Rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY NHANH
CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN ĐƯỜNG TIỆM CẬN
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Người thực hiện: Trần Thị Lan Anh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

MỤC LỤC

THANH HỐ, NĂM 2021


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU

1

1.1 Lí do chọn đề tài

1

1.2 Mục đích nghiên cứu

1

1.3 Đối tượng nghiên cứu

2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến

2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3

2.3 Cách giải quyết vấn đề

4

2.3.1 Một số dạng tốn thường gặp

4

2.3.1.1 Bài tập khơng chứa tham số

4

2.3.1.2 Bài tập chứa tham số

10

2.3.2 Bài tập dưới hình thức tự luận

11

2.3.3 Hướng dẫn giải nhanh các bài tập trắc nghiệm có liên quan
đến tiệm cận

13

2.3.4 Hệ thống các bài tập tự luyện

17

2.4. Kết quả thử nghiệm

19

2.4.1 Kết quả chung

19

2.4.2 Kết quả kiểm tra

19

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

19



1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Tốn học là một trong những lĩnh vực đóng vai trị quan trọng trong cuộc
sống của chúng ta. Nó khơng chỉ làm cho cuộc sống có trật tự và ngăn nắp mà
nó cịn có nhiệm vụ ni dưỡng một số phẩm chất nhất định của con người đó là
khả năng suy luận, sáng tạo, tư duy linh hoạt và khả năng giải quyết vấn đề thậm
chí cả kĩ năng giao tiếp hiệu quả. Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói
chung, chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng đang là yêu cầu cấp bách đối với
ngành giáo dục nước ta hiện nay.
Trong chương trình mơn Tốn ở trường phổ thơng Đường tiệm cận được
đưa vào chương 1 sách Giải tích lớp 12. Đây thật sự là phần rất phù hợp để ra
dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi THPT quốc gia cũng như thi học
sinh giỏi hiện nay. Hơn nữa bài tập về đường tiệm cận có thể sử dụng ở cả 4
mức độ đánh giá: Nhận biết, thơng hiểu, vận dụng, vận dụng cao, từ đó nội dung
này mang tính phân loại học sinh rất tốt. Để giải tốn khơng địi hỏi nhiều kiến
thức, nhưng u cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo. Dạy Tốn là dạy kiến
thức, tư duy, tính cách [Nguyễn Cảnh Tồn]. Do đó khi dạy đường tiệm cận,
ngồi việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh giáo viên cịn phải tìm
được cách giải nhanh, tổng qt hóa bài tốn để giúp học sinh phát triển khả
năng tư duy nhanh để vận dụng một cách linh hoạt nhất trong việc học toán,
cũng như trong cuộc sống
Mặt khác rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán về

đường tiệm cận của đồ hàm số góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học
theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm". Theo đó thầy chỉ đóng vai trị là
người hướng dẫn để học sinh tự tìm tịi phát hiện ra kết quả, phát hiện ra mâu
thuẫn và sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán .
Cùng với việc nghiên cứu các đề thi của Bộ giáo dục và đào tạo, kết hợp
với q trình giảng dạy và nghiên cứu, tơi nhận thấy bài toán về đường tiệm cận
của đồ thị hàm số có liên quan tới giới hạn hàm số lớp 11, khiến nhiều học sinh
gặp khó khăn. Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em
một số kiến thức, giúp các em vượt qua khó khăn, hướng dẫn để các em có thể
giải nhanh bài tốn về đường tiệm cận nhằm mục đích phát triển khả năng tư duy
nhanh trong khi giải toán về đường tiện cận nói riêng và trong q trình làm tốn
trắc nghiệm nói chung. Từ đó tơi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện khả năng tư
duy nhanh cho học sinh qua bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số”.
Trong sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi chỉ đề cập đến hai loại tiệm cận đó
là: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Hi vọng có được sự ủng
hộ và góp ý nhiệt thành của q đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một cơng cụ
đích thực cho việc dạy và học đường tiệm cận.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
- Đối với giáo viên:
Trên cơ sở lí luận phương pháp dạy học, đề tài đưa ra phương pháp giải
nhanh cho một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số qua đó rèn
luyện cho học sinh khả năng tư duy nhanh khi giải toán.
1


- Đối với học sinh:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài
tốn trắc nghiệm, tránh được sai lầm từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm
bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất.
-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi muốn định hướng để

học sinh có thể giải gianh, giải chính xác đối với những bài tốn có liên quan
đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số cũng như và các bài toán có trong
chương trình phổ thơng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Tìm hiểu lí luận dạy học nói chung, dạy học phần Đường tiệm cận nói riêng để
làm rõ nội hàm các khái niệm.
- Kiến thức về đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Kiến thức về cách tính giới hạn của hàm số.
- Học sinh lớp 12B2 năm học 2019 – 2020; 12C2, 12C8 năm học 2018 – 2019
trường THPT Vĩnh Lộc
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Về lí thuyết: Đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó chủ yếu
là:
+ Phương pháp nghiên cứu tổng hợp để tiếp cận và đi sâu vào các vấn đề
về lí luận dạy học nói chung, dạy phần Đường tiệm cận nói riêng nhằm lí giải rõ
khái niệm, từng bài tốn được đề cập đến trong đề tài.
+ Phương pháp phân tích để tìm ra những nét nổi trội khi vận dụng cách
giải nhanh nhằm giúp học sinh phát triển tư duy khi giải toán về đường tiệm cận
- Về thực tiễn:
+ Dự giờ đồng nghiệp dạy cùng khối 12 chương trình ban nâng cao.
+ Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung phần
Đường tiệm cận do bản thân trực tiếp đứng lớp ở trường Trung học phổ thơng
Vĩnh Lộc.
+ Sử dụng phương pháp thống kê tốn học trên cơ sở so sánh các giá trị
thu được giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá hiệu quả của những
biện pháp dạy học mà đề tài đưa ra.
+ Trong quá trình giảng dạy giáo viên dự đốn, tổng hợp, phân theo từng
dạng, phân tích chỉ rõ cách làm nhanh từ đó lựa chọn phương án giải phù hợp
nhất. Cuối cùng trình bày lại thơng qua các ví dụ cụ thể.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
a) Định nghĩa:
+) x  a là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y  f ( x)
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim y  � lim y  � lim y  � lim y  �
x �a 
, x�a
, x�a
, x�a
y  f ( x) xác định trên 1 khoảng có dạng  �;b  ,  a; � ,  �; �
số
+) Hàm
y  b là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f ( x)
2


nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim y  b lim y  b
x ��
, x��
0
0
b) Cách tính giới hạn dạng:
f  x
lim
f
x

0
lim

g
x

0
lim




0
x �x0
x �x0
x � x0 g x


Nếu  x���
;  x���
thì  x���
được gọi là có dạng vơ định 0
Để tính được các dạng giới hạn này ta phải khử dạng vô định, có một số loại
thường gặp và cách khử dạng vơ định của chúng như sau:
P  x

�Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng: Q  x  trong đó P  x  , Q  x  là hai

da thức của x.

 x  x0  .P1  x 

n

Q  x   x  x0  .Q1  x 
Để khử dạng vô định ta biến đổi:
k
x

x
, k  max  m, n  .


0
số có dạng
P x

m

rồi giản ước các thừa

�Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có chứa dấu căn: ta nhân và chia biểu thức

liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0, rồi làm tương tự như dạng trên ta sẽ
khử được dạng vơ định.
�
c) Cách tính dạng: �
f  x
lim
f
x

�
�

lim
g
x

�
�
lim




x � x0
x �x0
x � x0 g x
 
x ���
x���
x ���



Nếu
;
thì
được gọi là có dạng vơ
�
định �
k
k
Chia tử và mẫu cho x với x là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu (hoặc

k

rút x làm nhân tử), sau đó áp dụng các định lý về giới hạn hữu hạn hoặc các
quy tắc về giới hạn vô cực.
Trong dạng này ta gặp 3 khả năng:
- Bậc f  x  nhỏ hơn bậc g  x  thì kết quả giới hạn bằng 0

- Bậc f  x  lớn hơn bậc g  x  thì kết quả giới hạn bằng ��
- Bậc f  x  b ằng bậc g  x  thì kết quả giới hạn bằng tỉ số các hệ số của lũy thừa
cao nhất của tử và mẫu.
n n
�
� x  x,khi x  0
�n n
� x   x,khi x  0
Chú ý rằng nếu biểu thức chứa căn bậc n là căn bậc chẵn thì: �
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3


Việc rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán về đường
tiệm cận của đồ thị hàm số là rất cần thiết vì các lí do sau:
Thứ nhất, mơn tốn đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc
nghiệm, từ đó địi hỏi học sinh phải giải một tốn bằng cách nhanh nhất có thể,
để tiết kiệm thời gian.
Thứ hai, trong các đề thi tự luận trước đây bài toán về đường tiệm cận của đồ thị
ax  b
y
cx  d
hàm số chỉ xuất hiện thoáng qua và chủ yếu khai thác ở hàm số dạng

nhưng hiện nay và xu hướng trong những năm tới bài toán tiệm cận đã đang được
khai thác sâu hơn và ở nhiều loại hàm số phức tạp hơn. Ngồi ra bài tốn về
đường tiệm cận có liên quan tới một phần của giới hạn hàm số lớp 11, khiến
nhiều học sinh lúng túng.
Trong bài viết này, thông qua cách nhận biết để giải nhanh các dạng toán
về đường tiệm cận của đồ thị hàm số để rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho
học sinh trong học tập, tôi thấy kết quả đạt được tốt và phù hợp với các đối
tượng là học sinh trường THPT Vĩnh Lộc.
2.3 Cách giải quyết vấn đề: Cách giải nhanh bài toán đường tiệm cận của
đồ thị hàm số.
Giáo viên đưa ra cách giải nhanh cho một số dạng tốn thường gặp dựa
trên cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm thơng qua phân tích chỉ ra cách làm
nhanh và được minh họa bằng các ví dụ cụ thể. Tiếp đó là hệ thống bài tập tự
luận và cuối cùng thông qua bài tập trắc nghiệm để các em thực hành giải đề thi
qua đó giúp học sinh nhận ra và vượt qua những “bẫy’’ của dạng tốn trắc
nghiệm về đường tiệm cận. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy nhanh
trong giải toán cũng như các vấn đề gặp phải trong thực tế.
Cụ thể như sau
2.3.1 Một số dạng toán thường gặp
2.3.1.1 Bài tập khơng chứa tham số
a. Phương pháp:
-Tiệm cận đứng: +)Tìm nghiệm của mẫu số
+) Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng
+) Kết luận
-Tiệm cận ngang: +) Tìm tập xác định
+) Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang
+) Kết luận
+ Sử dụng cách tìm nhanh tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
được trình bày dưới đây
Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chương trình sách giáo khoa giải

tích 12 cơ bản, các đề thi những năm qua tơi chia thành các dạng sau:
b. Các dạng tốn:
Dạng 1: Hàm đa thức y  f ( x) không có tiệm cận
3
Ví dụ:[9] Hàm đa thức y  3x  2 x  1 khơng có tiệm cận.
4


y

P x
Q x

Dạng 2:
Tiệm cận đứng:

trong đó P  x  , Q  x  là hai đa thức của x

Trong trường hợp nếu

Q( x0 )  0 và P( x0 ) �0 thì x  x0 là tiệm cận đứng

 x  x0  u ( x)
y

Q  x   x  x0  l v(x)
P  x

Trong trường hợp nếu Q( x0 )  0 và P( x0 )  0 hay

k

và k  l thì x  x0 là tiệm cận đứng.

x 2  3x  2
y
1 x
[1]
Tìm
tiệm
cận
đứng
của
đồ
thị
hàm
số
sau:
Ví dụ 1:
Có thể kết luận nhanh x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( x  1 là
nghiệm của mẫu, không là nghiệm của tử)
3x 2  2 x  1
y
x 1
Ví dụ 2:[2] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
2
Mẫu số 1  x  0 � x  1 đồng thời x  1 là nghiệm của tử 3x  2 x  1  0
trong bài tốn này x  1 khơng phải là tiệm cận đứng.
 x  1 (3x  1)
3x 2  2 x  1

y
� y
� y  3x  1
1

x
1

x
Giáo viên có thể chỉ rõ:
3x 2  4 x  1
y
2
x

1


Ví dụ 3:[9] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
Trong ví dụ này x  1 là nghiệm của tử số và cũng là nghiệm của mẫu số
nhưng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Trong quá trình dạy giáo viên
 x  1  3x  1 � y  3x  1
3x 2  4 x  1
y
� y
2
2
x 1
x


1
x

1




chỉ rõ:
Tiệm cận ngang: Hàm số có dạng
am x m  am1 x m1  ....  a1 x  a0
y
 am �0,bn �0 
bn x n  bn 1 x n1  ....  b1 x  b0
Nếu m  n hàm số khơng có tiệm cận ngang (vì khi đó hàm số � �� khi
x � ��)
a
y m
bn
Nếu m  n hàm số có 1 tiệm cận ngang
y  0.
Nếu m  n hàm số có 1 tiệm cận ngang
2 x 2  x  1
y
x2  x
Ví dụ 1:[8] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

Do bậc của x trên tử số lớn hơn bậc của x ở mẫu số nên đồ thị hàm số không có tiệm
cận ngang.
5

y
Ví dụ 2:[9] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

3x 2  2 x  5

 x  1

2

Có thể kết luận ngay đồ thị hàm sơ có tiệm cận ngang y  3 (bậc của x trên tử số
bằng bậc của x dưới mẫu số)
2 x  1
y 2
x x
Ví dụ 3:[8] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
Do bậc của x trên tử số nhỏ hơn bậc của x ở mẫu số nên đồ thị hàm số có tiệm
y0
cận ngang
ax  b
y
cx  d
: Trong chương trình SGK cơ bản có đề cập đến hàm số:
Chú ý 1
ln có 2 đường tiệm cận một tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang có
d
a
a b
x

y
�
c
c
c
d ).
phương trình
,
(trong đó
U  x
y
V  x
Dạng 3: Đối với hàm số
trong đó U ( x) , V( x) là hai biểu thức chứa
căn cùng bậc. Ta có thể thực hiện tìm tiệm cận của đồ thị hàm số như sau:
Đối với tiệm cận đứng:
Khả năng 1:
- Nếu x0 chỉ là nghiệm của V  x  thì x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị
- Nếu x0 là nghiệm của V( x) và U ( x) khơng xác định thì x  x0 khơng phải là
tiệm cận đứng của đồ thị
x  1 1
y
x 1
Ví dụ 1:[9] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Kết luận ngay
x  2 1
y
x  x  2
Ví dụ 2:[8]Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:

Dựa vào lí thuyết trên ta có kết luận: x = 2 là tiệm cận đứng, x = 0 không phải là
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (Trong q trình giảng dạy giáo viên có thể giải
thích tường tận: x = 2 chỉ là nghiệm của mẫu số, và thuộc tập xác định của tử số;
x = 0 là nghiệm của mẫu số nhưng tại x = 0 tử số không xác định)
Khả năng 2: Nếu x0 vừa là nghiệm của V( x) vừa là nghiệm của U ( x) thì
chúng ta có 2 cách xử lí như sau:

6


U  x
x�x 0 V  x 
lim

U  x
x � x0 V  x 
lim

U  x
x � x0 V  x 
lim

Một là: Tính nhanh giới hạn
,
hoặc
nếu kết quả
là là một số thì x  x0 khơng phải là tiệm cận của đồ thị hàm số; nếu kết quả là
vơ cực ( ��) thì x  x0 lại là tiệm cận của đồ thị hàm số.

 x  x0  h( x)
y

(1)
V  x   x  x0  n k( x)
U  x

Hai là: Phân tích

m

Nếu m �n thì x  x0 khơng phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Nếu m  n thì x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 1  2x 1
y
x2  x
:[9] Đối với hàm số
Ví dụ 1
x0
�
x2  x  0 � �
x 1
�
Mẫu số :
+) x  2 là nghiệm của mẫu số nhưng không phải là nghiệm của tử số và tử số
xác định tại x  2 nên trong trường hợp này kết luận ngay x  2 là tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số.
) x  0 là nghiệm của tử số cũng là nghiệm của mẫu số nên trong trường hợp
+
0

này ta tính nhanh giới hạn dạng 0
lim y  lim
Ta tính

x �0

y
Hoặc tính

x �0

x  1  2x  1
x
1

lim


x �0 x ( x  1)( x  1 
x2  x
4
2 x  1)

x
x( x  1)( x  1  2 x  1)

Kết luận x  0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x42
y
x2

:[9] Đối với hàm số
Ví dụ 2
2
Mẫu số : x  0 � x  0 , x  0 vừa là nghiệm của tử vừa là nghiệm của mẫu số
x
1
y 2

x ( x  4  2) x( x  4  2) nên dựa vào (1) hoặc tính giới hạn
nhưng
hàm số

lim y  lim

x �0

x�0

x
1

lim
 �
x 2 ( x  4  2) x�0 x( x  4  2)
(có thể tính giới


hạn khi x � 0 )
Kết luận x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

7


Tuy nhiên qua 2 ví dụ trên giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh dùng tính chất
(1) cho nhanh. Ở đây chúng ta chỉ trình bày để qua đó học sinh thấy được cách
làm nhanh và sử dụng khi gặp dạng toán này.
Đối với tiệm cận ngang:
Khả năng1: Nếu hàm số khơng có tập xác định (TXĐ) chứa ��ví dụ TXĐ
dạng  �;b  ,  b; � ,  �; � ,..hoặc bậc của tử số U ( x) lớn hơn bậc mẫu số

V( x ) thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang

4  x2  2
y
x 1
Ví dụ 1:[9] Hàm số
có TXĐ: D =  2;2 \  1 nên khơng có
tiệm cận ngang
x2  2x  1
y
x2
Ví dụ 2:[9] Hàm số
có TXĐ: D = R\  2 nhưng bậc của tử lớn
hơn mẫu số nên cũng khơng có tiệm cận ngang
U ( x) nhỏ hơn bậc mẫu số V( x) và hàm số có
Khả năng 2: Nếu bậc của tử số
tập xác định (TXĐ) dạng  �;b  ,  b; � ,  �; � ,..thì đồ thị hàm số có tiệm
cận ngang y  0
�1
�

2x  1  x  1
D


;
�
y
�
�\  0;1
2
2
�
�
x

x
Ví dụ 3:[9] Hàm số
có TXĐ
, bậc
của x trên tử nhỏ hơn dưới mẫu, ta kết luận y  0 là tiệm cận ngang
Khả năng 3: Nếu bậc của tử số U ( x) bằng bậc mẫu số V( x ) và hàm số có tập
xác định (TXĐ) dạng  �;b  hoặc  a;� thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận
ngang. Cụ thể ta xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4:[9] Hàm số

y

x2  1  x  1
x2
có TXĐ D   1; � , bậc của x trên

tử bằng dưới mẫu (và bằng 1), ta kết luận đồ thị số hàm số có 1 tiệm cận ngang
y 1
y  1 (vì xlim
��
)
� 1�
1  2x  x
D �
�; �
y
2 �, bậc của x trên tử
�
x 1
Ví dụ 5:[9] Hàm số
có TXĐ
bằng dưới mẫu ( và bằng 1), ta kết luận đồ thị số hàm số có 1 tiệm cận ngang
y  1
Chú ý 2: Khi TXĐ có dạng  �;b  cần phải nhớ

n

x n   x,khi x  0

1  x  x2  2
y
x 1
Ví dụ 6: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
có TXĐ

8


D   �;1 , bậc của x trên tử bằng dưới mẫu (và bằng 1), ta kết luận đồ thị số

hàm số có 1 tiệm cận ngang y  1 . Khi giảng dạy giáo viên cần giải thích rõ cho
học sinh và rèn luyện thêm cho các em ở bài tập trắc nghiệm
2
1 x  x 1 2
2
1 x  x  2
x
y

lim y  1.
x 1
x 1
do đó x��
Vì
Khả năng 4: Nếu bậc của tử số U ( x) bằng bậc mẫu số V( x ) và hàm số có tập
xác định (TXĐ) dạng  �; � hoặc TXĐ chứa  �;b  và  a;� thì đồ thị
lim y  b �lim y  b '
x ��
x ��
. Như vậy trong trường hợp này
có 2 tiệm cận ngang nếu
�
cần phải tính nhanh 2 giới hạn dạng �
y

x4  3  x4  1
x2  x
có TXĐ D  R \  0,1 , bậc của x trên

Ví dụ 7:[9] Hàm số
tử bằng dưới mẫu, ta kết luận đồ thị số hàm số có 1 tiệm cận ngang y  0
lim y  lim y  0
x ��
(Vì x��
). Trong quá trình dạy học sinh thường mắc sai lầm cho
rằng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.

4x2  3  x
y
x 1
Ví dụ 8:[9] Hàm số
có TXĐ D  R \  1 , bậc của x trên tử
bằng dưới mẫu, ta kết luận đồ thị số hàm số có 2 tiệm cận ngang y  0 và y  2
lim y  1 lim y  3
(Vì x��
; x��
)
U  x
y
V  x
Dạng 4: Đối với hàm số
trong đó U ( x) , V( x) là hai biểu thức chứa
căn không cùng bậc. Ta có thể thực hiện tìm tiệm cận của đồ thị hàm số như sau:
Đối với tiệm cận đứng:
Tương tự như dạng 3

Khả năng 1:
- Nếu x0 chỉ là nghiệm của V  x  thì x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Nếu x0 là nghiệm của V( x) và U ( x) không xác định thì x  x0 khơng phải là
tiệm cận đứng của đồ thị
3
3x  1  2 x  1
y
x 1
Ví dụ 1:[9] Đối với hàm số
ta có thể kết luận nhanh
x  1 là

9


tiệm cận đứng của đồ thị (vì x  1 là nghiệm của mẫu và x  1 không là nghiệm
của tử)
3
x  1  2x  4
y
x3
Ví dụ 2:[9] Đối với hàm số
ta có thể kết luận nhanh
x  3 khơng là tiệm cận đứng của đồ thị (vì x  3 là nghiệm của mẫu nhưng tử
số không xác định tại x  3 )
Khả năng 2: Nếu x0 vừa là nghiệm của V( x) vừa là nghiệm của U ( x) thì chúng
ta có 2 cách xử lí như sau:
U  x
U  x
U  x

lim
lim
lim
x � x 0 V  x  x �x0 V  x 
x � x0 V  x 
Tính nhanh giới hạn
,
hoặc
nếu kết quả là một
số thì x  x0 khơng phải là tiệm cận của đồ thị hàm số; nếu kết quả là vơ cực
( ��) thì x  x0 lại là tiệm cận của đồ thị hàm số.
3

y

3x  2  2 x
x2

Ví dụ 1:[9] Đối với hàm số
Ta thấy x  2 vừa là nghiệm của mẫu số vừa là nghiệm của tử số. Dựa vào cách
3
3x  2  2 x
1
lim

x2
5 , suy ra đồ thị hàm số khơng có
tính nhanh giới hạn x�2
tiệm cận đứng.
3

3x  2  x
y
2
 x  1
Ví dụ 2:[9] Đối với hàm số
ta thấy x  1 vừa là nghiệm của
3
3x  2  x 2
lim
 �
2
x �1
 x  1
mẫu số vừa là nghiệm của tử. Do đó tính nhanh giới hạn
,
kết quả đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1
Đối với tiệm cận ngang: Chúng ta sử dụng phương pháp giống với dạng 3
mu x  n v x
 
Chú ý 2: Đối với dạng  
- Trước tiên ta xác định xem cần tính giới hạn của hàm số khi x � � hay
x � � hoặc cả 2

- Sau đó nhân liên hợp để đưa về dạng 3
2
Ví dụ:[9] Đối với hàm số: y  x  1  x ta làm như sau:
Tìm TXĐ: D   �; 1 � 1; �





�
�
1
x 2  x  x  lim x �
 1  2  1� �
x ��
x��
x ��
x
�
�
Tính
x
1
lim y  lim x 2  x  x  lim

x ��
x ��
x ��
x2  x  x 2
lim y  lim





10

Vậy hàm số có 1 tiệm cận ngang

y

1
2

x
x
Dạng 5: Các hàm số y  e , y  a , y  ln x , y  log a x
Đối với các hàm số này học sinh cần lưu ý:
+) Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục Ox và khơng có tiệm cận
đứng .
+) Đồ thị của hàm số logarit có tiệm cận đứng là trục Oy và khơng có tiệm cận

ngang .
2.3.1.2 Bài tập chứa tham số
a. Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
- Sử dụng cách nhận biết và tính nhanh tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
như đã trình bày ở mục 2.3.1.1
Sau đây tơi xin trình bày một số ví dụ thường gặp
b. Dạng Tốn
Ví dụ 1:[6] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có bảng biến thiên như
hình vẽ

Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số
đứng?

g  x 

1
f  x  m

có đường tiệm cận

Đối với bài này: Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì mẫu số f  x   m  0 có
nghiệm từ đó dựa vào BBT suy ra f  x   m có nghiệm khi m �4
Chú ý bài tốn này cịn có thể hỏi cụ thể: Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm
số có 1, 2, 3, 4 tiệm cận đứng.
Ví dụ 2:[3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thì đồ thị hàm số
x2
y 2
x  3 x  m 2 chỉ có 1 tiệm cận đứng.
Đối với bài này: Có thể xảy ra các trường hợp sau
TH1: Mẫu số có 1 nghiệm khác 2, xảy ra khi

V 0
�
9  4m 2  0
�
3
�
�
�
m

�
�2

�
2
2  3.2  m 2 �0 �
m2 �2
�

TH2: Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 2, xảy ra khi

11


V 0
�
9  4m 2  0
�
�
��2
�m�2
�2
2
2

3.2

m

0
m

2

�
�

Kết luận: Có 4 giá trị m.
Phân tích: Học sinh thường dừng lại ở việc tìm m để hàm ở mẫu số có 1 nghiệm
mà qn đi phải tìm cho mẫu số có 1 nghiệm khác nghiệm trên tử và nếu mẫu số
có 2 nghiệm phân biệt và 1 nghiệm là nghiệm của tử vẫn thỏa mãn u cầu
Ví dụ 3:[3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

mx 2  mx  2
y
x 1
có 2 tiệm cận ngang
Phân tích chỉ ra được:
+) Nếu m  0 tập xác định của hàm số không chứa  �;b  và  a;� nên
khơng có tiệm cận ngang
+) Nếu m  0 hàm số không xác định
+) Nếu m  0 theo cách làm đã trình bày (Dạng 3 - khả năng 4) suy ra hàm số có
2 tiệm cận. Nếu trong bài toán cần chỉ rõ tiệm cận thì ta dễ dàng tính được
mx 2  mx  2
mx 2  mx  2
lim y  lim
 m
lim y  lim
 m
x ��
x 1
x 1
x ��
và x�� x��

nên 2
tiệm cận ngang là y  m , y   m .
Ví dụ 4:[3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
1
y 2
�
x   2m  1 x  2m �
�
� x  m có 4 tiệm cận
Phân tích chỉ ra được: Tập xác định có dạng  m;� và bậc của x trên tử nhỏ

hơn dưới mẫu nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y  0
Do vậy ta phải tìm m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng hay mẫu số bằng 0 có
�
x 2   2m  1 x  2m �
� x  m  0 có 3nghiệm phân
3 nghiệm phân biệt suy ra �
2
biệt khi và chỉ khi phương trình x   2m  1 x  2m  0 có 2 nghiệm phân biệt
2m �1
�
0  m 1
�
�
�
1 m � � 1
�
m�
�
�

2
m

m
�
2
�
lớn hơn m. Điều này xảy ra khi :
2.3.2 Bài tập vận dụng dưới hình thức tự luận
Tiếp theo tơi đưa ra các bài tập tự luận tương ứng với các dạng bài đã
trình bày ở trên để học sinh củng cố lại cách giải nhanh bài tốn tìm tiệm cận
của đồ thị hàm số
12


Bài 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các hàm số sau:
x3
1
x 7 3
y
;
y  x 4  3 x 2  2;
y 2
;
2
4
9 x
a)
x  5x  6
f)

m)

x 2  3x  4
y
x 2  16 ;
b)
y
c)

2
g) y  x  2 x  3  x;

x2  4

 x  2

;
2

h)[3]

y

x

�2 �
y  � �;
�3 �
n)

2 x  1  x2  x  3
;
x 2  5x  6

p
)

3x 2  2 x  1
y 2
;
x

5
x

4
d)

y

e)

x2
1 x

2

y

i)

;

k)

y

3x  2
;
x 1

x7
;
2
x  3x  4

y

x 1
;
x 1
2

q
) y  x  1  x;
2

y

r)

x 1
x 1
2

.

Bài 2.[6] Hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm trên �\  1;1 , có bảng
biến thiên như sau:

g  x 

1
f  x  m

Tìm m để đồ thị hàm số
có 3 đường tiệm cận
Bài 3.[6] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
x2  2
y
mx 4  3 có đường tiệm cận ngang.
Bài 4.[2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2 x 2  3x  m
y
xm
khơng có tiệm cận đứng.
Đáp án
Bài1

13

a) Khơng có tiệm cận
b) x  4, y  1

f) x  3
g) y  1, y  1

c) x  2, y  1
d) x  4, y  3
e) x  1, x  1

h) x  3, y  0
i) x  �1, y  �3
k) y  0

Bài 2:

m0
�
�
m 1
�

Bài 3: m  0

m) x  3, y  0
n) y  0
p) x  �1, y  0
q) y  0

r) x  1, y  �1 .

Bài 4:

m0
�
�
m 1
�

2.3.3 Hướng dẫn giải nhanh các bài tập trắc nghiệm có liên quan đến tiệm
cận
Sau khi học sinh có thể nhận biết và tìm được cách giải nhanh được tiệm
cận đứng và tiệm cận ngang của các dạng hàm số đã giới thiệu ở trên, tơi sẽ
hướng dẫn để học sinh có thể tư duy nhanh giải các bài toán trắc nghiệm liên
quan đến tiệm cận. Sau đây tơi xin trình bày một số ví dụ minh họa
2x  4
y
x 1
Ví dụ 1:[5] Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. x  1
B. x  1
C. x  2
D. x  2
Đáp án : A
Phân tích: Bài này đơn giản là để học sinh nắm được tiệm cận đứng thẳng có
dạng x  a . Dựa vào cách tính nhanh dễ dàng có x  1 là đáp án ( x  1 là
nghiệm của mẫu số và không là nghiệm của tử). Học sinh có thể nhầm lẫn 2
khái niệm tiệm cận ngang ( y  b ) và tiệm cận đứng (chọn C)

x2
x 2  4 có bao nhiêu đường tiệm cận?
Ví dụ 2:[7] Đồ thị hàm số
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Đáp án : B (gồm 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang)
Phân tích : x  �2 là nghiệm của mẫu số nhưng thay vào tử thì x  2 không
phải là nghiệm của tử, x  2 là nghiệm của tử nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận
đứng x  2 ; bậc trên tử thấp hơn dưới mẫu nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận
ngang y  0 . Học sinh dễ ngộ nhận đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm
y

cận ngang nên chọn D.
Ví dụ 3:[2] Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng?
3x2  x  2
y
y   x 4  3 x 2  2 B. y  x 2  1 .
x 1
C.
A.

D.

y

x2
1 x

14


Đáp án: D
Phân tích: Học sinh nhanh chóng loại đáp A, B nhờ sử dụng cách nhận biết
nhanh ở trên, loại đáp án C do x =1 vừa là nghiệm của tử vừa là nghiệm của
mẫu, thêm vào đó đối với đáp án D nhận thấy x =1, x = -1 là nghiệm của tử
không là nghiệm của tử và tại đó tử số xác định.
lưu ý: học sinh mắc phải là chọn C (do nhầm x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số và không bao quát đến đáp án D)
Ví dụ 4:[2] Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang?
2x  3
2 x
x x 2
y

y

y
4
2
2
2
y  x  3x  2021 B.
4x
x  3 D.
x3
C.
A.
Đáp án: C

Phân tích: Loại A (vì đây là hàm đa thức), loại B (vì hàm số có TXĐ D   2;2 
), Loại D vì bậc của x trên tử cao hơn dưới mẫu số, từ đó chọn C
(có 2 tiệm cận ngang y  1, y  1 )
lưu ý: học sinh có thể chọn B do không chú ý đến tập xác định của hàm số, nhận
thấy bậc của tử bằng bậc của mẫu nên kết luận nhanh hàm số có tiệm cận ngang.
3x  2
y
x 1
Ví dụ 5:[6] Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Đáp án: B
Phân tích: Mẫu số vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, TXĐ
D  R nên theo cách tính nhanh ta có hàm số có 2 tiệm cận ngang y  1, y  1
Học sinh có thể nhầm mẫu có 2 nghiệm nên suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận
đứng, bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang suy
ra chọn C; hoặc do bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đồ thị hàm số 1 tiệm cận
ngang, mẫu số vô nghiệm nên chọn A.
3x  2
y 2
 C
x

x
Ví dụ 6:[9] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
?
x


0,
x


1
A. x  0
B. x  1
C.
D. (C) khơng có tiệm cận
Đáp án : A
Phân tích: Nhận thấy x  0, x  1 là nghiệm của mẫu, ngoài ra khi thay x  0
vào tử kết quả khác 0 nên khẳng định x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số,

15


từ đó loại đáp án C, D. Vì x  1 là nghiệm của mẫu số nhưng tử số không xác
định tại đó nên x  1 khơng phải là tiệm cận của đồ thị (C)
Học sinh có thể chọn C (do nhận thấy x  0, x  1 là nghiệm của mẫu và không
tiếp tục kiểm tra).
3x  2  2
y
 C
x2  x
Ví dụ 7:[3] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
?
A. x  0, x  1
B. x  0
C. x  1

D. (C) khơng có tiệm cận
Đáp án : B
Phân tích : Nhận thấy x  0, x  1 là nghiệm của mẫu, ngoài ra khi thay x  0
vào tử kết quả khác 0 nên khẳng định x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
từ đó loại đáp án C, D. Vì x  1 vừa là nghiệm của tử vừa là nghiệm của mẫu số
3x  2  2 3
lim

2
4 nên suy ra x  1 khơng phải
nên ta phải tính nhanh giới hạn x�1 x  x
tiệm cận đứng. Học sinh có thể chọn A (vì nhận thấy x  0, x  1 là nghiệm của
mẫu và không kiểm tra đến bước sau).
y

3x  1  1
 C
x 2  x  3

Ví dụ 8:[9] Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
?
x

0,
x


3
A. x  0
B. x  3

C.
D. (C) khơng có tiệm cận
Đáp: D
Phân tích: Nhận thấy x  0, x  3 là nghiệm của mẫu, x  3 làm cho tử không
xác định, x  0 cũng là nghiệm của tử nhưng đồ thị hàm số vẫn có tiệm cận đứng
x
1
lim y  lim
 lim
 �
2
x �0
x �0
x �0
x  x  3 x  1  1
x  x  3 x  1  1
x  0 (Vì
)
x  0, x  3 (chọn C), hoặc
Học sinh thường dừng lại cho mẫu bằng 0 tìm được
cho mẫu bằng 0 tìm được x  0, x  3 , nhận ra tử không xác định khi x  3
lim y  �
lim y  �

x
�
0
nhưng không kiểm tra giới hạn
hoặc x�0
(chọn D).

2
3 3
Ví dụ 9:[3] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  x  1  x  1  C  ?



A. y  0
Đáp án: A

B. y  1



C. y  x





D. (C) khơng có tiệm cận

Phân tích: TXĐ D   �; � nên ta tính:
�
1
1 �
lim y  lim x �
 1  2  3 1  3 � �
x ��
x��
x

x �
�

16


lim y  lim

x ��

x ��

x2  1  x2
x2  1  x

x3  x3  1

 lim

x ��

3

x

3

 1   x x  1  x
2

3

3

nghĩa chỉ có y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

0
2

nên dựa vào định

Lưu ý: Đối với bài này nếu không được rèn luyện học sinh sẽ chọn D

Trong các đề thi chúng ta còn gặp những bài tốn liên quan đến tiệm cận
có thể dễ dàng tìm nhanh số đường tiệm đứng và ngang dựa vào việc nắm vững
định nghĩa 2 đường tiệm cận chẳng hạn như:
Ví dụ 10:[7] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
Đáp án: B
lim y  � lim y  2
Phân tích: Vì x�0
, x��
nên theo định nghĩa đồ thị hàm số có cận
đứng x = 0, tiệm cận ngang y = 2.
Sai lầm: Thực tế trong quá trình dạy học tơi thấy học sinh có thể chọn A

(1 tiệm cận ngang), chọn C ( 2 ngang , 1 đứng) ...đều do chưa hiểu rõ về định
nghĩa về đương tiệm cận.
Ví dụ 11:[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Đáp án: C
lim y  � lim y  0 lim y  1
Phân tích: Dựa vào bảng biến thiên ta có: x�1
, x��
, x��
nên
theo định nghĩa đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x  1 , 2 tiệm cận ngang
y  0, y  1 . Học sinh có thể chọn B (2 tiệm cận ngang), hoặc chọn D (2 tiệm cận
đứng, 2 tiệm cận ngang),..

Ví dụ 12:[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

17


g  x 

1
2 f  x  1

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Đáp án: D
Phân tích: Bậc cuả tử thấp hơn mẫu nên hàm số có 1 tiệm cận ngang, mẫu số
bằng 0 có 2 nghiệm (dựa vào bảng biến thiên) và không là nghiệm của tử nên
hàm số có 2 tiệm cận đứng.
Như vậy để làm bài này học sinh ngoài việc nắm được cách xác định nhanh
đường tiệm cận thì cần nắm được số nghiệm của phương trình f ( x)  m khi biết
bảng biến thiên của f ( x).

y

x 1

mx 2  1 với m là tham số thực. Tập hợp các giá
Ví dụ 13:[5] Cho hàm số
trị m để đồ thị của hàm số có 2 tiệm cận ngang là
A.  �;0  .
B.  0 .
C.  0; � .
D. �.

Đáp án: C
Phân tích: Với tư duy có được học sinh nhận thấy nhanh điều kiện TXĐ phải
chứa 2 tập hợp  �; b  ,  a; � từ đó có ngay m  0. Suy ra chọn C
Ví dụ 14:[4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
x 1
y

 2020;2020 để đồ thị hàm số
x 2  4 x  m có hai tiệm cận đứng.

A. 2020.
B. 2022.
C. 2023.
D. 2024.
Đáp án : C
Phân tích:
Bước 1: Học sinh nhận thấy được hàm số có 2 tiệm cận đứng nếu mẫu số có 2
2
nghiệm phân biệt khác 1.Tức là x  4 x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
V'  4  m  0
�
�m  4
�
��
� 2
 1  4.1  m �0 �m �3
Xảy ra khi : �

�
m4
�
m �3
�
�
m � 2020;2020
Bước 2: Tìm m nguyên thỏa mãn điều kiện �
suy ra có 2023

lưu ý: Học sinh chỉ tìm điều kiện cho mẫu bằng 0 có 2 nghiệm phân biệt nên
mắc sai lầm và chọn D.
2.3.4 Hệ thống các bài tập tự luyện
�1 �
�\ � �
�2 và có bảng biến thiên
Bài 1.[6] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên
như sau:

18


Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
Bài 2.[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
Bài 3.[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
Bài 4.[6] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
x2
x 2  3x  2

x
y
.
y 2
.
y
.
2
y

x

1.
x

1
x

1
x

1
A.
B.
C.
D.
Bài 5.[8] Cho hàm trùng phương y  f  x  có đồ thị như
hình vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ
2020
g  x 

 2021
f  x
thị hàm số
là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài 6.[6] Cho hàm trùng phương y  f  x  có đồ thị như
hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
g  x 

A. 1

1
f  x  1

là
B. 2

C. 3
D.4
x  3x  4
y
x 2  16 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Bài 7.[7] Đồ thị hàm số
x3  4 x
y 3
x  3 x  2 có bao nhiêu đường tiệm cận?
Bài 8.[6] Đồ thị hàm số

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2
x 1
y 2
x  x 2
Bài 9.[8] Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
2

19


A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài 10.[7] Đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
1
1
1
1
y
.
y 4
.
y 2
.

y 2
.
x
x 1
x 1
x  x 1
A.
B.
C.
D.
Bài 11.[7] Đồ thị hàm số
A. 1
B. 2

y

y

x9 3
x 2  x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 3
D.4

2  x2  1
x 2  3x  2 có bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2.
D. 3.

Bài 12.[9] Đồ thị hàm số
A. 0.

B. 1.
Bài 13.[2] Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận

1 x
.
x

1
x


đứng của đồ thị hàm số
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. n  d  1. B. n  0; d  1. C. n  1; d  2. D. n  0; d  2.
y

y

x 1

.
2
2
x

1

1
Bài 14.[9] Cho hàm số
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
x2
y 2
x  4 x  m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị
Bài 15.[8] Cho hàm số
nguyên m để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vơ số.
Câu 16[8]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  12;12 để đồ thị
x2
y 2
x  4 x  m có tiệm cận ngang mà khơng có tiệm cận đứng?
hàm số
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Câu 17[8]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
x2  2
y
mx 4  3 có đường tiệm cận ngang.
A. m  0.
B. m  0.
C. m  0.

D. m �0.
1 x 1
y
x 2  mx  3m với m là tham số. Tập hợp các giá
Bài 18.[8] Cho hàm số
trị của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
� 1�
� 1�
0; �
.
0;
.
�
� �
2
2
A. � � B. � �
C.  0; � .
D.  �; 12  � 0; � .

2.4. Kết quả thử nghiệm
20


2.4.1. Kết quả chung
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này cho học sinh lớp 12 trường
THPT Vĩnh Lộc. Thực tế cho thấy, với cách làm trên đã rèn cho học sinh khả
năng tư duy nhanh nhẹn, tiết kiệm được thời gian trong q trình giải tốn trắc
nghiệm. Đồng thời các em có sự sáng tạo hơn trong học tập, áp dụng cách tư
duy nhanh cho nhiều nhiều mảng bài tập khác. Cách làm trên đã đáp ứng được

nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi được học chuyên đề này học sinh
đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề
thi thử THPT Quốc gia của các trường trên cả nước trong thời gian gần đây.
Đồng thời biết tự xây dựng và tìm cho mình hệ thống bài tập phù hợp với nội
dung kiến thức được học và những bài tập tương tự trong các đề thi thử nghiệm
của Bộ giáo dục và đào tạo. Qua đó, hiệu quả trong học tập của học sinh đã được
nâng lên rõ rệt
2.4.2 Kết quả kiểm tra
Tôi đã so sánh kết quả của kết quả thực nghiệm của lớp 12B2 năm học
2019-2020 với kết quả của lớp 12C2 năm học 2018-2019 khi không áp dụng đề
tài với cùng một bài kiểm tra. Đây là hai lớp có khả năng tiếp thu tương đương
nhau (Sĩ số mỗi lớp 40). Kết quả: Các em học sinh lớp 12B2 đạt kết quả tốt hơn
các em học sinh lớp 12C2, cụ thể:
Điể
0-2
3-4
5
6
7
8
9
10
m
Lớp
S6
7
8
9
8
2

12C2 ố
lượng
Tỉ lệ
Lớp
12B2 ố
lượng
Tỉ lệ

15%
S2

5%

17,5
%
3

20%

20%

5%

6

22,5
%
8

9

5

7

2

7,5%

15%

20%

22,5
%

12,5
%

17,5
%

5%

Từ kết quả thực nghiệm đã minh chứng được việc đưa chuyên đề: "Rèn luyện
khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán về đường tiệm cận của đồ
thị hàm số” vào giảng dạy là cần thiết và rất hiệu quả nhằm nâng cao chất
lượng học tập cũng như chất lượng thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

Trong quá trình dạy học, đối với mỗi phần kiến thức khác nhau, nếu giáo
viên biết tìm ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy, sáng tạo cái mới và hướng
dẫn học sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ
21


tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết và rèn luyện cho
học sinh khả năng tư duy nhanh thông qua việc thực hành giải tốn. Từ đó các
em chọn cho mình cách tư duy hiệu quả nhất, tạo được sự hứng thú và phát huy
được tính chủ động cũng như năng lực nhận thức vốn có trong học tập.
Mỗi nội dung kiến thức luôn chứa đựng những cách tiếp cận thú vị. Mỗi
giáo viên, cần có sự chủ động trong việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa và phát
huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo. Trong q trình giảng dạy, cần
chú ý đến rèn luyện khả năng tư duy nhanh và chính xác thơng qua việc giảng
dạy các đơn vị kiến thức và các bài tốn có liên quan. Lựa chọn phương pháp và
hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh giúp cho việc học của
các em đạt kết quả cao hơn.
3.2. Kiến nghị
Đối với sở GD&ĐT Thanh Hóa: Cung cấp nhiều chuyên đề cấp tỉnh về giải pháp
nâng cao chất lượng dạy - học bộ mơn tốn cho giáo viên tham khảo.
Đối với Nhà trường: Đầu tư khuyến khích giáo viên đổi mới PPDH dưới nhiều
hình thức khác nhau.
Đối với giáo viên: Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực
chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm, đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn. Hạn
chế tối đa phương pháp dạy học truyền thống lấy giáo viên làm trung tâm. Phải ln
tìm tịi, sáng tạo để từng bước cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng
tiết học, bài học và những đối tượng học sinh khác nhau.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

khơng sao chép nội dung của người khác.

Trần Thị Lan Anh

22