TONG HOP KIEN THUC ON THI VAO LOP 10 THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (257.27 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

tổng hợp kiến thức

và cách giải các dạng bài tập toán 9

A. Kiến thức cần nhớ.

1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.

A cã nghÜa khi A  0

2. Các công thức biến đổi căn thức.

a. A2 A


b. AB  A B. (A0;B0)

c. A A (A 0;B 0)

B B

Phần I:
Đại số

trần quốc hng

tổng hợp kiến thức

và cách giải các dạng bài tập toán 9

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

d. A B2 A B (B 0)

 

e. A B A B2 (A 0;B 0)

  

A B A B2 (A 0;B 0)

  

f. A 1 AB (AB 0;B 0)

B B  

i. A A B (B 0)

B

B  

k. 2

( )

( 0; )

C C A B

A A B

A B

A B    



m. C C( A 2 B) (A 0;B 0;A B )

A B

A B     



3. Hµm sè y = ax + b (a  0)

- TÝnh chÊt:

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.

+ Hàm số nghch bin trờn R khi a < 0.

- Đồ thị:

thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).

4. Hµm sè y = ax2 (a  0)

- TÝnh chÊt:

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

- §å thÞ:

Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hồnh.

5. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
(d) và (d') cắt nhau  a  a'

(d) // (d')  a = a' vµ b  b'
(d)  (d')  a = a' vµ b = b'

6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong.

Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P)

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung

7. Phơng trình bậc hai.

Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0)

C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän

 = b2 - 4ac

Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:

a
b
x

2
1

;

a
b
x

2
2

Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép
:

a
b
x
x

2
2
1

Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm

' = b'2 - ac với b = 2b'

- Nếu ' > 0 : Phơng trình cã hai
nghiƯm ph©n biƯt:

a
b
x

'
'
1





 ;

a
b
x

'
'
2







- NÕu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm
kép:

a
b
x

x1 2  '

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

8. HƯ thøc Viet vµ øng dơng.

- HƯ thøc Viet:

NÕu x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:

1 2

1. 2

b
S x x

a
c
P x x

a




  





  




- Mét sè øng dơng:

+ T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình:
x2 - Sx + P = 0

(§iỊu kiƯn S2 - 4P  0)

+ NhÈm nghiƯm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)

NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:
x1 = 1 ; x2 = c

a

NÕu a - b + c = 0 th× phơng trình có hai nghiệm:
x1 = -1 ; x2 =

c
a

9. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình

Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình

Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình

Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm

nào thích hợp với bài toán và kết luận

B. các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán:Rút gọn biÓu thøc A

 Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bớc sau:
- Quy đồng mẫu thức (nếu cú)

- Đa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia....
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.

D¹ng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biĨu thøc A.

 Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rỳt
gn biu thc A

Bài toán 2:Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

- Rút gọn biểu thøc A(x).

- Thay x = a vµo biĨu thøc rót gän.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán:Chứng minh đẳng thức A = B

 Một số phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
A = B  A - B = 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh.
A = A1 = A2 = ... = C

B = B1 = B2 = ... = C

- Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng.

A = B  A' = B'  A" = B"  ... (*)
(*) ỳng do ú A = B

- Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết.
- Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp.

- Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biĨu thøc phơ.

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài tốn:Chứng minh bất đẳng thức A > B

 Một số bất đẳng thức quan trọng:

- Bất đẳng thức Cosi:
n

n
n a a a a
n
a
a
a
a
...
.
.
...
3
2

1
3
2

1     (víi . . ... 0

3
2

1a a an 

a )

DÊu = xảy ra khi và chỉ khi: a1a2 a3 ...an

- Bất đẳng thức BunhiaCơpxki:

Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn

 ...  ( ... )( 2 ... 2)

3
2
2
2
1
2
2
3
2

2
2
1
2
3
3
2
2
1

1b ab ab anbn a a a an b b b bn

a        

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:

n
n
b
a
b
a
b
a
b
a

...

3
3
2
2
1
1

Một số phơng pháp chứng minh:

- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa
A > B  A - B > 0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp

A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nÕu M  0

- Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng

A > B  A' > B'  A" > B"  ... (*)
(*) ỳng do ú A > B

- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu
A > C và C > B A > B

- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng

chng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tơng
đ-ơng để dẫn đến điều vơ lí khi ú ta kt lun A > B.

- Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết.
- Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp.

- Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 5: bài toán liên quan tới phơng trình bậc hai

Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)

Các phơng pháp giải:

- Phơng pháp 1: Phân tích đa về phơng trình tích.
- Phơng pháp 2: Dùng kiến thức về căn bËc hai

x2 = a  x =  a

- Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm
Ta có = b2 - 4ac

+ Nếu > 0 : Phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt:

a
b
x
2
1



 ;
a
b

x
2
2





+ NÕu  = 0 : Phơng trình có nghiệm kép

a
b
x
x
2
2
1




+ NÕu  < 0 : Phơng trình vô nghiệm

- Phơng pháp 4: Dùng c«ng thøc nghiƯm thu gän
Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b'

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

+ NÕu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biÖt:
a
b
x

'
'
1



 ;
a
b
x
'
'
2





+ NÕu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép

a
b
x

x1  2  '

+ NÕu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm

- Phng phỏp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.

NÕu x1, x2 lµ nghiƯm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:

a

c

x

a

b

x

2
1
2
1

.

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.

Bài toán 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm của phơng trình bËc

hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).
 Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng

a. Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m.
Giả sử a = 0  m = m0 ta cú:

(*) trở thành phơng trình bậc nhÊt ax + c = 0 (**)
+ NÕu b  0 víi m = m0: (**)cã mét nghiƯm x = -c/b

+ Nếu b = 0 và c = 0 với m = m0: (**) vô định  (*) vô định

+ NÕu b = 0 vµ c  0 víi m = m0: (**) v« nghiƯm  (*)v« nghiƯm

b. Trêng hợp a 0: Tính hoặc '
+ Tính  = b2 - 4ac

NÕu  > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x
2
1

;
a

b
x
2
2





NÕu  = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp :

a
b
x
x
2
2
1




NÕu  < 0 : Phơng trình vô nghiệm
+ Tính ' = b'2 - ac víi b = 2b'

NÕu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a
b
x

'
'
1

;
a
b
x
'
'
2





NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp:

a
b
x
x
'
2
1




NÕu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Ghi tóm tắt phần biện ln trªn.

Bài tốn 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.

Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm:

1. Hc a = 0, b  0

2. Hc a 0, 0 hoặc ' 0

Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mÃn điều kiện 1 hoặc
điều kiện 2.

Bi toỏn 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

0 a













0 a

Bài tốn 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:











0 b

a













0 a













0 a

Bài tốn 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) cú nghim kộp.

Điều kiện có nghiệm kép:

0 a

hoặc













0 a

Bài tốn 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vụ nghim.

Điều kiện có một nghiệm:

0 a

hoặc

0 a

Bi tốn 8: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) cú 1 nghim.

Điều kiện có một nghiệm:

0 b

a

hoặc

0 a

hoặc













0 a

Bài tốn 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu.
§iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:



















0 a

c

P



















0 a

c

P

Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dng.

Điều kiện có hai nghiệm dơng:

0
0
0
a
b
S
a
c

P hoặc

















0
0
0
'
a
b
S
a
c
P

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ©m:

















0
0
0
a
b
S
a
c

P hc

















0
0
0
'
a
b
S
a
c
P

Bài tốn 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái du.

Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a và c trái dấu.

Bi toỏn 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x

1.
 Cách giải:

- Thay x = x1 vào phơng tr×nh (*) ta cã:ax12 + bx1 + c = 0 m

- Thay giá trị của m vào (*)  x1, x2

- Hc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 =

x
P

Bài tốn 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham s m) cú 2 nghim x

1, x2 thoả mÃn

các ®iỊu kiƯn:

a. x1x2  b. x x22k
2

c. n

x
x1  2 

1
1

d. x12x22h e. x13x32 t

 §iỊu kiƯn chung:  0 hc '  0 (*)

Theo định lí Viet ta cú:

)

2 (

.

)1

(

2
1
2
1

P

a

c

x

S

a

b

x

a. Trờng hợp: x1x2

Giải hệ

1 2

2
1

x

a

b

x

Thay x1, x2 vào (2) m

Chọn các giá trị của m thoả mÃn (*)
b. Trờng hợp: x12x22 k (x1 x2)2 2x1x2 k

Thay x1 + x2 = S =
a

b



vµ x1.x2 = P =
a
c

vào ta có:
S2 - 2P = k  Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)

c. Trêng hỵp: n x x nx x b nc
x

x1  2   1 2  1. 2   

1
1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

d. Trêng hỵp: 2 2 2 0

2
2

1 x h S P h

x

Giải bất phơng trình S2 - 2P - h  0 chän m tho¶ m·n (*)

e. Trờng hợp: x x23 t S3 3PS t

3
1

Giải phơng trình S3 3PSt chọn m thoả mÃn (*)

Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P

cđa chóng.

Ta cã u vµ v là nghiệm của phơng trình:
x2 - Sx + P = 0 (*)

(§iỊu kiƯn S2 - 4P  0)

Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u v v cn tỡm.

Nội dung 6:

giải phơng trình

bng phng phỏp t n s ph

Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0

Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = 0

Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau ú thay vo tỡm n x

Bảng tóm tắt

at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0

vô nghiệm vô nghiệm

2 nghiệm âm vô nghiệm

nghiệm kép âm vô nghiệm

1 nghim dng 2 nghim i nhau
2 nghim dng 2 cp nghim i nhau4 nghim

Bài toán 2: Giải phơng trình ( 2 12) ( 1) 0

C

x
x
B
x
x
A

Đặt

x

x 1 = t  x2 - tx + 1 = 0

Suy ra t2 = (
x

x  1 )2 = 2 12 2

x

x 1 2 2

2
2

t

x
x

Thay vào phơng trình ta có:

A(t2 - 2) + Bt + C = 0

 At2 + Bt + C - 2A = 0

Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vo

x

x 1 = t giải tìm x.

Bài toán 3: Giải phơng trình ( 2 12) ( 1 ) 0

C

x
x
B

x
x
A

Đặt

x

x 1 = t  x2 - tx - 1 = 0

Suy ra t2 = (
x

x  1 )2 = 2 12 2

x

x 1 2 2

2
2

t

x
x

Thay vào phơng trình ta cã:

A(t2 + 2) + Bt + C = 0

 At2 + Bt + C + 2A = 0

Giải phơng trình ẩn t sau ú th vo

x

x 1 = t giải tìm x.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng:
+ Phơng trình tích

+ Phơng trình bậc hai.

Nội dung 7:

giải hệ phơng trình

Bài toán:Giải hệ phơng trình

'

x

b

y

c

a

c

by

ax

Các phơng pháp giải:

+ Phng phỏp th
+ Phng phỏp cộng
+ Phơng pháp thế

+ Phơng pháp đặt ẩn phụ

Néi dung 7:

giải phơng trình vô tỉ

Bài toán 1:Giải phơng trình dạng f(x) g(x) (1)

Ta có

)3(

)(

)2(

0)

(

)(

2

xg

xf

xg

xf

Gii (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghim ca (1)

Bài toán 2:Giải phơng trình dạng f(x) h(x) g(x)

Điều kiện có nghĩa của phơng trình













0 )

(

0 )

(

0 )

(

x

g

x

h

x

f

Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x.

Néi dung 8:

giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

Bµi toán:Giải phơng trình dạng f(x) g(x)

Phơng pháp 1: f(x) g(x)

   











2
2

)

(

)

(

0 )

(

x

g

x

f

x

g

 Phơng pháp 2: Xét f(x) 0  f(x) = g(x)
XÐt f(x) < 0 - f(x) = g(x)

Phơng pháp 3: Với g(x) 0 ta cã f(x) =  g(x)

Néi dung 9:

gi¸ trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè y = f(x)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M

Do đó ymax = M khi g(x) = 0

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

y = m + [h(x)]2k kZ  y  m

Do đó ymin = m khi h(x) = 0

Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.

Phng phỏp 3: Da vo ng thức.

Néi dung 10:

các bài toán liên quan đến hàm số
* Điểm thuộc đờng - đờng đi qua một điểm

Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một

®iĨm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?

 Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và ch khi to ca A nghim ỳng

ph-ơng trình cđa (C)

A(C)  yA = f(xA)

Dó đó tính f(xA)

NÕu f(xA) = yA thì (C) đi qua A.

Nếu f(xA) yA thì (C) không đi qua A.

* s tơng giao của hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số

y = f(x) vµ y = g(x)

Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình hồnh độ
điểm chung:

f(x) = g(x) (*)

- NÕu (*) v« nghiƯm thì (C) và (L) không có điểm chung.
- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau.
- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.

* lp phng trỡnh ng thẳng

Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm

A(xA;yA) vµ cã hƯ sè gãc b»ng k.

Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k

- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta có phơng trình của (D)

Bi toỏn 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm

A(xA;yA); B(xB;yB)

Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b

(D) ®i qua A và B nên ta có:

b

ax

y

b

ax

y

A
A

Giải hệ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D)

Bài tốn 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và

tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)

Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hồnh độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc
b và suy ra phơng trình của (D)

Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm

A(xA;yA) k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)

Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hồnh độ điểm chung của (D) và (P) là:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiƯm kÐp.

Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***)

Từ (**) và (***)  a và b  Phơng trình ng thng (D).

A. Kiến thức cần nhớ.

1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.

b2 = ab' c2 = ac'

h2 = b'c'

ah = bc
a2 = b2 + c2

12 12 12

c
b
h

2. Tỉ số lợng giác cña gãc nhän.

0 < sin < 1 0 < coss < 1





cos

sin



tg





sin
cos

cotg  sin2 + cos2 = 1

tg.cotg = 1



 2

cos
1

1tg 



 2

sin
1
cot

1 g

3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B

TrÇn Quốc Hng -

Trờng THCS Gia Phơng

Phần II:
hình học

a
b'
c'

b
c

H
B

C
A

a
c

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

4. Đờng tròn.

- Cỏch xỏc nh: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc một và chỉ

một đờng tròn.

- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có một tâm đối xứng; có vơ số

trục đối xứng.

- Quan hệ vng góc giữa đờng kính và dây.

Trong một ng trũn

+ Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.

- Liờn h gia dõy v khoảng cách từ tâm đến dây:

Trong một đờng tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thỡ dõy ú ln hn

Trong một đờng trịn hay trong hai đờng trịn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lín h¬n.

- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng trịn:

Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệgiữa d và R
- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau

2 d < R

- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau

1 d = R

- Đờng thẳng và đờng trịn khơng giao nhau

0 d > R

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Vị trí tơng đối Số điểmchung Hệ thức liên hệ giữa dvà R
- Hai đờng tròn cắt nhau

2 R - r < OO' < R + r
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau

+ TiÕp xóc ngoµi
+ TiÕp xóc trong

1 OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai đờng trịn khơng giao nhau

+ (O) vµ (O') ë ngoµi nhau

+ (O) đựng (O')

+ (O) và (O') đồng tâm

OO' > R + r

OO' < R - r
OO' = 0

5. Tiếp tuyến của đờng trịn

- TÝnh chÊt cđa tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua

tiÕp ®iĨm.

- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tun:

+ Đờng thẳng và đờng trịn chỉ có một điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính

+ Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng trịn và vng góc với bán kính
đi qua điểm đó.

- TÝnh chÊt cđa 2 tiÕp tun c¾t nhau

MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn cắt nhau thì:
+ MA = MB

+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB

- Tiếp tuyến chung của hai đờng

tròn: là đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng trịn đó:

TiÕp tun chung ngoài Tiếp tuyến chung trong

6. Gúc vi ng trũn

Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo

B
O
A

d'
d

O'
O

d'
d

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2. Gãc néi tiÕp  1 

AMB sd AB

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung. xBA12sd AB

4. Góc có đỉnh ở bên trong
đ-ờng trịn

 1(   )

AMB sd AB sdCD

5. Góc có đỉnh ở bên ngồi

đ-ờng tròn

( )

AMB sd AB sdCD

 Chú ý: Trong một ng trũn

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung b»ng nhau th× b»ng nhau

- Gãc néi tiÕp nhá hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở

tâm cùng chắn một cung.

- Gúc ni tiếp chắn nửa đờng trịn là góc vng và ngợc lại góc vng nội

tiếp thì chắn nửa đờng trịn.

- Gãc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau.

7. di đờng tròn - Độ dài cung tròn.

- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d
- Độ dài cung trịn n0 bán kính R :

180

Rn
l

8. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn

- Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

360 2

R n lR
S 

M
B

B A

D
C

B
A

D
C

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

9. Cỏc loi ng trũn
ng trũn ngoi tip

tam giác Đờng tròn nội tiếptam giác Đờng tròn bàng tiếp tam giác

Tõm ng tròn là giao
của ba đờng trung trực

của tam giác ba đờng phân giác trong củaTâm đờng tròn là giao của
tam giác

Tâm của đờng trịn bàng
tiếp trong góc A là giao
điểm của hai đờng phân
giác các góc ngồi tại B
hoặc C hoặc là giao điểm
của đờng phân giác góc A
và đờng phõn giỏc ngoi

tại B (hoặc C)

10. Các loại hình không gian.

a. H×nh trơ.

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh

- Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2

- Thể tÝch h×nh trơ: V = Sh = r2h

b. H×nh nãn:

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl

- DiƯn tÝch toµn phần: Stp = 2rl + r2

- Thể tích hình trụ: V = 1 r2

3  h

c. H×nh nãn cơt:

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l

- ThĨ tÝch: V = 1 (12 22 1 2)
3h r r r r

d. Hình cầu.

- Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d

- Thể tích hình cầu: V = 4 3

3R

11. Tø gi¸c néi tiÕp:

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới
một góc .

B. các dạng bài tập.

Dạng 1: Chứng minh hai góc b»ng nhau.
 C¸ch chøng minh:

- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba

C
B

E
J
B

C
A

r: bán kính
Trong đó

h: chiÒu cao

r: bán kính
Trong đó l: đờng sinh

h: chiÒu cao

r1: b¸n kÝnh d¸y lín

r2: bán kính đáy nhỏ

Trong đó l: đờng sinh
h: chiều cao

R: bán kính

Trong đó

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c

- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đơi một bằng nhau
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba

- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đơi một song song hoặc
vng góc

- Hai góc ó le trong, so le ngồi hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh

- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều

- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng

- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng b»ng nhau
 C¸ch chøng minh:

- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của mmột tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau

- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng)
- Hai cạnh bên của hình thang cân

- Hai dây trơng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng

bằng nhau.

Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song
 Cách chứng minh:

- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vng góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau:

+ ở vị trí so le trong
+ ở vị trí so le ngồi
+ ở vị trí đồng vị.

- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành

Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vng góc
 Cách chứng minh:

- Chúng song song song song với hai đờng thẳng vng góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giỏc.

- Đờng kính đi qua trung điểm dây và dây.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.

Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy.
 Cách chứng minh:

- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba
phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngồi của hai góc kia)

- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.

D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau
 C¸ch chøng minh:

* Hai tam giác thờng:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)

* Hai tam giác vuông:

- Có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau

- Cú cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vng bằng nhau
- Cạnh góc vng đơi một bằng nhau

Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
 Cách chứng minh:

* Hai tam gi¸c thêng:

- Có hai góc bằng nhau đôi một

- Cã mét gãc b»ng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ
- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ

* Hai tam giác vuông:

- Có một góc nhọn bằng nhau

- Có hai cạnh góc vuông tơng øng tû lƯ

Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học
 Cách chứng minh:

Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*)
- Chứng minh: MAC MDB hoặc MAD MCB

- Nếu 5 điểm M, A, B, C, D cúng nằm trên một đờng thẳng thì phải chứng
minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba:

MA.MB = ME.MF
MC.MD = ME.MF
Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB

MCE MFD

 MA.MB = MC.MD

* Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp

C¸ch chøng minh:

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

- Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới
một góc .

Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R)
 Cách chứng minh:

- Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R)

- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính
- Dùng góc nội tiếp.

Dạng 10: Các bài tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc

Cách tính:

- Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông.
- Dựa vào tỷ số lợng giác

- Da vo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vng
- Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tớch...

đây chỉ là một số kiến thức cơ bản của chơng trình toán 9

ụn tp tt hn cỏc em cần

</div>

TONG HOP KIEN THUC ON THI VAO LOP 10 THPT

<b>tổng hợp kiến thức </b>

<b>và cách giải các dạng bài tập toán 9</b>

<b>tổng hợp kiến thức </b>

<b>và cách giải các dạng bài tập toán 9</b>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

.

0

0

<i>a</i>













0

0

<i>a</i>











0

0

<i>b</i>

<i>a</i>













0

0

<i>a</i>













0

0

<i>a</i>

0

0

<i>a</i>













0

0

<i>a</i>

0

0

<i>a</i>

0

0

<i>a</i>

0

0

<i>b</i>

<i>a</i>

0

0

<i>a</i>



