Tich phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (230.42 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÍCH PHÂN

Phần 1: CƠNG THỨC

Bảng ngun hàm

Ngun hàm của

những hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số

thường gặp Nguyên hàm của nhữnghàm số hợp

C
x
dx 






















dx x C

x





ln  





dxx x C x

C
e
dx
ex x








0 1



ln   





a dx aa C a

x
x

C
x
xdx 



cos sin

C
x
xdx 



sin cos

C
x
dx

x  



cos12 tan

C
x
dx

x  



sin12 cot







ax b



C
a

b
ax

d    















1 1















 ax b C

a
dx
b
ax





ln
1











axdxb a ax b C x

C

e

a
dx

eax b ax b


 











ax b



C

a
dx
b

ax   



cos 1sin







ax b



C

a
dx
b

ax   



sin 1cos



axb



dxa



axb



C



cos2 1 1tan



axb



dx a



axb



C



sin2 1 1cot

C
u
du 






















du u C

u





ln  





duu u C u

C
e
du

eu u








0 1



ln   





a dx aa C a

u
u

C
u

udu 



cos sin

C
u
udu 



sin cos

C
u
du

u  



cos12 tan

C

u
du

u  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phần 2:

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
1. Phương pháp sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản

VD Tính các tích phân sau:
a) 3sinx cos

six cos

x
dx
x






. ĐS 33 (sinx cos )2

2  x C
b) (ax b dx)m





với m 1; a 0. ĐS

1
1 (ax )

1
m

b

C
a m






c) xdx x

e e




. ĐS arctanex C



d) 2 2

dx
a x



với a 0. ĐS 1arctan x C
a a

e) 2dx 2

a  x với a > 0. ĐS arcsin
x

C
a

2. Phương pháp phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tổng các hàm dễ lấy nguyên hàm
 Phương pháp này tính tích phân trực tiếp bằng cách phân tích hàm dưới dấu tích

phân thành tổng của những hàm số mà ta có thể tính tích phân một cách dễ dàng nhờ 
 cơng thức tính ngun hàm cơ bản

VD Tính các tích phân sau:
a) 2 2

dx
a  x



. ĐS 1 ln
2

a x
C
a a x






b) ( ) (2 )2

dx
x a x b



. ĐS 2 3

2 2

( ) ( )( ) ( )

x a b x b

C
a b x a x b a b x a

  

  

    

c)
3
2 1

x
x

e
dx
e 



. ĐS ex arctanexC d)

4
6

1
1

x
dx
x






. ĐS arctanx13arctanx3C
e)

6 4 4 4 2 1

x x

dx
x x x



  



. ĐS

4 2

1 2 1

2 3 1

x x

C
x x

 



 

f) sin3 cos5

dx
x x



. ĐS 2 2 4

1 3 1

3ln t anx tan tan

2 tan x 2 x 4 x C

    

3. Phương pháp đổi biến số

Nếu f(x) là hàm liên tục và khi đặt x( )t , ở đây ( )t cùng với đạo hàm của nó là
 những hàm liên tục và có hàm ngược thì ta có:

( ) ( ( )) ( )

f x dx f  t  t dt



VD Tính các tích phân sau:
a) (1 2 2)

dx
x





. ĐS 2

1
arctan

2 2(1 )

x

x C

x

 

 b) 1 2 (1 2 3)

xdx

x x

  



. ĐS 2 1 1 x2 C

  

c) 1
1

x
dx
x






. ĐS  arccosx 1 x2 C d)

6
1 x

dx
x





. ĐS

6
6

1 1 1 1

1 ln

3 6 1 1

x

x C

x

 

  

 

e)

1 ln

xdx
x  x



. ĐS

2(1 ln ) 1 ln 2 1 ln

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Giả sử u x v x( ), ( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong

khoảng này ta có:

( )

d uv udv vdu , hay udv d uv ( ) vdu 



udv uv v du 



(1)

(1) được gọi là cơng thức tích phân từng phần
Loại 1: Tính tích phân dạng

( ) ln( )

P x x



, P x e dx( ) x



,



P x( )sinaxdx,



P x( ) cosaxdx, ở đây P(x) là một đa thức ẩn x.

Để tính những tích phân loại này bao giờ cũng đặt ulnx với



P x( ) lnxdx; và u P x ( )

với các tích phân cịn lại.

VD Tính các tích phân sau:
a) I xnlnxdx





. Với n 1. ĐS

1 1

2
ln

1 ( 1)

n n

x x

x C

n n

 

 

 

b) I x2sin 3xdx





. ĐS

2 9 2

os3 sin 3

27 9

x

c x x x C



 

c)I 



x c2 os2xdx. ĐS

2 1 1

sin 2 cos 2

4 2

x

x x x C



 

Loại 2: Tính tích phân dạng eaxsinbxdx



;



eaxcosbxdx. Đặt u eax

 (hoặc usinbx)

VD Tính các tích phân sau:
a) xsin x

e dx



. ĐS sinx cos

x

x
e C



 b)



e c2x os3xdx. ĐS
2

(2cos3 3sin 3 )
13

x

e

x x C

Loại 3: Tính tích phân dạng



P x( ) arcsinxdx;



P x( ) arc osc xdx;



P x( ) arctanxdx;



P x( ) arc cotxdx; với P(x) là đa thức.

Đặt uarcsin ;x uarccos ;x uarctan ;x uarccot ;x

VD Tính các tích phân sau:



xarccosxdx. ĐS 2arccos 1arcsin 1 1 2

2 4 4

x

x x x  x



xarc sinxdx. ĐS 2 1arctan 1

2 2

x

x x C



 

Loại 4: Tính tích phân dạng 2
1

I 



x a dx và I2 



a2 x dx2

ĐS 2 2

1 ln

2 2

x a

I  x a x x a C;

2
2 2

2 arcsin

2 2

x a x

I a x C

a

   

Chú ý: Hai tích phân này hay gặp phải trong quy trình tính tích phân. Vì vậy ta có thể

Bổ xung chúng vào bảng các nguyên hàm cơ bản.
 Loại 5: Các bài tốn tổng hợp

VD Tính các tích phân sau:
a) 1 sinx

1 cos
x

e dx
x






. ĐS 1 cos1 sinx 1 cos

x

x e

e C

x x



 

 

b) ln(x x2 1)dx

 



. ĐS xln(x x21) x21C

2
0

ln(1 )

x x dx



. ĐS 1ln 2 1

2 4


 

d) e2xsin2xdx

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT

A. Tích phân hàm phân thức

I P x( )( )
Q x





1. Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức

1 2

( ) ( )( ) ( n)

Q x  x a x a   x a

(degQ(x) = n)

Xác định các hằng số

A A1, 2,...An

thỏa mãn đồng nhất thức:

1 2

( )

...
( )

n
n

A

A A

P x

Q x x a x a  x a

. Khi đó

1 2

1 1 2 2

( )

...
( )

ln ln ... ln

n

n n

P x dx dx dx

I A A A

Q x x a x a x a

A x a A x a A x a

    

  

      



VD Tính các tích phân sau:

a)

3 4 21

3 2

x

I dx

x x x




 



. ĐS

2 1 25

3 ln 4ln 1 ln 2

2 2 2

x

I   x x  x  x C

b)

3 2 22 6

7 14 8

x x

dx
x x x

 

  



. ĐS

I 3ln x1 7 ln x 2 4 ln x 4 C

2. Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức và nghiệm bội

Giả sử

Q x( ) (x a x b)( ) (2 x c)3

   

Lúc này ta phân tích

2 1 2 1

2 3 2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C

B B C C

P x A

Q x x a  x b x b  x c  x c  x c

Tìm các hằng số

A A, ,...1

thay vào rồi tính tích phân

VD Tính các tích phân sau:

a)

2
3

1
( 1) ( 3)

x

I dx

x x




 



.

ĐS

1 3 5 1

4( 1) 8( 1) 32 3

x

I C

x x x



   

  

b)

2
3

1
( 1)

x x

I dx

x

 






.

ĐS

3 3

ln 1

2( 1) 1

I x C

x x

    

 

c)

dx
I

ax bx c



 



,

a   0; 0

. ĐS

2 2

arctan

4 2 4

ax b

I C

ac b ac b



 

 

d)

4 52

3 2

x

I dx

x x



 



.

ĐS

2 1 2

2ln( 2) ln( 1)

2 2

x

I   x   x  C

e)

8
1

xdx
I

x






. ĐS

2
2

1 1 1

ln arctan

8 1 4

x

I x C

x



  



f)

2 2

2 2 13

( 2)( 1)

x x

I dx

x x

 



 



. ĐS





2 2

1 3 2

ln 2 ln 1 4arctan

2 2( 1) 1

x

I x x x

x x

      

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản để tính tích phân các hàm hữu tỉ

Dùng thuật thêm, bớt để đưa về dạng cơ bản

Dạng 1 :

( 0)

dx

I a

b

 





 I a1 dax(axbb) 1aln axb C




Dạng 2:

2 ( 0)

dx

I a

bx c

 

 





1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

0 :

( )( ) ( )

dx

I dx

a x x x x a x x x x x x

 

      

      



=





1 2 2

ln x x C
a x x x x





 

 2

0
1

0 :

( )

dx
I

a x x

  





( với

b
x

a



)

1 1

I

a x x



 





 0

:

2 2

2 2 2

2 2

1 1 1 4 4

arctan ( )

2 4 2 4

dx dx a a b

I x C

a b a b a a

x x

a a a a

    

   



       

   

     

     



Dạng 3:

( )

( 0; 0)

mx n dx

I a m

bx c



  

 



.

Dùng phân tích:

2 .(ax22 )' . 2 1

ax ax ax

mx n bx c

bx c  bx c  bx c

  

 

     

. Ta được:

2
ln ax

dx
I bx c

bx c

 

   

 



Dạng 4:

( )

( )(ax )

P x dx
I

x  bx c



  



( với P(x) là đa thức bậc

2

)

Dùng phân tích

2
( )
( )

( )(ax )

P x
f x

x  bx c



  



 0

,

1,2

1 2

( ) A B C

x f x

x x x x x



    

  



 0

,

0 2

0 0

( )

A B C

x f x

x x x x x



    

  



0 ( ) 2

A Bx C
f x

x  bx c



    

  

,

VD Tính các tích phân sau:

a)

2 3 2

x

I dx

x x



 



. ĐS

12ln 2 2 3 2 103 ln 21

x

I x x C

x



    



b)

3 2
( 2 1)

x x

I dx

x x x

 



 



. ĐS

I  x 2ln x 4ln xx1x41C

 

c)

22 1

x
I dx

x








. ĐS

1
2
1

ln
1

2 2 2

x
x

I C

x
x

 

 

 

d)

8 1

xdx
I

x






. ĐS

2
2

1 1

ln arctan( )

8 1 4

x

I x C

x



  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

e)

4 5

( 1)

( 1)( 5 1)

x dx
I

x x x x




  



. ĐS

5
5

1 5

5 5 1

x x

I C

x x



 

 

f)

2
5
( 1)

x

I dx

x






. ĐS

2
4

6 4 1

12( 1)

x x

I C

x

 

 



g)

6 3 7 2 3

dx
I

x x x



 



. ĐS

I  31ln x 332 ln 2x 3113 ln 3x 1 C

4. Tích phân hàm vơ tỉ

Dạng 1:

R x,n ax b dx

cx d





  

 

  

 



. Đặt

t n ax b

cx d







. Đổi biến số

VD Tính các tích phân sau:

a)

1
3 1

x

I dx

x








. ĐS

1 13



3 1



5 3(3 1)2
3 5

I   x  x  C

 

b)

1 2 1

xdx
I

x



 



. ĐS

1 (2 1)3 1



2 1



6 4

I  x  x C

c)

3
3 4

1 1

x dx
I

x



 



. ĐS

33( 4 1)2 33 ( 4 1) 3ln 1 3 4 1

8 4 4

I  x   x    x  C

d)

1 .1

x

I dx

x x








. ĐS

1
1

1 1

6arctan 4ln

1 1

1
1

x

x x

I C

x x

x




 

  

 




e)

3
2 2

x dx
I

x







ĐS

I 13 (x2 2)3  2 x2 2 C

Dạng 2:

dx

b cx d







  

. Thực hiện phép nhân liên hợp

VD: Tính các tích phân sau:

a)

0 1 1

dx
I

x x



  



. ĐS

1 ( 1)3 ( 1)3

I   x  x  C

 

b)

1 1

dx
I

x x



  



. ĐS

1 1

1 1 1

ln
1

2 2 2 1

x x

I x x C

x

x x

   



 

    

  



 

 

Dạng 3:

2

( ) ax

dx

mx n bx c



   



. Đặt

t 1

mx n





và đổi biến.

VD: Tính các tích phân sau:

a)

2

2 2 1

dx
I

x x x



 



. ĐS

1 1

ln 1 1 1 ; 0

1 1

ln 1 1 1 ; 0

C x

x x

I

C x

x x



 

        

  




  

     

  

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b)

( 1) 2 2 2

dx
I

x x x



  



. ĐS

2
2

1 2 2 1

2 2 2 1

x x

I C

x x

  

 

  

B. Tích phân hàm số lượng giác

Dạng 1: Tích phân bằng cách sử dụng các công thức lượng giác



Công thức cộng:

1.

tan( ) t an a tan
1 tan tan

b
a b

a b



 



(1) . Nếu cho

( )
( )

a f x
b m f x





 



thì

(1)

tan t anf ( ) tan( ( ))
1 tan ( ) tan( ( ))

x b f x
m

f x m f x

 

 

 

tan ( ) tan( ( )) 1 (tan f( ) tan( ( ))
tan

f x m f x x m f x
m

     

VD: Tính các tích phân sau:

tan( ) tan( )

3 3

x   x dx



. ĐS

os( )

1 3

3 os( )

c x
I x

c x




 



2.

tan tan sin( )
cos .cos

a b
a b

a b



 

(1) . Nếu cho

a b m 

thì (1)

t an a tan 1

sin cos cos

b

m a sb



 

tan tan sin( )
cos .cos

a b
a b

a b



 

(2). Nếu cho

a b m 

thì (2)

t an a - tan 1

sin cos cos

b

m a sb

 

cot cot sin( )
sin sin

a b
a b

a b



 

(3). Nếu cho

a b m 

thì (3)

cot cot 1

sin sin sin

a b

m a b



 

cot cot sin( )
sin sin

b a
a b

a b



 

(4). Nếu cho

b a m 

thì (4)

cot cot 1

sin sin sin

a b

m a b



 

VD: Tính các tích phân sau :

cos(2 ) cos( 2 )

4 3

dx
I

x   x



 



. ĐS

1 1ln ( os(2x+ ) 1 ln( os(2 )

7 2 4 2 3

sin
12

I c  c x 



 

    

 



Công thức biến đổi tích thành tổng

VD: Tính các tích phân sau :

a)

I 



cos5 cos 7x xdx

. ĐS

1 sin12 1sin 2

24 4

I  x x C

b)

I 



sin 6 cos 2x xdx

. ĐS

1 os8 1 os4

16 8

I  c x c x C

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp liên hợp

Nếu tính tích phân I khó khăn thì ta liên hợp với tích phân J sau đó tính

I JI J BA
 



Rồi từ đó suy ra

A B
I

A B
J










 



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a)

cos

cos sinx

x

I dx

x







và

J  cossinxx sinxdx




Ta có:

( ln cos sinx )
2

ln cos sinx 1

( ln cos sinx )
2

I x x C

I J x

I J x C

J x x C



   


 



 



 

   



     




b)

os2

c x
I dx

c x





và

2
sin

os2

x
J dx

c x





. ĐS

1 1 sin 2 1

2 4 sin 2 1

1 1 sin 2 1

2 4 sin 2 1

x

I x C

x
x

J x C

x

   

  

  



  



  

    

   



Dạng 3: Dựa vào tính liên tục của hàm số và cận tích phân

1. Cho hàm số

yf x( )

là hàm số liên tục trên đoạn



0;1



. CMR:

2 2

0 0

(sinx) (cos x)

f dx f dx

 





2. Cho hàm số

yf x( )

là hàm số liên tục trên



a b;



và

f a b x(   )f x( )

. CMR:

( ) ( )

b b

a a

a b

xf x dx  f x dx



VD: Tính các tích phân sau :

a)

3 3

0
sin
sinx cos

x

I dx

x









. ĐS

I 4 41



 

b)

3 4

4 4

sin
sin x cos

x

I dx

x









. ĐS

I 2




c)

3
0

sin

I x xdx







. ĐS

2
3

I  

d)

2
0

sin os

I x xc xdx







. ĐS

I 

Dạng 4: Tích phân hàm số lượng giác xen lẫn hàm số mũ

Cho hàm số

yf x( )

là hàm số chẵn và liên tục trên R. CMR:

 a 0

. Ta có

0
( )

( )

x

f x dx

f x dx
a

 









VD: Tính các tích phân sau :

2
sin

3x 1

x
I dx











. ĐS

I 0

Dạng 5: Tích phân lượng giác hóa hàm vô tỉ

+ Nếu

I ( ;x a2 x dx2)







. Đặt





a sin ; ;

2 2
acos ; 0;

x t t
x t t

 


  

  

  

 



  



và thực hiện đổi biến

+ Nếu

I ( ;x a2 x dx2)







. Đặt

xa tant

VD: Tính các tích phân sau :

a)

2
0

I 



 x dx

. ĐS

I 

b)

0 1

dx
I

x x



 



. ĐS

I 

c)

1 2

6
1 x

I dx

x







. ĐS

I 

d)

3 2

2
1 x

I dx

x







. ĐS

2 2 1ln 3 2. 2 2

3 3 2 2 1

I       

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Dạng 6: Tích phân dạng I =

a sin cos

b

a

dx

x b x c



. Đặt

tan

x
t 

VD: Tính các tích phân sau :

01 sinx cos

dx
x



 



. ĐS

ln 2

Dạng 7: Dùng hệ số bất định

Nếu

(sinx;cos )(sinx;cos )

b

a

U x

I dx

V x





thì ta phân tích

U A B.V' C

V   V V

VD: Tính các tích phân sau:

sinx 7 cos 6
4sin 3cos 5

sx
I

x x



 



 



. ĐS

I 2 61 ln95



  

C. CÁC BÀI TÍCH PHÂN THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 - 2009

1. A-09.1





2
0

I cos x 1 cos x.dx








2. A-2008

6 4
0

t
cos 2

g x
I dx

x







3. B - 08





sin

4 .

sin 2 2 1 sin cos

x dx
I

x x x

   



 

 



  



4. D - 08

2
1

ln
.

x

I dx

x





5. DB-KA1- 08 :






2
/

1 3 2x 2
xdx

I

6. DB-KA2- 08:





 

2
/

0 3 4sin cos2
2
sin


dx
x
x

x
I

7. DB-KB1- 08:

0
1

4 1

x

I dx

x








8. DB-KB2- 08:






0 2

3
4 x dx

x
I

9. DB-KD1- 08:







0 2

2 )

4
.

( dx

x
x
e

x

I x

10.A

–

07:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = (e + 1)x và y = (1 + e

)x

11.B

–

07:

Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đờng : y =xlnx ,y = 0, x =e.

12. D - 07 I =

3 2

ln

e

x

xdx



13. A - 07 I =

1
0

2

1

2

1 x

dx

x



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đờng 4y

2

=x và y=x

2. Tính thể tích mọt vật thể trịn xoay khi quay(H)

quanh trơc Ox trän mét vßng

15. DBKB

–

07:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = 0 và





1 x

y

x







.

16. DBKB

–

07:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đ-ờng :y = x

và y =

2 x2



17. DBKD

–

07:

I =

dx
x

x
x





2 4

)
1
(

18. DBKD

–

07:





2
0

π

xdx
x

I cos

.

19. KA

–

06:

I =

2 2

sin 2

cos

4sin

x

dx

x







20. DBKA

–

06:

6
2

.

2

1

4

1 dx

I

x



 





21. DBKA - 06: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) : y = x

- x +3 và

đ-ờng th¼ng d: y = 2x +1.

22. KB - 06 :






 

5
ln

ln ex 2e x 3

dx
I

23. DBKB

–

06:

I =






5 x 2 x 1

dx

24. DBKB

–

06:

ln
2
1

ln
2
3

dx
x
x

x
I

e







25. D - 06 :

2
0

(

2)

x

I





x



e dx

26. DBKD

–

06 :

I =





1 sin 2

.

x

xdx







27. DBKD

–

06:

I =

2
1

(

x



2)ln

xdx

.



28. KA - 05

2
0

sin 2x

sin x

I

dx

1 3cosx











29. DBKA - 05

x

2 I

dx

x 1









30. DBKA - 05

3 2

ln x

I

dx

x ln x 1





</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

31. KB - 05

I sin x cos xdx

cos x
2

0
2
1
π






.

32. DBKB - 05

I 2( x )cos xdx.2
0

2 1
π







33. DBKB

–

05

I 2sin xtgxdx2
0

π





.

34. D - 05

I













2
sin x
0

e cos x cos x.dx.

35. DBKD - 05

I =

2
1

ln

.

e

x

xdx



36. DBKD - 05

I



tgx esin xcos x dx.



π






2

37. A- 04

I x dx
x

11 1



 



.

38.

DB -KA-0) Tính thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục

Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đờng y =

x sin x(0 x π)

.

39. DB-KA-04

dx.
x

x
x
I








2
0

2
4

4
1

40. DB-KB-04

I =





1
3

x
x

dx

41. DB-KB-04





2
0

2
π

.
sin

cos xdx

I x

42. D-04











3
2

2 xdx

I ln

.

43. DB-KD-04

I



x.sin x.dx.

44. DB-KD-04







8
3

2 1

.
. e dx
e

I x x

45. A-03






3
2

5x x2 4

.

46. A-03

I



x .  x .dx

1
0

2
3 1

47. DB -KA-03 I=





01 2

π

.
cos xdx

x
 2sin x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

49. DB -KB-0

3





 .

1
2

x
x
e

dx
e
I

50.

I



x  xdx.

2
0

51. DB -KD-03

I x ex dx.





1
0

2
3

.

52. DB -KD-03

ln xdx.

x
x
I







1
2

53

. A-02 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng :

yx2 4x3, y x 3

54. DB -KA-02 I =





2
0

6 3

1
π

xdx
x

x.sin .cos
cos

55. DB -KA-02

I =

x(e

x

)dx.

2 3

1







56. B-02

:Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đờng :

y=

4
4

2
x



vµ y=

2
4

57. DB -KB-02










0 x 13
x

e
dx
e
I

58. DB -KD-02






1
0

2
3

1dx
x

x
I

59)






1

0

1 xdx

x

I

60)

4 2

I

xtg xdx







61) I =

x(x )
2

1 1



62)







8
3

ln
ln

.
. e dx
e

I x x

63)

I 2( x )cos xdx.2
0

2 1

π







64)

I



x .  x .dx

1
0

2
3

65)





2
0

2
π

.
sin

cos xdx

I x

66)





 .

1
2

x
x
e

dx
e
I

--- HẾT

---CỐ GẮNG KIÊN TRÌ THÌ THÀNH CÔNG

Chú ý : Phương pháp giải và đáp số của các Đề thi Đại học từ 2002 – 2009 có trong tài

liệu :

</div>

Tich phan

<b>TÍCH PHÂN</b>

<b>Phần 1: CƠNG THỨC</b>

<b>Ngun hàm của</b>

<b>những hàm số sơ cấp</b>

<b>thường gặp</b>



















































































































































