯn lµ S ( x) = πbc1 − 2 . Hình 28
a
Do đó elipxoit có thÓ tÝch:
a


x2 
x3  a
4πabc
V = πbc ∫ 1 − 2 dx = πbc x − 2  | =
−
a
3
a
3a

a
b. Tính thể tích vật thể là phần chung của hai hình trụ:

x2+z2=a2 và y2+z2=a2
Vì phần thể tích vật thể đối xứng qua gốc toạ
độ, nên ta chỉ cần xét phần vật thể trên góc phân
tám thứ nhất. Chọn thiết diện là giao của vật thể và
mặt phẳng cắt vuông góc với trục Oz.
Mặt cắt là hình vuông có cạnh:
a2 z2

Do đó diện tích mặt cắt là:
S(z)=a2- z2

H×nh 29

Trang -8


VËy ta cã thĨ tÝch vËt thĨ lµ:
a

1
3

2
2
2 a
3 a
V= 8∫ (a − z )dz = 8(a z 0 − z 0 ) =
0

16a 3

3

4. ThĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay
a. Cho hình phẳng giới hạn bởi x=a, x=b, Ox,
y=f(x) với f(x) liên tục trên [a,b]. Khi quay hình
phẳng trên quanh trục Ox ta đợc một hình tròn
xoay. Thiết diện tạo bởi hình tròn xoay với mặt
phẳng
vuông góc với trục
Ox tại điểm x [a, b] là một hình
Hình 30
tròn có bán kính R = f (x ) cho nên diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn lµ S ( x) = π . f 2 ( x ) . Tõ ®ã,
ta thu đợc công thức tính thể tích hình tròn xoay:
b

V = π ∫ f 2 ( x) dx

(13)

a

b. T¬ng tù, khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=c, y=d, Oy, x=g(y) víi g(y) liªn
tơc trªn [c,d] quanh trơc Oy ta đợc một hình tròn xoay có thể tích là
d

V = π ∫ g 2 ( y )dy
c

VÝ dô 6.11: TÝnh thể tích vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi
Ox, Oy, x+y=2.

Ta cã:
x+ y = 2 ⇔ x = 2− y
H×nh 31
2

V = π ∫ (2 − y ) 2 dy = −

Nh vËy:

0

2
π
8π
(2 − y ) 3 | =
0
3
3

VÝ dô 6.12:
TÝnh thể tích của vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh trục Ox hình
phẳng giới hạn bởi trục Ox và một nhịp Xyclôit
x = a(t sin t )
t ∈ [0,2π ]

 y = a (1 − cos t )
dx = a (1 − cos t )dt . Suy ra:
Do y = a (1 − cos t ) ,
V =π

2πa

∫y

2π

2

0

( x)dx = π ∫ a 3 (1 − cos t ) 3 dt
0

2π

∫

= πa 3 (1 − 3 cos t + 3 cos 2 t − cos 3 t ) dt
0

2π

2π

5
3
= πa ∫ ( − 3 cos t + cos 2t )dt − πa 3 ∫ (1 − sin 2 t )d (sin t )
2
2
0

0
3

2π
5
3
sin 3 t 2π
= πa 3 ( t − 3 sin t + sin 2t ) | − πa 3 (sin t −
) | = 5 2 a 3
0
2
4
3 0

5. Diện tích mặt tròn xoay
Xét cung AB có phơng trình y=f(x), trong đó f(x) và đạo hàm f'(x) của nó xác
định và liên tục trªn [a,b]. Khi quay cung AB quanh trơc Ox ta thu đợc một mặt
tròn xoay.

Trang -9


Hình 32
Xét trờng hợp f ( x) 0 , ∀x ∈ [a, b] . Chia cung AB thµnh n phần bởi các điểm chia
A = A0 ( x 0 , y 0 ), A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x 2 , y 2 ),..., An ( x n , y n ) = B
a = x 0 < x1 < x 2 <  < x n = b .
sao cho

Đặt xi = xi xi −1 vµ d = max ∆xi . Khi quay quanh Ox đoạn thẳng Ai 1 Ai sinh ra
một mặt nón cụt tròn xoay có diện tích là:

Si= Ai 1 Ai [ f ( xi −1 ) + f ( xi )]
trong ®ã Ai −1 Ai = 1 + f ' 2 (ξ i ) ∆xi . V× vËy, khi quay quanh Ox ®êng gÊp khóc A0 A1  An
sinh ra một mặt tròn xoay có diện tích
Sn =

n



Si =

i =1
n

=

n


i =1

∑ 2π

1 + f ' 2 (ξ i ) [ f ( xi −1 ) + f ( xi )]∆xi

1 + f ' 2 (ξ i ) . f (ξ i ) xi

i =1

Do f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b] nªn :

S = lim

n →∞

n

∑ 2π

1 + f ' 2 (ξ i ) . f (ξ i ) ∆xi

i =1

b

∫

= 2π f ( x) 1 + f ' 2 ( x) dx
a

Khi f(x) cã dÊu bÊt kú ta cã:
b

S = 2π ∫ | f ( x) | 1 + f ' 2 ( x) dx

(14)

a

Khi quay quanh trôc Oy cung AB có phơng trình x = g ( y ) , c y d trong đó
g(y) và g'(y) liên tục trên [c,d] ta đợc một mặt tròn xoay cã diƯn tÝch tÝnh theo

c«ng thøc:
d

∫

S = 2π | g ( y ) | 1 + g ' 2 ( y ) dy
c

VÝ dơ 6.13:
a. TÝnh diƯn tÝch cđa mặt tròn xoay tạo bởi cung y = x 2 giới hạn giữa các giao
điểm của nó với đờng thẳng y=x khi quay quanh trơc Ox. Ta cã diƯn tÝch cần
tính là:
1



S = 2 x 2 1 + 4 x 2 dx
0

§ỉi biÕn 2x=sht ta cã:
2dx=cht dt, x=0: t=0, x=1: t = ln(2 + 5 ) , 1 + 4 x 2 = cht
Do ®ã:

Trang -10


π
S=
16
=

ln( 2 + 5 )

∫
0

π
sh tdt =
16

ln( 2 + 5 )

∫

2

π  sh 4t
 2+
− 2t  ln(

0
64  2


0

5)

=

ch4t − 1
dt
2

9π 5 π
− ln(2 + 5 )
16
32

b. TÝnh diÖn tích mặt tròn xoay khi quay đờng Axtroit:
x = a cos 3 t
víi t ∈ [0,2π ]

3
 y = a sin t
quanh trôc Ox.
Ta cã: x' 2 (t ) + y ' 2 (t ) = 3a sin t cos t , do tính đối xứng nên:

2


2

0

0

S= 2 y (t ) x' 2 + y ' 2 dt = 12πa 2 sin 4 t cos tdt = 12 πa 2

5

c. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Lemnitscat
(x2+y2)2=a2(x2-y2),
(x>0, y>0)
quay quanh trục Ox.
Chuyển sang toạ độ cực:
x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ

π
)
4

r= a cos 2 , (0

Ta đợc:

Xem đó là phơng trình tham sè cña x,y theo ϕ ta cã:
x'ϕ2 + y 'ϕ2 = r 2 + r ' 2 =

a2
cos 2ϕ

VËy
S = 2π

π
4

∫y

r 2 + r ' 2 dϕ

0

π
4

= 2π a cos 2ϕ sin ϕ
∫
0

a2
dϕ
cos 2π

π
4

π

= 2πa 2 sin ϕdϕ = −2πa 2 cos ϕ 04 = πa 2 (2 − 2 )

0

6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng
1. Độ cong
a. Định nghĩa

Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại mọi điểm. Trên L
chọn một chiều làm chiều dơng, trên tiếp tuyến của L tại M, ta chọn một hớng
ứng với hớng dơng của L và gọi là tiếp tuyến dơng.
Nếu tại mỗi điểm M0 trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi tiếp điểm di


chuyển một đoạn s = M 0 M trên đờng cong, tiếp tuyến dơng sẽ quay một góc


nào đấy. Đờng cong L trên cung M 0 M càng cong nÕu gãc ∆α cµng lín.

Trang -11


Ngời ta gọi tỷ số


, là độ cong trung bình của
s


đờng cong trên cung M 0 M . Trong đó là góc giữa


hai tiếp tuyến dơng tại hai mút của cung M 0 M , s là
độ dài của cung đó, ký hiệu:

Ctb=
Hình 33
s

Hiển nhiên , s chỉ phụ thuộc đờng cong mà không phụ thuộc hệ toạ độ
biểu diễn đờng cong L.
Từ khái niệm độ cong trung bình ta có định nghĩa độ cong tại một điểm.
Định nghĩa 1: Độ cong tại điểm M0 trên đờng cong L là giới hạn, nếu có, của độ


cong trung bình trên cung M 0 M khi M dần đến M0 trên L. Ký hiệu độ cong tại M 0
là C(M0) ta cã:
∆α
dα
C tb = lim
=
C(M0)= Mlim
→M 0
∆s →0 ∆s
ds
b. C«ng thøc tính độ cong
Nếu gọi là góc của tiếp tuyến tại M 0 của đờng cong L với chiều dơng trơc Ox,
khi ®ã:
dy
tgα = y ' =
dx
Hay
α=arctg y’
dα
y"
=
dx 1 + y ' 2
(i) Nếu đờng cong cho bởi phơng trình y=y(x), tõ biĨu thøc vi ph©n cung
ds

= 1 + y ' 2 ta cã:
ds = 1 + y ' 2 ( x )dx hay
dx
dα dα dx
y"
=
=
3
ds
dx ds
2 2
(1 + y ' )
y"
3
VËy:
C(M)=
(1)
(1 + y ' 2 ) 2
(ii) NÕu ®êng cong có phơng trình tham số:
x = x (t )

 y = y (t )
dy y 't
=
Do:
nªn
dx x't

(

)

2
2

x' t + y ' t
2
(1 + y ' ) =
2
x't


d 2 y x' t y"t 2 − y ' t x"t 2

y
"
=
3
x dx 2 =
x' t


(2)

Thay vào (1) ta đợc biĨu thøc phơ thc t:

Trang -12


C(M) =

x' y"− y ' x"

3
(3)
( x' 2 + y ' 2 ) 2
(iii) Nếu đờng cong có phơng trình trong toạ độ cực:
r=r()
Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức:
x = r ( ) cos ϕ

 y = r (ϕ ) sin ϕ
xem ®ã là phơng trình tham số của L theo . Ta cã:
x' (ϕ ) = r ' cos ϕ − r sin ϕ
y ' (ϕ ) = r ' sin ϕ + r cos ϕ
x" (ϕ ) = r" cos ϕ − 2r ' sin ϕ − r cos ϕ
y" (ϕ ) = r" sin ϕ + 2r ' cos ϕ − r sin ϕ

 x' 2 + y ' 2 = r ' 2 + r 2
Do
(4)

 x' y"− y ' x" = r 2 + 2r ' 2 −rr"
Thay vào (3) đợc biểu thức phụ thuộc :
C(M) =

r 2 + 2r ' 2 −rr"
3

(5)

(r 2 + r ' 2 ) 2
VÝ dơ 6.14:
a. TÝnh ®é cong cđa ®êng Parabol y=ax2 tại góc O.
Do
y=2ax, y=2a nên tại x=0 ta có:
y"
3 =2 a
C=
2 2
(1 + y ' )
Nh vËy nÕu a càng lớn thì đỉnh của Parabol càng cong.
b. Tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng Xycloit
x = a(t − sin t )
(a>0)

 y = a (1 − cos t )
Ta cã:
x’=a(1 - cos t),
y’=a sint
x”=a sin t, y”=a cos t
VËy
1
x' y"− y ' x"
cos t − 1
t
3 =
3 =
C=
4a sin

2
2 2
2
( x' + y ' )
2 2 .a (1 cos t )
2
c. Tính độ cong tại điểm =0 của đờng Cácđiôit: r=a(1+cos)
Ta có:
r=a(1+cos) tại =0, r=2a
r=- a sin
tại =0, r=0
r=- a cos
tại =0, r=-a
Do đó:
r 2 + 2r ' 2 −rr"
4a 2 + 2a 2
3
C=
=
3
=
3
4a
8a
(r 2 + r ' 2 ) 2
2. Đờng tròn chính khúc và khúc tâm
a. Định nghĩa

Trang -13

Tại mỗi điểm M của đờng cong L, về phía lõm của đờng cong, trên đờng vuông góc với tiếp tuyến tại M ( ta sẽ
gọi là pháp tuyến của L tại M), lấy điểm I sao cho: MI=
1
1
. Đờng tròn tâm I, bán kính R=
đợc gọi là đờng
C (M )
C (M )
tròn chính khúc của L tại M.
Tâm I của đờng tròn chính khúc
Hình 34
1
đợc gọi là khúc tâm ứng với M, bán kính R=
của đờng tròn chính khúc gọi
C (M )
là khúc bán kính.
Đờng tròn chính khúc tại M cđa L cã chung tiÕp tun víi L t¹i M và tại M chúng
1
có cùng độ cong C(M)= . Tại lân cận của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc
R
sẽ tốt hơn xấp xỉ bằng tiếp tuyến tại M.
b. Toạ độ của khúc tâm
Giả sử tại M(x,y), khúc tâm I có toạ độ (X,Y). Ta cần tìm biểu thức của (X,Y)
qua (x,y). Giả sử L có phơng trình y=f(x).
Gọi (,) là toạ độ các điểm trên pháp tuyến của L tại M, phơng trình pháp
tuyến của L tại M là
1
y = ( x )
y'

Vì khúc tâm I(X,Y) nằm trên pháp tuyến nên ta cã:
1
Y − y = − ( X − x)
(6)
y'
V× MI=R nên:
(X-x)2+(Y-y)2=R2
(7)
Từ hai phơng trình trên suy ra:
y ' (1 + y ' 2 )
1 + y'2
X = x±
, Y = y
y"
y"
Nếu y>0 đờng L lõm nên Y>y, vậy:
1 + y'2
Y = y+
y"
Nếu y<0 đờng L lồi nên Y1 + y' 2
1 + y'2
Y = y−
=y+
y"
y"
Thay Y vµo (6) ta ®ỵc:
y ' (1 + y ' 2 )
X = x−
y"

VËy toạ độ (X,Y) của khúc tâm I là:

y ' (1 + y ' 2 )
X
=
x
−

y"

(8)

2
Y = y + 1 + y '

y"
Nếu L có phơng trình tham số:
x = x (t )

 y = y (t )

Trang -14


Thay các biểu thức (2) vào (8) đợc toạ độ của khúc tâm I là:

y ' ( x' 2 + y ' 2 )
X
=
x

−

x' y"− y ' x"

(9)

2
2
Y = y + x' ( x' + y ' )

x' y"− y ' x"
Nếu L có phơng trình trong toạ độ cực: r=r() thay (4) vào (9) đợc toạ độ của
khúc tâm I lµ:

r 2 + r '2
X
=
r
cos
ϕ
−
(r ' sin ϕ + r cos ϕ )

r 2 + 2r ' 2 −rr '
(10)

2
2
Y = r sin ϕ + r + r '
(r ' cos ϕ − r sin ϕ )


r 2 + 2r ' 2 rr '
Ví dụ 6.15: Xác định khúc tâm của Hypebôn xy=1 tại M(1,1) và viết phơng
trình đờng tròn chính khúc tại điểm đó.
y
Từ xy=1, đạo hàm hai vế ta đợc: y+xy=0 hay y= . Do ®ã:
x
xy"− y 2 y
y" = −
= 2
x2
x
T¹i x=1, y=1 ta cã: y’= - 1, y”=2. VËy:
3
2

3
2

R= (1 + y ' ) = (1 + 1) = 2
y"
2
Toạ độ khúc tâm lµ:
− 1(1 + 1)

=2
 X = 1 −
2

Y = 1 + 1 + 1 = 2

2
Phơng trình của đờng tròn chính khúc là:
(x-2)2+(y-2)2=2
3. Đờng túc bế. Đờng thân khai
Định nghĩa 2: Ngêi ta gäi ®êng tóc bÕ cđa ®êng cong L là quỹ tích, nếu có,
của các khúc tâm của đờng đó.
Nh vậy các phơng trình (8), (9), (10) là phơng trình tham số của đờng cong
túc bế tơng ứng khi L có phơng trình trong toạ độ Đề Các, phơng trình tham số
và phơng trình trong toạ độ cực.
Ví dụ 6.16: Tìm bán kính chính khúc và đờng túc bÕ cña Elip
 x = a cos t
(a>b>0)

 y = b sin t
Ta cã: x’=- a sin t, y’= b cos t, x”= - a cos t, y”= - b sin t.
2

3
2

3

2
2
2
2
2
R= 1 = ( x' + y ' ) = (a sin t + b cos t )
C

x' y"− y ' x"
ab
Phơng trình tham số của túc bế là:
2

2


a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t a 2 − b 2
X
=
a
cos
t
−
b
cos
t
=
cos 3 t


ab
a

2
2
2
2
2

2
Y = =b sin t − a sin t a sin t + b cos t = b − a sin 3 t

ab
b

Trang -15


Nếu đặt c2=a2 b2 ta có:

c2
cos 3 t
X =

a

2
Y = c sin 3 t

b

Đó là phơng trình của mặt
axtroit lệch.
Định nghĩa 3: Nếu đờng cong
L nhận đờng cong làm đờng
Hình 35
túc bế thì L đợc gọi là đờng thân khai của .
Từ ví dụ trên ta thấy Elip
 x = a cos t

(a>b>0)

 y = b sin t
là thân khai của axtroit lệch:

c2
x
=
cos 3 t

a
(c2=a2 b2)

2
y = c sin 3 t

b
Ta thõa nhËn c¸c tÝnh chất sau đây của đờng túc bế và thân khai.
Tính chất 1: Pháp tuyến tại mỗi điểm M(x,y) của đờng cong L là tiếp tuyến
của đờng túc bế của L tại khúc tâm I ứng với M.
Nh vậy túc bế của một đờng cong L là đờng tiếp xúc với họ đờng pháp
tuyến của L tại các khúc tâm.
Tính chất 2: Độ dài của một cung trên đờng bằng trị số tuyệt đối của hiệu
các khúc tâm bán kính của thân khai L của nó tại hai mót cđa cung Êy, nÕu däc
theo cung Êy khóc b¸n kính biến thiên đơn điệu.
Nói các khác, nếu gọi là số gia của một cung trên , và R là số gia tơng
= R
ứng của khúc bán kính trên thân khai của nó thì:
6.3 Hình học vi phân trong không gian
1. Đờng cong trong không gian

Tơng tự nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không
gian đều có thể biểu diễn bằng có phơng trình tham số:
x = x(t )

 y = y (t )
 z = z (t )


t ∈ [α , β ]

VÝ dô 6.17: Lập phơng trình quỹ đạo của điểm M nằm trên mặt trụ tròn xoay
có trục Oz bán kính a, có chuyển động vừa quay tròn đều quanh trục Oz víi vËn
tèc ω, võa tÞnh tiÕn däc theo Oz víi vận tốc không đổi k. Quỹ đạo này đợc gọi là
đờng đinh ốc trụ xoay.
Hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng Oxy của
mọi điểm M(x,y,z) trên quỹ đạo đều nằm trên đờng
tròn tâm O, bán kính a thuộc mặt phẳng ấy. Gọi p là
hình chiếu của M(x,y,z) trên Oxy ta có:


r = OM = OP + PM
Chiếu véc tơ đó xuống các trục toạ độ ta đơc:
x=a cos, y=a sin, z=kt
H×nh 36

Trang -16


Trong đó t là thời gian chuyển động của điểm M tû lƯ víi gãc quay ϕ cđa OP
ϕ

quanh O, do đó: =t hay t =
.

Coi t là tham số ta có phơng trình tham số của đờng xoáy đinh èc lµ:
 x = a cosϖ t

 y = a sin ϖ t
 z = kt

Cßn nÕu dïng gãc quay làm tham số ta đợc phơng trình:

x = a cos ϕ

 y = a sin ϕ

k
 z = = b



2. Độ cong
Tơng tự nh trong mặt phẳng, ta gọi độ cong của L tại M là giới h¹n, nÕu cã:
∆α
dα
C tb = lim
=
C(M0)= Mlim
→M 0
∆s →0 ∆s
ds

NÕu L có phơng trình tham số:
x = x (t )

 y = y (t )
 z = z (t )

Khi ®ã:
2

C(M)=

2

x' y '
y' z'
z ' x'
+
+
x" y"
y" z"
z" x"

2

3

( x' 2 + y' 2 + z ' 2 ) 2
Ví dụ 6.18: tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng đinh ốc.
Sử dụng phơng trình theo ta cã:
x’=-a sinϕ, y’=a cosϕ, z’=b

x”=-a cosϕ, y”=- a sinϕ, z”=0
Do:
− a sin ϕ
a cos ϕ
= a2
− a cos ϕ − a sin ϕ
a cos ϕ b
b − a sin ϕ
= ab sin ϕ ,
= −ab cos ϕ
− a sin ϕ 0
0 − a cos ϕ
x' 2 + y ' 2 + z ' 2 = a 2 sin 2 ϕ + a 2 cos 2 ϕ + b 2 = a 2 + b 2
Nªn ta cã:
a
C(M)= 2
a + b2
VËy độ cong của đờng xoắn đinh ốc tại mội điểm đều bằng nhau.
Bài tập chơng 6
A. ứng dụng tích phân trong hình học
1. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong hệ toạ độ vuông
góc
1. {y=x2+4, x-y+4=0}

Trang -17


2. {y=2x-x2, x+y=0}
3. {y=2x, y=2, x=0}
2. {y=x3 , y=x, y=2x.}

3. { x2+y2=4x, y2=2x}
4. { y2=x3 , y=4, x=0}
5.

x2 y2
x2 y2
+
=
1
,
+
=1
a2 b2
b2 a 2

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng cho bởi phơng trình tham số
1.

2.

3.
4.

x = 3t 2

 y = 3t − t 3

c2
cos 3 t
x =


a
c = a2 − b2

2
 y = c sin 3 t

b
 x = a cos t


a sin 2 t
y
=

2 + sin t

 x = a ( 2 cos t − cos 2t )

 y = a (2 sin t sin 2t )

3 . Tính diện tích hình phẳng cho bởi toạ độ cực
1. r =

p


, = , =
1 − cos ϕ
4

2

2. r 2 + ϕ 2 = 1
2at

r = 1 + t 2
3. 
ϕ = πt

1+ t2

4. B»ng cách chuyển qua toạ độ cực hoặc phơng trình tham số, tính diện tích
miền giới hạn bởi
1. r2=a2cos2 (đờng Lemnixcat )
2. { r=a(1-cos), r=a (Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
3. {r=a(1- cos) , x2+y2=2ax(Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
4. {r=a(1+cos), x2+y2=2ay(Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
5
5.
x4+y4=a x2y, (Đặt y=tx)
6. (x2+y2)2=2a2xy
7. (x2+y2)2=a2x2+b2y2
8. x4+y4=a2(x2+y2)
5. Tính độ dài đờng cong
1. y= lncos x , 0 ≤ x ≤ a <

π
2

2

2
2. y= a ln a + a − x − a 2 − x 2 , 0 < b x a

x

6. Tính độ dài ®êng cong
 x = a ( 2 cos t − cos 2t )
 y = ( 2 sin t − sin 2t

1. 

Trang -18


 x = a cos 5 t
2. 
 y = a sin 5 t

c2
cos 3 t
x =

a
c = a2 − b2
3. 
2
 y = c sin 3 t

b
 x = a (cos t + t sin t )

0 ≤ t ≤ 2π
4. 
 y = a (sin t − t cos t )
 x = (t 2 − 2) sin t + 2t cos t
 y = ( 2 − t 2 ) cos t + 2t sin t

5. 

0 t

7. Tính độ dài đờng cong cho trong toạ độ cực
1. r=3+2cos
2.

6

3.
4.

7

5.

r = 1 + cos t


t 0 ≤ t ≤T <π
ϕ = t − tg 2
ϕ = r, 0 ≤ r ≤ 5
r=aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2 (Đờng Acsimet)

p

r=
,
1 + cos
2

8. Tính độ dài đờng cong cho bởi phơng trình
1. 3y2=2(x-1)3, chắn bởi

y2=

x
3

8
2. (y - arcsin x)2=1-x2
9
3. 9ay2=x(x-3a)2
10 4. 5y3=x2 trong hình tròn x2+y2=6
9. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
1. Pa roboloit z=4-x2 và các mặt phẳng toạ độ
2.

x2 y2
c
+ 2 = 1, z = x, z = 0
2
a
a

b

10. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay
1. y2+x-4=0 khi quay quanh Oy
2. y=sin x ( 0 ≤ x ≤ π ) khi quay quanh Oy, vµ khi quay quanh Ox.
3. y=x2, y=4 khi quay quanh ®êng x=2.
4. (x2+y2)2=a2(x2-y2) khi quay quanh Ox.
11. Tính diện tích mặt tròn xoay
1. Tạo bởi cung y=x2 giới hạn bởi giao điểm của nó với đờng y=x khi quây
quanh Ox.
2

2. Giới hạn bởi

2

x 3  y 3
  +   = 1 khi quay quanh Ox.
a
a

3. Mét nhÞp cđa Xycloit x=a(t-sint), y=a(1-cos t) khi quay quanh Ox vµ khi
quay quanh Oy.
4. r=a(1+cosϕ) khi quay quanh trôc cùc.
5. r2=a2cos2ϕ khi quay quanh trôc cùc.
B. ứng dụng phép tính vi phân trong hình học
12. Tính độ cong của
1. b2x2+a2y2=a2b2 tại (0,b) và (a,0)

Trang -19

2. xy=12 t¹i (3,4)
2

2

3.  x  3 +  y 3 = 1 tại điểm bất kỳ trên ®êng cong.
a
a
 x = a ( 2 cos t − cos 2t )
4.
tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
y = a (2 sin t − sin 2t )
 x = a cos 5 t
5.
tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
y = a sin 5 t

c2
cos 3 t
x =

a
c = a 2 b 2 tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
6.
2
y = c sin 3 t

b

7. r=a(1+cos) tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
8. r2=a2cos2 tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
13. Tính bán kính cong và dựng đờng tròn chính khúc
1. y2=x3 tại (4,8)
2. x2=4ay t¹i (0,0)
3. y=lnx t¹i (1,0)
 x = a cos 5 t
5
y = a sin t

4.

tại điểm bất kỳ trên đờng cong.


c2
x
=
cos 3 t


a
c = a 2 b 2 tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
5.
2
c
y =
sin 3 t

b

6. r=asin
tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
7. r=a
tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
8. r=a(1-cos) tại điểm bất kỳ trên đờng cong.
14. Tìm điểm trên đờng cong tại đó khúc bán kính là bé nhất
1. y=lnx
2. y=ex
15. Lập phơng trình đờng túc bế của đờng cong
1.

x2 y2
−
=1
a2 b2
2

2

2.  x  3 +  y  3 = 1
a
a
 x = a (cos t + t sin t )
0 ≤ t ≤ 2π
3. 
 y = a (sin t − t cos t )

16. TÝnh ®é cong của các đờng

1.

x = e t cos t

−t
 y = e sin t

t
 z = e

x = t 2

3
2.  y = 2t
z = 0


Trang -20