Dung dieu kien co nghiem cua phuong trinh bac haide giai mot so bai tap dai so dang khac

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A- Đặt vấn đề</b>

I.<b>Cơ sở khoa học</b>

Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn

đời sống thì bất cứ mơn học nào cũng địi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố
gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tịi, có tính kiên trì, nhẫn lại, khơng
nản lịng khi gặp khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này.
Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri thức khoa học và cơng nghệ hiện
đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong cơng nghiệp, vận dụng được
các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo; là người cơng
dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là
đúng, đâu là sai; có chân lý rõ ràng.

Trong trường phổ thơng mơn tốn chiếm một vị trí khá quan trọng vì
nó giúp các em tính tốn nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic,
không những thế nó cịn hỗ trợ cho các em học tốt các mơn học khác như: vật
lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào,
trong cơng tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các
bạn …” (Phạm Văn Đồng)

Mơn tốn là mơn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu
tượng nhưng chặt chẽ logic, đòi hỏi học sinh phải biết phán đốn, lập luận,
suy luận chặt chẽ, là mơn học “thể thao của trí tuệ”. Để nắm được kiến thức
và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích,
tìm tịi, phán đốn … từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thơng minh sáng
tạo.

Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hố hoạt động
học của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nâng cao năng lực
phát triển và giải quyết vấn đề, từ đó học sinh tự lực khám phá những điều

mình cha biết chứ khơng phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn.
Trong tiết lên lớp giáo viên là ngời tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các
hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ, tìm tịi phát hiện kiến thức mới,
luyện tập vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trong q trình giảng dạy tơi đã luôn cố gắng làm thế nào để rèn và
phát triển t duy cho học sinh với mục đích giúp các em có khả năng tiếp thu
bộ mơn Toán tốt hơn.

Đối với chơng trình Tốn lớp 9, phần phơng trình bậc hai là một
phần khá dễ tiếp thu với học sinh, song việc sử dụng kiến thức về phơng trình
bậc hai để giải quyết một số bài tập nâng cao thì học sinh gặp khó khăn, mà
những kiến thức này còn tiếp tục phát triển ở các lớp học trên nhất là chơng
trình tốn ở phổ thơng trung học và rất cần thiết đối với ngời học toán.
Phần lớn học sinh khi học phần này đều thấy khó hiểu và luôn ngại
làm các bài tập dạng này, nhng khi đã hiểu thì lại rất say mê.

<b>II. Mục đích nghiên cứu</b>

Chính vì những lý do trên mà tơi đã tìm tịi suy nghĩ nghiên cứu và
đã áp dụng vào thực tế giảng dạy việc sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng
trình bậc hai để giải các bài tập đại số dạng khác đồng thời nhằm phát triển t
duy cho học sinh. Bên cạnh đó tơi đã hệ thống sắp xếp các bài tập từ dễ đến
khó, bài tập sau đợc phát triển từ bài tập trớc. Mục đích của tôi là rèn t duy
cho học sinh trong giải toán, hớng cho học sinh cách suy nghĩ, hớng làm khi
đứng trớc một bài tập toán. Bên cạnh cịn giúp cho học sinh có khả năng chủ
động tự ra đề toàn mới tơng tự hoặc phát triển từ một bài toán đã biết đồng
thời hớng cho học sinh cách nghĩ, cách giải một bài toán từ những kiến thức
không mấy liên quan trong đề bài…

Tôi đã áp dụng kinh nghiệm “<i>Dùng điều kiện có nghiệm của phơng </i>
<i>trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác</i>” và đã thấy đợc những
kết quả khả quan, có đạt đợc những mục đích mong muốn.

<b>III. §èi tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu </b>

Trong kinh nghiệm của mình tơi xin trình bày kỹ năng sử dụng
điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai vào giải tốn và cách làm xuất
hiện phơng trình bậc hai trong bài tốn tởng chừng khơng mấy liên quan
Trong mỗi một bài tập minh họa tơi đều có hớng dẫn gợi ý để học
sinh tự phát hiện ra cách làm. Sau mỗi dạng, mỗi loại tơi thờng chốt lại phơng
pháp làm và có đa ra bài tập tơng tự tự luyện..

Trong kinh ngiệm này bài tập chủ yếu tơi đề cập đến trong chơng
trình lớp 9 hệ thống bài tập từ dễ đến khó tuỳ theo khả năng tiếp thu của học
sinh đến đâu thì ta áp dụng đến đó. Kinh nghiệm này có thể áp dụng dạy
chuyên đề, có thể dạy ở các tiết luyện tập, ôn tập cuối năm cho hc sinh.

<b>IV. Kế hoạch nghiên cứu:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

dy. Tụi chọn hai lớp học sinh cơ bản có trình độ đồng đều, một lớp tôi sẽ áp
dụng kinh nghiệm đã nghiên cứu, lớp cịn lại làm đối chứng

<b>V. Ph¬ng pháp nghiên cứu</b>

Trờn c s rỳt kinh nghim t quỏ trình dạy học trên lớp, kinh nghiệm
bồi dỡng học sinh giỏi khi thực hiện nghiên cứu và áp dụng kinh nghiệm này
trong thực tế giảng dạy tôi đã vận dụng các phơng pháp nghiên cứu sau: -
Phơng pháp suy luận

- Phơng pháp phân tích tổng hợp

- Phơng pháp đặc biệt hóa- khái quát hóa
- Phơng pháp gợi mở

- Phơng pháp đại số …

<b>VI. Thêi gian hoµn thµnh: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>B- giải quyết vấn đề</b>

I. Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí

<b>1. Phương trình bậc hai một ẩn</b>

<i><b> a. Định nghĩa</b></i>

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là
phương trình có dạng: ax2_{+ bx + c = 0}

Trong đó x là ẩn, a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a0

<i> b. Công thức nghiệm</i>

Phương trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}_₀_{) có}_{ }<i>_b</i>2 _-_4ac.

+ Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
<i>b</i>

<i>x</i>
<i>a</i>
  


; x2 =

<i>− b −</i>√<i>Δ</i>

2<i>a</i>

+ Nếu  0_{thì phương trình có nghiệm kép:}

1 2 2

<i>b</i>
<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>

 

+ Nếu  0_{thì phương trình vơ nghiệm}

<i><b> c. Công thức nghiệm thu gọn</b></i>

Phương trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}_₀_{) và b = 2b’}

 ' <i>b</i>'2 <i>ac</i>

+ Nếu  ' 0_{thì phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt}

' '
1
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
  

;
' '
2
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
  


+ Nếu  ' 0_{thì phương trình có nghiệm kép:}

'
1 2
<i>b</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i>
 

+ Nếu <i>Δ</i> ’_{< 0} _{thì phương trình vơ nghiệm}

<i><b> d. Hệ thức viét</b></i>

Nếu <i>x x</i>1, 2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 (a0) thì:
1 2 ; 1. 2

<i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>a</i> <i>a</i>

  

<i> e. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng</i>

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của
phương trình <i>x</i>2 <i>Sx P</i> 0_{điều kiện để có hai số đó là}<i>S</i>2 4<i>P</i>0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>2. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai</b>

a. Phương trình trùng phương
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
c. Phương trình tích

d. Phương trình bậc cao
e. Phương trình vơ tỉ

<b>3. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai</b>

a. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2_{+ bx +c = 0 (a}_₀_{) có hai}

nghiệm: x1 = 1; x2 =

<i>c</i>
<i>a</i>

b. Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2_{+ bx + c = 0 (a}_₀_{) có hai}

nghiệm phân biệt: x1= - 1; x2=

<i>-c</i>
<i>a</i>

<b>4. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm</b>

a. Phương trình bậc hai ax2_{+ bx + c = 0 (a}_₀_{) có nghiệm khi}_{ }0

hoặc ac < 0
b. Chú ý:

+ Nếu ac 0_{mà a}0_{thì phương trình ax}2_{+ bx + c = 0 có nghiệm.}

+ Nếu chỉ có ac 0_{thì chưa đủ để phương trình ax}2_{+ bx + c = 0 có}

nghiệm.

<b>5. Định lý về dấu của đa thức bậc hai</b>

Cho đa thức bậc hai f(x) = ax2_{+ bx +c = 0 (a}_₀₎

a. Nếu  0_{thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x}

b. Nếu  0_{thì f(x) cùng dấu với a với} 2

<i>b</i>
<i>x</i>

<i>a</i>

 

c. Nếu > 0 thì:

+ f(x) trái dấu với a với mọi giá trị của x nằm trong khoảng hai nghiệm
+ f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x nằm ngoài khoảng hai

nghiệm
<i>Chứng minh</i>

Ta có

 

2

f x b c

x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2 ₂ 2

2 2

b b 4ac b

x x

2a 4a 2a 4a

 

   

_  _  _  _ 

   

a. Nếu  0_thì

 

f x
0

a  _{do đó f(x) ln cùng dấu với a với mọi x}
b. Nếu  0_thì

2

f (x) b

(x ) 0

a  a  _{do đó f(x) luôn cùng dấu với a với}
b

x
a

 

c. Nếu  0_thì 1 2

f (x)

(x x )(x x )

a    _{do đó (giả sử}<i>x</i>1<i>x</i>2):
+ f(x) trái dấu với a nếu x1 x x 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

II. Bµi tËp thĨ hiƯn

<i>Dạng 1: </i><b>Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm</b>

Bài 1: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

¿

4<i>x −</i>3<i>y</i>=7(1)

2<i>x</i>2

+5<i>y</i>2=<i>m</i>(2)
¿{

¿

<i>Hướng dẫn: Vì đã biết cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế nên </i>
học sinh đều biết rút x theo y từ phương trình (1) và thế vào phương trình (2)
để xuất hiện phương trình một ẩn

Từ (1) ta có x = 3<i>y</i>₄+7 thế vào (2) ta được
2.( 3<i>y</i>₄+7 )2_{+ 5y}2_{= m}

Thu gọn được 49y2_{+ 42y + (49 - 8m) = 0 (3)}

Để hệ phương trình có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm
  ₀ ₂₁2_{- 49.(49 - 8m)}_₀

 _m 5

<i>Bài 2: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình:</i>

2 2 2

x y a 1 (4)

x y 2a 2 (5)

  




  



a. Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
b. Tìm giá trị của a để tích xy có giá trị lớn nhất.

<i>Hướng dẫn: Tương tự bài 1 hầu hết học sinh đều biết dùng phương pháp thế </i>
đưa điều kiện có nghiệm của hệ về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc
hai

a. Từ (4) suy ra y = a + 1 - x thế vào (5) ta có
x2_{+ (a + 1 - x)}2_{= 2.a}2 _{- 2}

 _2x2_{- 2(a + 1)x - a}2_{+ 2a + 3 = 0 (6)}

Hệ phương trình có nghiệm  _{Phương trình (6) có nghiệm}

 _  0

 _{(a + 1)}2_{- 2(- a}2_{+ 2a + 3)} ₀

 _3a2_{- 2a - 5} ₀

 _{(3a - 5).(a + 1)} ₀

 _a _{-1 hoặc a} 5

3 (*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>⇒</i> xy = - 1₂ a2_{+ a +} 3

2

Đến đây thì học sinh hồn tồn bị lúng túng vì khi tìm theo cực trị của
tam thức bậc hai thì khơng có a thỏa mãn điều kiện để tồn tại x, y mà

xy = - 1₂ (a - 1)2_{+ 2} _{2 nhưng dấu “=” xảy ra khi a = 1 không thỏa mãn}

(*)

Vì thế 2 khơng phải là giá trị lớn nhất của xy

Tôi cho các em nhận dạng đồ thị của hàm số xy = f(a) = - 1₂ a2_{+ a +} 3

2
Do đồ thị hàm số xy = f(a) = - 1₂ a2_{+ a +} 3

2 là một parabol quay xuống
dưới

Mặt khác f(-1) = 0, f( 5₃ ) =1 7₉

Do vậy giá trị lớn nhất của xy là 1 7₉ khi x = y = 5₃

Khi đó a = 5₃

Như vậy học sinh đều thấy rằng để tìm điều kiện có nghiệm của hệ
phương trình ta đều phải biến đổi và đưa về tìm điều kiện có nghiệm của
phương trình một ẩn.

<i>Dạng 2: </i><b>Chứng minh bất đẳng thức</b>

<i>Bài 3: Cho x</i>2_{= 3.(xy + y – y}2₎

Chứng minh rằng: 0 y  4

<i>Hướng dẫn: Với bài này học sinh chưa biết sẽ bắt đầu từ đâu, tôi đã gợi ý các</i>
em hãy viết về dạng phương trình bậc hai của một biến. Hầu hết các em đều
quen phương trình ẩn x nên đã đưa về phương trình bậc hai với ẩn x như sau:
Vì x2_{= 3.(xy + y – y}2_{) suy ra x}2_{– 3xy – 3y + 3y}2_{= 0}

Rõ ràng vì tồn tại x, y nên phương trình trên có nghiệm
Để phương trình bậc hai đối với ẩn x có nghiệm thì :
 = 9y2 - 12y2 + 12y  0

 _{12y – 3y}2 _₀

 _{3y.(4 – y)} 0

 _{y.(4 – y)} 0

 ₀ y  4

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Nếu y = 4 thì x = 6

Vậy 0 y  4. Dấu bằng xảy ra khi x = 0 hoặc x = 6

<i>Bài4 : Cho a, b, c, thoả mãn hệ điều kiện: </i>

a b c 5
ab bc ac 8

  




  



Chứng minh rằng: 1 a  7

3

<i>Hướng dẫn: Ở bài này thì khơng thể biến đổi như bài 3 mà ra ngay phương </i>
trình bậc hai được, học sinh cần chú ý tới hai số có tổng và tích

Vì a + b + c = 5 nên b + c = 5 - a

ab + bc + ac = 8  _{bc = 8 - a.(b + c) = 8 - a.(5 - a) = a}2_{- 5a + 8}

Suy ra b, c là nghiệm của phương trình
x2_{- (5 - a).x + (a}2_{- 5a + 8) = 0}

Do tồn tại b, c nên phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm
   0

 _{(5 - a)}2_{- 4.(a}2_{- 5a + 8)}_₀

 _a2_{- 10a + 25 - 4a}2_{+ 20a - 32} 0

 _{- 3a}2_{+ 10a - 7}_₀

 _-3a2_{+3a + 7a - 7}_₀

 _{-3a.(a - 1) + 7.(a - 1)} 0

 _{(a - 1).( -3a + 7)} 0

 ₁ a  7

3

Tương tự b và c cũng có tính chất như vậy.
<i>Bài 5: Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: </i>

a + b + c = - 2 (1), a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 2 (2)}

Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [- 4₃ ; 0] khi biểu
diễn trên trục số

<i>Hướng dẫn: Vì dạng của bài tập này giống bài 2 nên hầu hết học sinh đều </i>
biết đưa về tổng và tích của hai số nào đó

Bình phương hai vế của (1)

a2_{+ b}2_{+ c}2_{+ 2.(ab + bc + ac) = 4}

Do (2) nên ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1

Suy ra bc = 1 - a.(b + c) = 1 - a.(- 2 - a) = a2_{+ 2a + 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Do đó b, c là nghiệm của phương trình
x2_{+ (a + 2).x + (a}2_{+ 2a + 1) = 0}

Để tồn tại X phải có  ₀

 _{(a + 2)}2_{- 4(a}2_{+ 2a + 1)}_₀

 _{a.(3a + 4)} 0  _- 4

3  a  0
Tương tự - 4₃  b  0, - 4

3  c  0
<i>Dạng 3:</i><b> Tìm cực trị của một biểu thức</b>

<i>Bài 6: Cho phương trình x</i>4_{+ 2x}2_{+ 2ax + (a + 1)}2_{= 0 (1)}

Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình:
a. Đạt giá trị nhỏ nhất

b. Đạt giá trị lớn nhất

<i>Hướng dẫn: Khi tơi đưa ra bài tập này thì học sinh đều thắc mắc đây là </i>
phương trình bậc 4 và tìm cách đổi biến đưa về phương trình bậc hai

Tơi đã gợi ý các em cần đọc kỹ yêu cầu, tơi nhấn mạnh ở đây cần lưu ý là có
a thì nghiệm cần điều kiện gì, lập tức có học sinh đã phát hiện ra ngay cần
đưa về phương trình ẩn a

Gọi m là nghiệm của phương trình (1) đã cho thì:
m4_{+ 2m}2_{+ 2am + (a + 1)}2_{= 0}

 _m4_{+ 2m}2_{+ 2am + a}2_{+ 2a + 1 = 0}

 _a2_{+ 2.(m + 1).a + (m}4_{+ 2m}2_{+ 1) = 0}

Đây là một phương trình bậc hai đối với ẩn a, để tồn tại a phải có  

0

 _{(m + 1)}2_{- m}4_{- 2m}2_{- 1}_₀

 _{- m}4_{- m}2_+2m_₀

 _{- m.( m}3_{+ m - 2)}_₀

 _{m.(m - 1).(m}2_{+ m + 2)}_₀

 _{m.(m - 1)} 0 Do m2 + m + 2 = (m + 1

2 )2 +

7
4 > 0
 ₀ m  1

a. Nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất là 0 với a = -1
b. Nghiệm của phương trình đạt giá trị lớn nhất là 1 khi a = -2
<i>Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:</i>

A = <i>x</i>2<i>− x</i>+1

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i>Hướng dẫn: Tương tự bài tập trên học sinh đã biết để tìm cực trị của biểu </i>
thức A thì cần đưa về phương trình bậc hai với ẩn là x song các em còn lúng
túng chưa biết biến đổi thế nào, tôi đã hướng dẫn các em nư sau:

Gọi a là một giá trị nào đó của biểu thức A rồi đưa về phương trình bậc
hai với ẩn x, đến đây học sinh đã biết cách làm như sau:

a = <i>x</i>
2

<i>− x</i>+1

<i>x</i>2+<i>x</i>+1

Do x2_{+ x + 1} _{0 nên phương trình tương đương với}

ax2_{+ ax + a = x}2_{- x + 1}

 _{(a - 1)x}2_{+ (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2)}

*. Nếu a = 1 thì Phương trình (2) có nghiệm x = 0
*. Nếu a 1 để phương trình (2) có nghiệm thì   0

 _{(a + 1)}2_{- 4(a - 1)}2_₀

 _a2_{+ 2a + 1 - 4a}2_{+8a - 4}_₀

 _-3a2_{+ 10a - 3}_₀

 _3a2_{-10a + 3}_₀

 _3a2_{- a - 9a + 3}_₀

 _{(3a - 1).(a - 3)} 0

 1

3  a 3 (a 1)

Với a = 1₃ hoặc a = 3 thì nghiệm của phương trình (2) là x =

<i>a</i>+1

2 .(1<i>−a</i>)

Với a = 1₃ thì x = 1, a = 3 thì x = -1

Vậy biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 1₃ khi x = 1
Biểu thức A có giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = -1
<i>Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức </i>

B = <i>x</i>2<i>−</i>xy+<i>y</i>2

<i>x</i>2+xy+<i>y</i>2

Hướng dẫn: Bài tập này khác bài trên vì có hai ẩn x, y vì thế học sinh đã rất
lúng túng. Tơi hướng dẫn các em chia tử và mẫu cho y khác 0 xem sao.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Xét y 0 thì B =

<i>x</i>
<i>y</i>¿

2

<i>−</i> <i>x</i>

<i>y</i>+1

¿

<i>x</i>
<i>y</i>¿

2

+<i>x</i>

<i>y</i>+1

¿

¿
¿

= <i>a</i>2<i>− a</i>+1

<i>a</i>2

+<i>a</i>+1 Đặt

<i>x</i>

<i>y</i> = a

Đến đây thì học sinh đã nhận ra giống như bài tập trên mà các em đã biết
cách làm.

Biểu thức B nhận giá trị m khi và chỉ khi phương trình ẩn a sau có nghiệm
m = <i>a</i>2<i>− a</i>+1

<i>a</i>2

+<i>a</i>+1

 _ma2_{+ ma + m = a}2_{- a + 1 Do a}2_{+ a + 1 > 0}

 _{(m - 1).a}2_{+ (m + 1).a + m - 1 = 0 (3)}

*. Với m = 1 thì a = 0

*. Với m 1 để phương trình (3) có nghiệm thì   0

 _{(m + 1)}2_{- 4(m - 1)}2 _₀

 _m2_{+ 2m + 1 - 4m}2_{+8m - 4}_₀

 _-3m2_{+ 10m - 3}_₀

 _{( m - 3).(1 - 3m)} 0

 1

3<i>≤ m≤</i>3

Khi đó A có giá trị nhỏ nhất là 1₃ với a = 1 nên x = y
A có giá trị lớn nhất là 3 với a = -1 nên x = - y
<i>Bài 9: Tìm các số m, n để biểu thức </i>

2

2

2x mx n

A

x 1

 





a. Nhận giá trị nhỏ nhất bằng 1
b. Nhận giá trị lớn nhất bằng 6

<i>Hướng dẫn: Bài này thì ngược lại so với các bài tập trên, hầu hết các em đều </i>
gặp khó khăn và lúng túng không biết bắt đầu từ đâu. Tơi hướng dẫn các em
hãy cứ tìm xem để có x thì biểu thức A có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như thế
nào. Do đã được làm các bài tập trên nên học sinh biết cách tìm như sau:
Gọi a là giá trị tùy ý của A thì:

a = 2<i>x</i>2+mx+<i>n</i>

<i>x</i>2+1 vì x

2_{+ 1 > 0 suy ra}

(a - 2)x2 _{– mx+ (a - n) = 0 (4)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

 _{Xét a}2 tìm điều kiện để (4) có nghiệm
 = m2 – 4(a - 2)(a - m)0

 4a2  4(n 2)a (8n m ) 0   2  (5)

Đến đây tôi hướng dẫn các em tiếp tục khai thác những điều kiện bài
cho.

Nghiệm của bất phương trình (5) là a1 a a2trong đó a_1,a₂ là các
nghiệm của phương trình 4a2  4(n 2)a (8n m ) 0   2  (6).

Theo bài ra ta có 1 a 6  _{. Như vậy cần tìm m, n để (6) có 2 nghiệm là}

a1 = 1, a2 = 6.

Theo viét (Nếu (6) có nghiệm)

¿

<i>a</i>₁+<i>a</i>₂=4(<i>n</i>+2)

4

<i>a</i>₁<i>a</i>₂=8<i>n −m</i>

2
4
¿{
¿
<i>⇔</i>
¿

7=<i>n</i>+2

24=8<i>n −m</i>2
¿{

¿

<i>⇔</i>

¿

<i>n</i>=5

<i>m</i>=<i>±</i>4
¿{

¿

Với n = 5; m = <i>±</i> 4 thỏa mãn điều kiện có nghiệm của (6)
Vậy:

*. n = 5;m = 4 thì

2
2

2 4 5

1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i>
 


 có GTNN là 1, có GTLN là 6

*. n = 5; m = - 4 thì

2
2

2 4 5

1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i>
 


 _{có GTNN là 1, có GTLN là 6}

<i>Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của A=</i>

2 1
<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

với x > 0

<i>Hướng dẫn: Ban đầu các em thấy biểu thức này có dạng hồn tồn khác các </i>
biểu thức ở trên nên lúng túng chưa biết làm thế nào, tơi đã gợi ý các em vẫn

biến đổi hồn tồn tượng tự như các bài trên và bình phương đưa về phương
trình bậc hai

Biểu thức A nhận giá trị là m do đó phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:

2 1 2 1

m x x m x x

x x

      

(7)
Với m  x > 0 (7)  

2 2 2 1

m 2mx x x

x

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ở (8) do m 0_{nên (8) là phương trình bậc hai}

Điều kiện để phương trình (8) có nghiệm là:
 0

 m4  8m 0

Do m > 0  _m3 _₈_ _m_₂

*. m = 2

1
2

<i>x</i>

 

thỏa mãn điều kiện 0 < x m
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 với x =

1
2

Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2

2

x 4 2x 3

x 1

 



<i>Hướng dẫn: Đến bài tập này thì các em đã quen với cách làm nên đã biết </i>
biến đổi để làm xuất hiện phương trình bậc hai

Với mỗi giá trị của x ta thấy biểu thức có một giá trị a tương ứng
<i>a</i>

2

2

x 4 2x 3

x 1

 



Vì x2_{+ 1 > 0 nên biến đổi và thu gọn ta được phương trình sau:}

(a - 1) x2_{- 4}

√2 x + a - 3 = 0 (9)
Với a = 1 thì x = <i>−</i>√2

4

Với a 1 phương trình (9) có nghiệm   0

 _{- a}2_{+ 4a + 5} ₀_ _{(a + 1).( 5 - a)} ₀

 _{- 1} _a ₅

a có giá trị nhỏ nhất là -1 x 2

a có giá trị lớn nhất là 5

2
x

2

 

<i>Bài 12: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: </i> 2 2
x 2y 1

x y 7

 

 

<i>Hướng dẫn: Hoàn toàn tương tự các bài tập quen thuộc ở trên song phức tạp </i>
hơn ở chỗ chúng ta có hai tham số.

Đưa về xét điều kiện có nghiệm của phương trình:
a = 2 2

x 2y 1

x y 7

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Với x là ẩn, y là tham số tùy ý, a là tham số có điều kiện:
*. a =0  x 2y 1 0  

*. a0 phương trình có nghiệm x khi 1 4a(ay 2  2y 7a 1) 0  

 4a y2 2 8ay 28a 2 4a 1 0  (11)

(11) là bất phương trình ẩn y, bất phương trình này xảy ra <i>y</i>
  y 0

2 4 3 2

16a 112a 16a 4a 0

    

4 3 2

112a 16a 20a 0

    

2

28a 4a 20 0 (a 0)

     

(2a 1)(14a 5) 0

   

5 1

a

14 2



  

Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2

2 1

7

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

 

  _là

1

2_{khi y = 2, x = 1}

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

2 1

7

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 

  _là

5
14



khi x =

7
5



, y =

14
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Bài tập tương tự:</b>

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của:
a, 2

x
A
x 1

 _b,
2
2

x 2x 2

B

x 2x 2

 



 

Bài 2: Cho biểu thức

2

2

x mx n

A

x 2x 4

 



 

Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng

1
3_{, giá}

trị lớn nhất bằng 3.

Bài 3: Gọi x1, x2 lànghiệm của các phương trình sau, tìm các giá trị của m để
2 2

1 2

x x _{có giá trị nhỏ nhất.}

a) x2 _{– (2m - 1)x + (m - 2) = 0}

b) x2 _{+ 2(m + 2)x - (2m - 7) = 0}

Bài 4: Tìm GTNN của

5
1
<i>x</i>
<i>C</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 

 _{với 0 < x < 1}

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức

x2_{+ 2y}2_{- 2xy + 2x - 4y + 3 > 0}
B i 6à : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtcủa

A = 2<i>x</i>+1

<i>x</i>2

+2

B i 7: Bà iết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình

¿

<i>x</i>+<i>y</i>=<i>m</i>

<i>x</i>2+<i>y</i>2=<i>−m</i>2+6
¿{

¿

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy + 2(x + y).
Bài 8: Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình

¿

<i>x</i>+<i>y</i>=2<i>a −</i>1

<i>x</i>2

+<i>y</i>2=<i>a</i>2+2<i>a −</i>3
¿{

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

III. KÕt qu¶:

Sau khi áp dụng kinh ngiệm “<i>Dùng điều kiện có nghiệm của phơng </i>
<i>trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác</i>” tôi thấy học sinh tích
cực, hăng say học tập mơn tốn hơn. Các em đã có khả năng biết xâu chuỗi
bài toán lại với nhau, khi gặp một bài toán mới đã có những phán đốn nh
t-ơng tự, giống bài tốn nào đó đã gặp, đã làm đồng thời biết liên hệ, sử dụng
kiến thức đã đợc học vào giải quyết bài tập ... và cụ thể kĩ năng giải toán của
học sinh tốt hơn rất nhiều. Trên thực tế tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm
tra trên hai lớp 9A và 9B. Lóp 9A đợc dạy áp dụng kinh nghiệm trên, lớp 9B
tôi chỉ dạy đơn thuần là luyện tập và chữa bài tập trong sách giáo khoa và
sách bài tập. Kết quả bài kiểm tra cụ thể nh sau:

Líp SÜ sè Giái Kh¸ TB Ỹu

SL % SL % SL % SL %

9A 38 14 36,8 18 47,4 6 15,8 0 0

9B 33 3 9,1 10 30,3 16 48,5 4 12,1

Bảng kết quả đã thể hiện kinh nghiệm “<i>Dùng điều kiện có nghiệm của </i>
<i>phơng trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác</i>” mang lại hiệu
quả đáng kể trong giảng dạy. Không những kết quả bài kiểm tra lớp 9A cao
hơn mà ý thức học tập bộ môn của các em học sinh lớp 9A cũng tốt hơn, các
em yêu thích bộ mụn hn

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>C- Kết luận và khuyến nghị</b>

I. bµi häc kinh nghiƯm.

Dạy học Tốn địi hỏi phải cuốn hút học sinh vào nhng hoạt động học
tập do giáo viên tổ chức, chỉ đạo thông qua đó học sinh tự khám phá điều
mình cha biết. Để đảm bảo tiết học có hiệu quả, có chất lợng đòi hỏi ngời
thầy phải đầu t thời gian và trí tuệ vào nội dung của từng tiết học biết cách
vận dụng tốt các phơng pháp tổng quát hoá, đặc biệt hoá tơng tự để từ nhng
kiến thức đã có giúp học sinh mở rộng đào sâu hệ thống hoá kiến thức... giúp
học sinh biết cách tìm lời giải của một bài tốn khó hoặc cao hơn bằng cách
liên hệ với các kiến thức đã biết, đã đợc học.

Muốn rèn và phát triển t duy học toán cho học sinh đòi hỏi ngời thầy
phải thờng xuyên học hỏi tìm tịi nghiên cứu ln có ý thức tập hợp các bài
tốn theo một hệ thống có logíc, có phát triển, mở rộng...

II. phẠm vi ¸p dơng.

Để áp dụng được kinh nghiệm này một cách có hiệu quả nhất thì:

- Đối với giáo viên: Phải nhiệt tình cơng tác, tâm huyết và u nghề.

Điều cơ bản nhất là vốn tri thức của mỗi giáo viên, đồng thời mỗi giáo
viên cần phải đọc và đọc nhiều tài liệu tham khảo từ đó tự mình hệ thống
kiến thức lại theo từng dạng, theo từng mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản
đến phức tạp.

Khi giảng dạy giáo viên cần nắm được khả năng, trình độ của mỗi học

sinh, mỗi nhóm, mỗi lớp để đưa ra bài tập ở mức độ nào phù hợp tránh hiện
tượng quá tải.

- Đối với học sinh: Các em cần tự giác học tập, nắm được kiến thức cơ bản.
Mỗi học sinh cần tạo cho mình sự say mê, ham thích tìm tịi khám phá cái
mới.

Tạo ra thói quen suy luận lơgic mọi vấn đề, tích cực chủ động đón
nhận và giải quyết những bài tập, những tình huống theo yêu cầu của chương
trình hay được bổ sung thêm.

- Đối với nhà trường:

Tạo điều kiện mọi mặt cho giáo viên, tích cực tu bổ và bổ sung tài liệu
tham khảo cho cả giáo viên và học sinh có thể mượn để nghiên cứu và học
tập.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Với đối tượng học sinh giỏi: nhà trường có kế hoạch cho giáo viên
giảng dạy ngay từ đầu năm…

Trong kinh ngiệm này bài tập chủ yếu tơi đề cập đến trong chơng trình
lớp 9 hệ thống bài tập từ dễ đến khó tuỳ theo khả năng tiếp thu của học sinh
đến đâu thì ta áp dụng đến đó. Kinh nghiệm này có thể áp dụng dạy chuyên
đề, có thể dạy ở các tiết luyện tập, ôn tập cuối năm cho học sinh.

III. hạn chế:

Trong kinh nghiệm này bài tập thể hiện còn ít, cha nhiều dạng, loại, tôi
mới dừng lại ở 3 dạng toán: tìm điều kiện có nghiệm của hệ phơng trình, toán
chứng minh, toán tìm cực trị mà cha mở rộng sang nhiều dạng, loại khác.

IV. híng tiÕp tơc nghiªn cøu

Các loại tốn này cịn tiếp tục mở rộng và nâng cao lên các lớp trên và
với các dạng tốn khác nhau. Vì thế tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để áp dụng vào
dạy trong chơng trình 9 đối với học sinh đại trà và học sinh giỏi cũng nh sẽ
nghiên cứu áp dụng để giải sang nhiều loại toán khác cho phong phú.

Mơn Tốn là một mơn học cơ bản mà hầu nh mọi học sinh đều mang
tâm lý thích song lại sợ. Vì thế việc tìm ra phơng pháp dạy nhằm giúp học
sinh hệ thống đợc kiến thức, bài tập, rèn kỹ năng và phát triển đợc t duy sáng
tạo của học sinh là rất cần thiết.

Trên đây tơi đã mạnh dạn trình bày kinh nghiệm “<i>Dùng điều kiện có </i>
<i>nghiệm của phơng trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác</i>”.
Kinh nghiệm đã đợc tôi áp dụng vào thực tế giảng dạy song thiếu xót là điều
khơng tránh khỏi. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng
nghiệp.

Tôi xin đợc chân thành cảm ơn!

<i>Mễ Sở, ngày 29 tháng 3 năm 2012</i>
<i> </i> Ngêi viÕt

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Mơc lơc</b>

<i><b>§Ị mơc</b></i> <i><b>Trang</b></i>

A. Đặt vấn đề 2

I. C¬ së khoa häc 2

II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Đối tợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 4
IV. Kế hoạch nghiên cứu 4
V. Phơng pháp nghiên cứu 4
VI. Thời gian hoàn thành 5

B. Giải quyết vấn đề 6

I. Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí 5

II. Bµi tËp thĨ hiƯn 9

III. KÕt qu¶ 17

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

ý kiến đánh giá của tổ chuyên

m«n ...
...
... ...
...
...
...
...
... ...
...
...
...

ý kiến đánh giá của Hội đồng khoa học trờng

...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...

kiến đánh giá của Hội đồng khoa học Phòng GD và ĐT

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

...
...
...
...
...

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23></div>

<!--links-->