Bài 2. Giới hạn của hàm số

Câu 1.

[1D4-2.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Xét các mệnh đề sau:
k
lim
n
= +∞
(I).

với

k

là số nguyên dương tùy ý.

1
=0
(II). x → −∞ x k
với

k

là số nguyên dương tùy ý.

lim

(III).

lim x k = +∞ với là số nguyên dương tùy ý.
k
x→ − ∞

Trong 3 mệnh đề trên thì
A. Cả (I), (II), (III) đều đúng.

B. Chỉ (I) đúng.

C. Chỉ (I),(II) đúng.

D. Chỉ (III) đúng.
Lời giải
Tác giả:Phương Thúy; Fb: Phương Thúy

Chọn C
(I), (II) đúng theo SGK.
k
lim
x
= −∞ .
(III) sai vì nếu k lẻ thì x → − ∞

Câu 2.

 x2 − 4x + 7 
I = lim 
÷
x→1
[1D4-2.2-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn
 x+1 
A.

I = 4.

B.

I = 5.

C.

I = −4.

D.

I = 2.

Lời giải
Tác giả: Diệp Tuân; Fb: Tuân Diệp
Chọn D

 x 2 − 4 x + 7  12 − 4.1 + 7
I = lim 
= 2.
÷=
x→ 1
1+ 1
Ta có
 x+1 
lim
Câu 3.

[1D4-2.2-1] (Chun Hà Nội Lần1) Biểu thức

A.

2
B. π .

0.

Chọn B

π
sin x
2= 2
lim
=
π
π
x
π
x→
2
.
2

sin

π
x→
2

sin x

x bằng

π
C. 2 .

D.

1.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thành Trung ; Fb:Nguyễn Thành Trung


Câu 4.

[1D4-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tìm tất cả các giá trị của tham số
với
A.

B = lim ( x3 − 2 x + 2m2 − 5m + 5) .

m

để

B> 2

x →1

m∈ { 0;3}

.

B.

m<

1
2 hoặc

m>

1
< m< 2
.
2 . C. 2

D.

−2 < m < 3.

Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương
Chọn B
Ta có

B = lim ( x3 − 2 x + 2m2 − 5m + 5 ) = 2m 2 − 5m + 4
x →1

1


m<

B > 2 ⇔ 2m − 5m + 2 > 0 ⇔
2

m > 2
2

Câu 5.

[1D4-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Nếu
nhiêu?
A.

− 18 .

B.

− 1.

lim f ( x ) = 5 thì lim  3 − 4 f ( x )  bằng bao
x→ 2
x→2

C. 1 .

D.

− 17 .

Lời giải
Tác giả:Phạm Hải Dương ; Fb: DuongPham.
Chọn D
Theo giả thiết ta có
Câu 6.

lim f ( x ) = 5 nên lim 3 − 4 f ( x )  = lim3 − 4lim f ( x )
= 3 − 4.5 = − 17 .
x→ 2
x→2
x→2
x→2

[1D4-2.2-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)

Cho

1
 2 x − 1  3x + 5 
f
=
x ≠ − 2; x ≠ ÷
÷

f ( x) ?
y = f ( x ) thỏa mãn:  x + 2  2 x − 1 
2  . Tìm xlim
→ +∞
4

1
3
2
A. 3 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
Chọn C

Đặt

t=

Khi đó:

2x −1
−2t − 1
−t − 13
⇒x=
⇒ f ( t) =
x+2
t −2
−5t .

x → +∞ ⇒ t → 2.

Vậy ta có

− t − 13 3
=
t → 2 − 5t
2.

lim f ( x ) = lim f ( t ) = lim

x → +∞

t→ 2

hàm

số


Câu 7.

[1D4-2.2-3]

(x
I = lim

2

(HK2

lý

thái

tổ

bắc

ninh)

Cho

+ x) f ( x) + 2
x −1

x→1

A.

THPT

I = 5.

B.

I = −4.

C.

I = 4.

lim
x→ 1

f ( x) + 1
= −1
. Tính
x−1

D.

I = −5.

Lời giải
Tác giả: Trần Quốc Đại; Fb: Trần Quốc Đại.
Chọn D

(x
lim

2

+ x) f ( x) + 2
x −1

x →1

Câu 8.

(x
= lim

2

+ x ) ( f ( x ) + 1) − x 2 − x + 2
x −1

x →1

 ( x 2 + x ) ( f ( x ) + 1)

= lim 
− x − 2 ÷ = −5
x →1 
÷
x −1



x2 − 1
lim
[1D4-2.3-1] (Liên Trường Nghệ An) Giá trị x → − 1 x + 1 bằng
A.

2.

B. 1 .

C.

0.

D.

−2.

Lời giải
Tác giả: Lê Hữu Đức; Fb: Le Huu Duc
Chọn D

( x + 1) ( x − 1)
x2 − 1
lim
= lim
= lim ( x − 1) = − 2
Ta có: x → − 1 x + 1 x → − 1
x→ − 1
.
x+1
Câu 9.

x2 − 2x − 8
lim
[1D4-2.3-2] (Hồng Hoa Thám Hưng n) Tính x → − 2 2 x + 5 − 1 .
1
A.

−3.

B.

C. − 6 .
D. 8 .

Lời giải
Tác giả: Đặng Phước Thiên; Fb: Đặng Phước Thiên

2.

Chọn C

x − 2 x − 8 = lim
lim
x →−2
x→ −2 2 x + 5 − 1
2

Ta có:

= lim

x→ − 2

( x − 4) (

)

2x + 5 +1
2

x2 − 2x − 8
lim
= −6
Vậy x→−2 2 x + 5 − 1

.

(
( 2x + 5 − 1) (
(x

2

− 2 x − 8)

)
( x + 2 ) ( x − 4 ) ( 2 x + 5 + 1)
= lim
2 x + 5 + 1)
2 ( x + 2)

2x + 5 + 1

= − 3. ( 1 + 1) = − 6 .

x→ −2


Câu 10. [1D4-2.3-2] (HSG 12 Bắc Giang) Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn

a + b = 8 và

x 2 + 2ax + 1 − bx + 1
lim
=5

x→ 0
x

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
A.

a ∈ ( 2;4 ) .

B.

a ∈ ( 3;8 ) .

C.

b∈ ( 3;5) .

D.

b∈ ( 4;9 ) .

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh.
Chọn B
Cách 1:

x + 2ax + 1 − bx + 1 = lim
x→ 0
lim
x.
Ta có: x →0

x
2

= lim
x →0

(

x 2 + ( 2a − b ) x

)

x. x + 2ax + 1 + bx + 1 =xlim
→0
2

(x

2

(

+ 2ax + 1) − ( bx + 1)

x 2 + 2ax + 1 + bx + 1

x + ( 2a − b )

)

2a − b
2 .
x 2 + 2ax + 1 + bx + 1

2a − b
x 2 + 2ax + 1 − bx + 1
lim
=5
=5
x→ 0
⇔ 2
⇔
x

=

2a − b = 10 .

a + b = 8
a = 6
⇔


Từ đó ta có hệ phương trình:  2a − b = 10
b = 2 .
Vậy

a ∈ ( 3;8)

.

Cách 2: Lưu Thêm, (sau khi học đạo hàm).
Xét hàm số

Ta có

lim
x →0

f ( x ) = x 2 + 2ax + 1 − bx + 1 .
x+ a

b
x 2 + 2ax + 1 2 bx + 1 ; f ( 0 ) = 0 .

f ′ ( x) =

−

f ( x ) − f ( 0)
x 2 + 2ax + 1 − bx + 1
b
= lim
= f ′ ( 0) = a −
x→0
x
x
2.

a + b = 8


 b
a− = 5 ⇔
Từ giả thiết ta có hệ phương trình: 
2
Vậy

a ∈ ( 3;8)

a = 6

b = 2 .

.

Câu 11. [1D4-2.3-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho

x 2 + mx + n
lim
=3
các số thực khác 0 . Nếu giới hạn x → 1
thì
x−1

m.n bằng

m, n

là

A.

−3.

B.

− 1.

C.

3.

D.

−2.

Lời giải
Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy
Chọn D

x 2 + mx + n
lim
=3
Vì x → 1
nên
x−1

x = 1 là nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0

⇒ m + n + 1 = 0 ⇔ m = − 1− n .
x 2 − ( n + 1) x + n
( x − 1) ( x − n ) = 3
x 2 + mx + n
lim
= 3 lim
= 3 lim
Khi đó x → 1
⇔ x→ 1
⇔ x→ 1 x − 1
x−1
x−1

⇔ lim ( x − n ) = 3
x→ 1

⇔ 1 − n = 3 ⇔ n = − 2 ⇒ m = 1 ⇒ m.n = − 2 .

3x 2 − 2 x − 5
lim
Câu 12. [1D4-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Giới hạn x →−1 x 2 − 1
bằng
B. + ∞ .

A. 3.

C. 0.

D. 4.

Lời giải
Tác giả: Phùng Hằng ; Fb: Hằng Phùng
Chọn D

( 3x − 5) ( x + 1) = lim 3x − 5 = 3. ( −1) − 5 = −8 = 4
3x 2 − 2 x − 5
lim
=
lim
2
x →−1 ( x − 1) ( x + 1)
x →−1 x − 1
( −1) − 1 −2 .
Ta có: x→−1 x − 1
Bài tập tương tự :

x3 + 8
Câu 13. Giới hạn x →−2 x 2 + 11x + 18 bằng
12
A. + ∞ .
B. 7 .

C. 0.

x2 + 2x − 3
lim
Câu 14. Giới hạn x → 1 2 x 2 − x − 1 bằng
4
A. 3 .
B. + ∞ .

C.

lim

−2.

4
D. 7 .

D.

− 1.

x2 − ( a + 2) x + a + 1
lim
Câu 15. [1D4-2.3-2] (Sở Vĩnh Phúc) Tính x → 1
.
x3 − 1

2− a
A. 3

−2 − a
B. 3

−a
C. 3
Lời giải

a
D. 3


Tác giả: Trịnh Duy Thanh. Fb: Trịnh Duy Thanh
Chọn C

lim
Ta có:

x2 − ( a + 2) x + a + 1
x −1
3

x→1

( x − 1) − a ( x − 1)
= lim
x→1
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
2

Câu 16. [1D4-2.3-2] (Sở Quảng Ninh Lần1)
A. 22019

B. 22018

lim2018

x→ 2

 x − 1− a  −a
= lim  2
÷=
x→1 x + x + 1

 3

x 2 − 42018
x − 22018

C. 2
D. + ∞ .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Huệ; Fb: Nguyễn Thị Huệ

Chọn A
2018
2018
x 2 − 42018 lim ( x − 2 )( x + 2 ) = lim ( x + 22018 ) = 22019.
lim
2018 = x → 22018
x → 22018
( x − 22018 )
x → 22018 x − 2

x2 − x − 2
lim
Câu 17. [1D4-2.3-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tính giới hạn x → 2 x 2 − 4 ta được kết quả là
3

3
−
A. 1 .
B. 0 .
C. 4 .
D. 4 .
Lời giải

Tác giả:Lê Vũ Hải ; Fb:Vũ Hải Lê
Chọn D

( x + 1) ( x − 2 ) = lim x + 1 = 3 .
x2 − x − 2
lim 2
= lim
x→ 2 ( x + 2) ( x − 2)
x→ 2 x + 2
4
Ta có x → 2 x − 4
Câu 18. [1D4-2.3-2]

(HK2

THPT

LƯƠNG

THẾ

cos3x − cos 7 x

x →0
x2

VINH

HÀ

NỘI)

Tính

I = lim
A.

40

B.

0

C.

−4

D.

Lời giải
Chọn D

cos3x − cos 7 x

x →0
x2
2sin 5 x ×sin 2 x
sin 5 x sin 2 x
sin 5 x
sin 2 x
= lim
= 20lim
.
= 20lim
.lim
= 20
2
x→ 0
x→ 0 5 x
x→ 0 5 x
x→ 0 2 x
2x
x
I = lim

Nên chọn
Tổng quát:

D.

20

giới

hạn:


x(α + β )
x(α − β )
×sin
cos α x − cos β x
2
2
lim
= lim
2
2
x→ 0
x
→
0
x
x
x(α + β )
x (α − β )
sin
sin
(α + β ) (α − β )
β 2 −α 2
2
2
= lim
×lim
.lim

(− 2) =
x→ 0
x(α + β ) x→ 0 x(α − β ) x→ 0 2
2
2
.
2
2
− 2sin

Bài tập tương tự

cos 3x − cos5 x.cos 7 x
Câu 19. Tính giới hạn: x → 0
x2
65
A. 2
B. 0
lim

C.

−4

D.

20

Lời giải.

cos3x − 1 + ( 1 − cos5 x ) cos 7 x + 1 − cos 7 x
cos3x − cos5 x.cos 7 x
=
lim
x→ 0
x→ 0
x2
x2
cos3 x − 1 ( 1 − cos5 x ) cos 7 x
1 − cos 7 x
= lim
lim
+
lim
x→ 0
x→ 0
x2 x→ 0
x2
x2
3x
5x
7x
− 2sin 2
2sin 2 cos 7 x
2sin 2
2 + lim
2
2
= lim
+ lim

2
2
2
x→ 0
x→ 0
x→ 0
x
x
x

lim

2
2


  7x 2 
 3x  
 5x  
 − 9  sin ÷ 
 25cos 7 x  sin ÷ 
 49  sin ÷  65
2
2
2 =




= lim

.
+ lim
+ lim  
÷

÷
÷
x →0
x
→
0
x
→
0
5x
2
 2  3x ÷ 

 2  7x ÷  2

÷


  2  
 2  
 2  

cos ax − cos bx.cos cx
Câu 20. Tính giới hạn x → 0
x2

a 2 − b2 + c 2
− a2 + b2 + c2
A.
B.
2
2
lim

a 2 + b2 + c2
C.
2

− a2 + b2 − c2
D.
2

Lời giải.

cos ax − 1 − ( cos bx − 1) cos cx + 1 − cos cx
cos ax − cos bx.cos cx
= lim
2
x→ 0
x→ 0
x
x2
ax
bx
cx
− 2sin 2

2sin 2 cos cx
2sin 2
2 + lim
2
2
= lim
+ lim
2
2
2
x→ 0
x
→
0
x
→
0
x
x
x

lim

2
2


  cx  2 
ax  


 bx  
 − a 2  sin ÷ 
 b 2 cos cx  sin ÷ 
 c 2  sin ÷  − a 2 + b 2 + c 2
2
2
2 =

ì
= lim
ì
ax ữ  + lim
÷  + lim
÷
x →0
x →0
x →0 2
bx
cx
2
2
2






÷


÷

÷


  2  
 2  
 2  


x + 1 − 5x + 1
a
Giới hạn x →3 x − 4 x − 3 bằng b (Phân số tối giản). Giá
lim

Câu 21. [1D4-2.3-2] (TTHT Lần 4)
trị thực của

a − b là
1
B. 9 .

A. 1 .

C.

9
D. 8 .

− 1.

Lời giải
Tác giả: Hoàng Thị Thúy; Fb: Thúy Hoàng
Chọn A

 ( x + 1) 2 − ( 5 x + 1)   x + 4 x − 3 


x + 1 − 5 x + 1 lim 
lim
2
x→ 3
 x − 4 x + 3  x + 1 + 5 x + 1 
Ta có x →3 x − 4 x − 3 =



(

)

x x + 4x − 3
 x 2 − 3x   x + 4 x − 3 

 = lim
9
= lim 2
x→ 3
 x − 4 x + 3  x + 1 + 5 x + 1 x →3 ( x − 1) x + 1 + 5 x + 1 =



8

a = 9; b = 8

Do đó

nên

(

)

a − b = 1.

x + 2 − 7x + 2
a
x
→
1
Câu 22. [1D4-2.3-2] (TTHT Lần 4)Giới hạn
x − 5 x − 4 bằng b (Phân số tối giản). Giá trị
lim

thực của

a+ b

là

1
B. 9 .

A. 10 .

C.

10
D. 9 .

−8.

Lời giải
Chọn A

( x + 2 ) 2 − ( 7 x + 2 )   x + 5 x − 4 


x + 2 − 7 x + 2 lim 
lim
2
x →1
 x − 5 x + 4   x + 2 + 7 x + 2 
Ta có x → 1 x − 5 x − 4 =


= lim
x →1

(x

(x

2

2

(

)

− 5x + 4) x + 2 + 7 x + 2

a = 1; b = 9

Do đó

(

− 3x + 2 ) x + 5 x − 4

nên

)

( x − 2 ) ( x + 5x − 4 )
= lim
1
x →1
( x − 4) ( x + 2 + 7 x + 2 ) = 9 .

a + b = 10 .

Câu 23. [1D4-2.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019)

lim x

x →+∞

1
A. 2 .

(

x 2 + 2 x − 3 x 3 + 3x 2

)

B.

0

.

C.

+∞

.

D.

−∞ .


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí
Chọn A

x 2 + 2 x − 3 x 3 + 3x 2 = x 2 + 2 x − ( x + 1) −

Ta có

x 2 + 2 x − ( x + 1)

=

x + 2 x + ( x + 1)

−1

=

x + 2 x + ( x + 1)
2

−
3

(x

3

(x

3

x 3 + 3x 2 − ( x + 1)

3

x 3 + 3x 2 − ( x + 1)

2

2

(

)

3

+ 3 x 2 ) + ( x + 1) 3 x 3 + 3 x 2 + ( x + 1)
2

2

3x + 1

+

3

+ 3x

) + ( x + 1)

2 2

3

x 3 + 3x 2 + ( x + 1)

2

Do vậy ta có:

x

−x

)

(

x 2 + 2 x + ( x + 1)

x 2 + 2 x − 3 x3 + 3 x 2 =

Nên

lim x

x →+∞

(

x 2 + 2 x − 3 x 3 + 3x 2


−x

= lim 
+
2
x → +∞
x
+
2
x
+
x
+
1
( )



= lim

x → +∞

−x
x 2 + 2 x + ( x + 1)

)

3x 2 + x

+

(x

3

3

+ 3x 2 ) + ( x + 1) 3 x 3 + 3x 2 + ( x + 1)
2

=


÷
2 ÷
x 3 + 3x 2 + ( x + 1) ÷


3x 2 + x

3

(x

3

2

3

3x 2 + x

+ lim

x→ +∞

+ 3x 2 ) + ( x + 1)

3

(x

3

+ 3x 2 ) + ( x + 1) 3 x3 + 3x 2 + ( x + 1)




÷

−1
÷ + lim
= lim 
x → +∞ 
2  1  ÷ x→ +∞  3  2
3 1+
 1+ + 1+ ÷÷

÷
x  x

 x

2

3+

2

1
x

1
1
= − +1=
2
2
2
3  1
 1 3

+ 1 + ÷ 1 + + + 1 + ÷
x  x
 x

Bài tập tương tự :

Câu 24.

Cho hàm số

y = f ( x) =

1
A. 12 .
Câu 25.

Tìm giới hạn
A.

+∞ .

A = lim

x → +∞

(

2 1+ x − 3 8 − x
lim f x
. Tính x→ 0 ( ) .

x
13
B. 12 .
C. + ∞ .

x2 + x + 1 − 2 x2 − x + x
B.

−∞ .

)

10
D. 11 .

.

3
C. 2 .

D.

0.

2


Ghi nhớ:Để giải dạng toán này phải nhớ đến các công thức nhân liên hợp và kỹ thuật gọi hằng
số vắng và hàm số vắng.

Câu 26. [1D4-2.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn
A.

L= −

2
7.

B.

L=−

7
24 .

C.

L= −

2x2 + x + 3 − 3
.
4 − x2

L = lim

x→ −2

9
31 .

D.

L= 0.

Lời giải
Tác giả: Ngô Văn Hiếu, Fb: Ngo hieu
Chọn B

(
L = lim

2x2 + x + 3 − 3
− ( x2 − 4)

x→ − 2

Ta có

(

)(

2x2 + x + 3 + 3

2 x2 + x + 3 + 3

)

) = lim

2x2 + x − 6

x→ −2

( 2 x − 3) ( x + 2 )
= lim
x→ −2
2
− ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( 2 x + x + 3 + 3) x → − 2 ( x − 2 ) (

= lim

− ( x2 − 4)

(

2 x2 + x + 3 + 3

3 − 2x
2x2 + x + 3 + 3

)

=−

7
24

)

.

f ( x)
0
lim
Ghi nhớ: Để khử dạng vô định 0 của giới hạn x → x0 g ( x ) ta làm như sau:
gọn.

Nếu

f ( x) , g ( x)

khơng có chứa căn: Ta phân tích

f ( x) , g ( x)

-

Nếu

f ( x) , g ( x)

có chứa căn cùng bậc: Ta nhân, chia với biểu thức liên hợp.

thành tích và rút

Câu 27. [1D4-2.3-3] (HK 2 sở bắc giang toán 11 năm 2017-2018) Tính các giới hạn:

x2 + 5 − 3
lim

= lim
x→2
x→2
2− x

= lim
x→ 2

− ( x + 2)
x2 + 5 + 3

=−

(

x2 + 5 − 3

( 2 − x) (

)(

x2 + 5 + 3

x2 + 5 + 3

)

) = lim
x→ 2

x2 − 4

( 2 − x) (

x2 + 5 + 3

2
3.

Bài tập tương tự:

1.Tính a)

n2 + 1
lim 2
2n − 2

x2 + 3 − 2
lim
2.Tính a) x → 1
x−1
Đáp án:

− n2 + 1
lim 2
b)
3n − 2
x2 + 1 − 1
lim
b) x →0

x

)


n2 + 1 1
lim 2
=
1.a)
2n − 2 2

− n2 + 1 1
lim 2 = −
b)
3n − 2
3

x2 + 3 − 2 1
lim
=
2.a) x→ 1
x−1
2

x2 + 1 − 1
lim
=0
b) x → 0
x

Ghi nhớ:
- Cho un có dạng phân thức của n .Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì
cao nhất trên tử chia cho hệ số của lũy thừa cao nhất ở mẫu.

lim un

bằng hệ số của lũy thừa

0
- Khi tính giới hạn dạng vơ định 0 mà biểu thức có chứa căn thì ta thường khử dạng vơ định
bằng cách nhân lượng liên hợp.

1 + ax 2 − bx − 2
lim1
=c
3
4
x
−
3
x
+
1
x
→
Câu 28. [1D4-2.3-3] (Chuyên Bắc Giang) Cho biết
với
2

ax 4 − 2bx 2 + c + 2 = 0 trên ¡

B. 3 .
C. 0 .

nghiệm của phương trình
A. 1 .

a, b, c∈ ¡

có số phần tử là
D.

2.

Lời giải
Tác giả: Vũ Thị Lương; Fb:Vũ Thị Lương

Chọn B
Ta có

. Tập

4 x − 3x + 1 = ( 2 x − 1) ( x + 1) có nghiệm kép
3

Suy ra phương trình

2

1 + ax − bx − 2 = 0
2

x=

1
2.

phải có nghiệm kép là

x=

1
2

1

2
⇒ 1 + ax 2 − ( bx + 2 ) = 0 có nghiệm kép x = 2

1

⇔ ( a − b 2 ) x 2 − 4bx − 3 = 0 có nghiệm kép x = 2



a − b2 ≠ 0

2

a − b ≠ 0


4 2
2

⇔  ∆ = 16b 2 + 4 ( a − b 2 ) .3 = 0 ⇔  a − b = − 3 b


2
 4 2  1 2
1
1

2 1
 − b .  ÷ − 4.b. − 3 = 0
( a − b ) .  2 ÷ − 4.b. 2 − 3 = 0
2

 3 2

− 3 ( 2 x − 1)

2

1 − 3x 2 + 3x − 2
1 − 3x 2 − ( 3x − 2 ) = lim
lim
= lim1
1
3
2
x→

1
x→
2
2
x
−
1
x
+
1
(
)
(
)
Khi đó x→ 2 4 x − 3 x + 1
2
Suy ra

c = −2.

⇔ a = b = −3.

(

−3

)

1 − 3x − 3x + 2 ( x + 1)
2

= −2


Vậy ta có phương trình

− 3x 4 + 6 x 2 = 0 có 3 nghiệm x = 0 ; x = ± 2 .

Câu 29. [1D4-2.3-4] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hàm số
biết tiếp tuyến của đồ thị

của

( C)

tại điểm có hồnh độ

x= 0

y = f ( x)

là đường thẳng

có đồ thị

( C) ,

y = 3x − 3 . Giá trị

3x

f ( 3x ) − 5 f ( 4 x ) + 4 f ( 7 x ) bằng ?

lim
x →0

1
A. 10 .

3
B. 31 .

3
C. 25 .

1
D. 11 .

Lời giải
Tác giả: Lê Quang Việt; Fb:Viêt lê quang
Chọn D

Vì phương trình tiếp tuyến của

Ta có

f ′ ( 0 ) = lim
x →0

( C)

tại điểm có hồnh độ

x= 0

là

y = 3x − 3

f ( x ) − f ( 0)
f ( ax ) − f ( 0 )
=3
lim
= 3a
suy ra x → 0
với
x−0
x

 f ′ ( 0 ) = 3

nên  f ( 0 ) = − 3 .

a ≠ 0.

f ( 3x ) − f ( 0 )
f ( 4x) − f ( 0)
f ( 7x ) − f ( 0)
= 9 lim
= 12
lim

= 21
Khi đó x →0
, x→ 0
và x → 0
.
x
x
x
3
lim
3x
x →0 f ( 3 x ) − f ( 0 )
f ( 4x ) − f ( 0)
f ( 7x ) − f ( 0)
lim
−5
+4
x →0 f ( 3x ) − 5 f ( 4 x ) + 4 f ( 7 x )
Ta có
=
x
x
x
lim

=

3
1
=

9 − 60 + 84 11 .

x2 + 1
lim
Câu 30. [1D4-2.4-1] (Lê Q Đơn Điện Biên Lần 3) Tính giới hạn x → 1− x − 1 .
A.

0.

B.

+∞ .

C.

−∞ .

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tình; Fb: Gia Sư Tồn Tâm
Chọn C

 lim ( x 2 + 1) = 12 + 1 = 2 > 0
 x→1−

( x − 1) = 0
 lim
x →1−
x2 + 1


⇒ lim−
= −∞
Ta có:   x − 1 < 0, ∀ x < 1
. Chọn C.
x →1 x − 1
Câu 31. [1D4-2.4-2] (HSG Bắc Ninh) Cho
A. 10 .

B.

−6.

lim

x → −∞

(

)

x 2 + ax + 5 + x = 5
C.

6.

. Khi đó giá trị
D.

a là

− 10 .


Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thảo; Fb: Trần Thảo
Chọn D

(
lim ( x + ax + 5 + x ) = lim
Ta có:
2

x →−∞

x 2 + ax + 5 + x

)(

x 2 + ax + 5 − x

)

x 2 + ax + 5 − x

x →−∞

5
a+
ax + 5

ax + 5
x
= lim
= lim
= lim
x → −∞
x
→
−∞
x →−∞
a
a 5
a 5
a 5
x 1+ + 2 − x
− x 1+ + 2 − x
− 1 + + 2 −1 = −
x x
x x
x x
2.

lim

x → −∞

)

(

a
x 2 + ax + 5 + x = 5 ⇔ − = 5 ⇔ a = − 10
.
2

a, b

Câu 32. [1D4-2.4-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho

lim

x → −∞

)

(

7
27 . Tìm giá trị lớn nhất của
43
C. 58 .

9 x 2 − ax + 3 27 x 3 + bx 2 + 5 =

49
A. 18 .

59
B. 34 .

là các số dương. Biết

ab.
75
D. 68 .

Lời giải
Chọn A

lim

x → −∞

)

(

= lim

x → −∞

• lim

(

• lim

(

x → −∞

x → −∞

= lim

) (

(

9 x 2 − ax + 3 27 x 3 + bx 2 + 5 = lim  9 x 2 − ax + 3x +
x → −∞ 

x → −∞

)

(

9 x 2 − ax + 3 x + lim

)

x → −∞

9 x 2 − ax + 3 x = lim

3

x → −∞

)

(

3

27 x3 + bx 2 + 5 − 3x
− ax


a 
x  − 9 − − 3÷
x 


27 x + bx + 5 − 3 x = lim
3

2

x → −∞

5

x2  b + 2 ÷
x 


(

3

=

.

a
6

)

bx 2 + 5
2

=

b
27

)

27 x 3 + bx 2 + 5 − 3x 


27 x3 + bx 2 + 5 + 3 x 3 27 x3 + bx 2 + 5 + 9 x 2



b 5 
b 5

x 2   3 27 + + 3 ÷ + 3 3 27 + + 3 + 9 
x x 
x x
 

2

)

3


a b 7
+ =
6
27 27
Do đó
.

Ta có

a b
a b
7
a b
49
+ ≥ 2 . ⇒ ≥ 2 . ⇒ ab ≤
6 27
6 27 27
6 27

18

Câu 33. [1D4-2.4-3]

lim

x → −∞

(

(HK2

THPT

)

2 x 2 − 3x + 1 + x 2 =

a + b có giá trị là
A. 1 .

B.

LƯƠNG

THẾ

a
2
b , ( a là số nguyên,

5.

.

C.

VINH

b

HÀ

NỘI)

Biết

rằng

a
là số nguyên dương, b tối giản). Tổng

4.

D.

7.

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền

Chọn D

lim

x → −∞

(

= lim

x → −∞

)

2 x 2 − 3x + 1 + x 2 =

(
lim

2 x 2 − 3x + 1 + x 2

)(

2 x2 − 3x + 1 − x 2

)

2 x 2 − 3x + 1 − x 2

x → −∞

1

x  −3 + ÷
x

= lim
x →−∞ 

− 3x + 1
3 1
x− 2 − + 2 − 2 ÷
x x
2 x 2 − 3x + 1 − x 2



1
3
x
= lim
=
2
x→ −∞
4
3 1
− 2− + 2 − 2
.
x x
−3 +

Vậy

a = 3, b = 4

suy ra

a + b = 3+ 4 = 7 .

Bài tập tương tự:

Câu 34.

Biết rằng

lim

x → −∞

)

(

x2 + x + 1 + x =

P = a 2 + b2 .
B. P = 0 .

giá trị biểu thức
A.

Câu 35.

P = 5.

Biết rằng

x → −∞

giản). Tổng
A. 1 .

lim

a
b , ( a là số nguyên,

(

a+ b

C.

)

3x 2 − 5 x + 1 + x 3 =

b

a

là số nguyên dương, b tối giản). Tính

P = 1.

a
3
b , ( a là số nguyên,

D.

b

P = −1 .

a
là số nguyên dương, b tối

bằng
B.

7.

C. 11 .

D.

3.


Ghi nhớ:Với

Câu 36. [1D4-2.4-3]

x> 0

thì

(HK2

x2 = x .
THPT

LƯƠNG

 x2 + 1

lim 
+ ax − b ÷ = −5
x → +∞ x − 2
. Tính tổng


A.

6.

B.

7.

x< 0

Với
THẾ

thì

x2 = − x .

VINH

HÀ

NỘI)

Biết

rằng

a+ b.
C. 8 .
D. 5 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Phú Hòa; Fb: Nguyễn Phú Hòa

Chọn A

 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
 x2 + 1

lim 

+ ax − b ÷ = lim 
÷ = −5
x → +∞ x − 2
x → +∞
x
−
2
.




 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
lim 
÷ = +∞
x−2
+ Khi a + 1 > 0 ⇔ a > − 1 , ta được x→ +∞ 
(không thỏa mãn)

 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
lim 
÷ = −∞
x−2
+ Khi a + 1 < 0 ⇔ a < − 1 , ta được x→ +∞ 
(không thỏa mãn)

+ Khi

a + 1 = 0 ⇔ a = − 1 , ta được:

 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
 − ( − 2 + b ) x + 2b + 1 
lim 
= lim 
÷
÷= 2− b
x → +∞
x → +∞
x
−
2
x
−
2





2 − b = − 5 ⇔ b = 7 . Vậy a + b = 6 .
Câu hỏi tương tự:

 x3 + 1

lim  2 + ax + b ÷ = 10
Câu 37. Biết rằng x → +∞  x − 2
. Tính tổng

A.

6.

B.

lim

Câu 38. Biết

rằng

x →±∞

S = 8a + 6b − 3c .
A. − 1 .

7.

a+ b.
C. 8 .

a ( 2 x 3 − x 2 ) + b ( x 3 + 5x 2 − 1) − c ( 3x 3 + x 2 )
a ( 5 x 4 − x ) − bx 4 + c ( 4 x 4 + 1) + 2 x 2 + 5 x
B.

2.

D.

=1

C. 1 .

Câu 39. [1D4-2.4-3] (Chuyên KHTN) Cho hàm số

y = f ( x ) xác

3 5 f x − 16 − 4
f ( x ) − 16
( )
= 12
lim
x→ 2
. Tính giới hạn x →2 x 2 + 2 x − 8 .
x− 2
5
1
5
A. 24 .
B. 5 .
C. 12 .

,

với

D.

9.
a, b, c∈ ¡

.

Tính

0.

định trên

¡

lim

1
D. 4 .

Lời giải
Tác giả: Phan Thanh Lộc ; Fb: Phan Thanh Lộc

thỏa mãn


Chọn A
Theo giả thiết có

3

Ta có:

= lim
x→ 2

lim

lim ( f ( x ) − 16 ) = 0 ⇔ lim f ( x ) − 16 = 0 ⇔ lim f ( x ) = 16 .
x→ 2

x→ 2

5 f ( x ) − 16 − 4

= lim
x→ 2

( 5 f ( x ) − 16 ) − 64

( x − 2 ) ( x + 4 )  ( 3 5 f ( x ) − 16 )

2



x + 2x − 8
2

x →2

x→ 2

+ 4 3 5 f ( x ) − 16 + 4 2 


5 ( f ( x ) − 16 )

( x − 2 ) ( x + 4 )  ( 3 5 f ( x ) − 16 )

2



+ 4 3 5 f ( x ) − 16 + 4 2 




 f ( x ) − 16

5
= lim 
.

2
x→2
 x − 2 ( x + 4 )  3 5 f ( x ) − 16 + 4 3 5 f ( x ) − 16 + 4 2  

÷



5
5

= 12.
= .
2
6  3 5.16 − 16 + 4 3 5.16 − 16 + 16  24



(

(

)

)

Cách khác (Cách làm trắc nghiệm):

Ta chọn hàm f(x)=12(x-2)+16 thỏa mãn giả thiết của bài tốn. Khi đó
3

lim

5 f ( x ) − 16 − 4
x + 2x − 8
2

x→2

= lim

3

x→ 2

60( x − 2) + 64 − 4
x2 + 2x − 8

.

Sử dụng máy tính: nhập biểu thức dưới lim và gán cho x=1,9999999 ta được kết quả giới hạn
cần tìm
Câu 40. [1D4-2.6-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn
A.

I = +∞ .

B.

I = −∞ .

C.

I = lim ( − 3n2 + 2n − 4 ) .

I = 1.

D.

I = 0.

Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương
Chọn B

 
2 4 
I = lim ( − 3n 2 + 2n − 4 ) = lim  n 2  − 3 + − 2 ÷ = −∞
n n 
 

2 4

lim n 2 = +∞; lim  −3 + − 2 ÷ = −3 < 0
Vì
.
n n 

Câu 41. [1D4-2.6-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào có kết
quả bằng

+∞ ?

− 3x + 4
A. x → −∞ x − 2 .
lim

− 3x + 4
B. x → +∞ x − 2 .
lim

C.

lim+

x→ 2

− 3x + 4
x− 2 .

D.

lim−

x→ 2

− 3x + 4
x− 2 .


Lời giải
Tác giả: Phan Minh Quốc Vinh ; Fb: Vinh Phan
Chọn D
Ta có

4
− 3x + 4
x = −3 = −3
lim
= lim
x → −∞ x − 2

x → −∞
2
1
1−

.
x
−3 +

4
− 3x + 4
x = −3 = −3
lim
= lim
x → +∞ x − 2
x → +∞
2
1
1−

.
x
−3 +



lim+

x→ 2

lim ( − 3x + 4 ) = − 2 < 0 , lim+ ( x − 2 ) = 0

(vì



x → 2+

lim−

x→ 2

(vì

− 3x + 4
= −∞
x− 2

x→ 2

và

x → 2+ ⇒ x > 2 ⇔ x − 2 > 0 ).

và

x → 2− ⇒ x < 2 ⇔ x − 2 < 0 ).

− 3x + 4
= +∞

x− 2

lim ( − 3x + 4 ) = − 2 < 0 , lim− ( x − 2 ) = 0

x → 2−

x→ 2

Vậy giới hạn có kết quả bằng

+∞

là

lim−

x→ 2

− 3x + 4
x− 2 .

Câu 42. [1D4-2.6-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Có bao nhiêu giá trị

[ − 20;20]

A.21.

để

lim ( mx + 2 ) ( m − 3x 2 ) = −∞

x →−∞

B.22.

C.20.

m nguyên thuộc đoạn

D.41.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
Chọn A

- Với

m≠

2 m 

lim ( mx + 2 ) ( m − 3x 2 ) = lim x3  m + ÷ 2 − 3 ÷
x → −∞
x x
0 , x→ −∞

.

 lim x3 = −∞
 x→ −∞


2  m 

m + ÷ 2 − 3 ÷ = − 3m
 xlim

x  x
Vì  → −∞ 
.

Mà

lim ( mx + 2 ) ( m − 3x 2 ) = −∞ .

x →−∞

⇒ − 3m > 0 ⇔ m < 0 .


m ∈ [ − 20;20] ⇒ m ∈ { − 20; − 19;....; − 1}

Mà

- Với
Vậy

.

mx + 2 ) ( m − 3x 2 ) = lim ( −6x 2 ) = −∞ .
(

m = 0, xlim
→−∞
x →−∞

m∈ { − 20; − 19;....; − 1;0}

Câu 43. [1D4-2.6-2] (Chuyên KHTN) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

) 32 .
x − x + 1 + x − 2 ) = +∞
.

(
A.
lim (
C.

3x − 2
= −∞
B. x → ( − 1) x + 1
.
3x − 2
lim +
= −∞
D. x → ( − 1) x + 1
.

x2 − x + 1 + x − 2 = −

lim

x → −∞

lim −

2

x →+∞

Lời giải
Tác giả & Fb: Lý Văn Nhân
Chọn B

Vì

lim − ( x + 1) = 0; lim − ( 3x − 2 ) = − 5 < 0

x → ( − 1)

x → ( − 1)

và

lim −

x + 1 < 0, ∀ x < − 1 nên x→ ( −1)

3x − 2
= +∞ .
x+1

5x − 3
Câu 44. [1D4-2.7-1] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Giới hạn x → +∞ 1 − 2 x bằng số nào sau đây?
5
2
3
−
−
A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .
lim

Lời giải
Tácgiả:Lê Thị Anh; Fb: Lan Anh Le
Chọn A

3
5x − 3
x =−5
lim
= lim
x →+∞ 1 − 2 x
x →+∞ 1
2
−2
Ta có
.
x

5−

4 x2 − x + 3
lim
Câu 45. [1D4-2.7-1] (Sở Cần Thơ 2019) x → −∞
bằng
x
A. 2.

B.

−2.

C.

− 2.

D.

0.

Lời giải
Tác giả: Đặng Quang, FB: Dang Quang
Chọn B

4x − x + 3
= lim
x → −∞
x
2

lim

x → −∞

 1 3
1 3
1 3
x2  4 − + 2 ÷
x 4− + 2
− x. 4 − + 2
 x x 
x x = lim
x x
= lim
x → −∞
x → −∞
x
x
x


1 3
−. 4 − + 2
x x = −2
= lim
.
x → −∞
1
Câu 46. [1D4-2.7-1] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019)

2x2 − x + 10
x→ −∞ x3 + 3x − 3 bằng
lim

B. + ∞ .

A. 0 .

C.

−∞ .

D. 2 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thanh Nhã; Fb: Thanh Nha Nguyen
Chọn A

2 1 10
− 2+ 3
2x − x + 10
0
lim 3
= lim x x x = = 0
x→ −∞ x + 3x − 3
x→ −∞
3 3
1+ 2 − 3 1
x x

2

Bài tập tương tự :

3x3 − 2x + 5
lim
Câu 47. x→+∞ x3 + x − 2 bằng
A. 0 .

3x3 − 2x + 5
lim
Câu 48. x→−∞ − x2 + 4x − 2 bằng
A. 0 .

B. + ∞ .

C.

−∞ .

D. 3.

B. + ∞ .

C.

−∞ .

D. 2 .

Ghi nhớ:

Khi gặp dạng

Nếu bậc của

Nếu bậc của

Nếu bậc của

lim

x→±∞

f ( x)
f ( x)
f ( x)

f ( x)

g( x) trong đó f ( x) ; g( x) là các đa thức theo biến x .

nhỏ hơn bậc của

bằng bậc của

g( x)

g( x)

lớn hơn bậc của

thì

g( x)

thì

lim

x→ ±∞

lim

x→±∞

thì

f ( x)

g( x)

f ( x)

g( x)

lim

x→±∞

=0

.

=L≠0

f ( x)

g( x)

=∞

.

.

Câu 49. [1D4-2.7-1] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Biết
Giá trị của I bằng

5x2 + 4 x − 3
x →−∞ 2 x 2 − 7 x + 1 .

I = lim


5
A. 2 .

B. 1.

C. 2.

D.

+∞ .

Lời giải
Tác giả: Trịnh Thị Hồng Hạnh ; Fb:Trịnh Hồng Hạnh
Chọn A
Ta có:

5x2 + 4 x − 3
4 3
5+ − 2
2
2
5x + 4 x − 3
x x =5
I = lim 2
= lim 2 x
= lim
x →−∞ 2 x − 7 x + 1
x →−∞ 2 x − 7 x + 1
x →−∞
7 1
2− + 2 2
2
.
x x
x

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 50. [1D4-2.7-1] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Tính giới hạn

A.

L=−

3
2.

B.

L=

3
2.

3x − 1
.
x → +∞ 1 − 2 x

L = lim

C. L = 3 .

D.

L= −

1
2.

Lời giải
Tácgiả:DươngChiến;Fb: DuongChien
GV phản biện: Nguyễn Lệ Hoài; Fb: Hoài Lệ
Chọn A

1
x = 3− 0 = 3.
L = lim
x → +∞ 1
− 2 0− 2 2
x
3−

x 2 + 3x + 5
lim
Câu 51. [1D4-2.7-1] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Tính giới hạn x → +∞ 2 − 3 x 2
1
.
A. 2

B.

+∞.

1
− .

C. 3

2
− .
D. 3

Lời giải
Tác giả: Lê Xuân Đức; FB: Lê Xuân Đức
Chọn C

 3 5
3 5
x2 1 + + 2 ÷
1+ + 2
x + 3x + 5
x x 
x x =−1
lim
= lim 
= lim
2
x → +∞
x → +∞
x → +∞
2
2 − 3x
3
 2

−3

x2  2 − 3÷
2
x
Ta có:
x

2

Câu 52. [1D4-2.7-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn

2x − 3
x→ −∞ − 4x + 2 .

L = lim


A.

L = 1.

B.

L=

1
2.

L=

C.

−1
2.

D.

L=

−3
4.

Lời giải
Tác giả:Nguyen Thanh Nha ; Fb: Thanh Nha Nguyen
Chọn C

3
2x − 3
x = 2 = −1
L = lim
= lim
x→ −∞ − 4x + 2
x→ −∞
2 −4 2
− 4+
.
x
2−

Câu 53. [1D4-2.7-1] (Đồn Thượng) Tính
A.

0.

B.

−∞ .

lim

x→ − ∞

2x − 3
x2 + 1 − x .

C. − 1 .
D. 1 .
Lời giải
Tác giả: Phan Thanh Lộc; Fb: Phan Thanh Lộc

Chọn C

lim

x → −∞

3
2x − 3
2x − 3
2−0
x

= lim
= lim
=
= −1
2
x + 1 − x x→ −∞ − x 1 + 1 − x x→ −∞ − 1 + 1 − 1 − 1 + 0 − 1
.
x2
x2
2−

1 − 4 x2 − x + 5 2
lim
=
a x +2
3 . Giá trị của
Câu 54. [1D4-2.7-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho biết x →−∞

a bằng
2
B. 3 .
−

A. 3.

C. − 3 .

4
D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Phương Thúy ; Fb: Phương Thúy
Chọn C

1
1 5
1 5
− 4− + 2
1− x 4 − + 2
x x
1 − 4x − x + 5
−2
x x = lim x
lim
= lim
=
x → −∞
x → −∞
x → −∞
2
a x +2
a x +2
a
a+
x
Ta có
2

−2 2
= ⇒ a = −3

Theo bài ra a
.
3
x 2 − 3x + 6 + 2 x
lim
Câu 55. [1D4-2.7-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Giá trị x →−∞
bằng
2x − 3


1
A. 2 .

9
B. 17 .

3
C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh
Chọn A

lim

x → −∞

 3 6

3 6
x2 1 − + 2 ÷ + 2x
x 1 − + 2 + 2x
 x x 
x x
= lim
x
→
−∞
3
3


x 2− ÷
x 2 − ÷
x
x





3 6
3 6
x  − 1− + 2 + 2÷
− 1− + 2 + 2
x
x
−1 + 2 1
x x

 = lim
= lim 
=
=
x →−∞
x →−∞
3
2
2
 3
2−
x 2− ÷
x
x

Ghi nhớ:
Trong bài tốn tính giới hạn hàm số tại vô cùng, nếu gặp biểu thức chứa căn dạng

ax 2 + bx + c ± dx

ta cần lưu ý như sau:


ngồi sau.

Nếu

x a ± dx = 0

thì ta cần nhân liên hợp trước rồi mới rút bậc cao nhất ra


trước.

Nếu

x a ± dx ≠ 0

thì ta rút bậc cao nhất ra ngồi mà khơng cần nhân liên hợp

 x 2 + x + 2 − 3 2 x3 + 5x + 1  a
a
lim 
÷=
2
x→ ∞ 
÷
x
−
1
b
Câu 56. [1D4-2.7-4] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho
(b


là phân số tối giản,
A. 150 .

a, b là số nguyên). Tính tổng L = a 2 + b 2 .
B. 143 .

C. 140 .

D. 145 .

Lời giải
Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó
Chọn D

 x 2 + x + 2 − 3 2 x3 + 5 x + 1 
 x 2 + x + 2 − 2 2 − 3 2 x3 + 5 x + 1 
lim 
+
÷ = lim 
÷
2
2
2
x →1 
x →1 
÷
÷
x
−
1
x
−
1
x
−
1

Ta có:






2
3


x + x−2
−2 x − 5 x + 7
= lim 
+
2 
x →1
2
2
 ( x − 1) x + x + 2 + 2 ( x 2 − 1)  4 + 2 3 2 x3 + 5x + 1 + 3 2 x3 + 5 x + 1  

 



(

)

(

)




2


x
−
1
−
2
x
−
2
x
−
7
( )(
)
( x − 1) ( x + 2 )
= lim 
+
2 
x →1
2
 ( x − 1) ( x + 1) x + x + 2 + 2 ( x − 1) ( x + 1)  4 + 2 3 2 x 3 + 5 x + 1 + 3 2 x 3 + 5 x + 1  


 



)

(



= lim 
x →1
 ( x + 1)


=

(

)



x+2
−2 x − 2 x − 7
+
2 
x 2 + x + 2 + 2 ( x + 1)  4 + 2 3 2 x3 + 5 x + 1 + 3 2 x 3 + 5 x + 1  

 


2

)

(

)

(

3 11
1
−
=−
2.4 2.12
12 .

1 a
=
Theo giả thiết ta có 12 b .
−

a
⇒
Vì b là phân số tối giản, a, b là số nguyên

a = −1

 b = 12 hoặc

a = 1

2
2
b = −12 ⇒ L = a + b = 145 .

Câu 57. [1D4-2.8-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

lim

)

(

A.

x → −∞

C.

lim−

x→ − 1

 x2 − x + 1 − 2  1
lim 
÷=
x → +∞ 
÷ 2.

2
x
+
3
B.



−1
x2 − x + 1 − x =
2.
3x + 2
= +∞
.
x +1

3x − 2
= −3
D. x → +∞ 2 − x
.
lim

Lời giải
Tác giả: Trần Văn Minh; Fb: Trần Văn Minh
Chọn A

lim

x → −∞

Ta có

(

)

 x2 − x + 1 − x2 


−x +1
x − x + 1 − x = lim 
=
lim
÷

÷÷
÷ x→ −∞  2
2
x → −∞
 x − x+1+ x
 x − x+1+ x
2



1
−1 +

÷
x

÷ = ∞ ≠ −1
= lim 
x →−∞ 
÷
2
1 1
 − 1− + 2 +1÷
x x



Vậy mệnh đề sai là

lim

x → −∞

(

.

)

x2 − x + 1 − x =

−1
2.


Câu 58. [1D4-2.8-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm tại điểm

x0 = 2

2 f ( x ) − xf ( 2 )
. Tính x→ 2
.
x− 2
lim

A.

f ( 2) − 2 f ′ ( 2)

.

B. 0.

C.

f ′ ( 2) .

D.

2 f ′ ( 2) − f ( 2) .

Lời giải

Tác giả: Lê Văn Nguyên; Fb: Lê Văn Nguyên
Chọn D
Hàm số

Ta có:

y = f ( x)

lim
x→ 2

có đạo hàm tại điểm

2 f ( x ) − xf ( 2 )
x− 2

= lim
x →2

x0 = 2 do đó hàm số xác định tại x0 = 2 .

2 f ( x ) − 2 f ( 2 ) − xf ( 2 ) + 2 f ( 2 )
x− 2

 f ( x ) − f ( 2) f ( 2) ( x − 2) 
f ( x ) − f ( 2)
= lim  2.
−

=

2.lim
− lim f ( 2 )
x→ 2
x− 2
x− 2 
x →2
x →2

x− 2

= 2 f ′ ( 2) − f ( 2) .