Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NĨI ĐẦU

Lý thuyết Xác suất và Thống kê tốn học là một ngành khoa học đang giữ vị trí
quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng của đời sống con người. Các kiến thức và
phương pháp của Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học đã hỗ trợ hữu hiệu các nhà
nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác nhau như Vật lý, hóa học, sinh học, nơng học,
kinh tế học,…
Ngày nay, lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học đã được đưa vào giảng dạy ở
hầu hết các ngành đào tạo trong các trường Đại học và Cao đẳng trong và ngoài nước.
Do đối tượng sinh viên rất đa dạng, với trình độ tốn cơ bản khác nhau, chúng tơi đã
cố gắng tìm những cách tiếp cận đơn giản và hợp lý để biên soạn Tập bài giảng “Lý
thuyết Xác suất và Thống kê toán học” dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định.
Tập bài giảng gồm 5 chương, 2 chương đầu dành cho phần xác suất và 3 chương
sau dành cho thống kê toán học.
Chương 1: Khái niệm cơ bản về xác suất
Chương 2: Biến ngẫu nhiên
Chương 3: Lý thuyết ước lượng
Chương 4: Lý thuyết kiểm định
Chương 5: Phân tích hồi quy
Tập bài giảng được trình bày một cách thích hợp đối với sinh viên khối ngành
kinh tế, sau mỗi phần lý thuyết đều có các ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định
lý hoặc thuật toán giúp người học tiếp thu kiến thức dễ dàng. Cuối mỗi chương chúng
tôi biên soạn phần hướng dẫn tự học nhằm giúp sinh viên chuẩn bị tốt phần tự học ở
nhà phù hợp với hình thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ. Đặc biệt, sinh viên cần chú ý
đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn, mở rộng tổng quát hơn các kết quả và
hướng ứng dụng vào thực tế. Tiếp theo, chúng tôi biên soạn các câu hỏi ơn tập bao
trùm tồn bộ nội dung vừa được học giúp sinh viên kiểm tra kiến thức vừa học, có
những câu hỏi yêu cầu sinh viên phải vận dụng kiến thức tổng hợp và sáng tạo để giải
quyết. Phần bài tập tổng hợp chủ yếu để giúp sinh viên kiểm tra kiến thức, khả năng
tổng hợp và vận dụng kiến thức.
Mặc dù, đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Tập bài giảng không thể tránh khỏi

những thiếu sót, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các đồng
nghiệp và bạn đọc để Tập bài giảng được hoàn thiện hơn.
Các tác giả

1


MỤC LỤC

Lời nói đầu ........................................................................................................... 1
Chƣơng 1: Khái niệm cơ bản về xác suất.......................................................... 6
1.1. Giải tích tổ hợp ...................................................................................... 6
1.1.1. Quy tắc đếm......................................................................................... 6
1.1.2. Hoán vị ................................................................................................ 7
1.1.3. Chỉnh hợp ............................................................................................ 7
1.1.4. Chỉnh hợp lặp ...................................................................................... 7
1.1.5. Tổ hợp................................................................................................. 8
1.2. Phép thử và biến cố................................................................................ 8
1.2.1. Khái niệm ............................................................................................ 8
1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố. ................................ 9
1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố .................................................................. 12
1.2. Xác suất ............................................................................................... 12
1.3.1. Khái niệm xác suất ............................................................................ 12
1.3.2. Các định nghĩa xác suất ..................................................................... 12
1.3.3. Tính chất của xác suất ....................................................................... 14
1.3.4. Các cơng thức tính xác suất............................................................... 14
Hướng dẫn tự học chương 1 ............................................................................ 22
Câu hỏi ôn tập chương 1.................................................................................. 27
Bài tập chương 1.............................................................................................. 28
Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 1 ........................................................... 33

Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên .............................................................................. 34
2.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên ................................................................. 34
2.1.1. Định nghĩa ........................................................................................ 34
2.1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên ................................................................ 34
2.2. Các phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên........................................... 34
2.2.1. Bảng phân phối xác suất................................................................... 34
2.2.2. Hàm phân phối xác suất ................................................................... 37
2.2.3. Hàm mật độ xác suất ........................................................................ 39
2.3. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên ..................................................... 42
2.3.1. Kỳ vọng ............................................................................................ 42
2.3.2. Phương sai ........................................................................................ 43
2.3.3. Mode ………………………………………………………………45
2


2.3.4. Median …………………………………………………………..46
2.4. Các phân phối xác suất thường dùng ....................................................... 46
2.4.1. Phân phối nhị thức............................................................................. 46
2.4.2. Phân phối Poisson ............................................................................ 48
2.4.3. Phân phối chuẩn ................................................................................ 49
2.4.4. Phân phối khi bình phương .............................................................. 56
2.4.5. Phân phối Student ............................................................................ 56
2.4.6. Phân phối Fisher – Sendecor ............................................................. 57
Hướng dẫn tự học chương 2 ............................................................................ 59
Câu hỏi ôn tập chương 2 ................................................................................. 62
Bài tập chương 2 ............................................................................................. 63
Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 2 ........................................................... 67
Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng..................................................................... 711
3.1. Lý thuyết mẫu........................................................................................... 71
3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên.......................................................... 71

3.1.2. Các phương pháp lấy mẫu ................................................................. 72
3.1.3. Bảng phân phối thực nghiệm ............................................................ 73
3.1.4. Các đặc trưng mẫu............................................................................. 74
3.1.5. Cách tính các đặc trưng mẫu ............................................................. 76
3.2. Ước lượng điểm ....................................................................................... 80
3.2.1. Khái niệm ước lượng điểm................................................................ 80
3.2.2. Các tính chất của ước lượng điểm.................................................. 811
3.3. Ước lượng khoảng .................................................................................... 82
3.3.1. Khái niệm ước lượng khoảng ............................................................ 82
3.3.2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ............................................................. 83
3.3.3. Khoảng tin cậy cho phương sai ........................................................ 90
3.3.4. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ.................................................................... 94
Hướng dẫn tự học chương 3 ............................................................................ 99
Câu hỏi ôn tập chương 3 ............................................................................... 100
Bài tập chương 3 ........................................................................................... 101
Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 3 ......................................................... 104
Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê ................................................... 105
4.1. Giả thuyết thống kê ................................................................................ 105
4.2. Quy tắc kiểm định .................................................................................. 105
4.2.1. Tiêu chuẩn kiểm định ...................................................................... 105
3


4.2.2. Quy tắc kiểm định ........................................................................... 106
4.3. Các dạng miền tới hạn ............................................................................ 106
4.3.1. Kiểm định đối xứng ........................................................................ 106
4.3.2. Kiểm định trái .................................................................................. 107
4.3.3. Kiểm định phải ................................................................................ 107
4.4. Kiểm định về kỳ vọng ............................................................................ 107
4.4.1. Bài toán 1: Phương sai VX = σ2 đã biết .......................................... 108

4.4.2. Bài toán 2: Phương sai VX = σ2 chưa biết ...................................... 110
4.5. Kiểm định phương sai ............................................................................ 113
4.5.1. Bài toán 1: Kỳ vọng EX đã biết .................................................... 113
4.5.2. Bài toán 1: Kỳ vọng EX chưa biết ................................................. 114
4.6. Kiểm định về tỷ lệ .................................................................................. 115
4.6.1. Kiểm định hai phía .......................................................................... 115
4.6.2. Kiểm định phía trái .......................................................................... 116
4.6.3. Kiểm định phía phải ........................................................................ 116
4.7. Kiểm định về sự bằng nhau của hai kỳ vọng ......................................... 118
4.7.1 Bài toán 1: Trường hợp biết VX  12 và VY  22 ............................. 118
4.7.2. Bài toán 2: Trường hợp chưa biết VX  12 và VY  22 .................... 119
4.8. Kiểm định sự bằng nhau của 2 tỷ lệ ....................................................... 121
4.8.1. Kiểm định hai phía .......................................................................... 121
4.8.2. Kiểm định phía trái .......................................................................... 122
4.8.3. Kiểm định phía phải ........................................................................ 122
Hướng dẫn tự học chương 4 ........................................................................ 1244
Câu hỏi ôn tập chương 4.............................................................................. 1255
Bài tập chương 4.......................................................................................... 1266
Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 4 ....................................................... 1300
Chƣơng 5: Phân tích hồi quy....................................................................... 1311
5.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều ................................................................ 1311
5.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên 2 chiều .......................................... 1311
5.1.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc ............... 1311
5.1.3. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục .............. 1333
5.2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2 chiều ..................................... 1355
5.2.1. Các số đặc trưng của các biến thành phần .................................... 1355
5.2.2. Hệ số tương quan........................................................................... 1355
4

5.2.3. Hệ số tương quan mẫu .................................................................. 1377
5.2.4. Tiêu chuẩn độc lập của hai biến ngẫu nhiên ................................. 1388
5.2.5. Kiểm định giả thuyết về hệ số tương quan ................................. 13939
5.3. Hồi quy ................................................................................................. 1400
5.3.1. Mơ hình tuyến tính ........................................................................ 1400
5.3.2. Công thức ước lượng hệ số của đường hồi quy tuyến tính ........... 1411
Hướng dẫn tự học chương 5 ........................................................................ 1455
Câu hỏi ôn tập chương 5 ............................................................................. 1466
Bài tập chương 5 ........................................................................................ 1477
Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 5 ....................................................... 1511
Phụ lục: Các bảng số ..................................................................................... 1555
Tài liệu tham khảo......................................................................................... 1622

5


CHƢƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

Chúng ta sống và làm việc trong một mơi trường có nhiều biến động. Người sản
xuất và kinh doanh cần dự báo được chính xác ngày mai thị trường sẽ ra sao, thị hiếu,
nhu cầu của khách hàng thế nào. Lý thuyết xác suất là công cụ quan trọng để mô tả,
nghiên cứu thị trường. Chương này sẽ giới thiệu các khái niệm và một số cơng thức
tính xác suất cơ bản nhất.
1.1.

Giải tích tổ hợp
Từ lâu, trong đời sống con người đã gặp và giải quyết các bài toán tổ hợp. Những

kiến thức về tổ hợp có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn, đặc biệt là các ứng
dụng trong máy tính, vi mạch, quy hoạch tốn học, tốn kinh tế,…

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản nhất của giải tích tổ
hợp có ứng dụng trong lý thuyết xác suất.
1.1.1. Quy tắc đếm
a. Quy tắc cộng
Cơng việc A có thể thực hiện bằng m phương án khác nhau hoặc A1 , hoặc A 2 ,…
, hoặc A m . Mỗi phương án Ai có ni cách thực hiện. Số cách để thực hiện cơng việc A
m

là

å

ni .

i= 1

Ví dụ 1.1: Một nhóm có 15 sinh viên gồm 5 nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên
từ nhóm đó ra một sinh viên làm nhóm trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải:
Cơng việc của ta là chọn 1 sinh viên làm nhóm trưởng, cơng việc này có 2
phương án thực hiện:
- Phương án 1: Nhóm trưởng là sinh viên nam – có 5 cách chọn.
- Phương án 2: Nhóm trưởng là sinh viên nữ – có 10 cách chọn.
Vậy số cách để chọn một sinh viên là nhóm trưởng là: n = 5 + 10 = 15 (cách)
b. Quy tắc nhân
Công việc A được chia thành m công đoạn A1 , A2 ,..., Am . Ứng với mỗi cách thực
hiện công đoạn Ai có ni+ 1 cách thực hiện cơng đoạn Ai+ 1 . Số cách để thực hiện công
m

việc A là

Õn .
i

i= 1

Ví dụ 1.2: Một doanh nhân dự định đi từ Kiên Giang tới Hà Nội, qua Thành phố Hồ
Chí Minh. Hỏi ơng ta có bao nhiêu cách đi, biết rằng từ Kiên Giang tới Thành phố Hồ
6


Chí Minh có thể dùng một trong ba phương tiện: ô tô, tàu thủy, máy bay; từ Thành phố
Hồ Chí Minh tới Hà Nội có thể dùng một trong bốn phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu
thủy, máy bay.
Giải
Công việc A: đi từ Kiên Giang tới Hà Nội được chia thành 2 công đoạn
- Công đoạn 1: đi từ Kiên Giang Thành phố Hồ Chí Minh, có 3 cách thực
hiện.
- Cơng đoạn 2: đi từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội , có 4 cách thực
hiện.
Vậy số cách đi từ Kiên Giang tới Hà Nội là: 3.4 = 12 (cách).
1.1.2. Hốn vị
Định nghĩa: Cho một tập có n phần tử. Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp đó
theo một thứ tự nhất định gọi là một hốn vị của n phần tử đó.
Số các hốn vị của n phần tử, kí hiệu là Pn :
Pn = n! = 1.2.3....(n - 1)n

Ví dụ 1.3. Sắp chỗ ngổi cho 3 học sinh A, B, C trên một bàn, ta có số cách sắp xếp là
3! = 6 cách như sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

1.1.3. Chỉnh hợp
Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là
khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của các phần
tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là chỉnh hợp chập k của n phần
tử, ký hiệu là: Ank , xác định bởi công thức :
Ank =

n!
(n  k )!

Quy ước: 0! = 1
Ví dụ 1.4: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 5 người đi làm nhiệm vụ, người nào được
chọn trước sẽ làm nhóm trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Giải:
Số cách chọn là A52 = 20 cách
1.1.4. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần
tử và mỗi phần tử có thể lặp lại lấy từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp lặp chập k
~ k

của n phần tử, kí hiệu là A n :
~ k

A n = nk

Ví dụ 1.5: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số?
7


Giải:

Số các số có 3 chữ số là chỉnh hợp lặp chập 3 của 4.
3
3
°
A4 = 4 = 64

Ta có:

1.1.5. Tổ hợp
Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là
khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như
vậy gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là: Cnk , xác định bởi công thức :
C kn =

a kn
n!

k! k!(n  k )!

Tính chất:
C 0n = C nn = 1
C kn = C nn  k

C kn 11 + C kn 1 = C kn

Ví dụ 1.6. Có bao nhiêu cách lập hội đồng gồm 3 người trong tổng số 8 người?
Giải
Hội đồng là nhóm 3 người lấy ngẫu nhiên từ 8 người, do đó số cách lập hội
đồng là C83 =
1.2.

8!
= 56 (cách)
3!(8 - 3)!

Phép thử và biến cố

1.2.1. Khái niệm
Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượng đều gắn liền với các điều kiện cơ bản,
và các hiện tượng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó
được thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tượng, ta cần thực hiện nhóm
các điều kiện cơ bản ấy.
Chẳng hạn khi muốn nghiên cứu chất lượng của một lô sản phẩm, ta phải lấy
ngẫu nhiên một hoặc một số sản phẩm của lô sản phẩm đó để kiểm tra. Việc thực hiện
nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay khơng được
gọi là thực hiện một phép thử, cịn hiện tượng đó có thể xảy ra trong kết quả của phép
thử đó được gọi là biến cố (sự kiện).
Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:
- Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử.
Biến cố chắc chắn được ký hiệu là: 
- Biến cố không: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử.
Biến cố không được ký hiệu là:  .
- Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra khi thực hiện phép
thử.
8


Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ cái: A, B, C...
Ví dụ 1.7. Tung một đồng tiền xu xuống đất là một phép thử, còn việc xuất hiện mặt
nào đó là biến cố. Ta có hai biến cố:

N = “xuất hiện mặt ngửa”
S = “xuất hiện mặt sấp”
Ví dụ 1.8. Gieo một son súc sắc là một phép thử
- Gọi A là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu”
thì A là biến cố chắc chắn.
- Gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấm” thì B là biến cố không.
- Gọi Ak = “Xuất hiện mặt k chấm”. Khi đó: A1, A2, . . . A6 là các biến cố ngẫu
nhiên.
1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố.
a. Quan hệ kéo theo
Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B khi và chỉ khi A xảy ra thì B cũng xảy ra
Ký hiệu: A Ð B
Mơ tả hình học của quan hệ kéo theo có thể hình dung A là tập con của tập B.

B
A

Hình 1.1: Minh họa hình học quan hệ kéo theo
b. Quan hệ tương đương
Hai biến cố A và B gọi là tương đương khi và chỉ khi A xảy ra thì B cũng xảy
ra và ngược lại.
Ký hiệu: A = B
c. Biến cố tổng
Biến cố C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A, B nếu C xảy ra khi có ít nhất
A hoặc B xảy ra. Ký hiệu C = A + B .
Chú ý:
- Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích thành tổng của các biến cố khác.
- Mọi biến cố ngẫu nhiên A đều có thể biểu diễn thành tổng của các biến cố sơ
cấp. Các biến cố sơ cấp trong tổng này được gọi là các biến cố thuận lợi cho biến cố
A.

- Biến cố chắc chắn  là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể có, nghĩa là mọi
biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố . Do đó  cịn được gọi là không gian các
biến cố sơ cấp.
9


Ví dụ 1.9. Gieo đồng thời 2 con súc sắc. C = “tổng số chấm xuất hiện là 2”, A = “con
súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm”, B = “con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt 1
chấm”. Khi đó C = A + B.
Mơ tả hình học của biến cố tổng có thể hình dung C là hợp của hai tập hợp A
và B.

A

B

A+B

Hình 1.2: Minh họa hình học biến cố tổng
d. Biến cố hiệu
Biến cố C gọi là hiệu của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A
xảy ra cịn B khơng xảy ra. Ký hiệu C = A \ B
Chú ý: Hai biến cố A \ B và B \ A nói chung thường khác nhau.
Mơ tả hình học của biến cố hiệu có thể hình dung C là hiệu của hai tập hợp A
và B.

A

B

A\B

Hình 1.3: Minh họa hình học biến cố hiệu
e. Biến cố tích
Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A, B
đồng thời xảy ra. Ký hiệu C = AB
Ví dụ 1.10. Hai xạ thủ cùng bắn vào mục tiêu, mỗi người bắn một viên đạn.
Gọi C = “mục tiêu bị trúng 2 viên đạn”,
A = “xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu”,
B = “xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu”.
Vậy C = AB.
10


Mơ tả hình học của biến cố tích có thể hình dung C là giao của hai tập hợp A
và B.

A

B

AB
Hình 1.4: Minh họa hình học giao của hai biến cố
f. Biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra,tức là:
A.B = 
Nhóm n biến cố A1, A2, . . . An được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố
bất kỳ trong n biến cố này đều xung khắc với nhau.
Ví dụ 1.11. Gieo một con súc sắc. Gọi Ai (i = 1..6) là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt i
chấm“. Nhóm 6 biến cố A1, A2, . . . A6 là xung khắc từng đôi.

g. Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của
biến cố này không làm ảnh hưởng tới sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia và
ngược lại.
Ví dụ 1.12. Một cơ quan có 3 ơ tơ, gọi Ai là biến cố “Ơ tơ thứ i bị hỏng” (i = 1..2). Rõ
ràng, ô tô này bị hỏng không ảnh hưởng gì tới ô tô khác và ngược lại
Vậy: A1, A2, A3 là các biến cố độc lập.
h. Biến cố đối
Biến cố A được gọi là biến cố đối của biến cố A nếu nó xảy ra khi và chỉ khi
A khơng xảy ra và ngược lại.
Ví dụ 1.13. Khi gieo một con xúc xắc. Gọi
A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn“,
B là biến cố “xuất hiện mặt lẻ”.
Rõ ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau.
Chú ý:
A+ A =
Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A và B xung khắc nhau.
i. Quy tắc đối ngẫu De Morgan:
A  B  C  A . B.C

11


A.B.C  A  B  C
1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố
Nhóm các biến cố A1 , A2 , . . . , An (n  2) của một phép thử gọi là nhóm đầy đủ
nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:
i. Chúng xung khắc với nhau từng đôi một, tức là: Ai . Aj = 
ii. Tổng A1 + A2 + . . . + An là một biến cố chắc chắn.
Ví dụ 1.14. Gieo một con xúc xắc.

a) Ai = “Xuất hiện mặt i chấm” , i = 1,6
{A1 , A2, A3 , A4 , A5 , A6 } là một hệ đầy đủ.
b) A = “Xuất hiện mặt 1 chấm”
A , A là một hệ đầy đủ.
c) A = “Xuất hiện mặt chẵn” ; B = “Xuất hiện mặt lẻ”
{A, B} là một hệ đầy đủ.
1.2. Xác suất
1.3.1. Khái niệm xác suất
Như ta đã thấy, việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả
của phép thử là điều khơng thể đốn trước được. Tuy nhiên bằng trực quan ta có thể
nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau.
Chẳng hạn: biến cố “Xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có khả năng
xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “ Xuất hiện mặt có 2 chấm” khi tung một con xúc
xắc.
Hơn nữa, khi ta lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện
như nhau, người ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy
ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó, ta thấy khả năng
định lượng (đo lường), khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.
Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện
biến cố đó khi thực hiện phép thử.
1.3.2. Các định nghĩa xác suất
a. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Xác suất của biến cố A là 1 số khơng âm, kí hiệu P(A), biểu thị khả năng xảy ra
của biến cố A và được xác định như sau:
P (A) =

Trong đó

m
n

m : là số trường hợp thuận lợi cho A
n : Số trường hợp của phép thử

Ví dụ 1.15. Một lơ sản phẩm có 10 sàn phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lơ sản phẩm đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để:
12


a) Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm.
Giải:
Tổng số kết quả cùng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là:
3
n = C10
= 120

a) Gọi A là biến cố “lấy được 3 chính phẩm”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A xảy ra là m = C83 =56
Do đó: P(A) = 56/120 = 7/15
b) Gọi B là biến cố “trong ba sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm”
Số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là: m = C82 C12 = 56
Do đó: P(B) = 56/120 = 7/15
b. Định nghĩa thống kê về xác suất
Nếu số các kết quả có thể là vơ hạn hoặc hữu hạn nhưng khơng đồng khả năng,
cách tính xác suất cổ điển như trên khơng cịn dùng được nữa.
Giả sử số phép thử có thể được lặp đi lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện
giống hệt nhau.
Nếu trong n lần thực hiện phép thử đó, biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số:
fn(A) =

k
n

được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử đó.
Bằng thực nghiệm, người ta chứng tỏ được khi số phép thử n tăng ra vô hạn thì
tần suất fn(A) ln dần tới 1 giới hạn nhất định.
Ta gọi giới hạn đó là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê.
P(A) = lim fn(A)
n 

Ví dụ 1.16. Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền
xu, người ta tiến hành tung một đồng tiền xu nhiều lần và thu được kết quả sau
đây:
Người làm Số
lần Sốlần được
thí nghiệm
tung (n)
mặt sấp (k)

Tần suất fn(A) =

Buffon

4040

2048

0.5069

Pearson

12000

6019

0.5016

Pearson

24000

12012

0.5005

k
n

Qua ví dụ trên ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ
dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5 .
13


Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm lớn là nó khơng địi hỏi những điều
kiện áp dụng như đối với những định nghĩa cổ điển. Nó hồn toàn dựa trên các quan
sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố.
Tuy nhiên trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhưng đối với số
phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất:
P(A)  fn(A)

1.3.3. Tính chất của xác suất
a)

0  P(A)  1

b)

P() = 0 ; P() = 1

c)

P( A ) = 1 – P(A)

1.3.4. Các cơng thức tính xác suất
a. Xác suất có điều kiện
Cho 2 biến cố A và B. Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, kí hiệu

 B , là xác suất của biến cố A được tính trong điều kiện biến cố B đã xả ra.

P A

 B

P A

trong đó:

=

m AB

mB

mAB là số các khả năng thuận lợi cho biến cố AB
mB là số các khả năng thuận lợi cho biến cố B

Ta có:

m AB
m
n  P(AB)
P A  AB 
B
mB
mB
P(B)
n

 

Suy ra:

 B

P A

=

P (A.B )
P(B )

Chú ý:
- P( A B ) = 1 – P(A/B)

 

 

- Nếu A, B là 2 biến cố độc lập thì P A B  P A = P(A)
B
Ví dụ 1.17. Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt ra 2 viên bi, biết viên đầu
tiên lấy ra là bi xanh, tính xác suất để viên thứ hai lấy ra cũng là bi xanh.
Giải:
Gọi A = “viên thứ nhất lấy ra là bi xanh”
B = “viên thứ hai lấy ra là bi xanh”
Sau khi lấy ra viên thứ nhất là bi xanh, trong hộp còn 5 bi đỏ và 2 bi xanh suy
ra P (B / A) =

2
.
7

14


Ví dụ 1.18. Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của ngân hàng ACB và 4 thẻ ATM của
ngân hàng Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy khơng hồn lại). Tìm xác
suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy
được thẻ ATM của ACB.
Giải:
Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank”

B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“.
Ta cần tìm P(A/B) = ?
Ta thấy, sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp cịn lại 9 thẻ
(trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên : P(A/B) = 4/9
b. Công thức nhân xác suất.
Theo công thức xác suất có điều kiện:

P  A / B 

P(AB)
 P(AB) = P(B)P(A/B)
P  B

P B / A 

P(AB)
 P(AB) = P(A)P(B/A)
P A

Suy ra:
P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
Bằng quy nạp có thể chứng minh:
P(A.B.C) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB)
P(A1A2A3 . . . An) = P(A1) . P(A2/A1) . P(A3/A1A2) . . . P(An/A1A2…An-1)
Chú ý: Nếu các biến cố A1, A2, . . . An đơi một độc lập thì
P(A1A2A3 . . . An) = P(A1) . P(A2) . P(A3) . . . P(An)
Ví dụ 1.19. Một thủ kho có một chùm chìa khố gồm 9 chiếc bề ngồi giống hệt nhau,
trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa, chìa nào
khơng mở được thì bỏ ra, cho tới khi mở được cửa kho thì thơi. Tính xác suất để anh ta
mở được cửu kho sau 3 lần thử chìa.

Giải:
Gọi Ai là biến cố “mở được cửa kho ở lần thử thứ i”, i = 1..8
A là biến cố “mở được cửa kho sau 3 lần thử chìa”
 A = A1 A 2 A3
Áp dụng cơng thức nhân xác suất, ta có:
A
 A

P  A   P A1 A 2 A3  P A1 P  2  P  3

 A1   A1 A 2 



mà

  

7
A
 6
A
 2
P A1  ; P  2   ; P  3

9
 A1  8
 A1 A 2  7

 

15


 P(A) =

1
12

Ví dụ 1.20. Một thùng đựng n sản phẩm, trong đó có m phế phẩm (m < n). Rút ngẫu
nhiên 1 sản phẩm, sau đó rút tiếp 1 sản phẩm nữa (sản phẩm rút lần đầu không bỏ lại
vào thùng). Tính xác suất sản phẩm rút đầu là phế phẩm và sản phẩm rút sau là chính
phẩm.
Giải:
Gọi A là biến cố “sản phẩm rút đầu là phế phẩm”
B là biến cố “sản phẩm rút sau là chính phẩm”
Khi đó xác suất cần tìm là
P(A.B) = P(A).P(B/A) =

m nm
.
n n 1

Ví dụ 1.21. Một cơng nhân đứng 3 máy, các máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất
để trong thời gian T máy 1, 2, 3 không bị hỏng tương ứng là 0.9; 0.8; 0.7. Tính xác
suất có ít nhất 1 máy bị hỏng trong thời gian T.
Giải:
Gọi
A là biến cố “máy 1 không bị hỏng trong thời gian T”
B là biến cố “máy 2 không bị hỏng trong thời gian T”

C là biến cố “máy 3 không bị hỏng trong thời gian T”
Dễ thấy, 3 biến cố A, B, C là độc lập với nhau.
Xác suất để cả ba máy không bị hỏng trong thời gian T là
P(A.B.C) = P(A).P(B).P(C) = 0,9 . 0,8 . 0,7 = 0,504
Sự kiện có ít nhất 1 máy hỏng đối lập với sự kiện A.B.C.
Vậy xác suất cần tìm là:
1 − P(ABC) = 1 − 0.504 = 0,496
Ví dụ 1.22. Áo sơ mi của một công ty trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần
kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng
bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua
được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1
chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?
Giải:
Gọi A là biến cố “qua được lần kiểm tra đầu tiên”
B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2”
C là biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”
Ta có: P(C) = P(AB) = P(A). P(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931
c. Công thức cộng xác suất
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
16


Chú ý: Nếu A, B là 2 biến cố xung khắc thì P(A + B ) = P(A) + P(B)
Ví dụ 1.23. Có hai hộp phấn. Hộp thứ nhất có 6 viên phấn trắng, 4 viên phấn màu. Hộp
thứ hai có 7 viên phấn trắng, 3 viên phấn màu. Từ hộp thứ nhất lấy ra 2 viên phấn, từ
hộp thứ hai lấy ra 1 viên. Tìm xác suất lấy được
a) 2 viên phấn trắng.
b) ít nhất 1 viên phấn màu.
Giải:

Gọi Ak là biến cố lấy được k viên phấn trắng từ hộp thứ nhất, k = 0,2
Bi là biến cố lấy được i viên phấn trắng từ hộp thứ hai, i = 0,1 .
a) Gọi A là biến cố trong 3 viên phấn lấy từ hai hộp có 2 viên màu trắng.
Ta có: A = A1B1 + A2B0.
Rõ ràng các biến cố tham gia vào tổng là A1B1 và A2B0 xung khắc, cịn các biến
cố tham gia vào tích là A1 và B1, A2 và B0 độc lập. Do đó
P(A) = P(A1) P(B1) + P(A2) P(B0).
Các xác suất ở vế phải được tính bằng định nghĩa.
Chẳng hạn, đối với A1 : phép thử là việc lấy 2 trong 10 viên phấn của hộp thứ
nhất ; A1 xảy ra khi lấy 1 viên phấn trắng từ 6 viên và 1 viên phấn màu từ 4 viên ở hộp
đó. Suy ra
P(A1) =

C16 C14
.
2
C10

Tương tự, ta tính được các xác suất cịn lại.
Vậy
P(A) =

C16 C14
C 62
C13
C17
71
.
+
.

=
 0,4733.
1
2
2
1
C10
150
C10
C10 C10

b) Gọi B là biến cố lấy được ít nhất một viên phấn màu từ cả hai hộp. Ta có hai cách
tính xác suất của B.
Cách 1: Ta nhận thấy B là biến cố cả 3 viên phấn lấy từ hai hộp đều màu trắng.
Do đó:
B = A2 B1

nên

P B= P(A2) P(B1) =

Suy ra P(B) = 1 – P( B ) =

C 62
C17
7
.
=
.
2

1
30
C10
C10

23
.
30

Cách 2: Ta có B xảy ra khi lấy được 1 viên phấn màu và 2 viên phấn trắng;
hoặc 2 viên phấn màu và 1 viên phấn trắng ; hoặc 3 viên phấn màu (và 0 viên phấn
trắng). Do đó
B = A + (A1B0 + A0B1) + A0B0 ,
17


P(B) = P(A) + P(A1) P(B0) + P(A0) P(B1) + P(A0) P(B0) =
C17
C13
C16 C14 C13
C 24
C 24
71
23
=
+
. 1 + 2 . 1 + 2 . 1 =
.
2
30

150
C10
C10
C10
C10
C10 C10

Ví dụ 1.24. Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết
áp là 12% và mắc cả 2 bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính
xác suất để người đó khơng bị mắc bệnh?
Giải
Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh tim”
B là biến cố “người đó mắc bệnh huyết áp”
 AB là biến cố “người đó mắc cả 2 bệnh”
Theo giả thiết ta có: P(A) = 0,09; P(B) = 0,12; P(AB) = 0,07
Gọi H là biến cố “người đó khơng mắc bệnh”
 H là biến cố “người đó mắc ít nhất một bệnh”
 H =A+B
 P( H ) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)
 P( H ) = 0,09 + 0,12 – 0,07 = 0,14
Suy ra: P(H) = 1 - P( H ) = 1 – 0,14 = 0,86.
Ví dụ 1.25. Ba khẩu súng độc lập bắn vào một mục tiêu. Xác suất để khẩu thứ nhất bắn
trúng bằng 0,7; để khẩu thứ hai bắn trúng bằng 0,8; để khẩu thứ ba bắn trúng bằng 0,5.
Mỗi khẩu bắn một viên. Tính xác suất để:
a) Có 1 khẩu bắn trúng
b) Có 2 khẩu bắn trúng
c) Cả 3 khẩu bắn trật
d) Ít nhất một khẩu trúng
e) Khẩu thứ nhất bắn trúng biết rằng có 2 viên trúng
Giải:

Gọi Ai = “khẩu thứ i bắn trúng mục tiêu”, i =1..2
 Các biến cố A1, A2, A3 độc lập và P(A1) = 0,7; P(A2) = 0,8 P(A3) = 0,5
 P( A 1) = 0,3; P( A 2) = 0,2; P( A 1) = 0,5
a) P{có 1 khẩu bắn trúng} = P(A1 A 2 A 3 + A2 A 1 A 3 + A3 A 1 A 2)
= P(A1 A 2 A 3) + P(A2 A 1 A 3) + P(A3 A 1 A 2)
= P(A1)P( A 2)P( A 3) + P(A2)P( A 1)P( A 3) + P(A3)P( A 1)P( A 2)
= 0,7.0,2.0,5 + 0,8.0,3.0,5 + 0,5.0,3.0,2 = 0,22
b) P{có 2 khẩu bắn trúng} = P(A1A2 A 3 + A2A3 A 1 + A1A3 A 2)
= P(A1A2 A 3) + P(A2A3 A 1) + P(A1A3 A 2)
= P(A1)P(A2)P( A 3) + P(A2)P(A3)P( A 1) + P(A1)P(A3)P( A 2)
18


= 0,7.0,8.0,5 + 0,8.0,5.0,3 + 0,7.0,5.0,2 = 0,47
c) P{cả 3 khẩu bắn trượt} = P( A 1 A 2 A 3) = P( A 1)P( A 2)P( A 3)
= 0,3.0,2.0,5 = 0,03
d) P{ít nhất 1 khẩu bắn trúng} = 1 - P{cả 3 khẩu bắn trượt} = 1 – 0,03 = 0,97
e) Gọi B là biến cố “có 2 khẩu bắn trúng”. Xác suất cần tìm là P(A1/B) .
P(B) = P(A1A2 A 3 + A2A3 A 1 + A1A3 A 2) = 0,47
 A1B = “có 2 khẩu bắn trúng trong đó có khẩu thứ nhất bắn trúng”
P(A1B) = P(A1A2 A 3 + A1A3 A 2)
= P(A1A2 A 3) + P(A1A3 A 2)
= P(A1)P(A2)P( A 3) + P(A1)P(A3)P( A 2)
= 0,7.0,8.0,5 + 0,7.0,5.0,2 = 0,35
Suy ra: P(A1/B) = P(A1B)/P(B) = 0,47/0,35 = 0,755
d. Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử A1 , A2 , . . . , An là một hệ đầy đủ các biến cố và H là một biến cố bất kỳ.
Bài toán đặt ra là: biết xác suất P(Ai) và P(H/Ai) (i=1..n), tính xác suất P(H). Ta có:
H = H.(A1 + A2 + . . . + An) = H.A1 + H.A2 + … + H.An


P(H) = P(H.A1 + H.A2 + … + H.An)
Vì các biến cố A1, … , An xung khắc từng đôi nên các biến cố H.A1, . . . , H.An
cũng xung khắc từng đôi. Suy ra:
n

P(H) =

 P(H.A )
i

i 1

Mặt khác ta có:
P(H.Ai) = P(Ai).P(H/Ai)  i =1,…, n
Suy ra:
n

P(H) =

 P(A ).P(H A )
i 1

i

i

(1.1)

Công thức (1.1) được gọi là công thức xác suất đầy đủ hay công thức xác suất
tồn phần.

Chú ý: Khi sử dụng cơng thức xác suất đầy đủ, cần lưu ý:
1) Nhận ra được mơ hình bài tốn: thường những bài tốn có 2 cơng việc (phép
thử), kết quả xảy ra của công việc sau luôn luôn phụ thuộc vào kết quả xảy ra của công
việc trước.
2) Xác định được hệ đầy đủ và biến cố H: biến cố H thường liên quan trực tiếp
đến kết quả của cơng việc 2, cịn hệ đầy đủ được xác định nhờ vào các kết quả của
công việc 1.
- Có nhiều cách xác định hệ đầy đủ, thường là các biến cố sơ cấp của phép thử
thứ nhất hay là các kết quả nhỏ nhất có thể xảy ra ở công việc 1.
19


- Khi biến cố H đã xảy ra thì sẽ xảy ra một biến cố Ai nào đó, ngược lại xảy ra Ai
thì chưa chắc H đã xảy ra.
Ví dụ 1.26. Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm ba phân xưởng. Phân xưởng 1 sản
xuất 50%, phân xưởng 2 sản xuất 20% và phân xưởng 3 sản xuất 30% số bóng đèn.
Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng 1, 2 và 3 tương ứng là 2%, 3% và 4%. Hãy tính tỷ lệ
phế phẩm chung của nhà máy.
Giải:
Đặt:

Ai = “bóng đèn chọn ra thuộc phân xưởng i”, i=1,2,3.

{A1, A2, A3} là hệ đầy đủ
P(A1) = 0,5; P(A2) = 0,2; P(A3) = 0,3
Gọi H là biến cố “bóng đèn chọn ra là phế phẩm”
 P(H/A1) = 0,02; P(H/A2) = 0,03; P(H/A3) = 0,04
Theo công thức xác suất đẩy đủ, ta có
P(H) = P(A1).P(H/A1) + P(A2).P(H/A2) + P(A3).P(H/A3)
= 0,5. 0,02 + 0,2. 0,03 + 0,3. 0,04= 0,028 = 2,8%

e. Công thức xác suất Bayes
Giả sử A1,…, An là nhóm đầy đủ các biến cố và H là biến cố bất kỳ. Biết xác
suất P(Ai) và P(H/Ai) i=1,…,n.
Giả thiết phép thử được thực hiện và sự kiện H xảy ra.
Hãy tính xác suất P(Ai/H) i=1,…,n.
Từ công thức nhân xác suất:
P(Ak.H) = P(Ak).P(H/Ak) = P(H).P(Ak/H)

k=1,…,n

suy ra
P(Ak/H) =

P(A k ).P(H / A k )
P(H)

k=1,…,n

Thế P(H) theo công thức xác suất đẩy đủ, ta được:

P(Ak/H) =

P(A k ).P(H / A k )
n

 P(A ).P(H / A )
i 1

i

k=1,…,n

(1.2)

i

Công thức (1.2) được gọi là công thức xác suất Bayes
Xác suất P(Ak/H) gọi là xác suất hậu nghiệm, cịn xác suất P(Ak) gọi là xác suất
tiên nghiệm.
Ví dụ 1.26. Có 3 hộp bi giống nhau: hộp thứ nhất có 20 bi trắng, hộp thứ 2 có 10 bi
trắng và 10 bi đen, hộp thứ 3 có 20 bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra một hộp, sau đó từ hộp
được chọn ra chọn ngầu nhiên ra 1 viên bi thì viên bi trắng. Tính xác suất để viên bi
đó là của hộp thứ 2.
20


Giải:
Đặt: Ai = “Chọn được hộp bi thứ i”, i=1..3


{A1, A2, A3} là hệ đầy đủ
P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3

Gọi H là biến cố “Chọn được 1 bi trắng”
 biến cố H đã xảy ra và P(H/A1) = 1; P(H/A2) = 0,5; P(H/A3) = 0
Áp dụng CTXS Bayes, ta có:
1
.0,5
1
P(A 2 ).P(H / A 2 )

3
P(A2/H) = 3
=
= .
1
1
1
.1 + .0,5 + .0 3
P(Ai ).P(H / Ai )

3
3
3
i 1

21


HƢỚNG DẪN TỰ HỌC CHƢƠNG 1

Trong chương 1 trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và các kết quả
chính về lý thuyết xác suất:
- Các khái niệm về : quy tắc cộng, quy tắc nhân và giải tích tổ hợp: hốn vị, tổ
hợp, chỉnh hợp;
- Các khái niệm phép thử, biến cố;
- Quan hệ giữa các biến cố;
- Các định nghĩa xác suất: định nghĩa cổ điển, định nghĩa theo thống kê,
- Các tính chất của xác suất;
- Các cơng thức tính xác suất: cơng thức cộng, công thức nhân, xác suất của
biến cố đối, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes, công thức Bernoulli.

Để học tốt chương 1, sinh viên cần:
1. Nắm vững các kiến thức về đại số tập hợp như: hợp, giao, phần bù, tập con
của các tập hợp… Khi đó, sinh viên sẽ dễ dàng trong việc tiếp thu, biểu diễn hoặc mơ
tả các biến cố.
2. Để tính xác suất theo cơng thức cổ điển, cần tính được số các trường hợp
thuận lợi đối với biến cố và số các trường hợp có thể do đó, sinh viên cần nắm vững
các quy tắc đếm và giải tích tổ hợp. Đặc biệt, sinh viên cần phân biệt được hai khái
niệm tổ hợp và chỉnh hợp, trả lời được câu hỏi: khi nào dùng tổ hợp? khi nào dùng
chỉnh hợp?
3. Một trong những khó khăn lớn nhất của bài tốn tính xác suất đó là xác định
được biến cố và sử dụng đúng cơng thức thích hợp, phối hợp giữa các cơng thức. Nếu
xác định nhầm biến cố hoặc quan hệ giữa các biến cố hoặc cơng thức tính xác suất
khơng thích hợp sẽ dẫn đến kết quả của bài tốn tính xác suất sai. Vì vậy, để tránh
nhầm lẫn, sinh viên cần thực hiện quy trình giải bài tốn xác suất như sau và thực hành
giải nhiều bài tập sẽ thực hiện tốt kỹ năng này.
Bước 1: Xác định biến cố cần tính xác suất ( Cần đọc kỹ các giả thiết của bài toán, xác
định được yêu cầu của bài toán )
Bước 2: Sau khi xác định được biến cố cần tính xác suất (Bước 1), cần biểu diễn được
quan hệ của biến cố đó với các biến cố đã cho (nếu có).
Bước 3: Xác định cơng thức tính xác suất thích hợp:
a) Sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất:

22


P (A) =

m
n

Trong đó:
m - là số trường hợp thuận lợi cho A
n - Số trường hợp của phép thử

Để tìm P  A chỉ cần tìm được 2 con số m, n ở tử và mẫu với sự trợ giúp của giải
tích tổ hợp. Một trong các sai lầm thường gặp đó là các bạn sinh viên bỏ qua, khơng
quan tâm đến phép thử của bài tốn là thế nào. Khi tìm số trường hợp thuận lợi của
biến cố, nếu ta đưa vào nhiều loại phép thử quả sẽ làm bài tốn rắc rối và phức tạp
hơn. Vì vậy, chúng ta cần trả lời được câu hỏi đầu tiên đó là: phép thử là thế nào? Phép
thử được thực hiện một lần hay nhiều lần?
Tiếp theo, cần xác định được:
Số cách có thể của phép thử là bao nhiêu?
Số khả năng thuận lợi cho biến cố là bao nhiêu?
Ví dụ. Lấy ngẫu nhiên ra 8 con bài từ bộ tú lơ khơ 52 con. Tính xác suất để lấy được 5
con màu đỏ.
Giải
Ở đây, phép thử là: lấy cùng lúc ra 8 con bài (phép thử được thực hiện 1 lần)
Số các có thể của phép thử là m  C528  752538150
Tiếp theo, ta xác định biến cố cần tính xác suất và số khả năng thuận lợi cho
biến cố đó:
- Gọi A = “lấy được 5 con màu đỏ trong 8 con bài lấy ra”
= “lấy được 5 con bài màu đỏ và 3 con màu đen”
Để A xảy ra cần thực hiện 2 bước: Lấy ra 5 con màu đỏ trong số 26 con màu đỏ
và lấy ra 3 con màu đen trong 26 con màu đen.
Theo quy tắc nhân, số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
5
3
n  C26
C26
 171028000

Áp dụng định nghĩa cổ điển về xác suất ta có:
P (A) =

m 171028000
=
= 0, 227268
n 752538150

b) Sử dụng phối hợp giữa công thức cộng và cơng thức nhân
Để có kỹ năng tốt ở dạng này, sinh viên cần nắm vững các kiến thức sau:
- Quan hệ giữa các biến cố: quan hệ kéo theo, tương đương, biến cố tổng, biến
cố tích, biến cố đối, biến cố xung khắc, hai biến cố độc lập.
- Xác suất điều kiện
- Công thức cộng xác suất:
P  A  B   P  A  P  B   P  AB 

23


Nếu A, B xung khắc thì P  A  B   P  A  P  B 
Đặc biệt: P  A  1  P  A
Mở rộng cho 3 biến cố:
P  A  B  C   P  A  P  B   P C   P  AB   P  AC   P  BC   P  ABC 

- Công thức nhân xác suất:
P  AB   P  A P  B / A  P  B  P  A / B 

Nếu A, B độc lập thì P  AB   P  A P  B 
Mở rộng cho 3 biến cố: P  ABC   P  A P  B / A P  C / AB 

- Khi dùng công thức cộng và cơng thức nhân để tìm xác suất, sinh viên cần lưu
ý có 2 loại biến cố: biến cố bài tốn đã cho và biến cố cần tìm xác suất.
- Trước hết, ta cần xác định đâu là biến cố bài tốn đã cho và đâu là biến cố cần
tìm xác suất.
- Tiếp theo, ta cần biểu diễn được biến cố cần tìm xác suất thơng qua các biến
cố mà bài toán đã cho (chủ yếu là biến cố tổng, tích và biến cố đối).
- Cuối cùng, ta chỉ cần áp dụng các cơng thức đã có.
Ví dụ. Một cơ quan có 3 chiếc xe ơ tơ. Khả năng bị sự cố của các xe lần lượt là: 5%,
20%, 10%. Tính xác suất để có đúng 2 xe bị sự cố.
Giải
Các biến cố bài toán đã cho là:
Ai = “xe ô tô thứ i bị sự cố”; i = 1,2,3.
Ba biến cố này độc lập nhau và P  A1   0,05; P  A2   0, 2; P  A3   0,1
Biến cố cần tính xác suất là:
A = “có đúng 2 xe bị sự cố”
Quan hệ giữa biến cố A và các biến cố Ai ; i  1, 2,3 bài toán đã cho là:
A  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3

Áp dụng công thức:



P  A  P A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3




 
 


 P  A  P  A  P  A  P  A   P  A  P  A  P  A   P  A  P  A  P  A 

 P  A  P A1 A2 A3  P A1 A2 A3  P A1 A2 A3
1

2

3

1

2

3

1

2

 P  A  1  0,05 .0, 2.0,1  0,05. 1  0, 2  .0,1  0,05.0, 2. 1  0.1
 P  A  0,032 .

c) Sử dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
24

3


Để sử dụng công thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes ta cần chỉ ra một
nhóm đầy đủ các biến cố A1 , A2 ,..., An (nghĩa là hai biến cố bất kỳ Ai , Aj ; i  j đôi một

xung khắc và biến cố tổng là biến cố chắc chắn A1  A2  ...  An   ).
Biến cố A cần tính xác suất có quan hệ với hệ đầy đủ biến cố A1 , A2 ,..., An như
sau: Biến cố A xảy ra khi có ít nhất một biến cố Ai , i  1, n xảy ra. Ngược lại, nếu có
một biến cố Ai , i  1, n xảy ra thì A chưa chắc đã xảy ra.
- Công thức xác suất đầy đủ:
n

P  A   P  Ai P  A / Ai 
i 1

- Công thức Bayes:
P  Ai / A 

P  Ai  P  A / Ai 
P  A

Khi tính xác suất bằng cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes thì việc
khó nhất là chỉ ra được một hệ đầy đủ các biến cố A1 , A2 ,..., An có quan hệ phù hợp với
A. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ. Một nhà máy có 2 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Sản phẩm của
phân xưởng I chiếm 60% sản lượng của nhà máy. Sản phẩm của phân xưởng II chiếm
40% sản lượng của nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II lần lượt là:
0,03; 0,02.
a) Tìm tỷ lệ phế phẩm chung của tồn nhà máy,
b) Lấy ngẫu nhiên từ kho của nhà máy ra 1 sản phẩm thì được phế phẩm, tính
xác suất để phế phẩm đó là của phân xưởng 2.
Giải
Bài tốn này đề cập đến 2 phần: phân xưởng của nhà máy và phế phẩm.
Việc tìm tỷ lệ phế phẩm chung của tồn nhà máy tương ứng với việc tính xác
suất của biến cố:

A = “lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được phế phẩm”
Dễ dàng kiểm tra được rằng hệ  A1 , A2  là hệ đầy đủ biến cố, trong đó:
A1 = “sản phẩm của phân xưởng I ”
A2 = “sản phẩm của phân xưởng II ”
Ta có:
P  A1   0,6; P  A2   0, 4
P  A / A1   0,03; P  A / A2   0,02

a) Theo công thức xác suất đầy đủ ta có

25