PP TINH GIOI HAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (83.61 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giới hạn của dãy số và hàm số



Dạng



Đ ặc điểm : Là phân thức

Cách làm :

 Nếu bậc tử bậc mẫu thì ta chia cả tử và mẫu cho bậc lớn 
nhất .

VD1 :

2 2

x x 2 x

2 2

2 1 2 1

x ( )

2x 1 x x x x

lim lim lim 0

2 2

3x 2 x (3 ) 3

x x

        

 



  

  

 Nếu bậc tử > bậc mẫu thì ta dặt bậc lớn nhất của tử và bậc lớn 
nhất của mẫu ra sau đó rút gọn.

VD2 :

2 n (1 22) 1 22

n 2 n n

lim lim lim n.

1 1

n 1 n(1 ) 1

n n

 

   



 

 

  

   

 

2
2

n 2
n

vì limn ; lim 1 0 lim

1 n 1

1
n




    




Chú ý :

 Nếu tử, mẫu có căn thức thì phải đưa bậc lớn nhất trong căn ra
ngoài trước.

VD3 :

x x x

2 2

2x 1 2x 1 2x 1

lim lim lim

3 3

9x 3 x x 9 x x 9 x

x x

        

  

 

      

(ghi chú : x : x x ; x   : x x)

x x

2 2

1 1

x(2 ) (2 ) 1

x x

lim lim

3 3

x 9 1 9 1

x x

     

 

 

   

     

   

   

 Nếu có dạng :

 n  n

n n

.a + .b +...
lim

p.c +q.d +... thì ta xem a, b, c, d số nào lớn 
nhất thi ta chia tử và mẫu cho số đó. VD4 :

n n

n 1 n

2. 3

2.3 3.4 3

lim lim

1 4 1

4
4



 

 

  

 

  


 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>



Dạng

 



Đặc điểm : (Một biểu thức) – căn thức ; căn thức – (Một biểu 
thức) ; căn thức – căn thức

Mà hệ số của bậc lớn nhất trong căn thức phải bằng bình 
phương hệ số của bậc lớn nhất ngoài căn.

VD1 :

2 2

lim(2n 4n 1); lim [ 9x 3 (3x 2)]
  

    

   

Cách làm : Nhân lượng liên hợp (để đưa về dạng

)
VD2 :

2 2

x x

2 2

x x

2 2

[ 9x 3 (3x 2)][ 9x 3 (3x 2)]
lim [ 9x 3 (3x 2)]= lim

9x 3 (3x 2)

9x 3 (3x 2) 12x 1

lim lim

9x 3 (3x 2) 9x 3 (3x 2)
1
x(12 )

12x 1 x

lim lim

3 3 2

x 9 (3x 2) x[ 9 (3 )]

x x

1
12

x
lim

     

  

     

  

  

   

 

     




 

       




 2

3 2

9 (3 )

x
x



  

Chú ý : Nếu khơng có dạng trên thì ta đặt bậc lớn nhất làm nhân tử

chung. Rồi xét

VD3 :

3 3

2 3

1 2

lim( n n 2) lim[n ( 1 )]

n n

      

3 3

2 3

1 2

vì lim(n ) ; lim( 1 ) 1 0 lim( n n 2)

n n

           

VD4 :

2 2

x x x

4 4

lim 2x 5x 4 lim 2x x 5 lim x 2 5

x x

     

 

   

          

   

     

      

2
2

x x x

vì lim x ; lim 2 5 2 5 0 lim 2x 5x 4
x

     

   

             

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



Dạng

0

Đ ặc điểm : Là hàm số phân thức, x số (-4, 2, 0, ...)

Cách làm :

 Nếu tử, mẫu không chứa căn thức thì ta phân tích tử và mẫu 
thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử giống nhau.

VD1 :

3 2 2

x 1 x 1 x 1

1
3(x 1)(x )

3x 2x 1 3 3x 1

lim lim lim 4

x 4x 3 (x 1)(x x 3) x x 3

  

 

  

  

      

 Nếu tử, mẫu có chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp. Rồi 
chuyển về dạng trên

VD2 : x 2 x 2 x 2

2x 3 1 ( 2x 3 1)( 2x 3 1) 2x 3 1

lim lim lim

4x 8 (4x 8)( 2x 3 1) (4x 8)( 2x 3 1)

  

       

 

      

x 2 x 2

2(x 2) 1 1

lim lim

4
4(x 2)( 2x 3 1) 2( 2x 3 1)

 



  

    

Chú ý : Trong q trình giải nếu tử, mẫu có bậc 2 thì ta biến đổi

1 2

ax bx c a(x x )(x x )    . Nếu tử, mẫu từ bậc 3 trở lên thì ta dùng sơ

đồ hookne (Như ở VD1 thầy đã làm). Chú ý các hằng đẳng thức

2 2 3 3

A  B ; A B



Dạng : Giới hạn 1
bên

Đ ặc điểm : Là hàm số phân thức, x số (4 , 2 , 0 , ...   )

Cách làm :

 Nếu trong biểu thức khơng có dấu giá trị tuyệt đối thì ta làm

như sau : 
- Tình lim (TỬ)

- Tính lim (MẪU) = 0

- Xét mẫu

VD1 : x 1

2x 1
lim

1 x







x 1 x 1

vì lim(2x 1) 1 0; lim (1 x) 0; x 1 (x 1) 1 x 0

 



 

         

Vậy x 1

2x 1
lim

1 x









 Nếu trong biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối thì ta phải xét dấu 
để phá trị tuyệt đối trước rồi mới giải.

VD2 : x 2 2 x 2 2 x 2 x 2

x 2 x 2 x 2 1 1

lim lim lim lim

(x 2)(x 3) (x 3) 5

x x 6 x x 6

   

       

  

   

  

   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Hàm số liên tục



Dạng 1 : Liên tục tại điểm x0.

Cách làm :

 Nếu trong biểu thức chỉ có dấu  , ta làm như sau : 
- Tính f(x0). (thay vào cho có dấu =)

- Tính x xlim f(x) 0 . (biểu thức chứa dấu )

- Dựa vào kết quả trên để kết luận

VD1 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 2.

x 4 khi x 2
f(x) x 2

3x 2 khi x 2
 

 

 

  


Ta có : f(2) = 3.2 – 2 = 4

x 2 x 2 x 2 x 2

x 2

x 4 (x 2)(x 2)

limf(x) lim lim lim(x 2) 4

x 2 x 2

Vì f(2) limf(x)

   



  

    

 



Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 2.

 Nếu trong biểu thức có dấu  , hay , ta làm như sau : 
- Tính f(x0). (thay vào cho có dấu =)

- Tính x x 0

lim f(x)

. (biểu thức chứa dấu >)

- Tính x x 0

lim f(x)

. (biểu thức chứa dấu <)

- Dựa vào kết quả trên để kết luận

VD2 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 2.

2x 5 khi x 2
f(x)

3x 2 khi x 2

  




 



Ta có : f(2) = 3.2 – 2 = 4

x 2 x 2

lim f(x) lim 2x 5 3
lim f(x) lim (3x 2) 4
Vì f(2) lim f(x) lim f(x)

 

 

 

 

  

  

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



Dạng 2 : Liên tục trên TXĐ

Cách làm :

 Nếu trong biểu thức chỉ có dấu  , ta làm như sau : 
- Hàm số f(x) liên tục với mọi xx0.

- Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = x0.

+ Tính f(x0). (thay vào cho có dấu =)
+ Tính x xlim f(x) 0 . (biểu thức chứa dấu )

+ Dựa vào kết quả trên để kết luận

VD3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R.

2
x 4

khi x 2
f(x) x 2

3x 2 khi x 2
 

 

 

  



Hàm số f(x) liên tục với mọi x2. Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 2
Ta có : f(2) = 3.2 – 2 = 4

x 2 x 2 x 2 x 2

x 2

x 4 (x 2)(x 2)

limf(x) lim lim lim(x 2) 4

x 2 x 2

Vì f(2) limf(x)

   



  

    

 



 Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 2.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên R

 Nếu trong biểu thức có dấu  , hay , ta làm như sau : 
- Hàm số f(x) liên tục với mọi x > x0 và x <x0.

- Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = x0.
+ Tính f(x0). (thay vào cho có dấu =)

+ Tính x x 0

lim f(x)

. (biểu thức chứa dấu >)

+ Tính x x 0

lim f(x)

. (biểu thức chứa dấu <)
+ Dựa vào kết quả trên để kết luận

VD4 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R.

2x 5 khi x 2
f(x)

3x 2 khi x 2

  




 




Hàm số liên tục với mọi x > 2 và x < 2. Ta xét tính liên tục của f(x) tại x = 2.

Ta có : f(2) = 3.2 – 2 = 4

x 2 x 2

lim f(x) lim 2x 5 3
lim f(x) lim (3x 2) 4
Vì f(2) lim f(x) lim f(x)

 

 

 

 

  

  

 

 Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 = 2.

</div>

PP TINH GIOI HAN

Giới hạn của dãy số và hàm số









 





0

0



Hàm số liên tục





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về