Dùng phép tịnh tiến để giải toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.59 MB, 56 trang )
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI TOÁN
Giảng viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp
: Th.S PHAN THỊ QUẢN
: Trần Ngọc Anh Huy
: 15ST
Đà Nẵng
Tháng 1 năm 2019
Trang 1
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, sự tri ân sâu sắc đến Cô Ths. Phan Thị Quản - Khoa Toán,
Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng là người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, động viên và
tạo mọi điều để em nghiên cứu và thực hiện đề tài khóa luận này. Cơ là một giáo viên nghiêm
khắc và tận tâm với học trò nhất mà em từng được gặp. Em xin cảm ơn cô.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy, cô trong khoa Tốn và phịng Đào Tạo trường
Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em trong q trình làm khóa luận.
Mặc dù đã cố gắng biên soạn và rà sốt lỗi hết sức có thể song khơng thể nào tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong q thầy cơ sửa lỗi, dánh giá, và góp ý để khóa luận và kiến thức của
em hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 01 năm 2018
Trần Ngọc Anh Huy
Trang 2
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Mục Lục
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................................... 4
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................................. 6
1.1. PHÉP BIẾN HÌNH ............................................................................................................ 6
1.2. PHÉP DỜI HÌNH ............................................................................................................... 7
1.3. PHÉP TỊNH TIẾN ............................................................................................................. 8
CHƯƠNG II: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC
PHẲNG VÀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ DESCARTES ........................................................................ 11
2.1. BÀI TỐN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM ( QUỸ TÍCH) ....................................................... 11
2.2. MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TẾ .................................................................................... 18
2.3. MỘT SỐ BÀI TỐN DỰNG HÌNH .............................................................................. 21
CHƯƠNG III: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN ................... 28
GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ ................................................................................................................. 28
3.1. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ QUA PHÉP TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ
29
3.2. ỨNG DỤNG CHUYỂN HỆ TỌA ĐỘ ............................................................................ 30
3.3. XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH .............................. 37
3.4. MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN ............................................................................... 41
3.5. DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ............................................ 47
3.6. MỘT SỐ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC .................................................................... 52
Trang 3
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép biến hình là một trong những cơng cụ quan trọng của tốn học nói chung và hình học nói
riêng. Các phép biến hình đóng góp rất lớn khơng chỉ trong ý nghĩa ban đầu hình học của nó mà
có có tầm ảnh hưởng đến lĩnh vực đại số và giải tích. Trong chương trình mơn Tốn phổ thơng ở
nước ta hiện nay, vai trị và tầm quan trọng của phép biến hình ngày càng được thể hiện rõ ràng và
sâu sắc không chỉ trong lý thuyết, mà cả trong thực hành giải bài tập. Các phép biến hình là cơng
cụ đơn giản nhưng đầy hiệu lực trong việc giải tốn.
Trong các phép biến hình, phép tịnh tiến đóng góp một phần khơng nhỏ trong việc phơi thai ý
tưởng và hình thành nên những nền móng ban đầu của hình học tọa độ. Phép tịnh tiến được vận
dụng để giải quyết các bài hình học như quỹ tích, dựng hình, chứng minh tính chất hình học và
đồng thời là nền tảng ý tưởng để giải quyết những vấn đề trong giải tích và đại số. Tuy nhiên, việc
vận dụng phép tịnh tiến để giải tốn khơng phải là việc dễ dàng đối với học sinh và sinh viên.
Vì vậy em quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dùng phép tịnh tiến để giải tốn.” Trong
khn khổ khóa luận tốt nghiệp, em xin trình bày những kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến và ứng
dụng của nó trong việc giải quyết các lớp bài tốn trong hình học phẳng, hình học tọa độ, giải tích
và đại số.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống, tóm tắt kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến.
- Hệ thống những lớp bài tập liên quan đến phép tịnh tiến và phương pháp chung để giải quyết
chúng.
- Phục vụ công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu là phép tịnh tiến.
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9/2018 đến tháng 1/2019
+ Nội dung nghiên cứu: hình học phẳng, hình học tọa độ Descartes, hàm số và đồ thị, phương
trình, bất đẳng thức
.
Trang 4
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích và tổng hợp.
- Hệ thống và phân loại các bài tập.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dưng hệ thống bài tập về quỹ tích, dựng hình, hình học tọa độ, đồ thị hàm số và một số bài
toán đại số được xử lý bằng phép tịnh tiến. Từ đó giúp người đọc có cái nhìn đa dạng hơn về ứng
dụng của phép tịnh tiến trong giải toán.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm các chương sau:
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương 2. DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC
PHẲNG VÀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ DESCARTES
Chương 3. DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN GIẢI TÍCH VÀ
ĐẠI SỐ.
Trang 5
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1.
PHÉP BIẾN HÌNH
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Trong một mặt phẳng, nếu có một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng,
ta xác định được duy nhất một điểm M′ cũng thuộc mặt phẳng ấy thì quy tắc đó được gọi là Phép
biến hình. M’ được gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.
Nếu gọi phép biến hình là f và M′ là ảnh của M qua f thì ta viết là:
M ' f (M ) hoặc f (M ) M '
Khi đó ta cịn nói: Phép biến hình f biến điểm M thành điểm M′ .
Xét một hình , ta gọi ' gồm các điểm:
M ' f (M ) với M
Ta nói ' là ảnh của qua phép biến hình f.
Kí hiệu: ' f ( )
1.1.2. Điểm bất động của một phép biến hình
Định nghĩa 1.1.2. Cho điểm M nằm trong một mặt phẳng. Một phép biến hình f biến M thành
chính nó thì M được gọi là điểm bất động của phép biến hình f.
Kí hiệu: M f (M )
1.1.3. Tích các phép biến hình
Định nghĩa 1.1.3. Trong mặt phẳng cho hai phép biến hình f và g. Với mỗi điểm M, qua phép
biến hình f : M M ' và g : M ' M '' . Phép biến trực tiếp điểm M M '' cũng là một phép
biến hình của mặt phẳng, thì lúc đó ta gọi phép biến hình đó là tích của hai phép biến hình đã cho.
Kí hiệu : g
f : M M '' hoặc g f : M M '' .
Gọi phép biến hình h biến điểm M thành M′′, là tích của hai phép biến hình f và g .
Vậy ta có:
M '' h M g f M , M M '' g
f
M
1.1.4. Tính chất của tích các phép biến hình
i.
Kết hợp, tức là:
Trang 6
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
f3
ii.
f2
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
f1 f 3 f 2 f1 f 3 f 2 f1
Tích các phép biến hình thì khơng giao hốn. Tức là:
f 2 f1 f1 f 2
Tích hai phép biến hình (nếu phép biến hình là song ánh) nghịch đảo là phép đồng nhất.
Tức là:
iii.
f11 f1 f1 f11 Id
1.1.5. Xác định ảnh của hình
Định nghĩa 1.1.5.
Hình là một tập hợp điểm mà các điểm đó được sắp xếp theo một quy định nào đó.
Định nghĩa ảnh của một hình qua một phép biến đổi hình học:
Trong mặt phẳng cho một phép biến đổi f và một hình . Tập hợp ảnh của mọi điểm
thuộc trong phép biến đổi đó lập thành một hình ′, được gọi là ảnh của hình . Và
được kí hiệu là:
f : ' (đọc là f biến thành ′)
Ví dụ
Một điểm hoặc một tập hợp gồm n điểm được sắp xếp theo một quy tắc nào đó là một
hình.
Đa giác là một đường gấp khúc phẳng khép kín, nghĩa là gồm những đoạn thẳng nối
tiếp nhau (mỗi điểm nối là đầu mút của vừa đúng hai đoạn thẳng) cùng nằm trên một
mặt phẳng và khép kín (điểm nối đầu trùng với điểm nối cuối).
Tia là một nửa đường thẳng có chiều xác định là một hình. Ngồi ra: đường trịn, các
đường cong và miền phẳng được bao bọc bởi các đường cong kín là những hình. Hoặc
một tập hợp rỗng cũng được xem như một hình.
i.
ii.
iii.
1.2.
PHÉP DỜI HÌNH
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Phép dời hình là một phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách giữa hai
điểm bất kì.
Tức là: Cho một phép biến hình f . Nếu với mọi cặp điểm A, B bất kì thuộc mặt phẳng, thì
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng khoảng cách giữa các điểm ảnh của nó qua phép biến
hình f . Vậy phép biến hình đó là một phép dời hình.
Khi đó, nếu f : A A ' và B B ' thì AB A ' B ', A, B
Trang 7
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
1.2.2. Tính chất
i.
Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự ba
điểm đó.
ii.
Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng nó, biến tia thành tia, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc
bằng nó, biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
iii.
Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động khơng thẳng hàng thì f là một phép đồng
nhất.
1.3.
PHÉP TỊNH TIẾN
1.3.1. Định nghĩa
Định ngĩa 3.1.1. Cho véc-tơ u 0 . Với mỗi điểm M trong mặt phẳng ta dựng được điểm M’ sao
cho: MM ' u . Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc-tơ u .
Kí hiệu: Tu : M M ' , u được gọi là véc-tơ tịnh tiến.
1.3.2. Tính chất
Tính chất 1. Phép biến đổi
Tu
với u 0 khơng có điểm bất động.
Tính chất 2. Phép biến đổi
Tu
là song ánh và có phép nghịch đảo. Đó là phép tịnh tiến
T u .
Tính chất 3. Nếu A’, B’ là ảnh của hai điểm A và B trong phép tịnh tiến
Tu
thì
A ' B ' AB (bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.)
Tính chất 4. Phép biến đổi
Tu
biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, biến
đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho, biến tam giác thành tam giác bằng tam
giác đã cho, biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
Tính chất 5. Tích của hai phép biến đổi
Tu
và
Tv
với u và v khác 0 là một phép tịnh
tiến mà véc-tơ tịnh tiến bằng u v .
Tính chất 6. Tích của hai phép đối xứng tâm với hai tâm phân biệt là một phép tịnh tiến.
Tính chất 7. Tích của một phép đối xứng tâm DA và một phép tịnh tiến
Tu u 0 là một
phép đối xứng tâm và tâm M của phép biến đổi đó được xác định bởi hệ thức:
2.AM u
Chứng minh tính chất 7:
Trang 8
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Gọi A là tâm đối xứng. Véc-tơ tịnh tiến là véc-tơ u DF . Ta sẽ chứng minh với mọi
điểm B trong mặt phẳng.
Phép biến hình đối xứng tâm DA biến điểm B thành điểm B’:
DA : B B ' ( B ' B 2. AB )
Phép tịnh tiến
Tu
biến điểm B ' thành điểm B '' :
Tu : B ' B '' ( B ' B '' DF )
Ta phải chứng minh
2. AM u DF B ' B ''
Thật vậy: M là tâm của phép đối xứng tâm DM biến điểm B thành điểm B '' , M là trung
điểm của đoạn thằng BB '' ( BB '' 2.BM ). Ta có:
B ' B '' DF
B ' B BB '' DF
2. AB 2.BM DF
2. AB BM DF
2. AM DF dpcm
1.3.3. PHÉP TỊNH TIẾN TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ DESCARTES
1.3.3.1.
Trang 9
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
Phép tịnh tiến
Tu
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
với u (a; b) biến điểm M ( x; y) thành điểm M '( x '; y ') : Tu : M M '
Khi đó, biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Tu
đối với điểm M
x ' x a
M ' Tu M
y' y b
1.3.3.2.
Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ
Gọi I là một điểm của mặt phẳng và ( x0 ; y0 ) là tọa độ của điểm I đối với hệ tọa độ Oxy.
Gọi IXY là hệ tọa độ mới có gốc là điểm I và 2 trục IX, IY theo thứ tự có cùng véc-tơ đơn vị i ,
j với hai trục Ox, Oy.
Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng. Gọi ( x; y) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ
Oxy và ( X ;Y ) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ IXY
OM OI IM
x X x0
y Y y0
Hệ thức trên được gọi là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc-tơ OI
1.3.4. PHÉP TỊNH TIẾN ĐỐI VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tịnh tiến đồ thị
Trên hệ trục tọa độ Descartes Oxy với véc-tơ đơn vị i (1;0) và j (0,1)
Cho hàm số y f ( x) có đồ thị là (C)
Cho hàm số g ( x) f ( x p) q có đồ thị là (C’)
Khi đó (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo véc-tơ u p.i q. j , tức là:
Tu (C ) C '
Trang 10
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
CHƯƠNG II: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI
QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG
VÀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ DESCARTES
2.1.
BÀI TỐN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM ( QUỸ TÍCH)
2.1.1. Cơ sở lý thuyết
Phép biến đổi
Tu
biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành
đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng đoạn thẳng đã cho, biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho, biến đường trịn
thành đường trịn có cùng bán kính.
2.1.2. Phương pháp
Nếu Tu M M ' và điểm M di động trên hình (H) thì điểm M’ thuộc hình (H’), trong đó (H’)
là ảnh của hình (H) qua
Tu .
Bước 1: Xác định các yếu tố cố định (không thay đổi), và điểm di dộng ban đầu.
Bước 2: Biểu diễn điểm (cần tìm quỹ tích) theo điểm di động ban đầu thông qua các yếu tố cố
định.
Bước 3: Điểm di động M (C ) M ' (C ')
Bước 4: Giới hạn quỹ tích (nếu có)
2.1.3. Bài tập
Bài tốn 1
Cho hai điểm A, B cố định. Cho một đường tròn (C) cố định và một điểm M di chuyển trên đường
tròn ấy . Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho MM ' MA MB .
Trang 11
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Bài tốn 2
Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định. Tâm I của hình bình hành thay đổi di dộng trên
đường trịn (C). Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.
Bài tốn 3
Cho ABC vng tại A. Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC vẽ lần lượt các
đường vng góc PR, PQ với các cạnh AB, AC ( R AB, Q AC ). Tìm quỹ tích trung điểm M
của đoạn thẳng RQ.
Xét tứ giác ARPQ, ta có A R Q 90 nên tứ giác ARPQ là hình chữ nhật. Nên hai
đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Trung điểm M của RQ cũng đồng thời là trung
điểm M của AP.
0
Kẻ AA' BC ( A' BC , A’ là một điểm cố định ). Kẻ MM ' BC M ' BC , có được AA’ //
MM’.
Trong PAA' có M là trung điểm của cạnh AP, MM’ // AA’, do đó MM’ là đường trung bình
của PAA' M ' M
1
A' A
2
M là ảnh của M’ qua phép tịnh tiến T theo véc-tơ u
Trang 12
1
A ' A . M’ lại thuộc đoạn thẳng BC.
2
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Giới hạn quỹ tích:
Khi P tiến đến B, M dần tiến đến B’ là trung điểm của đoạn AB.
Khi P tiến đến C, M dần tiến đến C’ là trung điểm của đoạn AC.
Kết luận, quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng B’C’.( chính là đường trung bình của ABC song
song với cạnh BC )
Bài toán 4
Cho hai điểm phân biệt B, C cố định trên đường tròn tâm O. Điểm A di động trên (O). Chứng
minh khi điểm A di động trên (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Gọi M là trung điểm của BC (M cố định) , lúc đó OM BC .
Trang 13
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Bài tốn 5
Cho đường trịn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng
AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và
NPQ?
MPQ có QA là một đường cao ( vì QA MP ). Kẻ MM ' PQ , khi đó MM' cắt QA tại trực
1
tâm H của MPQ . Xét NHM có AO // HM, NO NM , do đó OA là đường trung bình
2
của NHM nên: MH 2.OA BA .
Vậy phép tịnh tiến TBA biến M thành H ( M không trùng A, M khơng trùng B)
Kết luận, quỹ tích của H là đường trịn tâm O’. Là ảnh của đường trịn (O) (khơng kể hai điểm A
và B) qua phép tịnh tiến theo véc-tơ TBA .
Cách làm và kết quả tương tự đối với quỹ tích H’ của NPQ
Trang 14
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Bài tốn 6
Cho ABC cố định có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E lần lượt vẽ các đường thẳng
vng góc với AB và AC. Hai đường đường thẳng này cắt nhau tại điểm M. Tìm quỹ tích của
điểm M.
Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC = CD, BC // ED (1)
H là trực tâm ABC nên BH AC , ngồi ra ta cũng có ME AC . Suy ra BH // ME (2)
Từ (1)và (2) ta có HBC MED (*)
H là trực tâm ABC nên CH AB , ngồi ra ta cũng có DM AB . Suy ra CH // DM (3)
Từ (1) và (3) ta có HCB MDE (**)
Từ (*) và (**) kết hợp thêm BC = ED, ta có HBC MED CH DM
Phép tịnh tiến theo véc-tơ CH , biến điểm D thành điểm M: TCH D M
Ta có CD = CB nên điểm D thuộc đường tròn tâm (C) tâm C, bán kính R = BC
Ta để ý rằng, ảnh của C qua phép tịnh tiến theo véc-tơ CH chính là điểm H, thế nên H chính là
tâm của đường trịn ảnh.
Kết luận, quỹ tích của điểm M là đường trịn (H) tâm H, bánh kính R = BC, là ảnh của đường tròn
(C) qua phép tịnh tiến TCH .
Trang 15
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Bài tốn 7
Cho ABC có đỉnh A cố định, BAC khơng đổi và BC u khơng đổi. Tìm tập hợp các
điểm B, C.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Khi đó theo định lí hàm sin ta có
BC
2 R không đổi ( BC u không đổi, độ dài cạnh BC
sin
không đổi)
Nên OA R
BC
BC
không đổi, O di động trên đường tròn tâm A bán kính AO
.
2.sin
2.sin
Ta có OB OC OA R khơng đổi. (1)
1800 2.
Ta lại có BOC 2. ( tính chất góc ở tâm ) không đổi suy ra OBC OCB
2
cũng không đổi. (2)
Véc-tơ BC u có phương khơng đổi. (3)
Trang 16
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
Gọi đỉnh đầu và đỉnh cuối của véc-tơ
u
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
u
lần lượt là M và N. Đường thẳng chứa phương của véc-tơ
chia mặt phẳng thành hai miền phân biệt. Ở hai miền ấy, lần lượt dựng hai đỉnh O1 và O2
sao cho O1MN O2 MN OBC .
Từ (1) (2) và (3) ta có bốn điểm M, N, O1 , O2 là cố định.
OB O1M
OC O1 N
Vậy ta có:
OB O2 M
OC O2 N
Điểm B và điểm C, chỉ có hai trường hợp:
-
Hoặc là ảnh của điểm O lần lượt qua phép tịnh tiến theo véc-tơ O1M và O1 N .
BC
ảnh của đường tròn
2.sin
BC
A;
qua TO1M
2.sin
BC
ảnh của đường trịn
2.sin
BC
A;
qua
2.sin
Khi đó tập hợp điểm B là đường trịn B1;
Khi đó tập hợp điểm C là đường tròn C1;
( Với B1 , C1 lần lượt là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo véc-tơ O1M và O1 N )
Trang 17
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
TO N
1
Khóa Luận Tốt Nghiệp
-
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Hoặc là ảnh của điểm O lần lượt qua phép tịnh tiến theo véc-tơ O2 M và O2 N .
BC
ảnh của đường tròn
2.sin
BC
A;
qua TO2 M
2.sin
BC
ảnh của đường tròn
2.sin
BC
A;
qua TO2 N
2.sin
Khi đó tập hợp điểm B là đường trịn B2 ;
Khi đó tập hợp điểm C là đường tròn C2 ;
( Với B2 , C2 lần lượt là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo véc-tơ O2 M và O2 N )
2.2.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành thành đoạn thẳng có độ dài bằng đoạn thẳng đã cho
2.2.2. Phương pháp
Sử dụng phép tịnh tiến dựng những yếu tố mới thích hợp hơn cho việc đánh giá giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất.
2.2.3. Bài tập
Bài toán 1
Hai thành phố M, N bị ngăn cách bởi một con sơng rộng. Hãy tìm vị trí để xây dựng một chiếc
cầu nối hai bờ sông sao cho quãng đường từ M qua cầu đến N là ngắn nhất. Giả sử hai bờ sông
song song với nhau và cầu vng góc với hai bờ sơng.
Ta đưa bài tốn về ngơn ngữ tốn học. Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Điểm M
thuộc nửa mặt phẳng bờ d không chứa d’. Điểm N thuộc nửa mặt phẳng bờ d’ khơng chứa d. Tìm
vị trí của điểm A thuộc d, điểm A’ thuộc d’ sao cho AA’ vng góc với d, d’ và MA + AA’ +
A’N là ngắn nhất.
Trang 18
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Ta dựng một đường thẳng bất kì vng góc với d và d’, cắt d và d’ lần lượt tại C và D. Phép tịnh
tiến T theo véc-tơ CD biến điểm M thành điểm M’. biến C thành D biến đoạn thẳng MC thành
đoạn thẳng M’D, nghĩa là: TCD MC M ' D .
Yêu cầu bài toán là MC + CD + DN ngắn nhất M’D + CD + DN ngắn nhất. Vì độ dài CD là
cố định ( bằng khoảng cách giữa d và d’ ) nên ta chỉ cần đi tìm M’D + DN ngắn nhất.
Vì M’ và N nằm về hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d’ chứa điểm D nên để độ dài
M’D + DN là ngắn nhất thì ba điểm M’, D, N phải thẳng hàng.
Gọi A’ là giao điểm của M’N với đường thẳng d’, gọi A là điểm trên đường thẳng d sao cho
AA ' CD . Khi đó, điểm A và A’ chính là hai điểm thích hợp để xây dựng cây cầu sao cho thõa
mãn yêu cầu bài toán ban đầu.
Bài toán 2
Hai thành phố M, N bị ngăn cách bởi hai con sông rộng. Hãy tìm vị trí để xây hai chiếc cầu qua
hai con sông sao cho quãng đường từ M qua cầu thứ nhất, qua cầu thứ hai đến N là ngắn nhất. Giả
sử hai bờ của mỗi con sông song song với nhau và cầu ln vng góc với bờ sông. (Hai con sông
không song song với nhau)
Ta đưa bài tốn về ngơn ngữ tốn học. Giả sử con sơng thứ nhất có hai bờ là m và m’, con sơng
thứ hai có hai bờ là n và n’. Điểm M thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng m không chứa đường
thẳng m’. Điểm N thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng n’ khơng chứa đường thẳng n. Hãy tìm
trên m, m’, n, n’ lần lượt các điểm A, A’, B’, B sao cho MA + AA’ + A’B’ + B’B + BN là ngắn
nhất.
Trang 19
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Lấy các điểm C, D, E, F lần lượt trên m, m’, n, n’ sao cho CD vng góc với m, EF vng góc với
n. Phép tịnh tiến T theo véc-tơ CD biến M, A lần lượt trở thành M’, A’. Biến đoạn thẳng MA
thành đoạn thẳng M’A’, nghĩa là: TCD MA M ' A ' . ( với điểm A bất kì thuộc đường thẳng m )
Phép tịnh tiến T theo véc-tơ FE biến N, B lần lượt trở thành N’, B’. Biến đoạn thẳng NB thành
đoạn thẳng N’B’, nghĩa là: TFE NB N ' B ' . ( với điểm B bất kì thuộc đường thẳng n’ )
Yêu cầu bài toán là MA + AA’ + A’B’ + B’B + BN ngắn nhất M’A’ + AA’ + A’B’ + B’B +
B’N’ là ngắn nhất. Vì độ dài của AA’ và BB’ là cố định ( bằng khoảng cách từ m đến m’ và
khoảng cách từ n đến n’ ) nên ta chỉ quan tâm đến tìm nhỏ nhất của M’A’ + A’B’ + B’N’.
Vì M’ và N’ thuộc hai nửa mặt phẳng phân biệt bờ là đường thẳng m’ chứa điểm A’ ( cũng có thể
nói M’ và N’ thuộc hai nửa mặt phẳng phân biệt bờ là đường thẳng n chứa điểm B’ ) Do đó
M’A’ + A’B’ + B’N’ nhỏ nhất M’, A’, B’, N’ thẳng hàng.
Khi đó A’ và B’ lần lượt là giao điểm của M’N’ với m’ và n. Điểm A thuộc m, điểm B thuộc n’
sao cho AA ' CD , BB ' FE . Khi đó AA’ và BB’ chính là vị trí để xây hai chiếc cầu thõa mãn
với yêu cầu bài toán ban đầu.
Trang 20
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
2.3.
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
MỘT SỐ BÀI TỐN DỰNG HÌNH
Bài tốn 1
Dựng một hình thang ABCD (AB // CD) có cạnh đáy AB = a, hai đường chéo AC = m, BD = n và
biết là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo.
-
Dựng cạnh AB có độ dài bằng a cho trước
Dựng điểm N sao cho B nằm giữa A và N và độ dài đoạn AN là:
-
Dựng đường trịn tâm A bán kính bằng m cho trước. Dựng đường trịn tâm N, bán kính
bằng n cho trước. Hai đương tròn cắt nhau tại hai điểm C1 và C2 .
-
Tịnh tiến hai điểm C vừa tìm được theo véc-tơ NB , thu được hai điểm D1 ; D2 . Nối các
đỉnh A, B, C, D lại. Ta đã dựng được hình thang ABCD.
cos
Trang 21
a 2 m2 n 2
2mn
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Bài tốn 2
Cho đường trịn tâm O bán kính R và hai điểm phân biệt C, D nằm ngồi đường trịn (O). Hãy
dựng dây cung AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là hình bình hành.
Biện luận:
Nếu CD > 2R thì bài tốn vơ nghiệm.
Nếu CD = 2R thì bài tốn có một nghiệm.
Nếu CD > 2R thì bài tốn có hai nghiệm.
Trang 22
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
2.4.
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
PHÉP TỊNH TIẾN TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES
Bài toán 1
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường trịn (O) có phương trình x y 2 x 4 y 95 0 .
ABC với điểm B(-11; 2) , C(-1;12) và điểm A di động trên đường trịn (O) . Tìm tập hợp các
điểm H là trực tâm của ABC .
2
2
Ta sử dụng kết quả của bài toán 4, mục 2.1. phần II.
(O): x 2 y 2 2 x 4 y 95 0 x 1 y 2 102 có tâm O(-1; 2) bán kính R = 10
2
2
Ta nhận thấy điểm B và C thuộc đường tròn (O), ABC nội tiếp (O)
Gọi M(-6; 7) là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Theo kết quả bài tốn 4, ta ln có được AH 2.OM . H là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến T
theo véc-tơ u 2.OM 10;10 .
Vì điểm A di động trên (O) nên điểm H di động trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O)
qua phép tịnh tiến T theo véc-tơ u 2.OM 10;10 . Ta sẽ đi tìm phương trình của (O’).
Lấy điểm E ( x; y ) E B, E C tùy ý thuộc đường trịn (O), ta có x 1 y 2 102 (*)
2
2
x ' x (10) x x ' 10
y ' y 10
y y ' 10
Gọi E ' x '; y ' Tu E
Thay vào (*) ta được: x ' 10 1 y ' 10 2 102 x ' 11 y ' 12 102
2
Trang 23
2
2
2
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Vậy ảnh của (O) là đường tròn (O’): x 11 y 12 102
2
2
Đây cũng chính là tập hợp của các điểm H thỏa mãn đề bài.
Bài toán 2
Cho hai điểm A(-5; 2) và C(-1; 0). Biết
B Tu A , C Tv B . Tìm u , v để có thể thực hiện
phép tịnh tiến biến A thành C
Ta có
Tu A B AB u
AB BC u v u v AC 4; 2 (*)
T
B
C
BC v
v
Gọi u u1; u2 . Từ đẳng thức (*) ta suy ra được
v 4 u1; 2 u2
Bài toán 3
2
2
Cho (C): x 3 y n 25 và (C’): x y 2mx 12 y 36 p 2n 0 là ảnh của
2
2
đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo véc-tơ v 1; p . Tìm m, n, p
Ta có
2
2
(C’): x y 2mx 12 y 36 p 2n 0 x m y 6 m 2 p 2n
2
2
Đường trịn (C) có tâm I (3; n) , R 2 25
Đường tròn (C’) có tâm I '( m;6) , R ' m 2 p 2n
2
2
(C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v 1; p nên Tv I I ', R R '
2
m 3 1
m 4
m 4
p n 6 n 1
Do đó 6 n p
25 m 2 p 2n p 2n 9 p 7
Bài toán 4
Cho đường thằng d : 2 x 7 y 5 0 và d ': 2 x ny 10 0 là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
véc-tơ v (1; m) . Tìm m, n.
Trang 24
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
Khóa Luận Tốt Nghiệp
GVHD: Th.S Phan Thị Quản
Lấy M ( x; y) d 2x 7 y 5 0 (*)
x ' x 1
x x ' 1
y ' y m y y ' m
Gọi M '( x '; y ') Tv M
Thay vào (*) ta được: 2 x ' 1 7 y ' m 5 0 2 x ' 7 y ' 7 m 3 0
Do đó: Tv d d ': 2 x 7 y 7 m 3 0
7 n
n 7
7m 3 10 m 1
Ta lại có d ': 2 x ny 10 0 nên
Bài toán 5
Trong mặt phẳng tọa đô Oxy, cho hai đường thẳng d : 2 x 3 y 3 0 và d ': 2 x 3 y 5 0 .
Xác định phép tịnh tiến với véc-tơ tịnh tiến
v
có phương vng góc với d để Tv d d ' .
Đặt v a; b
Lấy M ( x; y) d 2x 3 y 3 0 (*)
x ' x a x x ' a
y ' y b y y ' b
Gọi M '( x '; y ') Tv M
Thay vào (*) ta được: 2 x ' a 3 y ' b 3 0 2 x ' 3 y ' 2a 3b 3 0
Do đó: Tv d d ' : 2 x 3 y 2a 3b 3 0
Theo giả thiết ban đầu d’ cũng đồng thời có phương trình d ': 2 x 3 y 5 0
Nên 2a 3b 3 5 2a 3b 8 (1)
Đường thằng d : 2 x 3 y 3 0 có véc-tơ pháp tuyến n (2; 3) , suy ra véc-tơ chỉ phương của
d là u (3;2) .
Theo giả thiết bài toán v u v.u 0 3a 2b 0 (2)
16
a 13
2a 3b 8
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
3
a
2
b
0
b 24
13
16 24
;
13 13
Vậy v
Trang 25
Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy
