Nâng cao kỹ năng giải các bài toán thực tiễn trong chương trình đại số 10

PHỤ LỤC
NỘI DUNG
1.MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp chung để giải các bài tốn thực tiễn
2.3.2. Một số bài tốn có nội dung thực tiễn
2.3.2.1. Chủ đề tập hợp
2.3.2.2. Chủ đề hàm số
2.3.2.3. Chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn
2.3.2.4. Chủ đề bất đẳng thức Cô si
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1
2
2
2

2
2
3
3
4
4
6
11
16
18
18
18
19


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong
rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất
và đời sống. Với vai trị đặc biệt, Tốn học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành
khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh
hơn. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học
vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với
mục tiêu giáo dục Toán học.
Mục tiêu giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để
phục vụ đất nước. Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với
thực tế. Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách
nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã hội.
Có lẽ những người học Tốn đều có suy nghĩ rằng tốn học ngồi những
phép tính như cộng, trừ, nhân, chia… thì hầu hết các kiến thức tốn đều rất trừu

tượng ,khó hiểu,ít áp dụng vào thực tiễn .Tuy nhiên, tốn học lại có rất nhiều
ứng dụng trong thực tế và nó thể hiện rất rõ trong cuộc sống hàng ngày của
chúng ta.Chính vì thế việc tiếp thu các kiến thức tốn ở trường khơng chỉ để thi
cử mà nó cịn là những cơng cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề,
tình huống đơn giản trong thực tế.
- Tuy nhiên , những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình và
sách giáo khoa, cũng như thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách
đúng mức và thường xuyên. Đôi khi việc dạy và học Tốn ở trường phổ thơng
cịn “xa rời thực tế”.
- Vì vậy, việc tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức
Toán học giải quyết các bài tốn có nội dung thực tiễn là rất thiết thực và có vai
trị quan trọng trong hồn cảnh giáo dục nước ta.
Đứng trước thực tế như vậy, tôi đã chọn đề tài: “Nâng cao kĩ năng giải
các bài tốn thực tiễn trong chương trình Đại số lớp 10”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
+ Rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao trình độ chun mơn cũng như nghiệp
vụ sư phạm.
+ Giúp học sinh rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học giải quyết một
số bài toán thực tiễn, làm tăng phần hấp dẫn, thu hút học sinh họa tập bộ môn.
+ Chia sẻ với đồng nghiệp, đồng môn một số bài toán liên hệ với thực tiễn sát
với cuộc sống hàng ngày.
+ Góp phần vào phương pháp dạy học tích cực, chủ động, sáng tạo ở học sinh,
giúp các em cách tự chiếm lĩnh tri thức cần thiết để vận dụng giải quyết các tình
huống trong thực tế.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10V (năm học 2020 – 2021)
+ Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
1

- Phân loại các bài tập theo từng nội dung kiến thức: Tập hợp, hàm số, hệ
phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức
- Sưu tầm các bài tập rèn luyện thêm trong mỗi chủ đề
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này tôi nghiên cứu chủ yếu thông qua các phương pháp sau :
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu,tổng hợp và xây dựng cơ sở lí thuyết để giải
các bài toán cùng chủ đề
- Phương pháp khảo sát thực tế,thống kê các bài toán thường gặp và vận dụng
trong thực tiễn
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực
tiễn là phù hợp với xu hướng phát triển chung của thế giới và thực tiễn Việt
Nam. Để thích ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ và nền
sản xuất hiện đại, cải cách giáo dục Toán học ở trường phổ thông đã được thực
hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều nước trên thế giới. Tuy có sự khác nhau đáng
kể về mục đích và phương pháp thực hiện ở mỗi nước, nhưng nhìn chung xu thế
của việc cải cách giáo dục Toán học trên thế giới là hiện đại hóa một cách thận
trọng và tăng cường ứng dụng.
Trong thời kì mới, thực tế đời sống xã hội và chương trình bộ mơn Tốn
đã có những thay đổi. Vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Tốn
học vào thực tiễn có vai trị quan trọng và góp phần phát triển cho học sinh
những năng lực trí tuệ, những phẩm chất tính cách, thái độ,….đáp ứng yêu cầu
mới của xã hội lao động hiện đại.
Đất nước ta đang trên đường cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa - rất cần và
sau này còn cần nhiều hơn nữa – đội ngũ những người lao động có khả năng ứng
dụng những kiến thức Toán học lĩnh hội được vào hoạt động nghề nghiệp cũng
như vào cuộc sống của mình.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong mấy năm gần đây, Bộ giáo dục đã có xu hướng đưa các bài toán thực
tiễn vào đề thi trung học phổ thông quốc gia. Tuy nhiên, khi học sinh gặp các bài
tốn thực tiễn thì lại lúng túng, không biết giải quyết như thế nào, vận dụng kiến
thức nào để giải….
Đa phần giáo viên thường dạy học sinh các bài toán thuần túy mà chưa chú
trọng hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các bài toán
thực tiễn trong cuộc sống của chúng ta. Việc giảng dạy chủ yếu truyền thụ kiến
thức một chiều mà khơng có cập nhật thực tiễn để dẫn dắt vào bài mới nên tiết
học khô khan, xơ cứng và không hấp dẫn.
Đồng thời, do áp lực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời lượng
ngắn nên việc rèn luyện kĩ năng và để vận dụng kiến thức vào giải các bài tốn
thực tiễn gặp khó khăn.
2


Một số bài toán thực tiễn trong sách giáo khoa khơng nhiều, rời rạc và ít đa
dạng.
Năm học 2020 – 2021, tôi được Ban chuyên môn nhà trường giao
nhiệm vụ giảng dạy lớp: 10V. Trong các tiết học ôn tập, tơi có lồng ghép vào
các bài tốn thực tiễn. Tuy nhiên chỉ có rất ít học sinh có thể tìm tòi được lời
giải. Kết quả thể hiện trong bảng sau:
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
42
0
9
21

12
Từ thực trạng trên Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một vấn đề đó là
hướng dẫn học sinh biết cách khai thác, vận dụng nhiều hơn nữa kiến thức toán
học vào giải quyết bàu toán thực tiễn.
2.3. Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Phương pháp chung để giải các bài toán thực tiễn
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý khác nhau về
phương pháp dạy học: đảm bảo được trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…. Kết quả của lời giải phải đáp ứng do
nhu cầu thực tế đặt ra.
Ta biết rằng khơng có một thuật giải tổng qt cho mọi bài toán, ngay cả đối
với những lớp bài tốn riêng biệt cũng có những trường hợp có, trường hợp
khơng có thuật giải. Bài tốn thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong phú
xuất phát từ nhu cầu khác nhau trong đời sống lao động sản xuất của con người.
Do vậy càng khơng thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán
thực tế. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tịi,
phát hiện cách giải bài tốn lại là có thể và cần thiết.
Qua q trình giảng dạy, cùng với kinh nghiệm và hiểu biết của bản thân, tơi
xin đưa ra phương pháp chung để giải bài tốn có nội dung thực tiễn như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài tốn. Tốn học hóa bài tốn, chuyển bài tốn
với ngơn ngữ, dữ kiện trong cuộc sống thành bài tốn với ngơn ngữ tốn học,
các dữ kiện biểu thị bằng các ẩn số, các con số,….Các ràng buộc giữa các yếu tố
trong thực tiễn chuyển thành các biểu thức, các phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình tốn học….MƠ HÌNH HĨA????
Bước 2: Tìm cách giải bài tốn đã được thiết lập. Tìm tịi, phát hiện cách giải
nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Biến đổi cái phải tìm hay phải chứng
minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với tri thức đã biết, liên hệ bài toán
cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng
quát hay một bài toán liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những
dạng toán.

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết
quả tìm được hoặc đối chiếu với một số tri thức có liên quan…
Bước 3: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải
làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự thích hợp
và thực hiện các bước đó.
3


Bước 4: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn, thường là
một kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất… Do thực tiễn đặt
ra. Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng
của kết quả của lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải.
Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đây là hoạt
động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tịi, sáng tạo của học sinh .
2.3.2 Một số bài tốn có nội dung thực tiễn
2.3.2.1. Chủ đề tập hợp
Trong chương I: Mệnh đề - tập hợp cung cấp cho học sinh kiến thức mở đầu
về logic toán và tập hợp. Các khái niệm và phép toán về tập hợp sẽ giúp chúng
ta diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng và chính xác, đồng thời giúp
chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong tốn học.
Ví dụ 1: Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí
tượng thủy văn đã thống kê được:
+ Số ngày mưa: 10 ngày;
+ Số ngày có gió: 8 ngày;
+ Số ngày lạnh: 6 ngày;
+ Số ngày mưa và gió: 5 ngày;
+ Số ngày mưa và lạnh: 4 ngày
+ Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày;
+ Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày
Vậy có bao nhiêu ngày có thời tiết xấu (có gió, mưa hoặc lạnh)?

Phân tích bài tốn: Ta có thể chuyển bài tốn trên thành bài tốn tính số phần
tử của các tập hợp bằng biểu đồ Ven.
Đơn giản bài toán
- Nếu ta coi A là tập hợp những ngày mưa,
B là tập hợp những ngày gió
C là tập hợp những ngày lạnh
Khi đó số ngày mưa và gió là n ( A �B) ,
Số ngày mưa và lạnh n( A �C ) ,
n(C �B )
Số lạnh và gió
Tìm số ngày có thời tiết xấu (có mưa, gió hoặc lạnh) tức là ta cần tìm
n(A �B�C)

n(A �B�C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A�B)  n(A �C)  n(B�C)  n(A �B�C)

Trong đó: n(A) = số ngày chỉ có mưa,
n(B) = số ngày chỉ có gió,
n(C) = số ngày chỉ có lạnh,
n( A �B)
n( A �C )
n(B�C )

= số ngày có mưa và gió,
= số ngày mưa và lạnh,
= số ngày gió và lạnh,
4


n( A �B �C )

= số ngày có cả mưa, gió và lạnh.
- Ta sử dụng biểu đồ Ven để biểu diễn cho các dữ kiện của bài toán

5


Bài giải
Gọi A là tập hợp những ngày mưa
B là tập hợp những ngày gió
C là tập hợp những ngày lạnh
Theo biểu đồ Ven ta có:
n( A)  10 ; n(B)  8 ; n(C)  6
n( A �B �C ) 1
=

B(8)
A(10)

5

a

b

1

3

4
c

n( A �B)

=5
n( A �C ) 4
=

C(6)

n( B �C )

=3
Vậy tổng số ngày có thời tiết xấu là:

n(A �B�C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A �B)  n(A �C)  n(B�C)  n(A �B�C)

= 10 + 8 + 6 – 5 – 4 – 3 – 1 = 11
Ví dụ 2: Trong kì thi tốt nghiệp phổ thơng, ở 1 trường kết quả số thí sinh đạt
danh hiệu xuất sắc như sau:
+ Về mơn Tốn: 48 thí sinh;
+ Về mơn Vật lý: 37 thí sinh;
+ Về mơn văn: 42 thí sinh;
+ Về mơn Tốn hoặc Vật lý: 75 thí sinh
+ Về mơn Tốn hoặc mơn Văn: 76 thí sinh
+ Về mơn Vật lý hoặc mơn Văn: 66 thí sinh;
+ Về cả 3 mơn: 4 thí sinh.
Vậy có bao nhiêu thí sinh nhận được danh hiệu xuất săc về:
+ 1 mơn?
+ 2 mơn?
+ Ít nhất 1 mơn?

Phân tích bài tốn:
_ Ta thấy nếu coi các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ở mỗi mơn Tốn, Lí, Văn là
tập hợp A, B, C thì các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc về mơn Tốn hoặc Vật lý
là A �B , Tốn hoặc mơn Văn là A �C , Vật lý hoặc môn Văn là B �C . Bài tốn
trở thành bài tốn tìm số phần tử của các tập hợp.
- Để thể hiện 1 cách rõ nhất nội dung của bài toán ta sẽ dùng biểu đồ Ven
Bài giải:
Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp những học
sinh xuất sắc về mơn Tốn, mơn Vật Lý,
mơn Văn
Dựa vào biểu đồ Ven ta có:
Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về mơn

B(37)
A(48)

ĐS: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn

a

75

b

4

66

76
c

C(42)

6


25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 mơn
94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 mơn.
Lưu ý:
* Để giải quyết hai bài tốn này cần hiểu và nắm vững các kiến thức về tập
hợp, đặc biệt là các phép toán về tập hợp và suy luận tốn học, mang tính chất
tổng hợp của Chương Tập hợp. Mệnh đề Đại số 10 THPT. Vì vậy hai bài tốn
này có thể dùng khi ơn tập chương này.
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Trước khi bầu cử, một phóng viên có cuộc phỏng vấn thăm dị cảm tình
của 100 cử tri đối với ba ứng cử viên A, B, C và có kết quả như sau: Số người có
cảm tình với ứng viên: A là 43; B là 21; C là 18; A và B là 9; B và C là 5; C và A
là 10; B và C là 3. Tính
a. Số cử tri chỉ có cảm tình với ứng viên A mà thôi
b. Số cử tri chỉ có cảm tình với ứng viên B mà thơi
c. Số cử tri khơng có ý kiến
Bài 2: Một lớp tổng kết có 30 em khá mơn tự nhiên; 25 em khá môn xã hội; 10
em học khá cả tự nhiên và xã hội; 5 em yếu cả các môn tự nhiên và xã hội. Hỏi
sĩ số lớp đó là bao nhiêu?
2.3.2.2 Chủ đề hàm số
Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có
quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số. Khái niệm hàm là một trong
những khái niệm cơ bản của tốn học, giữ vị trí trung tâm trong chương trình
mơn tốn ở nhà trường THPT. Tồn bộ việc dạy tốn ở nhà trường THPT đều
xoay quanh khái niệm này. Bắt đầu bậc THPT ở lớp 10 có kiến thức về hàm số
bậc nhất và tiếp đó nghiên cứu hàm số bậc hai.

Từ tình huống thực tế cần giải quyết, tiến hành thực nghiệm, thu thập các
số liệu từ đó lập ra hàm số sau đó khảo sát hàm số tìm ra phương án tối ưu cho
vấn đề cần giải quyết.
1. Hàm số bậc nhất
Ví dụ 1: Một trường THPT cần thuê xe đi du lịch. Công ty PH ra giá dịch vụ là:
1000.000đ/ ngày và cộng với 10.000/km. Công ty ML ra giá dịch vụ là:
20.000đ/km. Vậy hãy tính xem nhà trường nên chọn hợp đồng thuê xe của công
ty nào để giá thuê thấp hơn?
Vấn đề đặt ra: Giá thuê thấp hơn tức là tổng số tiền dịch vụ cả chuyến đi phải
thấp hơn
Đơn giản vấn đề: Tìm cách biểu diễn tiền thuê xe của 2 công ty trên cùng một
hệ tọa độ, từ đó có nhận xét.
Phương án giải quyết:
Gọi x (km) là quãng đường của chuyến đi.
Số tiền phải chi trả cho công ty PH là: f(x) = 1000.000 + 10.000x (đồng)
Số tiền phải trả cho công ty ML là: g(x) = 20.000x (đồng)
Ta có đồ thị của hai hàm số f(x) và g(x) trên cùng hệ trục tọa độ
7


2 tr

1 tr

100km

200 km

Quan sát hình vẽ ta dễ thấy kết quả: Nếu đi dưới 100km thì trường nên chọn hợp
đồng với cơng ty xe ML, cịn nếu chặng đường đi trên 100km thì trường nên

chọn hợp đồng với cơng ty xe PH sẽ rẻ hơn.
Ví dụ 2: Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập Internet
- Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2000đ
- Hình thức B: Thuê bao trả hàng tháng 35000đ và số giờ truy cập khơng hạn
chế
- Hình thức C: Th bao hàng tháng 45000đ và mỗi giờ truy cập phải trả 500đ
Em hãy cho biết hình thức nào phải trả tiền ít hơn nếu tổng hợp truy cập hàng
ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là: 1,5h; 10h; 12h
Vấn đề đặt ra: số tiền phải trả trong tháng là số tiền cước cố định hàng tháng và
số tiền cước phát sinh trong mỗi giờ truy cập
Đơn giản vấn đề: Gọi x là số giờ truy cập internet. Ta tìm cách biểu diễn cước
phí phải trả của mỗi hình thức trên cùng một hệ trục, từ đó nhận xét.
Phương án giải quyết:
Gọi x là số giờ truy cập internet.
Số tiền phải trả cho hình thức A là: f(x) = 2000.x đồng = 2.x nghìn đồng
Số tiền phải trả cho hình thức B là: g(x) = 35000 đồng = 35 nghìn đồng
Số tiền phải trả cho hình thức C là:
h(x) = 45000 + 500.x đồng = 45 + 0,5x nghìn đồng
Ta có đồ thị của 3 hàm trên hệ trục:
Dựa vào đồ thị ta thấy:
- Nếu giờ truy cập dưới 18h thì nên
dùng hình thức A
- Nếu giờ truy cập trên 18h nên dùng
hình thức B

8


* Lưu ý: Các bài tập dạng này nên cho học sinh làm vào tiết bài tập hoặc ôn tập
chương hàm số

Bài tập rèn luyện
Bài 1: Một hộ dân cần th Cơng ty sửa các máy tính của gia đình.
Cơng ty A có lời chào hợp đồng: Cho 1 nhân viên đến nhà, chủ hộ phải trả
50.000 đồng cước phí và cộng 50.000 đồng cho mỗi giờ dịch vụ sửa chữa.
Cơng ty B có lời chào hợp đồng: Cho 1 nhân viên đến nhà, chủ hộ phải trả
75.000 đồng/ một giờ dịch vụ sửa chữa.
Hãy tính xem nên chọn hợp đồng với Cơng ty nào để chi phí thấp hơn?
Bài 2: Một người vào cửa hàng đang muốn chọn mua 01 cái tủ lạnh trong hai
loại, tủ lạnh loại A giá 3 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 500kw điện
trong 1 năm, tủ lạnh loại B giá 4 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng
400kw điện trong 1 năm. Biết rằng hai loại A và B đều có cơng năng như nhau
và giá 1kw điện là 2000đ. Theo bạn nên chọn tủ loại nào để tiết kiệm tiền nhất?
2. Hàm số bậc hai
Parabol là 1 đường cong đơn giản nhưng rất đẹp. Bởi vậy, chúng ta có thể
thấy nó xuất hiện trong nhiều cơng trình kiến trúc ở Việt Nam và trên thế giới.
Ngoài ra , Parabol cịn có nhiều tính chất lí thú mà ta sẽ nghiên cứu trong Hình
học.
Ví dụ 1: ( Đo chiều cao của cổng Parabol). Khi du lịch đến thành phố Lui
( Mĩ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng Parabol bề lõm quay xuống dưới. Đó là
cổng Acxơ. Làm thế nào để tính được chiều cao của cổng? (khoảng cách từ điểm
cao nhất của cổng đến mặt đất).
Vấn đề đặt ra:
Tính chiều cao của cổng khi ta khơng thể dùng dụng cụ đo đạc để đo trực
tiếp. Cổng dạng Parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai, chiều cao của
cổng tương ứng với đỉnh của Parabol. Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta biết
được hàm số bậc hai nhận cổng làm đồ thị.
Đơn giản vấn đề: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng một chân
của cổng ( như hình vẽ).

M

B
O

Như vậy vấn đề được giải quyết nếu biết hàm số bậc hai nhận cổng Acxơ làm
đồ thị
Phương án giải quyết:
9


Ta biết hàm số bậc hai có dạng: y = ax 2 + bx + c (a � 0). Do vậy muốn biết
được đồ thị hàm số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm
nằm trên đồ thị chẳng hạn O, B, M.
Rõ ràng O(0; 0); M(x; y), B(b,0). Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu
cần thiết.
Đối với trường hợp này ta cần đo: khoảng cách giữa hai chân cổng, và một
điểm M bất kì , chẳng hạn b = 162, x = 10, y = 43
y

43 2 3483
x 
x
1320
700

Ta viết được hàm bậc hai lúc này là :
Đỉnh S( 81m; 185,6m)
Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m
Ví dụ 2: ( Xây dựng cây cầu) Dây truyền đỡ nền Cầu treo có dạng Parabol
ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục

AA' và BB' với độ cao 30m. Chiều dài nhịp A'B' = 200m. Độ cao ngắn nhất của
dây truyền trên nền cầu là OC = 5m. Xác định chiều dài các dây cáp treo (thanh
thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền)?

Vấn đề đặt ra: Tính chiều dài của các dây cáp treo khi ta không thể dùng
dụng cụ đo đạc để đo trực tiếp. Dây truyền đỡ nền cầu treo dạng Parabol, có thể
xem là đồ thị của hàm số bậc hai, chiều dài của các dây cáp treo tương ứng với
giá trị hàm số tại các điểm x0 (x0 là khoảng cách từ trung điểm A’B’ đến chân
dây cáp treo trên nền cầu). Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta biết được hàm
số bậc hai nhận dây truyền làm đồ thị.
Đơn giản vấn đề: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục
Ox nằm trên nền cầu, O trùng với trung điểm A’B’.
Phương án giải quyết:
Khi đó ta có A(100; 30), C(0; 5), ta tìm phương trình của Parabol có dạng y
2
= ax + bx + c. Parabol có đỉnh là C và đi qua A nên ta

10


1

 b
 a  400
  2a  0


 a.0  b.0  c  5
 b 0
 a.1002  b.100 c  30

 c 5



 
có hệ phương trình:
1
Suy ra Parabol có phương trình y = 400x2 + 5. Bài toán đưa việc xác định chiều
dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm M 1, M2, M3 của Parabol. Ta
dễ dàng tính được tung độ các điểm có các hồnh độ x1 = 25, x2 = 50, x3 = 75 lần
lượt là y1 = 6,56 (m), y2 = 11,25 (m), y3 = 19,06 (m). Đó chính là độ dài các dây
cáp treo cần tính.
y
A (100;30)

B
M1

M2

M3

C
y2
O 5m y1
B'

y3 30m
A'

200m

x

* Lưu ý
* Đây là một ví dụ minh họa cho việc ứng dụng Hàm số trong thực
tiễn khá cụ thể. Chỉ cần khảo sát Hàm số bậc hai ta có thể tính được độ dài các
dây cáp treo và từ đó dự đốn được ngun liệu cần dùng đến, tiết kiệm được
nguyên vật liệu cũng như kế hoạch thi cơng. Bài này có thể dùng khi dạy bài
Hàm số bậc hai trong Chương trình Đại số 10 THPT.
Bài tập rèn luyện
Bài 1: ( Bài tốn bóng đá)
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi sẽ rơi
xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol kể từ khi quả bóng
được đá lên. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây nó
đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m.
a. Hãy xác định độ cao lớn nhất của bóng ( chính xác đến phần nghìn)
b. Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên ( tính chính xác
h
đến phần trăm)
Hướng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ Oth, trong đó t là thời gian, h là độ cao ( tính
bằng m) của quả bóng.
8.5
6

1.2
O

t
1

2

11


Bài 2: (Bài toán vũ trụ)
Khi một con tàu vũ trụ được phóng lên mặt trăng, trước hết nó bay vịng
quanh trái đất. Sau đó, đến một thời điểm thích hợp, động cơ bắt đầu hoạt động
đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một nhánh parabol bay lên Mặt trăng ( trong hệ
tọa độ Oxy như hình vẽ, x, y tính bằng nghìn km). Biết rằng khi động cơ bắt đầu
hoạt động, tức là khi x = thì y = -7. Sau đó y= -4, x = 10 và y = 5 khi x = 20
a. Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên
b. Theo lịch trình để đến được mặt trăng, con tàu phải đi qua điểm (100;y)
y
với  294 �1,5 . Hỏi điều kiện đó có được thỏa mãn hay khơng?
2.3.2.3 Chủ đề Phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn
Đây là một trong những cơ hội điển hình để rèn luyện cho học sinh năng
lực vận dụng kiến thức Toán học vào việc giải các bài toán thực tiễn ở lớp 10
THPT.
Trong thực tế đời sống, kĩ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi và
phụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các
đại lượng ấy. Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “tốn học hóa” các mối quan hệ
phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình. Khi đó việc giải các phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương
trình sẽ giúp ta giải quyết được những vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi.
Chúng ta quan tâm đến vấn đề: phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình trong tốn học giúp con người giải quyết các bài tốn thực tiễn như thế
nào? Và việc hình thành kĩ năng đưa bài toán của thực tiễn thành các phương

trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình ở học sinh.
a. Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Ví dụ 1: Một xí nghiệp dự định sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và
do đó đã hồn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định của
xí nghiệp đó.
Vấn đề đặt ra: Cần tính năng suất dự định ban đầu tức là năng suất trước khi
tăng thêm 5 sản phẩm mỗi ngày
Đơn giản vấn đề: Gọi x là năng suất dự định của xí nghiệp: x sản phẩm/ ngày
Từ đó tìm: + đại lượng biểu thị cho thời gian dự kiến
+ đại lượng biểu thị cho năng suất sau khi tăng
+ đại lượng biểu thị cho thời gian hoàn thành trước kế hoạch
Sử dụng giả thiết: hoàn thành kế hoạch trước 6 ngày ta lập ra phương trình thể
hiện mối liên hệ này.
12


Bài giải:
Gọi năng suất dự định của xí nghiệp là x sản phẩm/ ngày
Khi đó: Thời gian dự kiến hồn thành là : 600/x ngày
Năng suất sau khi tăng là: x + 5 sản phẩm / ngày
Thời gian hoàn thành với năng suất mới là: 600/(x + 5) ngày
600 600

6
Hoàn thành trước 6 ngày tức là x  5 x
� 600 x  600( x  5)  6 x( x  5)
� x  20

Vậy: năng suất dự kiến là 20 sản phẩm/ ngày

* Nhận xét:
Qua ví dụ minh họa trên ta thấy trong dạy học lập PT, HPT, BPT, hệ BPT cần
xoáy vào hai mấu chốt như sau:
+ Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa các đại lượng,
đó là cần làm cho học sinh ý thức được rằng những mối liên hệ giữa những đại
lượng trong bài tốn có thể chia thành hai loại: Những mối lien hệ ở bài tốn đó
và những mối liên hệ tổng qt có tính chất quy luật.
Thuộc về loại thứ nhất: - Năng suất dự kiến + 5 = năng suất thực tế
- Thời gian dự kiến – 6 = thời gian thực tế
Thuộc về loại thứ hai: Tổng sản lượng = năng suất �thời gian sản suất
Trong khi những mối liên hệ thứ nhất được nêu ra trong bài tốn thì những mối
liên hệ thứ hai khơng được nêu ra trong bài tốn, học sinh cần dựa vào vốn kiến
thức của mình để phát hiện ra chúng.
+ Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu
thị những tình huống thực tế.
Ví dụ 2: Hai cơng nhân cùng làm một cơng việc thì sau 5h50 phút sẽ hồn
thành. Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải điều đi làm việc khác
nên người kia phải làm tiếp trong hai giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu một
mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu?
Vấn đề đặt ra: u cầu tính thời gian hồn thành cơng việc riêng của mỗi
người
Đơn giản vấn đề: Gọi x, y là thời gian hồn thành cơng việc của mỗi người
Bài giải:
Gọi x, y là số giờ mà mỗi người phải làm một mình sẽ xong cơng việc x > 0; y >
0
Khi đó: trong 1 giờ người nhất làm được: 1/x công việc
Người thứ 2 làm được: 1/y công việc
1 1

x

y công việc
Trong một giờ cả hai người làm làm chung được:
35
5h50’  h
6 thì xong nên ta có PT:
Hai người cùng làm trong
1 1 35
(  ).  1
x y 6
(1)

13


1 1
(  ).5
Công việc 2 người làm chung trong 5h là: x y
2
Cơng việc người cịn lại làm trong 2h là: y
1 1
2
(  )5   1
y
Vậy ta có phương trình x y

(2)

Giải (1) và (2) ta được: x= 10; y = 14
Bài tập tự luyện
Bài 1: Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng trong rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20

quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ 2 thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp
4/3 lần số trứng ở rổ thứ 2. Tính số trứng ban đầu.
Bài 2: Bài toán cổ
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho 100 người cùng vui
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh
Trăm người trăm miếng ngon lành
Quýt , cam mỗi loại tính rành là sao?
Bài 3: Một chiếc xuồng nhỏ chở những người du lịch phải hồn thành một cuộc
đi chơi dọc trên sơng từ địa điểm A đến địa điểm B và ngược lại mà lại khơng
vượt q 3h. Chiếc xuồng đó phải có vận tốc riêng như thế nào, nếu vận tốc của
nước sông là 5km/h, khoảng cách từ A đến B là 28km và xuồng dừng lại ở điểm
B trong 40 phút.
b. Giải bài tốn bằng cách lập bất phương trình, hệ bất phương trình
Trong chủ đề này có thể khai thác được nhiều dạng toán gần gũi với đời
sống thực tiễn như: Bài toán vận tải, bài toán sản xuất đồng bộ, bài toán thực
đơn, bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện tài nguyên hạn chế, bài toán
vốn đầu tư nhỏ nhất, bài toán pha trộn,…
Tuy nhiên trong SGK lớp 10 hiện hành, khi trình bày nội dung này, chỉ đưa
ra duy nhất một Ví dụ về bài tốn có nội dung thực tiễn; đó là Ví dụ trong mục “
Áp dụng vào bài tốn kinh tế”.
Trong tình huống này, ta có thể lồng ghép một số Ví dụ, bài tập thuần túy
Toán học bởi những bài toán có nội dung thực tiễn tương đương. Làm như vậy
là ta đạt được mục đích kép trong dạy học chủ đề giàu tiềm năng này. Điều quan
trọng là vẫn không ảnh hưởng thời lượng ở lớp, ở nhà mà vẫn rèn luyện được
cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Tốn học vào thực tiễn. Có thể ra
thêm một số bài tập cho học sinh khá giỏi để tạo cơ hội, bồi dưỡng, phát triển
năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn cho các đối tượng này.
Chẳng hạn một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: (Bài tốn vận tải) Một cơng ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán
khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở 140
người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10
chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B
14


giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp
nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng hóa; xe B chở tối đa
10 người và 1,5 tấn hàng.
Vấn đề đặt ra:
Cần phải tính số xe loại A, loại B cần dùng sao cho chi phí là thấp nhất.
Nếu chỉ dùng 1 loại xe thì khơng đáp ứng yêu cầu. Thật vậy
Nếu dùng cả 9 xe B thì chở dược 90 người và vận chuyển được 13,5 tấn
hàng, như vậy sẽ thừa 50 người và thiếu 4,5 tấn hàng.
Nếu dùng cả 10 xe A chở được 200 người và 6 tấn hàng như vậy sẽ thiếu 60
người và thừa 3 tấn hàng. Do vậy phải dùng cả 2 loại xe
Phương án giải quyết:
Gọi x, y lần lượt là số xe loại A, B cần dùng
Theo đề bài cần tìm x, y sao cho A(x, y) = 4x + 3y đạt giá tị nhỏ nhất.
2 x  y �14
�20 x  10 y �140
�
�
�
0, 6 x  1,5 y �9
2 x  5 y �30
�
�
��

( II )
�
0
�
x
�
10
0
�
x
�
10
�
�
�
�
0
�
y
�
9
0 �y �9
�
Ta có: �

Để giải bài tốn này ta lần lượt giải quyết các vấn đề sau đây:
+ xác định tập (S) các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ BPT (II) (1)
+ khi (x; y) lấy các giá trị trên (S) tìm giá trị nhỏ nhất của T(x, y) = 4x + 3y
(2)
Miền nghiệm (S) của hệ (II) được biểu diễn bởi tứ giác ABCD kể cả biên ,

như hình vẽ:

(2) có nghĩa là tìm tất cẩ các điểm M(x; y) thuộc tứ giác ABCD sao cho
A(x; y) nhỏ nhất
Ta biết rằng A nhỏ nhất đạt tại các giá trị trên biên của tứ giác ABCD, nên
ta cần tìm các tọa độ các đỉnh S
2 x  y  14
�
�x  5
��
� A(5, 4)
�
2
x

5
y

30
y

4
�
�
A(x, y) là nghiệm của hệ
15


�x  10
�x  10

��
� B(10, 2)
�
B(x, y) là nghiệm của hệ �2 x  5 y  30 �y  2
�x  10
� C (10,9)
�
y

9
�
C(x, y) là nghiệm của hệ
2 x  y  14 �x  5 / 2
�
��
� D(5 / 2,9)
�
y

9
y

9
�
�
D(x, y) là nghiệm của hệ

Tính các giá trị T(x, y) tại các điểm biên:
T(A) = 4.5 + 3.4 = 32(triệu)
T(B) = 4.10 + 3.2 = 46(triệu)

T(C) = 4.10 + 3.9 = 67(triệu)
T(D) = 4.5/2 + 3.9 = 37(triệu)
Vậy T(A) = 32 triệu là nhỏ nhất và ít tốn tiền vận chuyển nhất nên chọn 5
xe A và 4 xe B.
Ví dụ 2: (Bài tốn thực đơn) Trong một cuộc thi về “ Bữa ăn dinh dưỡng” , ban
tổ chức yêu cầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng hằng ngày thì mỗi gia đình có 4
thành viên cần ít nhất 900 đơn vị prơtêin và 400 đơn vị lipít trong thức ăn hằng
ngày. Mỗi kg thịt bị chứa 800 đơn vị prơtêin và 200 đơn vị lipít, 1 kg thịt heo
chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipít. Biết rằng người nội trợ chỉ được
mua tối đa 1,6kg thịt bò và 1,1 kg thịt heo. Biết rằng 1kg thịt bò giá 100.000đ,
1kg thịt heo giá 70.000đ. Phần thắng sẽ thuộc về gia đình nào trong khẩu phần
ăn đảm bảo được dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất.
Vấn đề đặt ra:
Xác định lượng thịt heo và thịt bò cần phải mua để vừa đảm bảo dinh
dưỡng vừa ít tốn nhất.
Rõ ràng đối với trường hợp này nếu ta chỉ mua một loại thịt thì khơng đáp
ứng u cầu. Thật vậy:
+ Nếu chỉ mua thịt heo thì ta mua được tối đa 1,1kg. Khi đó chiphis bỏ ra
77000đ
Với lượng thịt trên cung cấp 660 dơn vị Protein và 440 đơn vị Lipit. Như
vậy lượng Lipit thừa mà Protein lại thiếu.
+ Nếu chỉ mua thịt bị thì rõ ràng chi phí sẽ cao hơn.
Do vậy ta phải mua hai loại thịt
Phương án giải quyết:
Gọi x, y là khối lượng thịt bò và thịt heo mà người nội trợ mua
Bài toán đặt ra T = 100.000x + 70.000y đạt giá trị nhỏ nhất
Điều kiện:
800 x  600 y �9000
8 x  6 y �9
�

�
�200 x  400 y �400
�x  2 y �2
�
�
��
�
0 �x �1, 6
0 �x �1, 6
�
�
�
�
0 �y �1,1
0 �y �1,1
�
�

Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD
16


A(0,3; 1,1), B(1,6; 1,1), C(1,6; 0,2), D(0,6; 0,7)
T(A) = 107.000đ
T(B) = 237.000đ
T(C) = 174.000đ
T(D) = 109.000đ
Vậy Tmin = 107.000đ khi mua 0,3kg thịt bò và 1,1kg thịt heo
* Lưu ý
Trong những bài toán trên, việc vận dụng kiến thức Toán học để giải chúng

là khơng q khó khăn – khi học sinh đã nắm tương đối vững các kiến thức về
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên, một khó khăn là đề bài hơi dài
rất có thể ảnh hưởng đến thời lượng trên lớp. Để khắc phục khó khắn này, giáo
viên có thể in sẵn đề, và khi dùng thì phát cho học sinh. Đối với bài tập về nhà
cũng có thể làm tương tự, và như vậy số lượng bài tốn có nội dung thực tiễn
được tăng cường phù hợp.
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Trong một xưởng cơ khí có những thanh sắt dài 7,4m. Người chủ muốn
các thợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn dài 0,7m và 0,5m để tiện sử
dụng. Bây giờ người chủ muốn có 1000 đoạn 0,7m và 2000 đoạn 0,5m. Bạn hãy
ước lượng xem cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4m để làm.
Bài 2: Hai công nhân được giao nhiệm vụ sơn 1 bức tường. Sau khi người thứ
nhất làm được 7h và người thứ hai làm được 4h thì họ sơn được 5/9 bức tường.
Sau đó họ bắt tay vào làm chung trong 4h thì chỉ cịn 1/1 8 bức tường chưa sơn.
Vì cả hai người này đều bận nên nhờ người công nhân thứ ba sơn tiếp bức tường
còn lại. Bây giờ phải chia tiền công như thế nào cho công bằng. Biết rằng người
chủ khốn tiền cơng sơn bức tường này là 360.000đ.
2.3.2.4. Các bài tốn dùng bất đẳng thức Cơ - si
Ví dụ 1: Người ta phải cưa một thân cây hình trụ để được một cây xà, hình khối
chữ nhật có thể tích cực đại. Hỏi cây xà phải có tiết diện như thế nào?
Giải:

Vấn đề đặt ra: Tiết diện ( mặt cắt ngang ) của cây xà có kích thước các cạnh
như thế nào?
17


Phân tích đề bài:
Thể tích của khối chữ nhật là V = chiều dài. chiều rộng. chiều cao
Coi chiều cao là chiều dài của xà = chiều dài của thân cây

Như vậy: Thể tích của khối chữ nhật phụ thuộc vào chiều dài và chiều rộng của
tiết diện.
Bài giải
Gọi x, y là các cạnh của tiết diện. Theo định lí Pitago ta có:
x 2  y 2  d 2 (d là đường kính thân cây). Thể tích cây xà sẽ đạt cực đại khi
diện tích của tiết diện là cực đại, nghĩa là khi x.y cực đại. Do xy lớn nhất khi và
2
2
2
chỉ khi x2y2 lớn nhất và tổng x  y  d không đổi, nên x2y2 đạt cực đại khi
x 2  y 2 � x  y . Vậy cây xà phải có tiết diện là hỡnh vuụng.
Vớ d 2: Chúng ta đều biết cấu tạo của một hộp diêm bình thờng. Nó bao gồm: 1 nắp, 2 đáy, 4 mặt bên và 2 đầu. Hộp
diêm phải có dạng thế nào để với thể tích cố định, khi chế tạo
sẽ đỡ tốn vật liệu nhất?

ỏy

Np
u

Mt bờn

Mt bên

Vấn đề đặt ra: Cần tìm kích thước các chiều của hộp diêm để chế tạo hộp diêm
đỡ tốn vật liệu nhất tức là tổng diện tích các mặt phải bé nhất.
Phân tích bài tốn:
- Hộp diêm là khối chữ nhật nên thể tích V = chiều dài. chiều rộng. chiều cao
- Các mặt bên là hình chữ nhật, trong đó: nắp = đáy
Bài giải

Nếu ta đặt x, y, z lần lượt là chiều cao, chiều rộng và chiều dài của hộp diêm.
Với thể tích cố định là V, thì tổng diện tích tất cả các mặt hộp diêm là:
S = 2xy + 3yz + 4xz.
Để tốn ít vật liệu nhất thì S bé nhất.
z
x
Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có
 33 2xy.3yz.4xz  63 3x2y2z2 = 63 3V 2
S
Do đó ít tốn vật liệu nhất khi và chỉ khi
2xy = 3yz = 4xz  x: y: z = 3: 4: 2.
Vậy: Hộp diêm nên có kích thước các chiều
theo tỉ lệ x: y: z = 3: 4: 2

y

Nắp
Mặt bên

Đáy

Đầu

Mặt bên
18


Bài tập rèn luyện.
Bài 1: Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là
S1

hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật,
có chu vi là a(m) (a chính là chu vi hình bán nguyệt
S2
cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình
chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định
2x
các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
Bài 2: Ta có một miếng tơn phẳng hình vng với kích thước a cm, ta muốn cắt
đi ở 4 góc 4 hình vng để uốn thành một hình hộp chữ nhật khơng có nắp. Phải
cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?
Bài 3: Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng các sản
phẩm đã được chế biến, có dung tích V(cm3). Hãy xác định các kích thước của
nó để tiết kiệm vật liệu nhất?
* Lưu ý
Đối với các bài tập vận dụng này, đòi hỏi người giáo viên phải hết sức khéo
léo, nhẹ nhàng dẫn dắt học sinh, tránh làm cho các em thấy q tải ở độ tính
tốn phức tạp của bài tốn đặt ra. Cần có thời gian làm cho các em quen dần với
cách tiếp cận các bài toán thực tế này để các em ngày càng ham thích học Tốn
hơn. Giáo viên có thể ra bài tập về nhà để các em có thời gian trao đổi, tìm hiểu
biện pháp giải quyết bài tốn. Sau đó các em đến lớp để thảo luận và giáo viên
cùng làm việc, giải quyết vấn đề đặt ra với các em.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong năm học 2020 – 2021 tôi đã áp dụng nội dung của sáng kiến trên cho
học sinh lớp 10V. Vào cuối năm học tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra và thu
được kết quả như sau:
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu

42
6
20
16
Như vậy: sau khi áp dụng sáng kiến thì kết quả học sinh có tiến bộ. Các em
khơng cịn cảm thấy “sợ” khi gặp phải bài toán thực tế nữa. Nhiều em cảm thấy
hứng thú hơn vì biết cách tìm hướng giải, cảm thấy tự tin hơn .

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài góp phần thiết thực cho giáo viên bộ mơn tốn đổi mới phương pháp
dạy học Tốn THPT theo định hướng của Bộ Giáo dục và Đào tạo: cần dạy học
sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào
thực tiễn. Tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động.
19


Qua các bài tốn này cịn rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng kiến
thức Toán học vào thực tiễn nói riêng, vận dụng các kiến thức phổ thơng nói
chung; Tác động đến tâm lí, đem lại niềm vui, hứng thú học tập bộ mơn Tốn
cho học sinh.
Sau khi dùng các bài toán thực tiễn này trên lớp, giáo viên cịn nhận được
các bài tốn phản hồi bằng cách u cầu học sinh tìm các ví dụ thực tiễn khác để
trao đổi thảo luận nhóm. Qua đó nhận thấy sự hứng thú học tập mơn Tốn của
học sinh ngày càng cao hơn.
3.2. Kiến nghị
Nhằm giúp học sinh học tốt hơn, được rèn luyện nhiều hơn nữa khả năng
vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn, bản thân tơi
có một số kiến nghị,đóng góp ý kiến đối với giáo viên như sau:
Trong quá trình soạn bài, những kiến thức có liên quan với thực tiễn giáo

viên nên đưa những ví dụ trong đời sống vào để học sinh thấy rõ toán học gần
gũi với cuộc sống hàng ngày. Trên cơ sở đó, giáo viên xây dựng hệ thống câu
hỏi phù hợp, đặt ra các tình huống trong cuộc sống để học sinh tự giải quyết.
Trong quá trình giảng dạy, để hình thành kiến thức cho học sinh thì giáo
viên tiến hành các hoạt động theo trình tự: hoạt động khởi động – hoạt động
hình thành kiến thức – hoạt động luyện tập – hoạt động tìm tịi và mở rộng nhằm
giúp học sinh tiếp thu bài học dễ dàng. Tăng cường dạy học phân hóa theo năng
lực học sinh.
Chú trọng phương pháp nêu vấn đề để giải quyết các bài tốn thực tiễn,
tạo khơng khí lớp học thật vui vẻ, thoải mái; thân thiện, gần gũi để học sinh
mạnh dạn bày tỏ ý kiến về bài toán thực tiễn. Tạo hứng thú học tập thơng qua trị
chơi, kể chuyện, hoạt động thực hành, các bài toán gắn liền với thực tiễn cuộc
sống.
Trong các bài kiểm tra và bài thi học kỳ cần đưa một số bài toán thực tiễn
để phong phú và đa dạng nội dung. Như vậy, là học sinh đã biết vận dụng kiến
thức toán học vào thực tiễn đúng với tinh thần đổi mới của sách giáo khoa.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy và hướng dẫn học
sinh giải các bài toán thực tiễn. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng tìm tịi học hỏi,
nhưng chắc hẳn bài viết không thể tránh khỏi hạn chế, mong các thầy cơ góp ý
và bổ sung. Tơi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 1 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

20

Lê Thị Nhàn

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo Dục
2. Các đề thi đại học cao đẳng các năm
3. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ (2000), Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm
2000), Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.

22


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Nhàn
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nguyễn Thị Lợi

TT Tên đề tài SKKN
1.

Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại

đánh giá Năm học
(Ngành GD cấp xếp loại
đánh giá
huyện/tỉnh;
(A,
B, xếp loại
Tỉnh...)
hoặc C)

Sử dụng máy tính Casio Fx570ES Plus giải một số Ngành GD cấp
Tỉnh
phương trình và bất phương

C

20162017

trình vơ tỉ

23