Chương 44
BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ 2
BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Câu 1. Bất phương trình nào sau đây khơng tương đương với bất phương trình
x 5 �0
?
2
2
A. x 1 x 5 �0 .
B. x x 5 �0 .
x 5 x 5 �0 .
C.
Chọn D
x 5 �0 ۳ x
D. x 5 x 5 �0 .
Lời giải
5 .
Tập nghiệm của bất phương trình là T1 5; +� .
�x 5 �0
�x �5
��
x 5 x 5 �0 � �
۳ x 5.
x
5
�
0
x
�
5
�
�
Tập nghiệm của bất phương trình này là T2 5; +� .
Vì hai bất phương trình này khơng có cùng tập nghiệm nên chúng khơng
tương đương nhau.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. x 2 �3x ۣ x 3 .
B. 0 ۣ x 1 .
x
x 1
�0 � x 1 �0 .
C.
D. x x �x ۳ x 0 .
x2
Lời giải
ChọnD
Vì a �b � a c �b c , c �� . Trong trường hợp này c x .
Câu 3. Cho bất phương trình:
I
1 �
8
1 1 . Một học sinh giải như sau:
3 x
III �
x �3
1
1 II �x �3 �
.
��
�
3 x 8
�
�x 5
3 x 8
Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?
A. I .
B. II .
C. III .
Lời giải
ChọnB
I
1 �
D. II và III .
1
1
.
3 x 8
Đúng vì chia hai vế cho một số dương 8 0 ta được bất thức tương đương
cùng chiều.
II
x �3 ( chỉ đúng khi :
1
1 �
��
3 x 0 � x 3 ).
3 x 8
3 x 8
�
Với x 4 thì
4 �3
4 �3
�
�
1
1
1
��
� 1
(sai) nhưng �
(đúng).Vậy
3 4 8
8
34 8
1 8
�
�
sai.
Trang
1/18
II
Câu 4.
III �
x �3
�x �3
. Đúng vì đây chỉ là bước thu gọn bất phương trình bậc nhất
��
�
3 x 8
�
�x 5
đơn giản.
Tập nghiệm của bất phương trình x 2006 2006 x là gì?
B. 2006, � .
A. �.
C. �, 2006 .
Lời giải
D. 2006 .
Chọn A
�x 2006 �0
�x �2006
��
Điều kiện : �
� x 2006 .
�2006 x �0
�x �2006
Câu 5.
Thay x 2006 vào bất phương trình, ta được :
2006 2006
� 0 0 (sai).
Vậy bất phương trình vơ nghiệm.
Tập nghiệm của bất phương trình x x 2 �2 x 2 là:
2006 2006
B. �;2 .
A. �.
D. 2;� .
Lời giải
C. 2 .
ChọnC
�x 2 �0
�x �2
��
� x 2.
�x �2
Giá trị x 3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất
phương trình sau đây?
x x 2 �2 x 2 � �x �2
�
Ta có :
Câu 6.
A. x 3 x 2 0 .
B. x 3
C. x 1 x 2 �0 .
D.
2
x 2 �0 .
1
2
0.
1 x 3 2x
Lời giải
ChọnB
2
x 2 � x � �; 2 và 3 � �; 2 .
Ta có: x 3 x 2 �0 � x 2 �0 ۣ
Câu 7.
Bất phương trình 5 x 1
A. x .
2x
3 có nghiệm là
5
B. x 2 .
5
2
C. x .
D. x
20
.
23
Lời giải
ChọnD
5x 1
Câu 8.
2x
2x
23 x
20
.
3 � 5x
3 1 �
4� x
5
5
5
23
2
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x 4 x 0 .
A. S �.
B. S 0 .
C. S 0; 4 .
Lời giải
D. �;0 � 4; � .
ChọnA
2
Vì x 4 x �0, x .
Câu 9.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x x 1 �4 x .
2
A. 3; � .
B. 4;10 .
C. �;5 .
Lời giải
D. 2;� .
ChọnD
Trang
2/18
2
x x 1 �4 x � x x 2 x 1 �4 x � x3 2 x 2 x �4 x � x3 2 x 2 2 x 4 �0
2
� x 2 x 2 2 �0 � x 2 �0 do x 2 2 0, x ۳ x
2.
�2 x 1
x 1
�
� 3
Câu 10. Tập nghiệm của hệ bất phương trình �
là
�4 3 x 3 x
� 2
� 4�
� 5�
� 4�
� �
2; �
A. �
.
� 3�
� 5�
2; �.
B. �
5
2; �.
C. �
� 1�
� 3�
1; �.
D. �
Lời giải
ChọnA
�2 x 1
x 1
� 4
�
2 x 1 3 x 3
5x 4
�
�
� 3
�x
� 4�
� � 5 � x ��
��
��
2; �.
�
4 3x 6 2 x
x 2
5�
�
�
�
�
�4 3 x 3 x
x 2
�
� 2
Câu 11. Cặp bất phương trình nào sau đây khơng tương đương
A.
x 1 �x và 2 x 1 x 1 �x 2 x 1 . B.
2
C. x x 2 0 và x 2 0 .
2x 1
1
1
và 2 x 1 0 .
x 3 x 3
2
D. x x 2 0 và x 2 0 .
Lời giải
Chọn D
�x �0
�x �0
��
� x � 2; � \ 0 .
x
2
0
x
2
�
�
x 2 x 0 � x 2 � x � 2; � .
x2 x 2 0 � �
Vậy hai bất phương trình này khơng tương đương.
Câu 12. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương:
A. 5 x 1
1
1
và 5 x 1 0 .
x2 x2
2
C. x x 3 0 và x 3 0 .
B. 5 x 1
1
1
và 5 x 1 0 .
x2 x2
2
D. x x 5 �0 và x 5 �0 .
Lời giải
Chọn B
�x �2
�x 2 �0
�
�1
�
1
1
� � 1 � x �� ; ��\ 2 .
��
5x 1
x2 x2
5x 1 0
�5
�
�
�x
�
5x 1 0 � x
5
�1
�
1
� x �� ; ��.
5
�5
�
Vậy hai bất phương trình này khơng tương đương.
Câu 13. Với điều kiện x �1 , bất phương trình
2x 1
2 tương đương với mệnh đề
x 1
nào sau đây:
A. x 1 0 hoặc
C.
2x 1
�
2.
x 1
4x 3
0.
x 1
B. 2
2x 1
2.
x 1
D. Tất cả các câu trên đều đúng.
Lời giải
Chọn A
Trang
3/18
2x 1
2x 1
�
�
�1
x 1 0
2
2 0
�
�
�
�x 1 0
2x 1
x 1
x 1
�
.
��
��
� 4x 3
2��
�
2
x
1
2
x
1
4
x
3
0
x 1
�
�
�
2
20
0
�x 1
�x 1
�x 1
�x 1
�
�
�
Câu 14. Bất phương trình
2 x 3 �x 2 tương đương với :
3
2
A. 2 x 3 � x 2 với x � .
2
2 x 3 �0
�
C. �
hoặc
�x 2 �0
B. 2 x 3 � x 2 với x �2 .
2
2
�
�2 x 3 � x 2
.
�
� x2 0
D. Tất cả các câu trên đều đúng.
Lời giải
Chọn C
Ta sử dụng kiến thức sau
�
�A 0
�
�
�B �0
�
A �B � �
�A �B 2
�
�
�
�B 0
�
3
3
3
tương đương với :
2x 4
2x 4
3
3
B. x và x �2 . C. x .
2
2
Câu 15. Bất phương trình 2 x
A. 2 x 3 .
D.
Tất cả đều
đúng.
Lời giải
Chọn D
�x �2
2 x 4 �0
�
�x �2
�
3
3
3
��
��
�� 3 � x .
2x
3
2x 4
2x 4
2
2x 3
2x 3
�
�
�x
�
2
3
2x 3 � x .
2
Vậy A, B, C đều đúng.
Câu 16. Các giá trị của x
3
x2 x3
A. x �2 .
thoả
mãn
điều
kiện
của
bất
phương
trình
1
2 x 3 là
x
B. x �3 .
C. x �3 và x �0 . D. x �2 và x �0 .
Lời giải
Chọn C
�x 3 �0
�x �3 3
��
Điều kiện : �
( x 2 có nghĩa x ).
�x �0
�x �0
3
�
3x x 2
�
�
5
Câu 17. Hệ bất phương trình �
có nghiệm là
�6 x 3 2 x 1
� 2
A. x
5
.
2
B.
7
5
x .
10
2
C. x
7
.
10
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn C
Trang
4/18
3
�
� 7
3
7
3x x 2
x
�
�
�
�
3
x
x
2
2
x
�
�
�
� 10
7
5
.
�
�
�
� x
5
5
�
�
�
�
10
6
x
3
5
�
�
�
�x
6x 3 4x 2
2x 5
2x 1
�
�
� 2
� 2
�
�x 2 x 3 �0
Câu 18. Hệ bất phương trình �
có nghiệm là
�
� x 2 x 3 �0
A.
2 �x � 3 .
C. 2 �x � 2 ,
Chọn A
B. 2 �x �3 .
3 �x �3 .
D. Vô nghiệm.
Lời giải
�
�
2; 3 �
�x 2 x 3 �0
�x ��
�
�
� x ��
2;
�
�
�
�
x
2
x
3
�
0
x
�
�
;
2
�
3;
�
�
�
�
�
.
3�
�
�4 x 3
6
�
�2 x 5
Câu 19. Hệ bất phương trình �
có nghiệm là
�x 1 2
�x 3
A. 3 x
5
.
2
B.
5
33
x
.
2
8
C. 7 x 3 .
D. 3 x
33
.
8
Lời giải
Chọn C
�4 x 3
�4 x 3
�4 x 3 12 x 30
�8 x 33
6
6 0
0
0
�
�
�
�
�2 x 5
�2 x 5
�
� 2x 5
2x 5
�
�
�
�
�
�
�
�x 1 2
�x 1 2 0
�x 1 2 x 6 0
� x 7 0
�x 3
�x 3
� x3
�x 3
� �
5 � �33
�
�x ���; ��� ; ��
2 � �8
�� �
�� x � 7; 3 .
�x � 7; 3
�
Câu 20. Bất phương trình x 1 �x 1 có nghiệm là
A. x � �, � .
B. x 1 .
C. x �1 .
Lời giải
D. x 0 .
Chọn A
X �X , X .
Câu 21. Bất phương trình x 3 �1 có nghiệm là
A. 3 �x �4 .
B. 2 x 3 .
C. x �2 hoặc x �4 .
Lời giải
D. x 3 .
Chọn C
x 3 �1
x �4 .
�
�
��
x 3 �1
x �2
�
�
Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình – x 2 6 x 7 �0 là
x 3 �1 � �
A. �; 1 � 7; � .
C. 1; 7 .
B. 7;1 .
D. �; 7 � 1; � .
Lời giải
Chọn C
Trang
5/18
x 1
�
2
Ta có : – x 6 x 7 0 � x 1 x 7 0 � �
.
x7
�
Bảng xét dấu :
Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là : T 1;7 .
�x 2 2 x 3 0
Câu 23. Hệ bất phương trình �2
có nghiệm là
�x 11x 28 �0
A. x –1 hoặc 3 x �4 hoặc x �7 .
C. x –1 hoặc x �7 .
B. x �4 hoặc x �7 .
D. 3 x �4 .
Lời giải
Chọn C
�x � �; 1 � 3; �
�
x 3 x 1 0 �
�x 2 2 x 3 0
�
��
��
�2
x 7 x 4 �0 �x � �; 4 � 7; �
�x 11x 28 �0
�
� x � �; 1 � 7; � .
2
Câu 24. Bất phương trình: 3 x 2 x 1 �0 có tập nghiệm là:
�2
�3
�
�
A. � ; ��.
�2
�
�
�
B. � ; ��.
3
�
�
2�
3�
�; �.
C. �
D. �.
Lời giải
Chọn D
3 x 2 �0, x �
�
2
�� 3 x 2 x 1 �0, x ��.
2
x
1
0,
x
�
Câu 25. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn ln có nghiệm.
B. Bất phương trình ax b 0 vô nghiệm khi a 0 và b �0 .
C. Bất phương trình ax b 0 có tập nghiệm là � khi a 0 và b 0 .
D. Bất phương trình ax b 0 vô nghiệm khi a 0 .
Lời giải
Chọn D
Vì 0 x 1 0 � 1 0 ( đúng x ).
Câu 26. Giải bất phương trình x 1 x 4 7 . Giá trị nghiệm nguyên dương nhỏ nhất
của x thoả bất phương trình là
A. x 9 .
B. x 8 .
C. x 7 .
Lời giải
D. x 6 .
Chọn D
Xét dấu phá trị tuyệt đối:
Trang
6/18
TH1. x � �; 1
�
�x � �; 1
�x � �; 1
�x � �; 1
��
��
� x � �; 2
�2 x 3 7
�x 2
� x 1 x 4 7
x 1 x 4 7 � �
.
TH2. x � 1; 4
�
�x � 1; 4
�x � 1; 4
x 1 x 4 7 � �
��
� x ��.
�x 1 x 4 7 �5 7
TH3. x � 4; �
�
�x � 4; �
�x � 4; �
�x � 4; �
��
��
� x � 5; � .
x
1
x
4
7
�
�2 x 3 7
�x 5
x 1 x 4 7 � �
Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : T �; 2 � 5; � .
Câu 27. Bất phương trình x 2 x 1 x
A. x 2 .
B. x 1 .
3
có nghiệm là
2
9
C. x .
2
9
2
D. 0 x � .
Lời giải
Chọn C
Xét dấu phá trị tuyệt đối:
TH1. x � �; 2
�x � �; 2
�x � �; 2
�
�
3
x 2 x 1 x � �
��
3
3
2
� x 2 x 1 x
�3 x
�
.
TH2. x � 2; 1
2
�x � 2; 1
�
2
�x � 2; 1
�x � �; 2
�
��
� x ��
3
x
�
�
2
�x � 2; 1
�
�
�
3
x 2 x 1 x � �
��
��
3
3
5
2
x 2 x 1 x
�2 x 1 x
�x
�
TH3. x � 1; �
�
2
�x � 1; �
�
2
�x � 1; �
�
�
3
x 2 x 1 x � �
��
3
3
2
3 x
x 2 x 1 x
�
�
�
2
�
2
�
� x ��.
2
�x � 1; �
�
�� 9
�x
� 2
Trang
7/18
�9
�
� x �� ; ��.
�2
�
�9
�2
�
�
Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : T � ; ��.
Câu 28.
x 2 3x 1
3 có nghiệm là
Bất phương trình 2
x x 1
3 5
3 5
hoặc x
.
2
2
5 3
5 3
C. x
hoặc x
.
2
2
A. x
3 5
3 5
hoặc x
.
2
2
5 3
5 3
D. x
hoặc x
.
2
2
B. x
Lời giải
Chọn B
�x 2 3x 1
�x 2 3 x 1
�2 x 2 6 x 2
3
3
0
0
�
�
�
x 3x 1
�x 2 x 1
�x 2 x 1
� x2 x 1
3
�
�
�
�2
� 2
�2
x2 x 1
�x 3x 1 3
�x 3 x 1 3 0
�4 x 4 0
2
2
�
�
�
�x x 1
�x x 1
�x 2 x 1
2
� � 3 5 �
� 3 5 �
�2 �x
�
�x
�
2 �
2 �
� �
�
0
2
�
� � 3 5 � �3 5
�
1� 3
�
x
�
�
;
�
;
�
�
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 �
�� �
� 2� 4
�
�
�� 2
�
�
�
2
� 4 x 1 0
�x � �; �
2
�� 1 � 3
��x �
�� 2 � 4
� 3 5 � �3 5
�
� x ��
�
;
�
;
�
�
�
�
�
�� 2
�.
2
�
��
�
Câu 29. Bất phương trình
x2 5x 4
�1 có nghiệm là
x2 4
8
5
�x � , x ��
2.
5
2
8
C. x –2 hoặc 0 �x � .
5
A. x �0 hoặc
8
5
8
.
5
5
D. 2 x �0 hoặc x � .
2
B. x � hoặc 2 x
Lời giải
Chọn A
5 x 8
�x 2 5 x 4
�x 2 5 x 4
�
�0
�
1
1 �0
2
�
�
�
2
2
x 5x 4
x2 4
x
4
x
4
�1 � �2
� �2
�� 2
x2 4
2x 5x
�x 5 x 4
�x 5 x 4
�
�0
�1
1 �0
2
2
�
�
�
� x 4
� x 4
�x 2 4
� 5 x 8
�
8 �
�
�0
x � �; 2 �� ; 2 �
�
�
x
2
x
2
5 �
�
��
��
� x 2 x 5
�
� 5�
x � 2; 0 ��
2; �
�0
�
�
� 2�
x 2 x 2
�
�
8 � � 5�
�
� x � �; 2 � 2; 0 �� ; 2 ���2; �.
5 � � 2�
�
Trang
8/18
mx 2m 0
�
�
Câu 30. Cho hệ bất phương trình �2 x 3
3 x . Xét các mệnh đề sau:
1
�
5
� 5
(I) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho vơ nghiệm.
(II) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là �.
�2
�5
�
�
�2
�5
�
�
(III) Khi m �0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là � ; ��.
(IV)Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là � ; ��.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn D
mx 2m 0
mx 2m
�
�
�
�
Ta có : �2 x 3
.
3x � � 2
1
x
�
�
5
� 5
� 5
mx 2m
�
�x 2
�
�
Với
thì
�
m0
� 2
� 2 � x ��. Vậy (I) đúng.
x
x
�
�
� 5
� 5
mx 2m
0x 0
�
�
�
�
� � 2 � x ��. Vậy (II) sai.
Với m 0 thì �x 2
x
�
�
� 5
� 5
mx 2m
�
�x 2
�
�
2
Với
thì
� � 2 � x . Vậy (III) , (IV) đúng.
m0
� 2
5
x
x
�
�
� 5
� 5
� x 3 4 x 0
vô nghiệm khi
�x m 1
Câu 31. Hệ bất phương trình �
A. m �2 .
B. m 2 .
C. m 1 .
Lời giải
D. m 0 .
Chọn A
� x 3 4 x 0 �3 x 4
��
.
�
�x m 1
�x m 1
Hệ bất phương trình vơ nghiệm m 1 �3 ۣ
m 2 .
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình
�3 x 6 3
�
có nghiệm.
�5 x m
7
�
� 2
A. m 11 .
B. m �11 .
C. m 11 .
Lời giải
D. m �11 .
ChọnA
�3 x 6 3
�x 5
3x 15
�
�
�
� � 14 m .
��
�5 x m
5 x m 14
x
7
�
�
�
5
�
� 2
Hệ bất phương trình có nghiệm �
14 m
5 � 14 m 25 � m 11 .
5
Trang
9/18
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
vô nghiệm.
A. m 4 .
B. m 4 .
m
�x 3 0
để hệ bất phương trình �
m x 1
�
C. m �4 .
Lời giải
D. m �4 .
ChọnD
�x 3 0
�x 3
.
��
�
m x 1 �x m 1
�
Hệ bất phương trình vơ nghiệm � m 1 �3 ۳ m 4 .
2
2
Câu 34. Cho bất phương trình: m x 2 �m x 1 (1). Xét các mệnh đề sau:
(I) Bất phương trình tương đương với x 2 �x 1 (2).
(I) Với m 0 , bất phương trình thoả x ��.
(II) Với mọi giá trị m �� thì bất phương trình vơ nghiệm.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (II).
B. (I) và (II).
C. (I) và (III).
D. (I), (II) và (III).
Lời giải
Chọn A
2
2
+) Với m 0 thì (1) trở thành : 0 . x 2 �0 . x 1 ۣ 0 0 ( đúng x ��).
Vậy (II) đúng ,(III) sai.
+) Với m 0 thì (2) ۣ 2 1 (sai). Bất phương trình vơ nghiệm.
Vậy khi m 0 hai bất phương trình (1) và (2) không tương đương. (I) sai.
Câu 35. Giá trị nào của m thì phương trình x 2 mx 1 3m 0 có 2 nghiệm trái dấu?
1
3
1
3
A. m .
C. m 2 .
B. m .
D. m 2 .
Lời giải
Chọn A
ycbt � a.c 0 � 1 3m 0 � m
1.
3
2
Câu 36. Tìm tham số thực m để phương trình m 1 x 2 m 2 x m 3 0 có 2
nghiệm trái dấu?
A. m 1 .
B. m 2 .
C. m 3 .
D. 1 m 3 .
Lời giải
Chọn D
ycbt � a.c 0 � m 1 m 3 0 � m � 1; 3 .
Câu 37. Các giá trị
A. m 9 .
m làm cho biểu thức f x x 2 4 x m 5 luôn luôn dương là
C. m 9 .
Lời giải
B. m �9 .
D. m ��.
Chọn C
2
f x x2 4x m 5 x2 4 x 4 m 9 x 2 m 9 .
Ta có : x 2 �0, x .
2
Để f x 0, x thì m 9 0 � m 9 .
2
Câu 38. Cho f x mx 2 x 1 . Xác định
A. m 1 .
B. m 0 .
m
để f x 0 với mọi x ��.
C. 1 m 0 .
D. m 1 và m �0 .
Lời giải
Chọn A
TH1. m 0 . Khi đó : f x 2 x 1 0 � x
1
.
2
Trang
10/18
Vậy m 0 khơng thỏa u cầu bài tốn.
TH2. m �0
2
2
�2
1
�1 �� 1
� 1� � 1�
f x mx 2 x 1 m �x 2. .x � �� 1 m �x � �1 �.
�
m
�m ��
� m� � m�
�
� m
2
2
� 1�
Ta có : �x ��0, x .
� m�
m0
m0
�
�
�
�
ycbt � �
� �m 1
� m 1 0 � m 1 thỏa điều kiện).
1
1
0
0
�
�
m
�
� m
�x 7 �0
Câu 39. Cho hệ bất phương trình �
. Xét các mệnh đề sau
�mx �m 1
I : Với
II : Với
m 0 , hệ ln có nghiệm.
0 �m
III : Với
1
, hệ vô nghiệm.
6
1
m , hệ có nghiệm duy nhất.
6
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I .
B. II và III .
III .
C. Chỉ III .
D.
I , II
và
Lời giải
Chọn D
� x �7
�x 7 �0
�
� � m 1 . Hệ này ln có nghiệm . Vậy (I) đúng.
Với m 0 thì �
x�
�mx �m 1
�
m
�
�x 7 �0
�x �7
�
1
��
Với m thì �1
� x 7 . Hệ này có nghiệm duy nhất. Vậy (III)
1
6
x � 1
�x �7
�
6
�6
đúng.
� x �7
�x 7 �0
�
� � m 1 .
Với m 0 thì �
x�
�mx �m 1
�
m
�
Hệ này vơ nghiệm nếu
m 1
m 1
1 6m
1
7 �
7 0 �
0 � 1 6m 0 � m .
m
m
m
6
�x 7 �0
�x �7
��
Với m 0 thì �
. Hệ này vô nghiệm.
�mx �m 1 �0 x �1
Vậy (II) đúng.
Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình
x 1
1 là
x2
�1
�2
A. S �, 2 .
�
�
, ��.
B. S �
�1
�2
�
�
, ��
C. S �, 2 ��
D. S 1; � .
Lời giải
Chọn C
Trang
11/18
�
�x 1 0
�
�
� x 1 x 2
�
0
�
�
x 1
x 1
x 1 x 2
x2
�
1 �
1 0 �
0 � �
�x 1 �0
x2
x2
x2
�
�
�
� x 1 x 2
�
0
�
� x2
�
�
�x 1
�
�
�2 x 1
�
�
�1
0
�
x � �; 2 �� ;
�
�x 2
�
��
��
�2
x
�
1
�
�
�
x � 1; �
�
�
�
�3
0
�
�
�x 2
�
�
1�
�1
�
; ��.
�� x � �; 2 ��
�2
�
2
Câu 41. Cho phương trình m 5 x 2 m 1 x m 0 1 . Với giá trị nào của
m
thì 1 có
2 nghiệm x1 , x2 thỏa x1 2 x2 .
8
3
A. m .
B.
8
m5.
3
C. m �5 .
D.
8
�m �5 .
3
Lời giải
Chọn B
�
�a �0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt � �
2
m 1 m 5 .m 0
��
m �5
�
m 5 �0
�
�
1
��
��
1 � m �5 .
3
3m 1 0
m
�
�
3
�
TH1. m 5
� 1 m 3m 1
2 1
�x1
�
m
5
ycbt � �
I .
�x 1 m 3m 1 2 2
2
�
m5
�
Giải (1) :
1 m 3m 1
2 � 1 m 3m 1 2m 10 (do m 5 0 ) � 3m 1 11 3m
m5
Trang
12/18
�
11 3m 0
�
�
�
3m 1 �0
�
�
��
11 3m �0
�
�
�
�
2
�
3m 1 11 3m
�
�
�
� 11
m
�
� 11
�
�
m
� 3
�
�
�
� 3
�
�
1
�
�
�
m
�
1
�
�
�
�
m �
3
�
3
��
��
�
� 11
�
m�
� 11
�
�
�
m�
�
� 3
�
�
� 3
�
�
� 8�
2
�
�
�
9�
m �
9
m
69
m
120
0
m 5 0
�
�
�
�
�� 3 �
�
� 11
m
�
� �
11
3
�
m �� ; ��
�
�
� 11
�3
�
�8
�
�
m�
��
��
� m �� ; ��
�
3
�
� �8 11 �
�3
�.
�
m
�
;
�
�
�8 � � �
�
�
m �� ; 5 � � �3 3 �
�
� �3 �
�
�
Giải (2) :
1 m 3m 1
2 � 1 m 3m 1 2m 10 � 3m 1 3m 11
m5
�
3m 11 0
�
�
�
3m 1 �0
�
�
��
3m 11 �0
�
�
�
�
2
�
3m 1 3m 11
�
�
�
� 11
m
�
� 11
�
�
m
� 3
�
�
�
� 3
�
�
1
�
�
�
m �
1
�
�
�
�
m �
3
�
3
��
��
�
� 11
�
m�
� 11
�
�
�
m�
�
� 3
�
�
� 3
�
�
� 8�
2
�
�
�
9�
m �
9m 69m 120 0
m 5 0
�
�
�
�
�� 3 �
�
11
�1
�m
�
� � 1 11 �
3
3
m ��
;
�
�
�
3 3�
� 11
�
�1
�
�
m
�
��
�
� m ��
;
�
3
�
� �
11 �
3
�
�
m �� ; 5 �
�
�
8
� �
�
�
�
m �� ; 5 � � �3
�
�
3
� � �
�
�
5 �.
�
�
�
m5
�
� �8
�
m �� ; ��� m ��.
Vậy nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ : �
�
� �3
� �1 �
m ��
; 5�
�
� �3 �
1
3
TH2. m 5
� 1 m 3m 1
2
�x1
�
m
5
ycbt � �
�x 1 m 3m 1 2
2
�
m5
�
Giải (1) :
1
2
I .
Trang
13/18
1 m 3m 1
2 � 1 m 3m 1 2m 10 ( do m 5 0 ) � 3m 1 3m 11
m5
�
3m 11 0
�
�
�
3m 1 �0
�
�
��
3m 11 �0
�
�
�
�
2
�
3m 1 3m 11
�
�
�
� 11
m
�
� 11
�
�
m
� 3
�
�
�
� 3
�
�
�
�
�m � 1
1
�
�
�
�
m �
3
�
3
��
��
�
� 11
�
m�
� 11
�
�
�
m�
�
� 3
�
�
� 3
�
�
8�
2
�
�
�� 9 �
m �
9
m
69
m
120
0
m 5 0
�
�
�
�
�
� � 3�
�
� � 1 11 �
m ��
;
�
�
3 3 � � � 1 11 �
�
�
m ��
;
�
�
3 3�
�
�
�1 �
� 11
�
�
��
�
m
�
;5�.
m
�
�
�
� �
11
3 �
3
�
�
�
�
m �� ; 5 �
�
�
8 �
�
�
� �3
�m ��
; 5�
�
�
�
3
� � �
�
.
Giải (2) :
1 m 3m 1
2 � 1 m 3m 1 2m 10 � 3m 1 11 3m
m5
�
11 3m 0
�
�
�
3m 1 �0
�
�
��
11 3m �0
�
�
�
�
2
�
3m 1 11 3m
�
�
�
� 11
m
�
� 11
�
�
m
� 3
�
�
�
� 3
�
�
1
�
�
�
m �
1
�
�
�
�
m �
3
�
3
��
��
�
� 11
�
m�
� 11
�
�
�
m
�
3
�
�
�
�
� 3
�
�
� 8�
�
�
�
9�
m �
9m 2 69 m 120 0
m 5 0
�
�
�
�
�� 3 �
�
� 11
m
�
� �
11
3
�
m �� ; ��
�
�
� 11
�3
�
�8
�
�
m�
��
��
�Υm � ; + �.
�
3
�
� �8 11 �
�3
�
�
m �� ; �
�
�
8
�
�
�
�
m �� ; 5 � � �3 3 �
�
�
� �3 �
�
Vậy nghiệm của hệ (I)
�8
�3
Tổng hợp lại, m �� ;
�1
� m 5
�3
� �1 �
�8
;5 � � m �� ;
là nghiệm của hệ : �m ��
�3
� �3 �
� �8
�
�m � ; + �
�
� �3
�
5 �thỏa yêu cầu bài toán.
�
�
5 �.
�
Trang
14/18
Câu 42. Cho phương trình x 2 2 x m 0 1 . Với giá trị nào của
m thì 1
có 2 nghiệm
x1 x2 2 .
A. m 0 .
B. m 1 .
C. 1 m 0 .
D. m
1
.
4
Lời giải
Chọn C
x 2 2 x m 0 � x 2 x 1 m 1 0 � x 1 m 1 0 � x 1 m 1
2
2
�
m 1 0
m 1 0
�
�
�
ycbt � �
x1 1 m 1 2 � � m 1 1
�
�
�x2 1 m 1 2
� m 1 1 hn
2
� 0 m 1 1 � 0 m 1 1
� 1 m 0 .
2
Câu 43. Cho phương trình mx 2 m 1 x m 5 0 1 . Với giá trị nào của
m
thì 1 có
2 nghiệm x1 , x2 thoả x1 0 x2 2 .
A. 5 m 1 .
m �0 .
B. 1 m 5 .
C. m 5 hoặc m 1 .
D. m 1 và
Lời giải
Chọn A
m �0
�
�m �0
�
�a �0
1
�3m 1 0
�
m
�
2
�
�
�� 3
ycbt � ��
m 1 m m 5 0 � �
a
.
f
0
0
�
�
m m 5 0
�x 0 x 2
2
�
�1
�a. f 2 0
�
m 4m 4 m 1 m 5 0
�
�
�m �5
�m �5
� 1
� 1
�
�
�m
�m
�� 3
�� 3
� 5 m 1 .
�m m 5 0
�5 m 0
�
�
�
�m � �; 1 � 0; �
�m m 1 0
Câu 44. Giá trị của m làm cho phương trình m 2 x 2mx m 3 0 có 2 nghiệm
dương phân biệt là
A. m 6 và m �2 .
B. m 0 hoặc 2 m 6 .
C. 2 m 6 hoặc m 3 .
D. m 6 .
Lời giải
Chọn C
a �0
m 2 �0
�
�
m �2
�
�
�
2
m 6 0
�
m m 2 m 3 0
�
�
�
m � �; 6
�
�
�
� �x x b 2m 0
� �2m 0 � �
1
2
m � �; 0 � 2; �
a m2
�
�m 2
�
�
�m 3
�
c m3
m � �; 3 � 2; �
�
0
0
�x1.x2
�
�m 2
a m2
�
2
� m � �; 3 � 2; 6 .
Câu 45. Với giá trị nào của
nghiệm
m
thì phương trình
m 1 x 2 2 m 2 x m 3 0 có
x1 , x2 và x1 x2 x1 x2 1 ?
Trang
15/18
hai
A. 1 m 2 .
B. 1 m 3 .
C. m 2 .
Lời giải
D. m 3 .
Chọn B
2
�
�
m 2 m 1 m 3 0
�
�
b 2 m 2
1 0
�
x1 x2
�
2 m 2 m 3 .
�
�
a
m 1
ycbt � �
� �2 m 2 m 3
�
1
1
m
1
m
1
�x .x c m 3
�
m 1
� m 1
�1 2 a m 1
�
x1 x2 x1.x2 1
�
�
3m 7
3m 7
2m 6
1 �
1 0 �
0 � m � 1; 3 .
m 1
m 1
m 1
Câu 46. Cho bất phương trình :
1 x mx 2 0 (*). Xét các mệnh đề sau:
I Bất phương trình tương đương với mx 2 0 .
II m �0 là điều kiện cần để mọi x 1 là nghiệm của bất phương trình (*).
III Với m 0 , tập nghiệm của bất phương trình là m2 x 1 .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I .
B. Chỉ III .
C. II và III .
Lời giải
D. Cả I , II , III .
Chọn C
1 x 0
�
. Vậy (I) sai.
1 x mx 2 0 � �
�mx 2 0
1 x 0
�
�x 1
Với m 0 thì : �
��
� x 1.
mx 2 0
0x 2
�
�
Ta có :
x 1
�
1 x 0
�
�
Với m 0 thì : �
� � 2 . Vậy (II) đúng.
mx 2 0
x
�
�
� m
x 1
�
1 x 0
�
2
�
�
�
2
Với m 0 thì : �
� � 2 � x 1 �
do m 0 � 0 1�.
m
mx 2 0
x
m
�
�
�
�
� m
Vậy (III) đúng.
�mx �m 3
.
� m 3 x �m 9
Câu 47. Định m để hệ sau có nghiệm duy nhất �
A. m 1 .
B. m 2 .
C. m 2 .
Lời giải
D. m 1 .
ChọnA
�
m3
�
m3
x�
�
�mx �m 3
�
m
��
TH1. m 3 0 � m 3 .Khi đó : �
.
� m 3 x �m 9 �x �m 9
m3 m9
Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất �
m
m3
�
m 3 m 3 m m 9
m m 3
0
Trang
16/18
�m �0
�m m 3 �0 �
9m 9
�
0 ��
۹ �m 3 � m 1 (không thỏa điều kiện m 3 ).
m m 3
�9m 9 0
�m 1
�
Vậy m 3 không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2. m 3 0 � m 3 .
�mx �m 3
�x �2
��
۳ x 2.
� m 3 x �m 9 �0 x �12
Khi đó : �
Vậy m 3 khơng thỏa u cầu bài toán.
TH3. m 3 0 � m 3 .
3 m 0
�
m3
x�
�
�mx �m 3
�
m
��
Khi đó : �
. Hệ này có vơ số nghiệm.
� m 3 x �m 9 �x �m 9
�
m3
Vậy 3 m 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
m0
�0 �3 sai
0 x �3
�
�mx �m 3
��
��
.Hệ bất phương trình vơ
3 x �9
� m 3 x �m 9 �
�x �3
Khi đó : �
nghiệm.
Vậy m 0 khơng thỏa u cầu bài tốn.
m0
�
m3
�
m3
x�
�
�mx �m 3
�
m
�
Khi đó : �
.
�
� m 3 x �m 9 �x �m 9
Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất �
�
m 3 m 3 m m 9
m m 3
m 3 m 9
m
m3
0
�m �0
�m m 3 �0 �
9m 9
�
0 ��
۹ �m 3 � m 1 (thỏa điều kiện m 0 ).
m m 3
�9m 9 0
�m 1
�
Kết luận : m 1 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 48. Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình sau đây tương đương?
a 1 x a 3 0 (1)
a 1 x a 2 0 (2).
A. a 1 .
B. a 5 .
C. a 1 .
Lời giải
ChọnB
TH1. a 1 0 � a 1 thì
1 � 2 0 ( đúng x ). Tập nghiệm của bất phương trình
D. 1 a 1 .
T1 � .
1
�
; ��.
�2
�
2 � 2 x 1 0 � x 12 . Tập nghiệm của bất phương trình T2 �
�
Vậy a 1 khơng thỏa u cầu bài tốn.
Trang
17/18
TH2. a 1 0 � a 1 thì
1 � 2 x 4 0 � x 2 Tập nghiệm của bất phương trình T2 �; 2 .
2 � 3 0 ( úng x ).Tập nghiệm của bất phương trình T2 � .
Vậy a 1 khơng thỏa yêu cầu bài toán.
a 1 �0
a �1
�
�
��
TH3. �
.
a 1 �0
a �1
�
�
1 � a 1 x a 3 .
2 � a 1 x a 2 .
Hai bất phương trình tương đương
�
�
�
�
�
�
a 1
�
�
a 1 0
�
�
�
�
�
�
�
a 1
�
a 1
�
a 1
�
�
a 1 0
�
�
�
�
�
�
�
� a 5
a 1
�a 3 a 2
�
a 1
�
�
�
�
�
�
0
�
�
�
�
�
�
�
a 5 n
a 5 0
�
�a 1 a 1
� a 1 a 1
�
�
�
�
�
�
��
�
�
� a 5.
�
�
a
1
�
�
�
�
�
�
a 1
�
�
�
�
�
�
�
�
a
1
0
a 1
a 1
�
a 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
1
0
�
�
�
�
�
a 5 0
a 1
�
a 5 l
�
�
�
�
�
�a 3 a 2
�
�
�
a 5
�
�
�
0
�
a
1
a
1
�
�
�
a
1
a
1
�
�
�
Câu 49. Nghiệm của bất phương trình
A. 0 x �1 .
x2 x
�2 là
x
B. x �1 , x 2 .
C. x 0 , x �1 .
Lời giải
D. 0 �x �1 .
ChọnC
x2 x
x2 x
x 2 3x
�2 �
2 �0 ۣ
0
x
x
x
�
�
�x 2 0
�x 2
�
�
�
�
� x 2 3 x
�4 x 2
�
�
�0
�0
�
�
��
x �; 2
�
�
x
� x
�
��
��
��
x � 2; 0 � 1; �
�x 2 �0
�x �2
�
�
�
�
�
�
�
� x 2 3 x
�2 x 2
�
�0
�0
�
�
�
�
x
� x
�
�
� x � �; 0 � 1; � .
Câu 50. Cho bất phương trình
phương trình là
A. x 7 và x 8 .
2
8
. Các nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất
x 13 9
B. x 9 và x 10 . C. x 11 và x 12 . D. x 14 và x 15 .
Lời giải
ChọnC
Trang
18/18
Với x 13 � x 13 0 thì
�
18 8 x 13
2
8
2
8
0
�
0�
9 x 13
x 13 9
x 13 9
8 x 86
0 � 8 x 86 0 � x 43 .
9 x 13
4
Vì x ��,
43
x 13 nên x � 11; 12 .
4
Trang
19/18