Bài 3. Hàm số liên tục

Câu 1.

[1D4-3.1-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Xét các khẳng định sau:
 1 Nếu hàm số y  f  x  xác định trên � thỏa mãn f  1 . f  0   0 thì đồ thị của hàm số

y  f  x

và trục hồnh có ít nhất 1 điểm chung.
 2  Nếu hàm số y  f  x  xác định trên � thỏa mãn f  1 . f  0   0 và f  0  . f  1  0 thì

y  f  x
đồ thị của hàm số
và trục hồnh có ít nhất 2 điểm chung.
Phát biểu nào sau đây đúng?
 1 đúng và khẳng định  2  sai.
A. Khẳng định
 1 sai và khẳng định  2  đúng.
B. Khẳng định
 1 sai và khẳng định  2  sai.
C. Khẳng định
 1 đúng và khẳng định  2  đúng.
D. Khẳng định
Lời giải
Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn C
Cả hai khẳng định đều sai vì thiếu điều kiện hàm số
Câu 2.

y  f  x

liên tục.

[1D4-3.3-1] (Chuyên Thái Bình Lần3) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
�x 2  x  2
khi x �2
�
f  x  � x  2
�
m
khi x  2
�
liên tục tại x  2 .
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A
x2  x  2
 x  1  x  2  lim x  1  3
lim f  x   lim
 lim


x �2
x �2
x �2
x2
x2
Ta có: x�2
.

f  2  m

.

Hàm số liên tục tại x  2 khi và chỉ khi
Câu 3.

lim f  x   f  2  � m  3
x �2

.

[1D4-3.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Hàm số nào sau đây không liên tuc tại x  2
2x  6
1
x
3x  1
y 2
y
y
y
x 2 .
x2 .
x2.
x  22 .
A.
B.
C.
D.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
Chọn B

2 0
Điều kiện x �۹

x

2.

1
1
 � lim
 �
Mà x �2 x  2
, x �2 x  2
.
� Hàm số không liên tuc tại x  2 .
lim


Tác giả: Trần An; Fb:A-nờ Trần
Câu 4.

[1D4-3.3-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)
Cho hàm số
� x4 2
khi x  0
�

� x
f  x  �
1
�
mx 2  2m  khi x �0
�
�
4
, m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x  0
.
1
1
m
m
2.
2.
A.
B. m  0 .
C. m  1 .
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Chọn B

�
� x4 2�
�
lim f  x   lim �
�
� xlim

x �0
x �0 �
�0  �
x
x
�
�
�
f  0   lim f  x   2m 
x �0

Hàm số liên tục tại x  0
Câu 5.



�
� 1
� lim � 1
�
 �
x  4  2 � x �0 � x  4  2 � 4
�
.
x



1
4.

� f  0   lim f  x   lim f  x 
x �0

x �0

� m 0.

[1D4-3.3-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Tìm
� x32
khi x  1
�
f  x  � x 1
�
mx
khi x �1
�
liên tục tại x  1
1
1
m
m
2.
4.
A.
B. m  1 .
C.

tham

số

D.

m

để

m

hàm

số

1
4.

Lời giải
Tác giả:Trần Thị Vân; Fb:Trần Thị Vân
Chọn C
Hàm số

y  f  x

f  1  m

xác định trên R .

;

lim f  x   lim mx  m

x �1

x �1

lim f  x   lim
x �1

x �1

;

x32
x 1
 lim
 lim
x �1
x 1
 x  1 x  3  2 x�1

Vậy để hàm số liên tục tại x  1 thì
Câu 6.





1
1


x32 4

lim f  x   lim f  x   f  1 � m 

x �1

x �1

.
1
4.

[1D4-3.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) [1H2-2.2-2]
(GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hàm số
�x 2  x  1 khi x �1
f  x  �
�ax  2 khi x  1 . Khi hàm số f ( x) liên tục tại điểm x  1 thì giá trị của a bằng


B. 1 .

A. 3 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải
Tác giả:Đỗ Thị Hường; Fb:dohuong1988

Chọn D
f  1  12  1  1  3

.

lim f  x   lim(ax
 2)  a  2


x �1

x �1

lim f  x   lim(
x 2  x  1)  3


x �1

x �1

.

.

Vì hàm số liên tục tại x  1 nên

lim f  x   lim f  x   f (1) � a  2  3 � a  1
x �1

x �1

.

Bài tập tương tự :

Câu 7.

Câu 8.

� x 1
khi x  1
�
�x  1
f  x  �
1
�
ax  khi x �1
�
� 2
Giá trị của tham số a để hàm số
liên tục tại điểm x  1 là:
1
1

A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 1 .
� x4 2

khi x  0
�
�
f  x  � x
5
�
2m  x khi x �0
�
�
4
Giá trị của tham số m để hàm số
liên tục tại x  0 là:
4
1
1
A. 3 .
B. 3 .
C. 8 .
D. 2 .
Ghi nhớ:
lim f  x   lim f  x   f ( x0 )
x � x0
Hàm số f ( x) liên tục tại điểm x  x0 thì x�x0
.

Câu 9.

[1D4-3.3-2] (HK2 THPT
� x3 2
khi x  1

�
f  x   � x 1
�ax  2
khi x �1
�

LƯƠNG

THẾ

VINH

HÀ

NỘI)

Cho

hàm

số

. Để hàm số liên tục tại x  1 thì a nhận giá trị là
7

B. 1 .
C. 4 .
D. 0 .

1

A. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí
Chọn C
Tập xác định của hàm số
Ta có

f  1  a  2

f  x

là �.


lim f  x   lim
x �1

x �1

x32
 lim
x �1
x 1

1



x32





1
4

lim f  x   lim  ax  2   a  2
x �1

x �1

Hàm số đã cho liên tục tại
�

x  1 � lim f  x   lim f  x   f  1
x �1

x �1

1
7
a2� a
4
4 .

Bài tập tương tự :
2
�

 x  1 khi x  1
�
�
f  x   �x 2  3 khi x  1
�k 2
khi x  1
f  x
�
Câu 10. Cho hàm số
. Tìm k để
gián đoạn tại x  1 .
A. k ��2 .
B. k �2 .
C. k �2 .
D. k ��1 .

Câu 11.

Cho hàm số
A. 1 .
Ghi nhớ:

�sin 5 x
khi x �0
�
f  x   � 5x
�
a  2 khi x  0
�
B. 1 .

Để xét tính liên tục của hàm số tại
1)Cho hàm số

y  f  x

y  f  x
Hàm số

x0

f  x
. Tìm a để
liên tục tại x  0.
C. 2 .
D. 2.

ta cần phải nhớ.

x �K .
xác định trên khoảng K và 0

lim f  x   f  x0  .
được gọi là liên tục tại x0 nếu x �x0

2)Định lý về giới hạn một bên

lim f ( x)  l � lim f ( x)  lim f ( x)  l

x � x0

x � x0

x � x0

Câu 12. [1D4-3.3-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hàm
�x3  6 x 2  11x  6
khi x �3
�
f  x  �
x3
�
m
khi x  3 . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x  3 ?
�
A. m  1 .

B. m  2 .

C. m  3 .

số

D. m  0 .

Lời giải
Tác giả: CongMinhĐinh;
Chọn B
Tập xác định của hàm số là � .
f  3  m

Ta có:
.
3
x  6 x 2  11x  6
lim f  x   lim
 lim  x 2  3 x  2   2
x �3
x �3
x �3
x3
.
lim f  x   f  3 � m  2
Hàm số liên tục tại x  3 khi x�3


Bài tập tương tự :
�x3  6 x 2  11x  6
�
�
x2  9
f  x  �
�m  2
� 3
Câu 13. Cho hàm số
tại x  3 ?
8
2
A. 3 .
B. 3 .

khi x ��3
khi x  3

. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục

C. 1 .

4
D. 3 .

� x3  6 x 2  x  6
khi x �1
�
f  x  �
x 1
�
2m  4
khi x  1 . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại
�
Câu 14. Cho hàm số
x 1.
A. 5 .
B. 18 .
C. 9 .
D. 14 .
f x
a; b 
x � a; b 
f x
Ghi nhớ: Cho hàm số   xác định trên khoảng 

và o 
. Hàm số   liên tục
lim f  x   f  xo 
x
tại o khi x �xo
y  sin x  I  y  cos x  II 
Câu 15. [1D4-3.4-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho các hàm số
,
y  tan x  III 
và
. Hàm số nào liên tục trên �?
 I  ,  II  .
 I .
 I  ,  II  ,  III  .
 III  .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả:Phạm Hải Dương ; Fb: DuongPham.
Chọn B
Ta có hàm số y  sin x có tập xác định là � nên liên tục trên �.

 0;  � nên không liên tục trên �.
Hàm số y  cos x có tập xác định là
�
�
�\ �  k , k ���
�2

Hàm số y  tan x có tập xác định là
nên không liên tục trên �.

Câu 16. [1D4-3.4-2] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho biết
�x 3  3x 2  2 x
khi x  x  2  �0
� x x2

� 
f  x  �
khi x  0
�a
�
2
2
khi x  0
�a
hàm số
liên tục trên �. Tính T  a  b .
A. T  2 .
B. T  122 .
C. T  101 .
D. T  145 .
Lời giải
Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan
Chọn A

Ta có

x3  3x 2  2 x x  x  1  x  2 


 x 1
x  x  2
x  x  2

với

x  x  2  �0.


f  x 

x 3  3x 2  2 x
x  x  2

x  x  2  �0
�\  0; 2
Ta có hàm số
với
liên tục trên
nên để hàm số
y  f  x
y  f  x
liên tục trên � thì hàm số
phải liên tục tại x  0 và x  2 .
f  x   lim  x  1  1
f  0   a lim
x �0
+ Tại x  0 , ta có
; x �0

.

Hàm số liên tục tại

x  0 � lim f  x   f  0  � a  1
x �0

.

f  x   lim  x  1  1
f  2   b lim
x �2
+ Tại x  2 , ta có
; x �2
.

Hàm số liên tục tại

x  2 � lim f  x   f  2  � b  1
x �2

.

2
2
Khi đó T  1  1  2 .

Câu 17. [1D4-3.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho hàm số
� 5x 1  2
, x 1

�
� x 1
f  x  �
1
�
mx  m  , x �1
�
�
4
( m là tham số). Giá trị của m để hàm số liên tục trên � là:
1
m
2.
A. m  0 .
B.
C. m  2 .
D. m  1 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú
Chọn B
Tập xác định: D  �
Hàm số liên tục trên
f  1  2m 

 �;1

và

 1; �

1
4

1�
1
�
lim f  x   lim �
mx  m  � 2m 
x �1
x �1 �
4�
4

lim f  x   lim

x �1

x �1

5x 1  2
5x  1  4
5
5
 lim
 lim

x �1
x 1
 x  1 5x  1  2 x�1 5 x  1  2 4





Hàm số liên tục trên � khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x  1
1 5
1
 �m
4 4
2.

� 2m 

Câu 18. [1D4-3.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Hàm số
khoảng nào sau đây?
 3 ; 4 .
 �; 4  .
 4 ; 3 .
A.
B.
C.

f  x 

x 1
x  7 x  12 liên tục trên
2

D.

 4 ; +� .


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí
Chọn A

�x �4
x 2  7 x  12 �0 � �
�x �3 .
Điều kiện xác định
Vậy tập xác định của hàm số là

D  �\  4; 3   �;  4  � 4 ;  3 � 3 ;  �

.

x 1
x  7 x  12 là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng khoảng của tập xác
Vì
định của nó.
f  x 

2

f  x 

x 1
x  7 x  12 liên tục trên mỗi khoảng  �;  4  và  4 ;  3  và
2

Do vậy hàm số
 3 ;  � . Đối chiếu các đáp án ta chọn A.

1  cosx khi sinx �0
�
f (x)  �
3  cosx khi sinx<0 . Hàm
�
Câu 19. [1D4-3.4-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số
0; 2019 
số có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 
?
A.
Vơ số
B. 320
C. 321 D. 319
Tác giả: Hồng Thị Kim Liên, facebook: Kim liên
Chọn C
*/ Trên các khoảng
nên hàm số liên tục.

 k 2 ;  k 2  ;    k 2 ; 2  k 2  ,

k ��

hàm số f (x) luôn xác định

*/ Xét tại các điểm
+/ TH1:

x  k 2 , k ��

Ta có:
�
�f (k 2 )  2
�
f  x   lim   1  cos x   2 � lim  f  x   lim  f  x   f (k 2 )  2
�x �lim

x �( k 2 )
x �( k 2 )
x �( k 2 )
� ( k 2 )
� lim  f  x   lim   3  cos x   2
x �( k 2 )
�x �( k 2 )
Suy ra hàm số liên tục tại các điểm
+/ TH2:
Ta có:

x    k 2 , k ��

x  k 2 , k ��




�
�f (  k 2 )  0

�
f  x
lim  3 cos x  4
�x �(lim

x �(  k 2 )
�   k 2 )
� lim  f  x   lim   1  cos x   0
x �(  k 2 )
�x �(  k 2 )
Suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm


lim

x �(   k 2 )

f  x

lim

x �(  k 2 ) 

f  x

f (

k 2 )

x    k 2 , k ��

Xét các điểm mà hàm số gián đoạn trên khoảng

Do:
x � 0; 2019  � 0    k 2  2019, k ���

 0; 2019 

1
2019 1
k
 , k ��� k � 0;1; 2;...;320
2
2
2

Vậ

y, chọn đáp án C.
Câu 20. [1D4-3.5-2] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho
�2 x 2  3x  1
khi x �1
�
f  x   � 2  x  1
�
m
khi x  1 . Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục tại x  1 .
�
hàm số
A. m = 0,5 .

B. m =1,5 .
C. m = 1 .
D. m = 2 .
Lời giải
Tác giả:Trần Đắc Nghĩa; Fb:Đ Nghĩa Trần
Chọn A
Tập xác định: D = �
Ta có

Có

f  1  m

.

2 x 2  3x  1
lim f  x   lim
 lim
x �1
x �1
x �1
2  x  1

Hàm số liên tục tại x  1 khi

� 1�
2  x  1 �x  �
� 2 � lim �x  1 � 0,5
�
�

x �1
2  x  1
� 2�

.

f  1  lim f  x  � m  0,5
x �1
.

� x2  4  2
khi x �0
�
� x2
f ( x)  �
5
�
2a 
khi x  0
�
�
4
Câu 21. [1D4-3.5-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số
.
f
(
x
)
x


0
a
Tìm giá trị thực của tham số để hàm số
liên tục tại
.
3
4
4
a
a
a
4.
3.
3 . D.
A.
B.
C.
3
a
4.

Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp; Fb: Hoàng Điệp Phạm.
Chọn D


Tập xác định: D  �.
x2  4  2
lim f ( x)  lim
 lim

x �0
x �0
x �0
x2

 lim
x �0

f (0)  2a 

x2  4  4
x 2 ( x 2  4  2)

x2  4  2
x2



1

 lim

x2  4  2

x �0



x2  4  2

x2  4  2



1
4





.

5
4 .

Hàm số f ( x ) liên tục tại
a



x  0 � lim f ( x)  f (0) � 2a 
x �0

5 1
3
 �a
4 4
4.

3
4.

Vậy
�x 2  1
khi x �1
�
f  x   �x  1
�
a
khi x  1 liên tục tại
�
Câu 22. [1D4-3.5-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Tìm a để hàm số
x 1
điểm 0
.
a

1
A.
.
B. a  0 .
C. a  2 .
D. a  1 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Trang; Fb: Trang nguyễn
Chọn C
TXĐ: D  �� x0  1 �D .
Ta có :
lim

x �1

f  1  a

.

 x  1  x  1  lim x  1  2
x2 1
 lim
 
x �1
x  1 x �1
x 1
.

Hàm số

f  x

liên tục tại điểm

x0  1

khi và chỉ khi

lim f  x   f  1 � a  2
x �1

.

Câu 23. [1D4-3.5-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số
�x 3  8 x  m
khi x �1
�
f  x  � x 1
�
n
khi x  1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm số f  x  liên tục
�
tại x  1 , khi đó tổng giá trị m  n bằng:
A. 4.
B. 1.
C. 0.
D. 2.
Lời giải
Tác giả: Vũ Kiều Oanh ; Fb: Rio Vũ Vũ.
Chọn D
Với x �1 ta có:


f  x 
Vì

x3  8 x  m
m9
 x2  x  9 
x 1
x 1 .

f  x

liên tục tại x  1 nên

lim f  x   f  1
x �1

hữu hạn.

� m  9  0 � m  9 .
Do đó:

n  f  1  12  1  9  11

.

Vậy m  n  9  11  2 .
Chọn D.

Câu 24. [1D4-3.5-3] (HK 2 sở bắc giang toán 11 năm 2017-2018) 2) Tìm m để hàm số
�x 2  x  2
khi x  1
�
f ( x)  � x  1
�mx  2m 2 khi x �1
�
liên tục tại điểm x  1.
Lời giải
Tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai
Ta có:
lim f ( x )  lim

+

x �1

+

x �1

x � 1

x2  x  2
( x  1)( x  2)
 lim
 lim ( x  2)  3
x � 1
x �1
x 1
x 1





lim f ( x)  lim mx  2m 2   m  2m 2  f (1)
x � 1

.

Hàm số liên tục tại điểm x  1 khi và chỉ khi

m 1
�
lim f ( x)  lim f ( x)  f (1) � 2m2  m  3  0 � �
3
x �1
x �1
�
m
�
2.
m 1
�
�
3
�
m
2 thì hàm số liên tục tại điểm x  1 .
Vậy với �

Bài tập tương tự

Câu 25.

�x 2  x  2
�
f ( x)  � x 1
� x  m 2
�
Tìm m để hàm số

Câu 26.

� 1 x  1 x
�
�
x
f ( x)  �
3
x  3x  1
�
m
�
x2
�
Tìm m để hàm số

khi x  1
khi x �1 liên tục tại điểm x  1 .

Đáp số: m  �2 .

khi x  0
khi

x �0

liên tục tại

x0  0

.
Đáp số:

m

3
2.


f  x0   lim f ( x)  lim ( x)
x � x0
x � x0
Ghi nhớ: Hàm số y  f ( x) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi

�2x 2  3x  2
khi x �2
�
f  x  � x  2
�
m 2 +mx  8 khi x  2
�

Câu 27. [1D4-3.5-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số
Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x  2
B. 4 .

A. 2 .

D. 5 .

C. 1 .
Lời giải

Tác giả:Nguyễn khắc Sâm; Fb: Nguyễn khắc Sâm
Chọn A
Hàm số

y  f  x

xác định trên R .

f  2   m 2  2 m  8

;

2x 2  3x  2
 2x  1  x  2   lim 2x  1  5
 lim


x � 2
x � 2
x � 2
x2
x2
.

lim f  x   lim

x � 2

Để hàm số liên tục tại x  2 thì
m  1
�
lim f  x   f  2  � m 2  2m  8  5 � m 2  2m  3  0 � �
x �2
m3
�

Vây, tổng các giá trị của tham số m bằng 2.
Câu 28. [1D4-3.5-4]
(KIM-LIÊN
11
hk2
2017
2
2018
2
2m  5m  2  x  1
x  2  2x  3  0









tham số m để phương trình có nghiệm.

-2017-2018)

Cho

phương

trình

(với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của

Lời giải
Tác giả: Trần Văn Tân ; Trần Văn Tân:
Xét hàm số

f  x    2m 2  5m  2   x  1

2017

x

2018

 2  2 x2  3

.

Hàm số có tập xác định D  R nên liên tục trên R .

m2

�
�
2m  5m  2  0 �
1
�
m
2
� 2 . Khi đó ta được f  x   2 x  3 , dễ thấy
* Trường hợp 1: Nếu
f  x  0
phương trình
vơ nghiệm.
2

m �2
�
�
2m  5m  2 �0 � � 1
m�
�
� 2 . Khi đó đa thức f  x  có bậc bằng 4035
* Trường hợp 2: Nếu
(bậc lẻ).
2

Ta có

f  0  3  0

.

m2
�
�
2m  5m  2  0 �
1
�
m
lim f  x   �
� 2 , khi đó x ��
i) Nếu
nên tồn tại số thực a  0 sao cho
f  a  0
.
2

Từ đó ta được
trình có

f  a  . f  0  0

, nên phương trình có nghiệm trong khoảng

 a;0 

do đó phương

nghiệm.
2m 2  5m  2  0 �

ii) Nếu
f  b  0

1
m2
lim f  x   �
2
, khi đó x ��
nên tồn tại số thực b  0 sao cho

.

Từ đó ta được
trình có

f  0 . f  b   0

, nên phương trình có nghiệm trong khoảng

 0;b 

do đó phương

nghiệm.
� 1 � �1 �
m ��
�; ��� ; 2 �
� 2; �
� 2 � �2 �

Vậy phương trình có nghiệm khi
.

Câu 29. [1D4-3.6-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai ?
2019
A. Phương trình x  x  1  0 ln có nghiệm.
1
1

m
B. Phương trình sinx cos x
vơ nghiệm với m .
5
2
C. Phương trình x  x  3  0 có nghiệm thuộc khoảng (0;2).

D. Phương trình 2sin x  3cos x  4 vô nghiệm.
Lời giải
Tác giả: Võ Văn Trung ; Fb: Van Trung
Chọn B
*Xét phương án A: Xét hàm số

f (x)  x 2019  x  1

.

f (2)  (2) 2019  3; f (0)  1

f (2). f (0)  0

và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;0]. Suy ra phương trình có ít nhất một
2019
nghiệm trong khoảng (-2; 0). Vậy pt x  x  1  0 ln có nghiệm. Do đó đáp án A: đúng.
*Xét phương án B.


�x �k
sin x �0
�
�
�� 
, k , l ��
�
cos x �0
x �  l
�
�
� 2
Điều kiện :


m
pt � cos x  sin x  m sin x.cos x � cos( x  ) 
cos x.sin x(1)
4
2
m  0 : pt (1) � cos( x 



)0
4
phương trình có nghiệm.

Vậy đáp án B: sai.
*Xét phương án C: Xét hàm số

f ( x)  x5  x 2  3

.

f (0)  3; f (2)  25
f (0). f (2)  75  0

và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;2]. Suy ra phương trình

x  x  3  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2). Do đó đáp án C: đúng.
5

2

*Xét phương án D: Phương trình 2sin x  3cos x  4(*)
Điều kiện có nghiệm:

a 2  b 2 �c 2

�
a 2  b 2  22  32  13
� a 2  b2  c 2
�2

2
c  4  16
�

.Do đó pt (*) vô nghiệm. Vậy đáp án D: đúng.

Bài tập tương tự
Câu 30. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
3
2
A. Phương trình x  3x  5 x  1  0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1).
B. Phương trình 2sin x cos x  3 cos 2 x  m  0 có nghiệm với m .
5
4
2
C. Phương trình x  7 x  3x  x  2  0 ln có nghiệm.
D. Phương trình 3sin x  4 cos x  2 ln có nghiệm.
Câu 31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
1  m 2  x5  3 x  1  0

A. Phương trình
ln có nghiệm với mọi m.
B. Phương trình 4sin x  5cos x  3 ln có nghiệm.
4
2
 1;1 .
C. Phương trình 4 x  2 x  x  3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng
D. Phương trình 12sin x  m cos x  13 có nghiệm với m .

Câu 32. [1D4-3.6-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho các số

thực a, b, c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c <- 1 . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của
3
2
phương trình x + ax + bx + c = 0 bằng
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Vân ; Fb: Nguyễn Thị Vân
Chọn B


Xét hàm số

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c

Theo giả thiết

4a + c > 2b + 8 � - 8 + 4a - 2b + c > 0 � f ( - 2) > 0

;

a + b + c <- 1 � 1 + a + b + c < 0 � f ( 1) < 0
Ta có

f ( x)

là hàm đa thức nên liên tục trên �

�lim f ( x ) = lim ( x 3 + ax2 + bx + c) =- �
�x�- �
x�- �
�
�
�
�f ( - 2) > 0
Suy ra phương trình

f ( - 2) f ( 1) < 0

f ( x) = 0

có ít nhất một nghiệm trên

( - �; - 2) ( 1)

nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng

( - 2;1) ( 2)

�lim f ( x) = lim ( x 3 + ax2 + bx + c) = +�
�x�+�
x�+�
�
�
�
�f ( 1) < 0
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng
Từ

( 1;+�) ( 3)

( 1) ; ( 2) và ( 3) ta có phương trình f ( x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác

f ( x) = 0

Vậy phương trình

là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

f ( x) = 0

có đúng 3 nghiệm

Bài tập tương tự :
Câu 33.

Câu 34.

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + c > b +1 và 4a + 2b + c <- 8 . Khi đó số nghiệm thực
3
2
phân biệt của phương trình x + ax + bx + c = 0 bằng
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .

3
2
Cho phương trình x - 3 x + mx - 2m + 2 = 0 ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên
x;x ;x
x <1 < x2 < x3
dương của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3 thỏa mãn 1
?
A. 0
B. 3 .
C. 5 .
D. Vô số

y = f ( x)
[ a; b ] và f ( a) . f ( b) < 0 thì phương trình
Ghi nhớ: Nếu hàm số
liên tục trên đoạn
f ( x) = 0
( a; b) .
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng

 1;5 và
Câu 35. [1D4-3.6-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn
f (1)  2, f (5)  10 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình f ( x )  6 vơ nghiệm.

B. Phương trình f ( x)  7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5) .
C. Phương trình f ( x )  2 có hai nghiệm x  1, x  5 .
D. Phương trình f ( x )  7 vô nghiệm.

Lời giải
Tác giả:Đỗ Thị Hường; Fb:dohuong1988
Chọn B
Đặt g ( x)  f ( x)  m .
Vì

f ( x) liên tục trên đoạn  1;5 nên g ( x) liên tục trên  1;5 .Ta xét các trường hợp sau:

+ Với m  6 � g ( x)  f ( x)  6 .
Ta có:

g (1).g (5)  ( f (1)  6).( f (5)  6)  (2  6).(10  6)  16  0 .

Suy ra phương trình g ( x)  0 � f ( x)  6 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5) .
Vậy A sai.
+ Với m  7 � g ( x )  f ( x )  7 .
Ta có:

g (1).g (5)  ( f (1)  7).( f (5)  7)  (2  7).(10  7)  15  0 .

Suy ra phương trình

g ( x)  0 � f ( x)  7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5) .

Vậy B đúng, D sai.
+ Với

m  2 � g ( x)  f ( x)  2 .

g (5)  f (5)  2  10  2  8 �0 Suy ra x  5 khơng là nghiệm của phương trình

Ta có:
g ( x)  0 hay f ( x )  2 .
Vậy C sai.
Ghi nhớ:

a; b 
Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn 
và f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x)  0 có ít
nhất một nghiệm trên khoảng ( a; b) .

� 1 + 2x - 1
�
f ( x) = �
�
x
�
�
1 + 3x
�
�
Câu 36. [1D4-3.7-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số
Mệnh đề nào sau đây đúng.
A. Hàm số liên tục trên �.
B. Hàm số gián đoạn tại x  3 .
C. Hàm số gián đoạn tại x  0 . .

khi x > 0
khi x �0

.

D. Hàm số gián đoạn tại x  1 . .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Khắc Sâm ; Fb: Nguyễn Khắc Sâm

Chọn A


Hàm số

y  f  x

xác định trên R .

Với x  0 ta có hàm số

f  x 

1  2x  1
 0; � .
x
liên tục trên khoảng

f  x   1  3x
 �;0  .
Với x  0 ta có
liên tục trên khoảng
f  0  1
Với x  0 ta có:

lim f  x   lim (1  3x)  1

x �0

x �0

.

�
� 1  2x  1 �
�
lim f  x   lim �
� xlim
x �0
x �0
�0 �
x
x
�
�
�
Vì

lim f  x   lim f  x   f (0)

x �0

x �0



�
�
2
� lim �

1  2x  1 � x�0 � 1  2x  1
�
�
2x







�
� 1
�
� .

, nên hàm số liên tục tại x  0 . Vậy hàm số liên tục trên �.