Hướng dẫn học trường lớp 11 trường THPT thường xuân 2 giải bài tập khoảng cách trong hình học 11

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Khoảng cách là phần kiến thức cơ bản trong mơn hình học 11, cũng là
phần kiến thức thường gặp trong các bài kiểm tra cuối năm, thi tốt nghiệp THPT
và là tiền đề để hình thành kiến thức khoảng cách trong mơn hình học 12, tuy
nhiên thời lượng lý thuyết và bài tập trong sách giáo khoa chỉ có 03 tiết học . Để
cho học sinh hiểu rõ hơn phần này và luyện kỹ năng tìm khoảng cách trong hình
học khơng gian thì cần phải hướng dẫn thêm về phương pháp làm và đưa thêm
các ví dụ minh hoạ. Do vậy tơi biên soạn và lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học
trường lớp 11 trường THPT Thường Xuân 2 giải bài tập khoảng cách trong
hình học 11 ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Truyền đạt đến học sinh phương pháp và các ví dụ phù hợp về tính
khoảng cách trong khơng gian theo tinh thần sách giáo khoa hình học 11 ban cơ
bản.
Qua đó rèn luyện các kĩ năng toán học và nâng các năng lực tư duy cho
học sinh khi gặp các bài tập liên qua đến khoảng cách.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tơi đã phải
nghiên cứu bài phương trình đường trịn trong sách giáo khoa cơ bản lớp 11
hiện hành và các tính chất của của khoảng cách ở các phần trước đó.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Đưa ra phương pháp chung để tính các khoảng cách cơ bản và các ví dụ
minh hoạ cho các phương pháp đó, hướng dẫn các cách giải khác nhau cho mỗi
ví dụ.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm [1]:
2.1.1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường
thẳng.
M và một đường thẳng
D.

Cho điểm
mp( M , D )
H là hình chiếu vng
Trong
gọi
M trên
D . Khi đó khoảng cách
góc của
MH được gọi là khoảng cách từ điểm
M đến
D.
d ( M , D ) = MH

OH £ OM , " M Ỵ D .
Nhận xét:
2.1.2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
( a ) và một điểm
M , gọi
Cho mặt phẳng
H là hình chiếu của điểm
M trên mặt phẳng

1


( a ) . Khi đó khoảng cách
( a) .
M đến mặt phẳng

MH được gọi là khoảng cách từ điểm

d M ,( a ) = MH

(

)

OH £ MO, " M Î ( a )
Nhận xét:
2.1.3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt
phẳng.
( a ) song
D và mặt phẳng
Cho đường thẳng
song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì
( a ) được gọi là
D đến mặt phẳng
trên
D và mặt phẳng
khoảng cách giữa đường thẳng
d D,( a ) = d M ,( a ) , M Ỵ D
( a)
.
2.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
( a ) và ( b) song song với
Cho hai mặt phẳng
nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng
này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai
( a ) và
( b) .
mặt phẳng

d ( a ) ,( b) = d M ,( b) = d N , ( a )

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

, M Ỵ ( a ) , N Ỵ ( b)

.
2.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
a,b . Độ dài đoạn
Cho hai đường thẳng chéo nhau
MN của
a và

bđược gọi
vng góc chung
a và
b.
là khoảng cách giữa hai đường thẳng
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm:
Qua các năm giảng dạy tôi thấy còn nhiều học sinh vẫn còn lúng túng khi
làm bài tập khoảng cách, một phần các em chưa nắm và hiểu được kiến thức cơ
bản và khoảng cách, phần còn lại đa số các em chưa hiểu được phương pháp
tính khoảng cách và cảm thấy khó học phần này nên hay bỏ câu bài tập khoảng
cách trong quá trình kiểm tra và thi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
M đến đường thẳng
D.
Bài toán 01: Tính khoảng cách từ điểm
M đến đường thẳng
D
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm
H của điểm
M trên đường thẳng
ta cần xác định được hình chiếu
D , rồi xem
MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm
H thường được dựng theo hai cách sau:
mp( M , D )
MH ^ D Þ d ( M , D ) = MH
• Trong
vẽ

2


( a ) qua
M và vng góc với
D tại
• Dựng mặt phẳng
Þ d ( M , D ) = MH
.
MH
Hai cơng thức sau thường được dùng để tính
D MAB vng tại
M và có đường cao
AH thì
•
1
1
1
=
+
2
2
MH
MA
MB 2 .
2S
MH = MAB
MH là đường cao của
AB .
D MAB thì

•
Các ví dụ
ABCD.A ' B 'C 'D ' có cạnh bằng
Ví dụ 1. Cho hình lập phương
D ' đến đường chéo
AC ' .
Tính khoảng các từ đỉnh
Lời giải.
H là hình chiếu của
D ' trên
AC '
Gọi
.
ìï C 'D ' ^ D 'A '
ï
Þ C 'D ' ^ ( ADD 'A ')
í
ïï C 'D ' ^ DD '
ợ
Do
ị C ' D ' ^ D 'A .
D 'AC ' vng tại
D ' có
Vậy tam giác
D 'H suy ra
đường cao
1
1
1
=

+
=
D 'H 2 D 'A 2 D 'C '2

Þ D 'H = a

3
2 . Vậy

1

( a 2)

+
2

H

a.

1
3
=
a2 2a2

d ( D ', AC ') = a

3
2.

ABCD là hình vng tâm
( ABCD) và
a , cạnh
O cạnh
SA vng góc với mặt phẳng
SA = a . Gọi
I là trung điểm của cạnh
SC và
M là trung
AB . Tính khoảng cách từ
I đến đường thẳng
điểm của đoạn
CM .
Lời giải.
( ICM ) kẻ
IH ^ CM thì
Trong
d ( I ,CM ) = IH
.
N = MO Ç DC , N Ỵ CD .
Gọi
Ví dụ 2. Hình chóp

S.ABCD có đáy

3


Ta có

D MHO : D MNC Þ

OH
OM
=
CN
MC

a
OM = CN = ,CM = BM 2 + BC 2
2

M

2

ổử
aữ
a 5
2
ữ
= ỗ
+
a
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2

ố2ứ

Suy ra

.
CN .OM
a
OH =
=
MC
2 5,

OI là đường trung bình trong
SA a
OI =
=
2
2.

SAC nên
ìï OI / / SA
ï
Þ OI ^ ( ABCD ) Þ OI ^ OH
í
ïï SA ^ ( ABCD )
ïỵ
Ta có
Þ D OHI vng tại
O nên
tam giác

2

2
ỉa ư
ỉư
a
3
a 30
÷
÷
÷
I H = OH +OI = ỗ
+ỗ
=a
=
ỗ
ỗ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ ỗ
ỗ
10
10
ố2ứ
ố2 5ứ
2

2

a 30
10 .
Vy
S.ABCD cú đáy
ABCD là hình thoi tâm
Ví dụ 3. Cho hình chóp
SC ^ ( ABCD )
·
a , góc
O cạnh
ABC
= 1200 ,
và
SC = h . Tính khoảng cách từ điểm
O đến đường thẳng
SA theo
a và
h.
Lời giải.
d ( O, SA ) = OH
OH ^ SA, H Ỵ SA thì
Kẻ
.
a và
ABCD là hình thoi cạnh
Do
·
a
ABC

= 1200 nên
D CBD đều cạnh
d ( I ,CM ) =

Þ CO =

a 3
2

Þ CA = 2CO = a 3 .

( )

2

SA = CS 2 +CA 2 = h2 + a 3 = 3a2 + h2

4


Hai tam giác vng

AHO va

ACS đồng dạng nên

a 3
.h
OH
OA

OA.SC
ah 3
2
=
Þ OH =
=
=
SC
SA
SA
3a2 + h2
2 3a2 + h2
d ( O, SA) = OH =

3ah

2 3a2 + h2 .
S.ABCD có đáy
ABCD là hình vng cạnh
SA ^ ( ABCD )
a và cạnh bên
SA = a . Gọi
E là trung
,
CD .Tính khoảng cách từ
S đến đường thẳng
BE .
điểm của cạnh
Lời giải.
d ( S, BM ) = SH

( SBM ) kẻ
SH ^ BM thì
Trong
.
N = BM Ç AD , ta có
Gọi

Vậy
Ví dụ 4. Cho hình chóp

AD P BC Þ
Þ AN = 2a .

DN
MD
=
= 1 Þ DN = BC = a
BC
MC

1
1
1
=
+
AH 2 AB 2 AN 2

ABN có
Trong tam giác vng
1

1
5
= 2+
=
2a 5
2
2
a
4
a
Þ
AH
=
( 2a)
5
SA ^ ( ABCD ) Þ SA ^ AH Þ D ASH
vng tại
SH = AH 2 + AS 2 =

A , do đó

4 2
3a 5
a + a2 =
5
5 .

3a 5
5 .
Vậy

Bài tốn 02: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
M đến mặt phẳng
Phương pháp: Để tính được khoảng từ điểm
( a ) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm
d ( S, BM ) = SH =

5


M trên
sau:
• Nếu có

( a ) . Để xác định được vị trí hình chiếu này ta có một số lưu ý
d ^ ( a)

thì

MH P d (h1).

( b) chứa điểm
M , rồi xác định giao tuyến
• Chọn
D = ( a ) Ç ( b)
( b) dựng
. Trong
MH ^ D Þ MH ^ ( a )
(h2).
( a ) có hai điểm
A, B sao cho

• Nếu trong
( a ) kẻ đường trung trực
MA = MB thì trong
mp( M ,d)
d của đoạn
AB , rồi trong
dựng
MH ^ ( a )
MH ^ d . Khi đó
(h3)
I là trung điểm của
AB . Do
Thật vậy , Gọi
MA = MB nên
D MAB cân tại
M Þ MI ^ AB Ì ( a )
. Lại có
AB ^ d Þ AB ^ mp( M ,d)
Þ AB ^ MH .
ìï MH ^ AB
ù
ị MH ^ ( a )
ớ
ùù MH ^ d
ợ
Vy
.
( a ) có một điểm
A và một đường
• Nếu trong

d không đi qua
A sao cho
MA ^ d
thẳng
( a ) kẻ đường thẳng d ' đi qua
A
thì trong
mp( M ,d ')
d ' ^ d , rồi trong
và
kẻ
MH ^ d ' Þ MH ^ ( a )
.( h4)
d ^ MA Þ d ^ mp( M ,d ') Þ d ^ MH
d ^ d ' và
Thật vậy , do
MH ^ d ' Þ MH ^ mp( d,d ') º ( a )
Lại có
.
A1, A2,..., An ( n ³ 3)
( a ) có các điểm
• Nếu trong
mà
MA1 = MA2 = ... = MAn
hoặc các đường thẳng
( a ) các góc bằng nhau thì hình chiếu của
MA1, MA2,..., MAn
tạo với

6

M trên
A1A2...An
.

( a)

chính là tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác

A1, A2,..., An ( n ³ 3)
( a ) có các điểm
• Nếu trong
mà các mặt phẳng
( MA1A2) ,( MA2A3) ,...,( MAnA1) thì hình chiếu của
M là tâm đường
A1A2...An
trịn nội tiếp đa giác
.

M xuống
• Đơi khi, thay vì hình chiếu của điểm
( a ) ta có thể dựng hình chiếu một điểm
N khác
MN P ( a )
thích hợp hơn sao cho
. Khi đó
d M ,( a ) = d N ,( a )
. (h5)
• Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ

một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng
trong tam giác vng) là:
OA,OB,OC đơi một
OABC có
• Nếu tứ diện
OH thì
vng góc và có đường cao
1
1
1
1
=
+
+
OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 .

(

)

(

)

Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp

a , cạnh

S.ABC có đáy

ABC là một tam giác đều
( ABC ) và
SA = h , góc

SA vng góc với
( SBC ) và
( ABC ) bằng
giữa hai mặt phẳng
( SBC ) theo
a và
A đến
h.
cách từ
Lời giải.
I là trung điểm của
BC , ta có
Gọi
ìï AI ^ BC
ï
Þ ( SAI ) ^ BC
í
ïï SA ^ BC
ỵ
·
AIS
Vậy
chính là góc giữa hai mặt phẳng
( SBC ) và
( ABC )

·
Þ AIS
= 600 .
cạnh

600 . Tính khoảng

7


( SBC ) kẻ
AH ^ SI .
ìï BC ^ ( SAI )
ù
ị AH ^ BC
ớ
ùù AH è ( SAI )
ùợ
.

Trong

Ta có

Vậy

ìï AH ^ BC
ï
Þ AH ^ ( SBC )
í

ïï AH ^ SI
ợ

(

)

ị d A,( SBC ) = AH

.
AI =

a 3
2

a nên
ABC đều cạnh
Tam giác
AI S ta có
Trong tam giác
1
1
1
1
1
4h2 + 3a2
=
+
=
+ =

AH 2 AI 2 AS 2 ỉ ư2 h2
3a2h2
a 3ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ 2 ữ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ
ị AH =

(

ah 3
4h2 + 3a2

)

d A,( SBC ) =

ah 3

4h2 + 3a2 .
Hay
S.ABCD có đáy
ABCD là hình thang vng
Ví dụ 2. Cho hình chóp

BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên
A và
B,
SA vuông
tại
SA = a 2 . Gọi
H là hình chiếu vng góc của
góc với đáy và

SB . Tính khoảng cách từ
H đến mặt phẳng
Lời giải.
( ABCD ) gọi
Trong
( SAM )
M = AB Ç CD , trong
K = AH Ç SM , kẻ
gọi
AE ^ SC tại
E và gọi
N
AD .
là trung điểm của
ABCN là hình vng nên
Dễ thấy
NC = AB = a . Do đó
NA = NC = ND = a Þ D ACD
A trên

( SCD ) .

8


Þ CD ^ AC , lại có
C
vng tại
CD ^ SA Þ CD ^ ( SAC )
Þ ( SAC ) ^ ( SCD )

Vậy

ìï ( SAC ) ^ ( SCD )
ïï
ïï SAC ầ SCD = SC
) ( )
ùớ (
ị AE ^ ( SCD )
ïï AE Ì ( SAC )
ïï
ïï AE ^ SC
ỵ

( AK E ) kẻ
Trong
HF ^ ( SCD )

(

( 1)

HF P AE , F Ỵ K E , thì từ (1) suy ra

)

Þ d H ,( SCD ) = HF
BC P AD Þ

.

.

MB
BC
a
1
=
=
= Þ MA = 2AB = 2a Þ B
MA
AD
2a 2
MA .

Do
là trung điểm của
BH
BH .BS
BA 2
a2

1
=
=
=
=
2
BS
3
BS 2
AB 2 + AS 2
a2 + a 2
Lại có
.
H là trọng tâm của tam giác
SAM , do đó
Vậy
HF
KH
1
1
=
= Þ HF = AE
AE
KA
3
3
.
AD, AM , AS đơi một vng góc và
ADMS có ba cạnh
Tứ diện

( )

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
AE
AD
AM
AS 2
nên
1
1
1
1
= 2+ 2+ 2= 2
Þ AE = a .
4a
4a
2a
a
1
a

Þ d H ,( SCD ) = HF = AE =
3
3.
Vậy
AE ^ ( SMD )

(

)

Nhận xét: Từ bài trên ta thấy nếu đường thẳng
AB
d A,( a )
IA
=
IB
d B,( a )
( a ) tại
I thì
cắt
.

(
(

)
)

9

ABCD.A 'B 'C 'D ' có ba kích thức
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật
AB = a, AD = b, AA ' = c . Tính khoảng cách từ
A đến mặt phẳng
( DA 'C ') .
Lời giải.
I là tâm của hình bình hành
Gọi
ADD 'A ' thì
I là trung điểm của
AD '.
d A,( DA 'C ')
IA
=
=1
ID '
d D ',( DA 'C ')
Ta có
Þ d A,( DA 'C ') = d D ',( DA 'C ')
.
D 'ADC ' có các cạnh
Mặt khác ta có tứ diện
D 'D, D 'A ', D 'C ' đơi một vng góc nên
1
1
1
1
=
+

+
D 'D 2 D 'A '2 D 'C '2
d2 D ',( DA 'C ')

(

(

)

(

)

(

)

(

)

)

1
1
1 a2b2 + b2c2 + c2a2
+
+
=

a2 b2 c2
a2b2c2
.
1
abc
d A,( DA 'C ') =
=
1
1
1
a2b2 + b2c2 + c2a2
+
+
a2 b2 c2
Vây
.
ABCD.A ' B 'C 'D ' có tất cả các mặt đều là hình
Ví dụ 4. Cho hình hộp
·
·
·
a , các góc
BAA
' = BAD
= DAA
' = 600 . Tính khoảng
thoi cạnh
( ABCD ) .
A ' đến
cách từ

Lời giải.
ABCD.A ' B 'C 'D ' có tất cả các mặt
Do
a và
đều là hình thoi cạnh
·
·
·
BAA
' = BAD
= DAA
' = 600 nên các
ABA ', ABD, ADA ' đều là các
tam giác
tam giác đếu cạnh
a Þ A 'A = A 'B = A 'D (
A ' cách
D ABD )
đếu ba đỉnh của
H là hình chiếu của
A ' trên
Gọi
( ABCD) thì các tam giác vng
A 'HA, A 'HB, A 'HD bằng nhau
HA = HB = HD suy ra
H là tâm của đường tròn ngoại tiếp
nên
D ABD .
=

(

)

10


Gọi

O giao điểm của
AC và
2
2 a 3 a 3
AH = AO = .
=
3
3 2
3 .

BD , ta cú

2

ổ
a 3ử
2
ữ
ỗ
2
2

2
ữ
ỗ
A 'H = AA ' - AH = a - ỗ
=a .
ữ
ữ
ỗ
3
ữ
ố 3 ø

(

)

d A ',( ABCD ) = A 'H = a

2
3.

Vậy
S.ABCD có đáy
ABCD là hình thang vng
Ví dụ 5. Cho hình chóp
A và
D , tam giác
SAD đều và có cạnh bằng
2a ,
tại

BC = 3a các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Tính khoảng cách từ
( ABCD ) .
S đến mặt phẳng
Lời giải.
I là hình chiếu vng góc của
S
Gọi
( ABCD) , Gọi
I 1, I 2, I 3, I 4
trên
lần lượt
I trên các cạnh
là hình chiếu của
AB, BC ,CD, DA thì các góc
· S i = 1,4
II
) là góc giữa các mặt bên và
i (
mặt đáy do đó chúng bằng nhau,suy ra các tam
SII 1,SII 2, SII 3, SII 4
giác vuông
bằng nhau
I I 1 = II 2 = I I 3 = I I 4 Þ
I là tâm đường trịn nội tiếp hình
nên
ABCD .
thang
AB + DC = AD + BC = 5a
ABCD ngoại tiếp nên
Vì tứ giác

ABCD là
Diện tích hình thang
1
1
S = ( AB + DC ) AD = .5a.2a = 5a2
2
2
p
r là bán kính đường trịn nội tiếp của hình
Gọi
là nửa chu vi và
AB + DC + AD + BC
10a
p=
=
= 5a
2
2
ABCD thì
thang

S
5a2
=
= a Þ II 4 = r = a
p
5a
.
SAD đều và có cạnh 2a nên

S = pr Þ r =
Tam giác

11


2a 3
= a 3 Þ SI = SI 42 - II 42 = 3a2 - a2 = a 2
2
Vậy
d S,( ABCD ) = SI = a 2
.
Bài toán 03: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong
các cách sau:
a và
MN của
b. Khi đó
• Dựng đoạn vng góc chung
d ( a,b) = MN
. Sau đây là một số cách dựng đoạn vng góc chung
thường dùng :
a và
a ^ b thì ta dựng đoạnvng góc chung của
b như
Nếu
sau
( a ) chứa b và vuông
- Dựng mặt phẳng

a.
góc với
O = a Ç ( a)
- Tìm giao điểm
.
OH ^ b .
- Dựng
OH chính là đoạn vng góc chung của
a và
b.
Đoạn
a,b khơng vng góc với nhau thì có thể dựng đoạn vng góc chung
Nếu
a và
b theo hai cách sau:
của
Cách 1.
( a ) chứa b và song
- Dựng mặt phẳng
a.
song với
A ' của một điểm
- Dựng hình chiếu
( a) .
A Î a trên
( a ) dựng đường thẳng
a ' đi qua
- Trong
a cắt
A ' và song song với

b tại
M , từ
M dựng
AA ' cắt
a
đường thẳng song song với
N . Đoạn
MN chính là đoạn vng
tại
a và
b.
góc chung của
Cách 2.
( a ) vng góc với
a.
- Dựng mặt phẳng
O = a Ç ( a)
- Tìm giao điểm
.
( a)
b' của
b trên
- Dựng hình chiếu
( a ) dựng OH ^ b' tại
H.
- Trong
a cắt
H dựng đường thẳng song song với
b tại
B.

- Từ
SI 4 =

(

)

12


a tại
B dựng đường thẳng song song với
OH cắt
- Từ
a và
AB chính là đoạn vng góc chung của
b.
- Đoạn
a,b
• Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm
( a ) chứa b và
A Ỵ a đến mặt phẳng
( a ) Pa .
• Sử dụng

(

)

(

A.

)

d ( a,b) = d ( a ) ,( b) = d A, ( b) , A ẻ ( a )

ã S dụng phương pháp vec tơ
a)

MN là đoạn vng góc chung của
AB và
CD khi và chỉ khi
uuur
uuur
ìï
ïï AM = xAB
uuu
r
ïï uuur
ïï CN = yCD
í uuur uuur
ïï MN .AB = 0
ïï uuur uuu
r
ïï MN .CD = 0
ïỵ

( a)

b) Nếu trong

ur ucó
r hai vec tơ khơng
u1, u2
cùng phương
thì
uuur ur
ìï
ïï OH ^ u1
ïï uuur ur
OH = d O,( a ) Û í OH ^ u2
ùù
ùù H ẻ ( a )
ùợ
uuur ur
ỡù
ùù OH .u1 = 0
ïï uuur ur
Û í OH .u2 = 0
ïï
ïï H Ỵ ( a )
ïỵ
.
Các ví dụ
S.ABCD có đáy
Ví dụ 1. Cho hình chóp

(

a)
b)

)

ABCD là hình vng cạnh
( ABCD ) và
a , cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy
SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
SB và
AD .
BD và
SC .
Lời giải.
13


AH của tam giác
a) Kẻ đường cao
SAB . Ta có

ìï AD ^ AB
ï
Þ AD ^ ( SAB ) Þ AD ^ AH
í
ïï AD ^ SA
ỵ
AH là đoạn

Vậy
d ( AD, SB ) = AH
SB và
AD , nên
vng góc chung của
.
SAB vng cân tại
A có đường cao
AH nên
Tam giác
1
a 2
AH = SB =
2
2 .

Vậy

d ( AD, SB ) = AH

=

a 2
2 .

ìï BD ^ AC
ï
Þ BD ^ ( SAC )
í
ïï BD ^ SA

ỵ
O là tâm của hình
b) Ta có
. Gọi
OK ^ SC , K Ỵ SC thì
ABCD và kẻ
OK là đoạn
vng
BD và
SC .
vng góc chung của
1
d ( BD, SC ) = OK = AI
2 (
I là trung điểm của
SC )
Vậy

1
1
1
1
1
3
a 6
=
+
=
+
=

Þ
AK
=
3 .
AK 2 AS 2 AC 2 a2 2a2 2a2
Ta có
a 6
d ( BD, SC ) =
6 .
Vậy
a . Tính
ABCD.A ' B 'C 'D ' cạnh
Ví dụ 2. Cho hình lập phương
AD ' và
BD .
khoảng cách giữa hai đường thẳng
Lời giải.
Cách 1. Dựng đường vng góc chung (theo
cách 1) rồi tính độ dài đoạn vng góc
chung.

14


ìï BD P B 'D '
ï
í
ïï AD ' Ì ( AB 'D ')
( AB 'D ') là mặt phẳng chứa
ïỵ

Do
nên
AD ' và song song với
BD .
O là tâm của hình vng
ABCD
Gọi
( AB 'D ') .
O trên
Ta dựng hình chiếu của điểm
ìï B 'D ' ^ A 'C '
ï
Þ B 'D ' ^ (CC 'A ') Þ B 'D ' ^ A 'C ( 1)
í
ïï B 'D ' ^ CC '
ỵ
Do
A 'C ^ AD ' ( 2)
Tương tự
.
A 'C ^ ( AB 'D ')
( 1) ,( 2) suy ra
Từ
. Gọi
G = A 'C Ç ( AB 'D ')
.
D AB 'D ' đều và
A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên
G là trọng
Do

AB 'D ' . Vậy Gọi
I là tâm của hình vng
tâm của tam giác
A 'B 'C 'D ' thì
AI là trung tuyến của tam giác
AB 'D ' nên
A,G, I thẳng hàng.

( ACC 'A ')

OH PCA ' cắt

AI tại
H thì
( AB 'D ') .
O Ỵ BD trên
H là hình chiếu của
H dựng đường thẳng song song với
BD cắt
AD ' tại
Từ
M , từ
M dựng đường thẳng song song với
OH cắt
BD tại
N thì
MN là đoạn vng góc chung của
AD '
d ( AD ', BD ) = MN
BD do đó

và
.
MNOH là hình chữ nhật nên
MN = OH . Do
OH
Dễ thấy
1
ACG Þ OH = CG
2
là đường trung bình trong tam giác
.
Mặt khác
GC
AC
2
2
2 3a
=
= 2 Þ CG = 2GA ' Þ CG = CA ' = a 3 =
GA ' A 'I
3
3
3 .
Trong

dựng

1 2 3a a 3
Þ OH = .
=

2 3
3 .

a 3
3 .
Vậy
Cách 2. Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) rồi tính độ dài đoạn
vng góc chung.
d ( AD ', BD ) = MN = OH =

15


( DCB 'A ') vng góc với
Chon
AD ' tại trung điểm
O của
AD '. Gọi
I là tâm của hình
BCC 'B ' thì
BI ^ CB ' và
vng
BI ^ ( DCB 'A ')
BI ^ CD nên
DI là hình chiếu của
DB
từ đó
( DCB 'A ') .
lên
( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI ,

Trong
H dựng đường thẳng song song với
AD ' cắt
BD tại
từ
M , từ
M dựng đường thẳng song song với
OH cắt
OA tại
N thì
MN là đoạn vng góc chung của của
d ( AD ', BD ) = MN
AD ' và
BD do đó
OHMN
. Ta có
MN = OH , mạt khác
OH là đường cao
là hình chữ nhật nên
ODI nên
trong tam giác vuông

1
1
1
3
a 3
=
+ 2 = 2 Þ OH =
2

2
3 .
OH
OD
OI
a
a 3
d ( AD ', BD ) = MN = OH =
3 .
Vậy
MN là đoạn vng góc chung của
Cách 3. Giả sử
M Ỵ AD ', N Ỵ BD . Từ
BD với
M kẻ
NQ ^ AD .
N kẻ

AD ' và
MP ^ AD , từ

16


BD ^ ( MNP ) Þ BD ^ NP
Dễ thấy
;
AD ' ^ ( MNQ ) Þ AD ' ^ MQ
.
AMQ và

DNP vuông cân nên
Hai tam giác
a
QD = QN = QP = MP = PA =
3
DP
2a
a 2
PN =
=
=
2
2
3 2
Lại có
2

2
ỉ
ỉư
a
a 2ư
a2
a 3
ữ
ỗ
2
2
2
ữ

ỗ
ữ
ỗ
MN = PM + PN = ỗ ữ
+ỗ
=
ị
MN
=
ữ
ữ
ữ
ữ ỗ
ỗ
3
ữ 3
ố3ứ
ố 3 ø

Từ đó
.
Cách 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng
song song chứa hai đường đó.
ìï AD ' Ì ( AB 'D ')
ïï
ï BD Ì BDC '
í
(
)
ïï

ïï ( AB 'D ') P ( BDC ')
ỵ

Dễ thấy
Þ d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ')

(

).

I ,J lần lượt là giao điểm của
A 'C với các mặt phẳng
( AB 'D ') ,( BDC ') .
I ,J lần lượt là trọng tâm của các
Theo chứng minh trong cách 1 thì
( BDC ') . Mạt khác dễ dạng chứng minh
AB 'D ' và
tam giác
A 'C ^ ( AB 'D ') , A 'C ^ ( BDC ')
được
.
1
a 3
d ( AD ', BD ) = d ( ( AB 'D ') , ( BDC ') ) = IJ = A 'C =
3
3 .
suy ra
Cách 5. Sử dụng phương pháp vec tơ
MN là đoạn vng góc chung của
AD ' và

BD với
Gọi
M Ỵ AD ', N Ỵ BD
Đặt
uuur r uuur r uuur r
r
r
r
r r rr r r
AB = x, AD = y, AA ' = z Þ x = y = z = a, xy = yz = zx = 0
uuuu
r r r
uuur
uuuu
r
r r uuur r r
uuur
r r
AD ' = y + z Þ AM = kAD ' = k y + z , DB = x - y Þ DN = m x - y
Gọi

(

)

(

.

17

)


Ta cóuuur

uuur uuur uuur uuur uuur
r
r
r
MN = AN - AM = AD + DN - AM = mx + ( 1- k - m) y - kz

Vì

uuur uuur
uuur uuur
r
r
r r r
MN ^ DB Þ MN .DB = 0 Û mx + ( 1- k - m) y + kz x - y = 0

(

)(

)

Û 2m + k - 1 = 0 .
uuur uuuu
r

MN
.
AD
' = 0 Û 1- m - 2k = 0 , từ đó ta có hệ
Tương tự
ìï 2m + k = 1
1
ï
Û m=k =
í
ïï m + 2k = 1
3
ỵ
.
Vậy
uuur 1 r 1 r 1 r
uuur
r 2 r 2 r 2ử a 3
1ổ
ỗ
MN = x + y - z ị MN = MN =
x +y +z ữ
=
ữ
ỗ
ữ
3
3
3
9ỗ

3
ố
ứ

SA, SB, SC đơi một vng góc và
SABC có
Ví dụ 3. Cho tứ diện
M , N lần lượt là trung điểm của
SA = SB = SC = a . Gọi
AB
SA . Dựng đường vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường
và
SM và
CN .
thẳng
Lời giải.
IK
Cách 1. Dựng đoạn vng góc chung
SM và
CN
của hai đường thẳng
IK .
( theo cách 1) rồi tính
E là trung điểm của
AM , ta có
Gọi
ìï NE Ì (CNE )
ï
Þ SM P ( CNE )
í

ïï SM P NE
ỵ
, do đó
(CNE ) là mặt phẳng chứa CN và
SM .
song song với
( SAB ) , kẻ
SF ^ NE thì
Trong
ìï NE ^ SF
ï
Þ NE ^ ( CSF ) Þ ( CSF ) ^ (CNE )
ớ
ùù NE ^ CS
(CSF )
ợ
Trong
SH ^ CF ị SH ^ ( CNE )
H là hình chiếu của
S
kẻ
vậy
(CNE ) , từ
H kẻ đường thẳng song song với
SM cắt
trên
CN tại
K , từ
K kẻ đường thẳng song song với
SH cắt

SM tại
I thì
IK là đoạn vng góc chung của
SN và
CN .

18


Ta có

SF = AM =

Þ SH =

a 2
4 ,

1
1
1
=
+
2
2
SH
SF
SC 2

=

9
a2

a
3.

d ( SM ,CN ) = IK = SH =

a
3.

Vậy
Cách 2. Dựng đoạn vng góc chung
IK của hai đường thẳng
SM
CN ( theo cách 2) rồi tính
và
IK .
P ,Q lần lượt là trung điểm của
Gọi
SB và
CN ,
E là giao
NP và
SM .
điểm của
NQ PCS,CS ^ ( SAB )
Khi đó
Þ NQ ^ ( SAB ) Þ NQ ^ SM

SM ^ NP Þ SM ^ ( NPQ )
Lại có
E , dựng hình bình hành
tại
CSEH Þ CH P SE , mà
SE ^ ( NPQ ) Þ CH ^ ( NPQ )

, vì vậy

NH là hình chiếu của

( NPQ) .Kẻ
NC trên
EF ^ NH tại
F , từ
SM cắt
CN tại
I , từ
đường thẳng song song với
EF cắt
SM tại
K thì
đường thẳng song song với
CN và
SM .
là đoạn vng góc chung của
EHN vng tại
E có đường cao
EF

Tam giác
1
1
1
1
1
1
8
9
Þ
=
+
=
+
= 2+ 2= 2
2
2
2
2
2
EF
EH
EN
CS
a
a
a
ỉ
AB ử
ỗ

ữ
ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
ố4 ứ

F k
I k
IK

.

a
a
d ( CN , SM ) = IK = EF =
3 . Vậy
3.
Cách 3. Sử dụng phương pháp véc tơ
EF là đoạn vng góc chung của
SM và
CN .
Gọi
uur r uur r uuu
r r
r
r
r
SA = a,SB = b,SC = c Þ a = b = c = a
Đặt rr rr rr

và
ab = bc = ca = 0 .
EF là đoạn vng góc chung của
SM và
CN
Þ EF =

19


uur
uuur
ìï
ïï SE = xSM
ïìï E Ỵ SM
r
uuur
ïï uuu
ïï
ï CF = yCN
ï F Ỵ CN
r uuur
Û ïí
Û ïí uuu
ïï EF ^ SM
ïï EF .SM = 0
ïï
ïï uuur uuur
ïïỵ EF ^ CN
ïï EF .CN = 0

ïỵ
uuu
r uur uuu
r uuu
r u.uu
r uuu
r
EF
=
ES
+
SC
+
CF
=
SC
+
CF
Ta có
r x r r
r
ổ
1 r rử
1
ữ
ỗ
=ca + b + y ỗ a - cữ
= ( y - x) a ữ
ỗ
ữ 2

2
ố2
ứ

uur r
uuur
uuur
SE = c + yCN - xSM
r
1 r
xb + ( 1- y) c
2
.
ìï
uuu
r uuur
4
ìï
ï
ì
ïï EF .SM = 0 ïï - 2x + y = 0 ïï x = 9
r uuur
Û í
Û í
í uuu
ïï EF .CN = 0 ïï - x + 5y = 4 ïï
8
ỵ
ïï y =
ỵï

9
ỵ
Ta có
SM và
CN là đường thẳng
Vậy đường vng góc chung của
EF
uur 4 uuur uuu
r 8 uuur
SE = SM ,CF = CN
9
9
với
.
uuu
r 2 r 2r 1r
4 r 2 4 r2 4 r 2 a
EF = a - b + c Þ EF =
a + b + c =
9
9
9
81
81
81
3.
Lúc đó

(

)

a
3.
Vậy
ABCD.A ' B 'C 'D ' cạnh
Ví dụ 4. Cho hình lập phương
AD ' và
khoảng cách giữa hai đường thẳng
BD .
Lời giải.
Cách 1. Dựng đường vng góc chung (theo
cách 1) rồi tính độ dài đoạn vng góc
chung.
d ( CN , SM ) = EF =

ìï BD P B 'D '
ï
í
ïï AD ' Ì ( AB 'D ')
ïỵ
Do
nên
( AB 'D ') là mặt phẳng chứa
BD .
và song song với
O là tâm của hình vng
Gọi

Ta dựng hình chiếu của điểm

a . Tính

AD '
ABCD

O trên

( AB 'D ') .

20


ìï B 'D ' ^ A 'C '
ï
Þ B 'D ' ^ (CC 'A ') Þ B 'D ' ^ A 'C
í
ïï B 'D ' ^ CC '
ỵ

Do

( 1)

A 'C ^ AD ' ( 2)
Tương tự
.
A 'C ^ ( AB 'D ')
( 1) ,( 2) suy ra
Từ

. Gọi
G = A 'C Ç ( AB 'D ')
.
D AB 'D ' đều và
A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên
G là trọng
Do
AB 'D ' . Vậy Gọi
I là tâm của hình vng
tâm của tam giác
A 'B 'C 'D ' thì
AI là trung tuyến của tam giác
AB 'D ' nên
A,G, I thẳng hàng.

( ACC 'A ')

OH PCA ' cắt

AI tại
H thì
( AB 'D ') .
O Ỵ BD trên
H là hình chiếu của
H dựng đường thẳng song song với
BD cắt
AD ' tại
Từ
M , từ
M dựng đường thẳng song song với

OH cắt
BD tại
N thì
MN là đoạn vng góc chung của
AD '
d ( AD ', BD ) = MN
BD do đó
và
.
MNOH
MN = OH . Do
OH
Dễ thấy
là hình chữ nhật nên
1
ACG Þ OH = CG
2
là đường trung bình trong tam giác
.
Mặt khác
GC
AC
2
2
2 3a
=
= 2 Þ CG = 2GA ' Þ CG = CA ' = a 3 =
GA ' A 'I
3
3

3 .
Trong

dựng

1 2 3a a 3
Þ OH = .
=
2 3
3 .

a 3
3 .
Vậy
Cách 2. Dựng đường vng góc chung (theo
cách 2) rồi tính độ dài đoạn vng góc chung.
d ( AD ', BD ) = MN = OH =

( DCB 'A ') vng góc với
Chon
AD ' tại trung điểm
O của
I là tâm của hình vng
. Gọi
BCC 'B ' thì
BI ^ CB ' và

AD '

21

BI ^ ( DCB 'A ')
BI ^ CD nên
DI là hình chiếu của
từ đó
( DCB 'A ') .
DB lên
( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ
H dựng đường thẳng
Trong
AD ' cắt
BD tại
M , từ
M dựng đường
song song với
OH cắt
N thì
MN là đoạn
OA tại
thẳng song song với
AD ' và
BD do đó
vng góc chung của của
d ( AD ', BD ) = MN
.
OHMN là hình chữ nhật nên
MN = OH , mạt khác
Ta có
OH là đường cao trong tam giác vng

ODI nên
1
1
1
1
1
3
a 3
=
+
=
+
=
Þ
OH
=
3
OH 2 OD 2 OI 2 ỉ ư2 a2 a2
a 2ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ 2 ữ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ
.
a 3

d ( AD ', BD ) = MN = OH =
3 .
Vậy
MN là đoạn vuông góc
Cách 3. Giả sử
AD ' và
BD với
chung của
M Ỵ AD ', N Ỵ BD . Từ
M kẻ
NQ ^ AD .
N kẻ
MP ^ AD , từ
BD ^ ( MNP ) Þ BD ^ NP
Dễ thấy
;
AD ' ^ ( MNQ ) Þ AD ' ^ MQ
.
AMQ và
DNP vuông cân nên
Hai tam giác
a
QD = QN = QP = MP = PA =
3 . Li cú

PN =

DP
2

=

2a
3 2

=

a 2
2
2

2
ổử
aữ ổ
a 2ử
a2
a 3
ữ
ỗ
2
2
2
ỗ
ữ
ỗ
MN = PM + PN = ỗ ữ
+
=
ị
MN

=
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ ỗ
3 ứ
3
ữ 3
ố3ứ
ố
T ú
.
Cỏch 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng
cách của hai mặt phẳng song song chứa hai
đường đó.

22


ìï AD ' Ì ( AB 'D ')
ïï
ï BD Ì BDC '
í
(
)
ïï
ïï ( AB 'D ') P ( BDC ')
ỵ

Dễ thấy
Þ d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ')

(

).

I ,J lần lượt là giao điểm của
A 'C với các mặt phẳng
( AB 'D ') ,( BDC ') .
I ,J lần lượt là trọng tâm của các
Theo chứng minh trong cách 1 thì
Gọi

AB 'D ' và ( BDC') . Mặt khác dễ dạng chứng minh được
tam giác
A 'C ⊥ ( AB'D') ,A 'C ⊥ ( BDC')
.
1
a 3
d ( A D',BD ) = d ( A B'D') ,( BDC') = IJ = A 'C =
3
3 .
suy ra

(

)

Cách 5. Sử dụng phương pháp véc tơ
Gọi MN là đoạn vng góc chung của AD' và BD với
M ∈ AD',N ∈ BD
uuur r uuur u
r uuuur r
r u
r r
ru
r u
rr rr
AB = x,AD = y,AA ' = z ⇒ x = y = z = a,xy = yz = zx = 0
Đặt
uuuur u
r r uuuur
uuuur
u
r r uuur r u
r uuuu
r
r u
r
AD' = y + z ⇒ A M = kAD' = k y + z ,DB = x − y ⇒ DN = m x − y
uuuur uuuu
r uuuur uuur uuuu
r uuuur
r
u
r
r.
MN = AN − AM = AD + DN − AM = mx + ( 1− k − m) y − kz

Ta có
uuuur uuur uuuur uuur
r
u
r
r r u
r
MN ⊥ DB ⇒ MN.DB = 0 ⇔ mx + ( 1− k − m) y + kz x − y = 0

(

Vì

)

(

(

)(

)

)

⇔ 2m + k − 1= 0 .

uuuur uuuur
Tương tự MN.AD' = 0 ⇔ 1− m − 2k = 0 , từ đó ta có hệ
2m + k = 1

1
⇔ m= k =

3
m + 2k = 1
.
uuuur 1 r 1 u
r 1r
uuuur
r2 r 2
1 r 2 u
 a 3
MN = x + y − z ⇒ MN = MN =
x + y + z ÷=
3
3
3
9
3 .

Vậy
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục:
Năm học 2020-2021 tôi dạy 2 lớp 11B6 và 11B7 là hai lớp cơ bản có học
lực tương đương theo đánh giá trong kỳ 1. Do điều kiện về thời gian lớp 11B6
không được ôn tập nội dung trong sáng kiến này, cịn lớp 11B7 được ơn tập đầy
đủ các dạng bài tập trong sáng kiến kinh nghiệm này. Kết quả bài kiểm tra 45’

23

sau thời gian học và ôn tập bài “Khoảng cách” kết quả là học sinh lớp 11B7 làm
bài tốt hơn lớp 11B6.
Cụ thể như sau:
Sĩ số Số hs Số hs Số hs Điểm trung Điểm thấp
Điểm
điểm điểm
khá,
bình trung
nhất
cao
Lớp
yếu
trung
giỏi
cả lớp
nhất
11B6
bình
37
Lớp
11B7

5

Sĩ số Số hs
điểm
yếu
40

2

27

5

5,9

3

8

Số hs
điểm
trung
bình

Số hs
khá,
giỏi

Điểm trung
bình trung
cả lớp

Điểm thấp
nhất

Điểm

cao
nhất

26

12

6,8

5

10

2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: có tài liệu tham khảo khi
giảng dạy bài “Khoảng cách” chương trình hình học lớp 11.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chủ đề này, tôi thấy các em học
sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài tốn về tính khoảng cách trong khơng gian
và kết quả làm bài tập về phần này có nhiều tiến bộ.
Với thời lượng hạn chế trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tôi
cũng chưa đưa thêm các bài tập cho học sinh rèn luyện thêm được nên cũng rất
mong sự góp ý của các thầy cơ giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn
thiện hơn.
3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho học
sinh học bài “Khoảng cách” và được lưu ở thư viện nhà trường để các đồng
nghiệp và học sinh tham khảo.
4.Tài liệu tham khảo
1. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoàn, Trần Đức Huyên
và cộng sự (2006). Hình học 11, nhà xuất bản giáo dục, 3, 115-118.

5. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành
GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2
T
T

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp loại
(Ngành GD
cấp
huyện/tỉnh;

Kết
quả
đánh
giá xếp
loại

Năm
học
đánh
giá
xếp
24


1

2

Hướng dẫn học sinh tìm tịi và
phát triển một bài tốn.
Hướng dẫn học sinh THPT
Thường Xn 2 sử dụng máy
tính Casio FX-570ES trong

Tỉnh...)

(A, B,
hoặc C)

loại

Ngành GD

C

2006-2007

Ngành GD

C

2012-2013

Ngành GD

C

2015-2016

Ngành GD

C

2019-2020

giải toán.
Hướng dẫn học sinh THPT sử
dụng đường thẳng và đường
3

tròn trong mặt phẳng để giải
và biện luận một số hệ
phương trình và hệ bất
phương trình đại số.
Phân loại và phương pháp giải

4

bài tập phương trình đường
trịn cho học sinh lớp 10
trường THPT Thường Xuân 2

Xác nhận của Hiệu trưởng

Thường Xuân, ngày 18 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này
do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép. Nếu
sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!
Tác giả

Đỗ Văn Hào

25